湖南长沙市浏阳市2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（3分）文字语言“16的算术平方根是4”，用符号语言表达为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列四个方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x﹣2＝0 B．4xy+3＝5 C．2x﹣y＝5 D． 5．（3分）下列命题中是真命题的是（　　） A．垂线段最短 B．相等的角是对顶角 C．内错角相等 D．两个无理数相加仍得无理数 6．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠1与∠5是同位角 D．∠2与∠5互补 7．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 9．（3分）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1，图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1，这个算筹图表示的方程组是，类似的，如图2，这个算筹图表示的方程组是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如果y3，那么yx的算术平方根是（　　） A．2 B．3 C．9 D．±3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知二元一次方程2x+y＝2，则用含x的代数式表示y为：　 　 ． 12．（3分）如图，a∥b，∠1＝30°，则∠2＝　 　 ． 13．（3分）如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠D；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判定AB∥CD的有　 　 ．（填序号） 14．（3分）如图，一张长方形纸片剪去两个角，已知AG∥BE，且测得EF⊥GF，∠AGF＝140°，则∠BEF＝　 　 °． 15．（3分）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则　 　 ． 16．（3分）如图，点O为直线AB上一点，一副三角板如图摆放，其中∠C＝∠DOC＝45°，∠M＝30°，∠N＝60°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当∠AOM的度数是 　 　 时，直线MN与直线OC互相平行． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）解二元一次方程组：． 19．（6分）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数． 20．（8分）如图，A（﹣2，1）、B（﹣3，﹣2）、C（1，﹣2），把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1． （2）写出平移后三个点的坐标A1　 　 ，B1　 　 ，C1　 　 ． （3）若点P在直线BC上运动，当线段A1P长度最小时，则点P的坐标为 　 　 ． 21．（8分）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE平分∠ABC，试说明：DF∥AB． 解：因为BE平分∠ABC，所以 　 　 又因为∠E＝∠1（已知）， 所以∠E＝∠2（等量代换）． 所以 　 　 （ 　 　 ）， 所以∠A+∠ABC＝180°（ 　 　 ）． 又因为∠3+∠ABC＝180°（已知）， 所以 　 　 ）， 所以DF∥AB（ 　 　 ） 22．（9分）一个正数x的两个不同的平方根分别是a+1和2﹣2a． （1）求a和x的值； （2）求的值． 23．（9分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在x轴上．求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 24．（10分）【举一隅】梓琪在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：． 她思考：若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错，如果把方程组的（4x+3y）看成一个整体，把（6x﹣y）看成一个整体，通过换元法可以解决问题，具体如下． 请你将下面解题过程补充完整． 解：设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，则原方程组可化为　 　 ，解关于m，n的方程组，得，所以，再解这个方程组，得　 　 ； 【触旁通】请同样爱动脑的你利用上述思路解答方程组． 25．（10分）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N在直线CD上，点P在直线AB、CD之间． （1）如图①，若∠BMP＝2∠DNP＝40°，求∠P的度数＝　 　 °； （2）如图②，点Q在直线CD上，若PQ平分∠MPN且∠AMP＝∠PQN＝α，求∠MPN的度数（用含α的式子表示）； （3）如图③，点Q在直线CD下方，∠AMQ的角平分线与∠QND的角平分线所在直线交于点P，若∠P＝4∠Q，求∠Q的度数． 湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【解答】解：A．选项A中的两个图形可以通过旋转得到，因此选项A不符合题意； B．选项B中的两个图形是轴对称，因此选项B不符合题意； C．选项C中的两个图形可以通过上下、左右平移得到，因此选项C符合题意； D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查平移的性质，理解平移的性质以及图形平移前后的位置和大小变化的规律是正确判断的关键． 2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．（3分）文字语言“16的算术平方根是4”，用符号语言表达为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：16的算术平方根是4，用符号语言表达为4． 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根、平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 4．（3分）下列四个方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x﹣2＝0 B．4xy+3＝5 C．2x﹣y＝5 D． 【分析】根据二元一次方程的定义逐一判断选项即可． 【解答】解：A、x﹣2＝0只含一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、4xy+3＝5中4xy的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； C、2x﹣y＝5含有两个未知数x、y，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，是二元一次方程，符合题意； D、中是分式，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 5．（3分）下列命题中是真命题的是（　　） A．垂线段最短 B．相等的角是对顶角 C．内错角相等 D．两个无理数相加仍得无理数 【分析】由对顶角、内错角和无理数的概念，垂线段最短，即可判断． 【解答】解：A、此命题是真命题，故A符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，故C不符合题意； D、两个无理数相加的和不一定是无理数，例如：和，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查命题与定理，实数的运算，对顶角、邻补角，垂线段最短，同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握对顶角、内错角和无理数的概念，垂线段最短． 6．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠1与∠5是同位角 D．∠2与∠5互补 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角的定义进行判断即可． 【解答】解：A．∠1与∠2是内错角，因此选项A不符合题意； B．∠3与∠4不是内错角，因此选项B不符合题意； C．∠1与∠5是同位角，因此选项C符合题意； D．∠2与∠5相等，不一定互补，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角，掌握同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角的定义是正确判断的前提． 7．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出每个式子的值，再判断即可． 【解答】解：A、结果是2，故本选项错误； B、结果是，故本选项错误； C、结果是﹣2，故本选项正确； D、结果是1，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了对绝对值、立方根、算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 8．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 【分析】根据向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y，然后写出即可． 【解答】解：∵点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合， ∴x﹣5＝﹣1，y﹣3＝2， 解得x＝4，y＝5， 所以，点A的坐标是（4，5）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 9．（3分）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1，图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1，这个算筹图表示的方程组是，类似的，如图2，这个算筹图表示的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意和图2中的信息，可以列出相应的方程组． 【解答】解：由题意可得， 图2这个算筹图表示的方程组是． 故选：D． 【点评】本题主要考查二元一次方程组，熟练掌握从实际问题中抽象出方程组是解题的关键． 10．（3分）如果y3，那么yx的算术平方根是（　　） A．2 B．3 C．9 D．±3 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x、y的值，根据算术平方根的概念解答即可． 【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0， 解得，x＝2， ∴y＝3， 则yx＝9， 9的算术平方根是3． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数和算术平方根的概念是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）已知二元一次方程2x+y＝2，则用含x的代数式表示y为：y＝2﹣2x ． 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【解答】解：由2x+y＝2可得y＝2﹣2x． 故答案为：y＝2﹣2x． 【点评】本题主要考查了二元一次方程，解题的关键是把x看作已知数求出y． 12．（3分）如图，a∥b，∠1＝30°，则∠2＝　150°　 ． 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互补的性质即可得出∠2的度数． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝30°， ∴∠1＝∠3＝30°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣30°＝150°． 故答案为：150°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为两直线平行，同位角相等． 13．（3分）如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠D；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判定AB∥CD的有　②④　 ．（填序号） 【分析】逐一判断条件是否能得到AB∥CD即可． 【解答】解：∵∠3＝∠4， ∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）， 故①不符合题意； ∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故②符合题意； 由∠A＝∠D，得不出任何平行， 故③不符合题意； ∵∠D+∠ABD＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， 故④符合题意； 故答案为：②④． 【点评】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 14．（3分）如图，一张长方形纸片剪去两个角，已知AG∥BE，且测得EF⊥GF，∠AGF＝140°，则∠BEF＝　130　 °． 【分析】过F作FM∥AD，交AB于M，得出AD∥BC∥FM，推出∠AGF+∠GFM＝180°，∠MFE+∠BEF＝180°，把∠AGF＝140°，∠GFE＝90°代入求出即可． 【解答】解：过F作FM∥AD，交AB于M， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴AD∥BC∥FM， ∴∠AGF+∠GFM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠AGF＝140°， ∴∠GFM＝40°， ∵EF⊥FG， ∴∠GFE＝90°， ∴∠MFE＝90°﹣40°＝50°， ∵FM∥BC， ∴∠BEF＝180°﹣50°＝130°（两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：130． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 15．（3分）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则　143.6　 ． 【分析】由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得． 【解答】解：利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得， 被开方数每扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的10倍， ∵， ∴， 故答案为：143.6． 【点评】本题主要数的开方和数字的变化规律，解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 16．（3分）如图，点O为直线AB上一点，一副三角板如图摆放，其中∠C＝∠DOC＝45°，∠M＝30°，∠N＝60°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当∠AOM的度数是 　75°或105°　 时，直线MN与直线OC互相平行． 【分析】根据MN在OC左边或右边分别画出图形，利用平行线的性质得到∠COM的度数，再求出∠AOM的度数即可． 【解答】解：当MN在OC右边时，如图， ∵MN∥OC， ∴∠M＝∠COM＝30°， ∵∠DOC＝∠C＝45°， ∴∠AOM＝∠COM+∠DOC＝75°； 当MN在OC左边时，如图， ∵MN∥OC， ∴∠M+∠COM＝180°， ∵∠M＝30°， ∴∠COM＝150°， ∵∠DOC＝∠C＝45°， ∴∠AOM＝∠COM﹣∠DOC＝105°； 综上所述，当∠AOM的度数是75°或105°时，直线MN与直线OC互相平行， 故答案为：75°或105°． 【点评】本题考查平行线的性质和判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【分析】先根据绝对值、算术平方根、立方根的定义计算，再合并即可． 【解答】解： 11． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（6分）解二元一次方程组：． 【分析】利用代入消元法解方程组即可． 【解答】解：， 把①代入②，得3x﹣2（2x﹣3）＝6， 去括号，得3x﹣4x+6＝6， 解得：x＝0， 把x＝0代入①，得y＝2×0﹣3＝﹣3， ∴方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19．（6分）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数． 【分析】根据对顶角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根据角平分线的性质求得∠GOF，进而根据∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF计算即可． 【解答】解：∵三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝70°， ∴∠BOF＝∠AOE＝70°， ∵CD⊥EF， ∴∠DOF＝90°， ∵OG平分∠BOF， ∴， ∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°． 【点评】本题考查了几何图形中角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．（8分）如图，A（﹣2，1）、B（﹣3，﹣2）、C（1，﹣2），把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1． （1）在图中画出△A1B1C1． （2）写出平移后三个点的坐标A1　（0，4）　 ，B1　（﹣1，1）　 ，C1　（3，1）　 ． （3）若点P在直线BC上运动，当线段A1P长度最小时，则点P的坐标为 　（0，﹣2）　 ． 【分析】（1）（2）先利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （3）利用垂线段最短确定P点位置，从而得到P点坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）A1（0，4），B1（﹣1，1），C1 （3，1）； 故答案为：（0，4），（﹣1，1），（3，1）； （3）当A1P⊥BC时，线段A1P长度最小时，此时P点坐标为（0，﹣2）． 故答案为：（0，﹣2）． 【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 21．（8分）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE平分∠ABC，试说明：DF∥AB． 解：因为BE平分∠ABC，所以 　∠1＝∠2　 又因为∠E＝∠1（已知）， 所以∠E＝∠2（等量代换）． 所以 AE∥BC （ 　内错角相等，两直线平行　 ）， 所以∠A+∠ABC＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 又因为∠3+∠ABC＝180°（已知）， 所以 　∠3＝∠A ）， 所以DF∥AB（ 　同位角相等，两直线平行　 ） 【分析】根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可． 【解答】解：因为BE平分∠ABC， 所以∠1＝∠2（角平分线的定义）， 由条件可知∠E＝∠2（等量代换）． 所以AE∥BC（内错角相等，两直线平行）， 所以∠A+∠ABC＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）． 又因为∠3+∠ABC＝180°（ 已 知 ）， 所以∠3＝∠A（同角的补角相等）， 所以DF∥AB（ 同位角相等，两直线平行）， 故答案为：∠1＝∠2；AE∥BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠3＝∠A；同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查的是平行线的判定和性质，熟练掌握该知识点是关键． 22．（9分）一个正数x的两个不同的平方根分别是a+1和2﹣2a． （1）求a和x的值； （2）求的值． 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出a+1+2﹣2a＝0，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）把x的值代入计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得a+1+2﹣2a＝0， 解得a＝3， ∴a+1＝4， ∴x＝42＝16； （2）当x＝16时， ＝2+2 ． 【点评】本题考查了实数的运算，平方根，立方根，正确计算是解题的关键． 23．（9分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在x轴上．求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得出答案． （3）分情况讨论，根据点P在不同象限的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴a+5＝0， ∴a＝﹣5， ∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12， ∴点P的坐标为（﹣12，0）； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴， ∴a+5＝5， ∴a＝0， ∴2a﹣2＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，5）； （3）∵点P到x轴、y轴的距离相等， 当点P在第一象限时，2a﹣2＝a+5， ∴2a﹣2﹣a﹣5＝0， ∴a＝7， ∴2a﹣2＝12，a+5＝12， 点P的坐标为（12，12）； 当点P在第二象限时，2a﹣2＝﹣（a+5）， ∴2a﹣2+a+5＝0， ∴a＝﹣1， ∴2a﹣2＝﹣4，a+5＝4． 点P的坐标为（﹣4，4）； 当点P在第三象限时，2a﹣2＝a+5， ∴﹣2a+2+a+5＝0， ∴a＝7， ∴2a﹣2＝12，a+5＝12， 不符合题意； 当点P在第四象限时，2a﹣2＝﹣（a+5）， ∴2a﹣2+a+5＝0， ∴a＝﹣1， ∴2a﹣2＝﹣4不符合题意． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 24．（10分）【举一隅】梓琪在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：． 她思考：若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错，如果把方程组的（4x+3y）看成一个整体，把（6x﹣y）看成一个整体，通过换元法可以解决问题，具体如下． 请你将下面解题过程补充完整． 解：设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，则原方程组可化为　　 ，解关于m，n的方程组，得，所以，再解这个方程组，得　　 ； 【触旁通】请同样爱动脑的你利用上述思路解答方程组． 【分析】【举一隅】设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，则原方程组可化为，解得，则，然后解这个方程组即可； 【触旁通】设|x+1|＝a，|y|＝b，则原方程组可化为，解方程组得，则，然后解这个方程组即可． 【解答】解：【举一隅】设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 再解这个方程组，得， 故答案为：，； 【触旁通】， 设|x+1|＝a，|y|＝b，则原方程组可化为， 解关于a，b的方程组，得， ∴， 解这个方程组，得或或或． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、绝对值以及换元法等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 25．（10分）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N在直线CD上，点P在直线AB、CD之间． （1）如图①，若∠BMP＝2∠DNP＝40°，求∠P的度数＝　60　 °； （2）如图②，点Q在直线CD上，若PQ平分∠MPN且∠AMP＝∠PQN＝α，求∠MPN的度数（用含α的式子表示）； （3）如图③，点Q在直线CD下方，∠AMQ的角平分线与∠QND的角平分线所在直线交于点P，若∠P＝4∠Q，求∠Q的度数． 【分析】（1）过P作PG∥AB，再利用平行线的性质求角即可； （2）过P作PG∥AB，由平行线的性质可得∠MPG＝∠AMP＝α，根据平行的传递性可得PG∥CD，则∠QPG＝∠PQN＝α，进而得到∠MPQ＝2α，再由角平分线的定义求∠MPN即可； （3）过P作PG∥AB，设∠Q＝x，∠AMQ＝2y，MQ交CD于I，则∠P＝∠MPH＝4x，根据平行线的性质，角平分线的定义及对顶角相等，可得∠NIQ＝180°﹣2y，∠QND＝2∠DNH＝8x﹣2y，即可求解． 【解答】解：（1）如图①，过P作PG∥AB， ∵∠BMP＝2∠DNP＝40°， ∴∠MPG＝∠BMP＝40°， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠NPG＝∠DPN， 又∠BMP＝2∠DPN＝40°， ∴∠DPN＝20°，则∠NPG＝20°， ∴∠MPN＝∠MPG+∠NPG＝60°． 故答案为：60； （2）如图②，过P作PG∥AB， ∵PQ平分∠MPN且∠AMP＝∠PQN＝α， ∴∠MPG＝∠AMP＝α， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠QPG＝∠PQN＝α， ∴∠MPQ＝∠MPG+∠QPG＝2α， ∵PQ平分∠MPN， ∴∠MPN＝2∠MPQ＝4α； （3）如图③，过P作PG∥AB， ∵∠AMQ的角平分线与∠QND的角平分线所在直线交于点P，∠P＝4∠Q， ∴设∠Q＝x，∠AMQ＝2y，MQ交CD于I，则∠P＝∠MPH＝4x， ∵MP是∠AMQ的角平分线， ∴， ∵PG∥AB， ∴∠MPG＝∠AMP＝y，∠HPG＝∠MPH﹣∠MPG＝4x﹣y， ∵AB∥CD， ∴∠AMQ+∠MIC＝180°， ∴∠MIC＝180°﹣2y， ∴∠NIQ＝MIC＝180°﹣2y， ∵AB∥CD，PG∥AB， ∴PG∥CD， ∴∠DNH＝∠HPG＝4x﹣y， ∵NH平分∠QND， ∴∠QND＝2∠DNH＝8x﹣2y， ∴∠INQ＝180°﹣∠QND＝180°﹣8x+2y， 又∵∠Q+∠NIQ+∠INQ＝180°， ∴x+180°﹣2y+180°﹣8x+2y＝180°，解得， 即． 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $