精品解析：黑龙江哈尔滨市第六十九中学校2025--2026学年度(下)八年级 数学 学科期中学业质量检测

哈尔滨市第六十九中学校2025-2026学年度（下） 八年级数学学科期中学业质量检测 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 3. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点在函数的图象上（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中计算正确的是（） A. B. C. D. 6. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 7. 已知四边形的对角线和相交于点O，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，点A坐标为，以点O为圆心，以适当长为半径画弧分别交于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点Q，则点Q的坐标是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，已知，点E，F分别是边中点，若，则的长为（ ） A. 7 B. C. 8 D. 10. 如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位长度，连接，记动点的运动时间为秒，的面积为，如图是关于的函数图像，则下列说法中错误的是（ ） A. 的值 B. 的周长为 C. 对边和之间的距离是 D. 的面积为 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数的自变量的取值范围是______． 12. 定义新运算：，计算的值是______． 13. 如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行______． 14. 水箱中原有水，漏水速度为，水箱中剩余的水量（单位：）随时间t（单位：）的变化而变化，写出表示关于t的函数解析式______． 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 16. 如图，在四边形中，对角线，点E、F、G、H分别是边的中点，则四边形的周长是______． 17. 若菱形的边长为2，且有一个内角是，则对角线的长为______． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．EF的长为_____． 19. 如图，在一个边长是8的正方形中，点E，F分别是边，的中点，连接和，点G，H分别是，的中点，连接，，则的长为______． 20. 在正方形，按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于点M，有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是______．（请将正确的序号填在横线上） 三、解答题（其中21-23题各8分，24题7分，25题9分，26-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中 23. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点（网格线的交点），请仅用无刻度直尺按要求画图． （1）以线段为一边，画平行四边形，使其面积是16； （2）连接，以线段为边画正方形； （3）画出的高线；直接写出高线的长为 ． 24. 如图1，在四边形中，对角线相交于点O且互相垂直平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，点E和点F分别为上的动点，则的长为 ，菱形的面积为 ，的最小值为 ． 25. 如图1，已知点A，C是平面内两个定点，作直线和射线，且使，P为射线上一动点，连接，过点P作的垂线交直线于点D．设的度数为，的度数为，那么y随x的变化而变化． （1）判断：这个问题中两个变量x与y之间 （填是或不是）函数关系． （2）在探究x与y关系的过程中，按照表中x的值进行取点P、画图、计算（可用备用图），分别得到了x与y的几组对应数值，请补全表格； x … 30 40 60 80 90 … y … 0 … （3）如图2，所示的是平面直角坐标系， ①在图2中描出表中各对数值所对应的点，并画出y与x的图象； ②结合①所画的图象填空，当时，x的值为 ． 26. 在平行四边形中，已知． （1）如图1，求证：平行四边形为矩形． （2）如图2，点E在上，点F在上，连接交于点G，若，请直接写出度数 ． （3）如图3，在（2）的条件下，作的外角平分线，点N为射线上一点，连接，若，，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，线段，点A的坐标为． （1）如图1，求点B的坐标． （2）如图2，点C在的延长线上，点D在x轴的负半轴上，连接，，连接，作垂直x轴于点H，若的面积为S，点C的横坐标为t，求S与t的关系式． （3）如图3，在（2）的条件下，点E是的中点，过点E作的垂线交y轴于F，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2025-2026学年度（下） 八年级数学学科期中学业质量检测 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意； D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意． 2. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，找出不符合的选项即可. 【详解】解：A 、最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合要求. B 、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求. C 、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求. D 、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求. 3. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 4. 下列各点在函数的图象上（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断点是否在一次函数图像上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的值若等于点的纵坐标，则该点在函数图像上，否则不在． 【详解】解：A、当时， ，故A错误； B、当时，，故B错误； C、当时， ，故C错误； D、当时，，计算得到的值与点的纵坐标相等，故D正确． 5. 下列各式中计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除及乘方运算法则，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A、2和不是同类二次根式，不能合并，故本选项的计算错误； B、，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算正确； D、，故本选项的计算错误． 6. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值． 【详解】解：设这个多边形是边形，根据题意，得 ， 解得：． 故这个多边形是六边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 7. 已知四边形的对角线和相交于点O，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、因为，，即两组对边分别平行，所以四边形是平行四边形； B、当，时，四边形可能是等腰梯形，所以不能判定四边形是平行四边形； C、因为，，即对角线互相平分，所以四边形是平行四边形； D、因为，，即两组对角分别相等，所以四边形是平行四边形． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，点A坐标为，以点O为圆心，以适当长为半径画弧分别交于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点Q，则点Q的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由作图可知，再利用平行四边形的性质可得，即，进而得到，即，然后结合图形即可解答． 【详解】解：∵点A坐标为， ∴， 由作图可知：平分，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点A坐标为， ∴点Q的坐标为． 9. 如图，已知，点E，F分别是边中点，若，则的长为（ ） A. 7 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别取，的中点G，H，连接，根据三角形中位线定理可得，，，从而得到点G，H，F三点共线，进而得到，连接，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，，进而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别取，的中点G，H，连接， ∵， ∴，即， ∵点E，F分别是边中点，，， ∴，，即， ∴点G，H，F三点共线， ∴， 连接，， ∵，点E为的中点，，的中点分别为G，H， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 10. 如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位长度，连接，记动点的运动时间为秒，的面积为，如图是关于的函数图像，则下列说法中错误的是（ ） A. 的值 B. 的周长为 C. 对边和之间的距离是 D. 的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据图知，点从点的运动时间为秒，从点的运动时间为秒，即得 ， ，再根据平行四边形的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由图知，点从点的运动时间为秒，从点的运动时间为秒， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点从点到达点的时间为 秒， ∴，故选项正确； ∵，， ∴的周长为，故选项正确； 设点到的距离为， 由图可知，当时，点与点重合，此时的面积为， 即， 解得， ∴对边和之间的距离是，故选项错误； ∴，故选项正确； 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12. 定义新运算：，计算的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题干所给的新定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴． 13. 如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行______． 【答案】13 【解析】 【分析】由题意可得，，，，，作于点，则四边形为矩形，从而可得，，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得，，，，， 作于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴小鸟至少要飞行． 14. 水箱中原有水，漏水速度为，水箱中剩余的水量（单位：）随时间t（单位：）的变化而变化，写出表示关于t的函数解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据水箱中的剩余水量等于初始水量减去小时的漏水量列出关系式即可． 【详解】解：∵水箱中的剩余水量等于初始水量减去小时的漏水量， ∴， 由题意可得：，， ∴， 解得, ∴． 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据网格的特点，，在中，根据勾股定理可得，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴． 16. 如图，在四边形中，对角线，点E、F、G、H分别是边的中点，则四边形的周长是______． 【答案】40 【解析】 【分析】先利用三角形中位线的性质求得，再求的周长即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴， ∴四边形的周长是． 17. 若菱形的边长为2，且有一个内角是，则对角线的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①若菱形的内角，根据菱形的性质及等边三角形的判定可知是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得；②若菱形的内角，同①求出的长，再利用勾股定理及菱形的性质可得． 【详解】解：分两种情况讨论∶ ①如图，若菱形的内角，设对角线、交于点，     ∵四边形是菱形，且边长为2， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ②如图，若菱形的内角，设对角线、交于点， ∵四边形是菱形，且边长为2， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 综上所述，的长为2或． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．EF的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】在Rt△AC中，利用勾股定理可求得AC的长，设EF=x，根据翻折的性质可得DE=EF=x，CF=CD=6，求出AF，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°， ∵AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2=62+82=100， ∴AC=10； 设EF=x， ∵矩形ABCD沿CE折叠后点D恰好落在对角线AC上的点F处， ∴DE=EF=x，CF=CD=6， ∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8， ∴AD=BC=8，CD=AB=6， ∴AE=AD-DE=8-x， AF=AC-CF=10-6=4， 在Rt△AEF中，AF2+EF2=AE2， 即42+x2=(8-x)2， 解得x=3， 故EF=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的对边相等的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 19. 如图，在一个边长是8的正方形中，点E，F分别是边，的中点，连接和，点G，H分别是，的中点，连接，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，证明为的中位线，得出，由勾股定理可得，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 在正方形，按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于点M，有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是______．（请将正确的序号填在横线上） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先证明得出，再结合正方形的性质即可判断①正确；再结合平行线的性质即可判断②正确；利用等腰直角三角形的性质并结合勾股定理即可判断③正确；由即可判断④正确． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在中，， ∵，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 三、解答题（其中21-23题各8分，24题7分，25题9分，26-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）按照二次根式的四则混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解∶ ． 22. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式= = =， 当时，原式==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 23. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点（网格线的交点），请仅用无刻度直尺按要求画图． （1）以线段为一边，画平行四边形，使其面积是16； （2）连接，以线段为边画正方形； （3）画出的高线；直接写出高线的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的定义并结合面积是16，画出图形即可； （2）根据正方形的定义作图即可； （3）根据高线的定义作图即可，再结合平行四边形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图：平行四边形即为所作， 【小问2详解】 解：如图：正方形即为所作； 【小问3详解】 解：如图：的高线即为所作， 由勾股定理可得， ∵， ∴． 24. 如图1，在四边形中，对角线相交于点O且互相垂直平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，点E和点F分别为上的动点，则的长为 ，菱形的面积为 ，的最小值为 ． 【答案】（1）见解析 （2）5，24， 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的性质以及等量代换可得即可证明结论； （2）由菱形的性质以及勾股定理可得；根据菱形的面积等于对角线积的一半列式计算即可；如图：连接，由菱形的性质可得点B关于对角线的对称点为 D，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可知当 D、E、F 三点共线且时，取得最小值，即点 D到的距离为最小值；然后用面积法求得的长即可解答． 【小问1详解】 证明：∵对角线相交于点O且互相垂直平分， ∴是的垂直平分线， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴； ； 如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴点B关于对角线的对称点为 D， ∴， ∴， ∴当 D、E、F 三点共线且时，取得最小值，即点 D到的距离为最小值， ∵， ∴，即， ∴的最小值为． 25. 如图1，已知点A，C是平面内两个定点，作直线和射线，且使，P为射线上一动点，连接，过点P作的垂线交直线于点D．设的度数为，的度数为，那么y随x的变化而变化． （1）判断：这个问题中两个变量x与y之间 （填是或不是）函数关系． （2）在探究x与y关系的过程中，按照表中x的值进行取点P、画图、计算（可用备用图），分别得到了x与y的几组对应数值，请补全表格； x … 30 40 60 80 90 … y … 0 … （3）如图2，所示的是平面直角坐标系， ①在图2中描出表中各对数值所对应的点，并画出y与x的图象； ②结合①所画的图象填空，当时，x的值为 ． 【答案】（1）是 （2）30，20，20，30 （3）①见解析；②10或 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义分析即可得出结果； （2）根据题意分情况画出图形，并结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）①根据（2）中的表格，描点、连线，即可得出函数图象；②根据函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：点在射线上移动，的度数为，会随之变化；且的度数，会随着的度数的变化而变化，即随着的变化而变化，故这个问题中两个变量x与y之间是函数关系； 【小问2详解】 解：当，即时， ∵，， ∴， ∴； 同理：当，即时， ∴， ∴； 当，即时， ∵，， ∴， ∴； 如图，当时，点与点重合， ∴； 补全表格； x … 30 40 60 80 90 … y … 0 … 【小问3详解】 解：①画出函数图象如图所示： ②由图象可得：当时，x的值为10或． 26. 在平行四边形中，已知． （1）如图1，求证：平行四边形为矩形． （2）如图2，点E在上，点F在上，连接交于点G，若，请直接写出度数 ． （3）如图3，在（2）的条件下，作的外角平分线，点N为射线上一点，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明平行四边形为矩形，即要证明有一个内角是即可，利用已知和平行四边形对角相等即可得证； （2）由已知条件可证明，得出，再由，得出，即； （3）过点N作直线交延长线于点，交延长线于点，由正方形的性质可得四边形是矩形，进而得出，，由平分，可得，可设，，，由可得，由可得，由这两个式子可得，最后由即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形． 【小问2详解】 解：∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示，过点N作直线交延长线于点，交延长线于点， ∵平行四边形为矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 由（2）得：， 设，，， ∴，，，， 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴，展开整理得：， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，即， 整理得：， ∴， ∴在中，． 27. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，线段，点A的坐标为． （1）如图1，求点B的坐标． （2）如图2，点C在的延长线上，点D在x轴的负半轴上，连接，，连接，作垂直x轴于点H，若的面积为S，点C的横坐标为t，求S与t的关系式． （3）如图3，在（2）的条件下，点E是的中点，过点E作的垂线交y轴于F，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由点A的坐标得到，再由勾股定理求出，即可解答； （2）由点C的横坐标为t，且轴得到，因此，根据得到，再由即可求解； （3）连接，过点C作轴于点G，则，根据得到，从而．求出的长，得到，根据点E是的中点，得到．延长至点M，使得，连接，，根据点E是的中点得到．，根据两点间的距离公式表示出，的长，根据垂直平分线的性质得到，因此列出方程，求解得到n的值，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴在中，， ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点C的横坐标为t，轴， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴S与t的关系式为． 【小问3详解】 解：连接，过点C作轴于点G，则， ∵， ∴ 即， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴， ∵，点E是的中点， ∴． 延长至点M，使得，连接，， 设点M的坐标为， ∵， ∴点E是的中点， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 整理，得， ∴， ∴点F的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $