辽宁沈阳第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025-2026学年度下学期期中考试 数学试题 说明：1.测试时间：120分钟总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷(58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知复数z= 则2的虚部是() A. B.- C.i D.-i 【答案】A 【详解】易z=-83号- 所以z=+1,虚部为号 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且a=1,∠A=30°，则△ABC外接 圆的周长为() A.2π B.4π C.2 D.1 【答案】A 【详解】设△ABC外接圆的半径为R, 因为如=1，A=30心由肝弦定理，2双=品言2。 解得R=1,故△ABC外接圆的周长为2π 3.已知1-sin2a s血(a周 =1,则sin2a=() A.4 B号 C. D. 【答案】C 【详解】由(sina-cosa)2=sin2a+cos2a-2 sinacosa=1-sin2a, 故6ina-cosa2 (sina-cosa)2 sin (a-) (sina-cosa) =√2(sina-cosa)=1, 枚s如u-co3r-号故1-sm2a=(（图-专即s血2a-号 4.己知a=b=sin草c=tam界则（） A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 试卷第1页，共11页 【答案】C 【详解】如图，角x∈(0，)的终边与单位圆圆0交于点B,单位 圆与x轴正半轴交于点A, 过A作AD1x轴，交角x的终边于点D, B(cosx,sinx),D(1,tanx), 则Sa0aB=×1×simx=受，扇形0AB的面积为x,Sa0AD=×1×tanx=, 由三者的大小关系可知，安<<受，即sinx<x<taxx∈(o,) 因0<<则sim<<tan即b<a<c 5.已知sin(a+)=专，则cos(2a-)=() A号 B.治 c.3 D.- 【答案】C 【详解】cos(2a-)=cos[2(a+)-刊=cos[r-2(a+引=-cos2(a+到) =-[1-2si㎡2(a+引-1-2×自)]= 6.在△ABC中，BC=4,AC=2,∠ACB=受，则() A.AB=2v3 B.若CD是△ABC的中线，则CD=3 C.若CD是△ABC的高，则CD=2 D.若CD是△ABC的角平分线，则CD=青 【答案】D 【详解】对于A,由余弦定理，得AB=√BC2+AC2-2BC·ACcosLACB= 4伞+2-2×4×2c0s=2W7,A错误； 对于B,由CD是△ABC的中线，得CD=(CA+CB),则CD=√CA+CB2+2CACB -4+16+2×2×4×(-分=V,B错误： 对于C,由CD是△ABC的高，得AC-BCsintACB=号AB,CD,则CD=4C8C恤AcB=2x兰 AB 2V7 ,C错误： 对于D,由CD是△ABC的角平分线，得LACD=LBCD=于由SAACD+SABCD=SAABC, 试卷第2页，共11页 得AC-CDst+8 c-CDsin背-Ac8Csin号则cD-品-专D正确 7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=60,b2=2ac,则sinA+simC=() A.月 B./2 C. 2 D.9 【答案】C 【详解】因为B=60,b2=ac,则由正弦定理得sim4sinC=言sim28=号 由余弦定理可得：b2=a2+c2-ac=9ac, 4 即：a2+c2=ac,根据正弦定理得sin2A+sim2C=13sin4sinC= 4 4 12 所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2c+2sin4sinC=子 因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC>0,则sinA+sinC= 2 8.已知平面向量a、方、c满足=回=a·c=2,且反+d≥反-对任意实数恒成 立，则a++拓-的最小值为() A.3+1 B.2W3 C.3+5 D.2W5 【答案】B 【详解】由a+d≥a-式，两边平方得2+2a·+卫.2≥2-a,元+ 又·c=2,且反+≥反-对任意实数恒成立， 即2.12+4+2-2≥0恒成立，所以△=16-42.(2-2)≤0， 即2-4)≤0，所以2=4，即=2 @===2,知a+=a+,B-=- 所以a++5-=反++E-≥a+=V应+2a+衣=23， 当且仅当a+b与c-b同向时取等号. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分. 9.下列化简正确的是() A.tan25°+tan35°+V3tan25°.tan35o=V3 试卷第3页，共11页 B.cos28-sin28-月 C. tan22.5 D. 1 sin10° 5=2 cos10 【答案】AC 【详解】A选项，由tan(25°+35°)=m25+tam35 1-tan25*.tan35=V3, 得tan25°+tan35°=√3-V3tan25°，tan35° 即tan25°+tan35°+V3tan25°.tan35°=V3,故A正确： B选项，c0s2吕-sm2吕=os号号放B错误： 13 6 C选项， m45an22515=tan45-专放c正确 tan22.5° tan22.5° D选项，sn1o 1 -os10°-V3sin10° 2（Gs109in10） 2c0s(60°+10) c0s10° sin10°cos10° sin10°cos10° zsin20 =4ms70=sin20=4,故D错误， sin20° sin20° 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为4，b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形 C.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 D.若△ABC的面积为S,且S=a2+b2-c2),则C= 【答案】AD 【详解】对于A,由A>B,可得a>b,由正弦定理可得sinA>sinB,所以A正确： 对于B,由正弦定理得a2+b2>c2,所以c0sC=+b2c>0,所以C为锐角，但A,B可 2ab 能为钝角，不能确定△ABC为锐角三角形，故B错误： 对于C,已知A=30,b=5,a=2,根据正弦定理可知o-品。解得sinB=景>1， 5 所以无解，C错误； 对于D,若△ABC的面积为S,因为S=(a2+b2-c2),则吃absinC=×2 abcosC,所以 sinC=cosC,则tanC=C=1,由于Ce(0,,则c=界故D正确， cosC 11.已知函数f)=sim(wx+)(ω>0)，则下列说法正确的是() 试卷第4页，共11页 A.若将f(x)图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为4 B.若f()=f()则ω的最小值为1 C.若f)在传，叫内无零点，则ω的取值范围为(o,引 D.若f)在（作）内单调递减，则ω的取值范围为司 【答案】BD 【详解】对于A选项，函数f)=sim(ωx+)的图象向左平移个单位长度， 所得的函数的原图象重合，故为最小正周期的整数倍， 所以好=亚·k,整理得w=8k,(k∈☑， 故ω的最小值为8，故A错误； 对于B选项，由于f)=sin(ox+),f(得=f() 所以sin(g+9=sin(g+9, 即g+=2km+g+或m-g-+2km=弩+k∈)， 所以w=-12k或w=1+4k, 所以ω的最小值为1，故B正确； 对于C选项，由已知得 罗+≥m am+≤π+km' 整理得-+2k≤ω≤+k,化E, 当k=0时，0<w≤子当k=1时，≤w≤子 故ω的取值范围为(0，引v尼引，故C错误， 对于D选项，由于f()=sin(ox+)在(，m)内单调递减， 由于函数=sinx在（作，）内单调递减， 则满足 受+年≥+2km m+8≤+2km 解得+4k≤ω≤+2k,(ke2, 当k=0时，we引： 2'4 故D正确 试卷第5页，共11页 第Ⅱ卷(92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三 斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S= lea- 其中a,b,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边 a=√3，b=2,c=V5,则该三角形的面积S= 【答案】 2 【详解】因为a=V3,b=2,c=√5， 所以5= ca2-(]-耶5×3-(97- 13.若复数z1和复数z2满足|z1=6,z2=8,|z1+z2l=10,则z1-z2= 【答案】10 【详解】因为z1=6,122l=8,21+22l=10, 由复数模的运算性质，可得1z1+z22=(z1+z2)(②1+Z2)=(亿1+22)（乙+z2) =z1Z1+z2Z+z122+z2Z=lz12+|z22+z12五+z2Z, 所以62+82+z1z2+Z2Z=100,所以z1Z互+22Z1=0, 又由21-222=z1石+2五-21五-22Z=l212+l222-21五+22=62+82-0= 100,所以川21-22=10 14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3 bsinC,.则2+的最大值等于 【答案】V13 【详解】因为a=3 bsinC,由正弦定理可得：sinA=3 sin B sin C, 又B,C∈(0，m),sinB sinC≠0，则_snA sin Bsin C ≈3 因为2+￡=b2+c2=2bcos4+a2 =2c0SA+ a2 bc bc bc=2COsA +axa=2cosA+sinA bc sin BsinC =2cosA+3simA=V3sin(A+p),tanp=子，p∈(0，)， 当且仅当A+p=时，V3sin(A+p)取得最大值，最大值为3，也即2+的最大值为V3 试卷第6页，共11页 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+p)(A>0,ω>0,0<p<) 的部分图象如图所示 (1)求f(x)的解析式： (2)求f(x)的对称轴方程： (3)若方程f(x)=V3在(0，m]有且仅有一个实根，求实数m的取值范 围。 【详解】(1)由图可知A=f)mx=2,函数f)的最小正周期为T=4×后-（)】=元， 又0>0， 所以w=要-要=2，所以f()=2sin(2x+p）, 因为f)=2sin[2×(-)+9=2sin(p-)=2,可得sim(p-)=1, 所以p-若=+2km(k∈)，则p=受+2m(kE2), 6 因为0<p<m,故p=,因此f6)=2sin(2x+) …5分 (2)由2x+号=km+5(ke2刀可得x=受-ke2刃， 故函数f)的对称轴方程为x=经-是（化E2) ………8分 (3)由f)=V3可得2sm(2x+)=V3,即sm(2x+9= 由xe(0,m可得5<2x+牙≤2m+ 令t=2x+受，则te(5,2m+, 如下图所示： 因为方程f(x)=3在(0，m有且仅有一个实根， 2元 8π 吗≤2m+号< y=sint2m+ 解得钙≤m<m即实数m的取值范围是[， ……13分 16.(15分)已知向量a=(2c0sx,1),万=（-cos(x+),) (1)若且x∈[0，习，求x的值： (2)记f(x)=a·b,x∈R. ①求f(x)的单调增区间： ②若任意x∈ 【-晋引均满足-2≤f)-m≤5，求实数m的取值范围。 试卷第7页，共11页 【详解】(1)由a6,则2cosx×=-cos(x+),即cosx=-cos(x+) 解法1：所以cosx=cos(-(c+别》=cos(昏-x列 由于xeo引所以5-xe劉，所以x=-(x+)则x=5 解法2：所以cosx+cos(x+)=0,即cosx+cosx-9sinx=0, 因为cosx与sinx不能同时为零，所以cosx≠0，tanx=V3. 因为x∈0，引，所以x= …5分 (2)①f()=a.i=(2c0sx,1)·(-cos(x+),)=-2cosx·cos(x+)+ 9mxos2x-n(a-月 由2km-5≤2x-E≤2km+得km-石≤x≤km+行kEZ, 所以f)的单调增区间为[km-km+胃kZ …10分 ②因为x∈[晋引，所以2x-∈[月 所以当2x-8=-7即x=-时，f60n=-1: 当2x-名=各即x=时，f)max= 因为-2≤f(x)-m≤5恒成立，所以f(x)-5≤m≤f(x)+2恒成立， 所以f)mx-5≤m≤f)mm+2,因此-号≤m≤1， 即加的取值范围为[，小， …15分 17.(15分)某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点（如图）， 159 它们相距25V海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得 知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西75°，这时位于B点南偏西45° 且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时. (I)求B点到D点的距离BD: (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间. 【详解】(1)由题意知：AB=25V6,∠DBA=90°-75°=15°，∠DAB=90°-45°=45°， 所以∠ADB=180°-45°-15°=120°， 试卷第8页，共11页 在△ABD中，由正弦定理可得： BD 、AB即BD 25V6 sinzDAB sinLADB sin 45 sin120' 所以BD=256sin45_25V6× 2=50(海里)： …7分 sin120° (2)在△BCD中，∠CBD=180°-75°-45°=60°，BC=80,BD=50, 由余弦定理可得： CD2 BC2+BD2 -2BC.BDcosLCBD =6400+2500-2×80×50×1=4900, 所以CD=70海里，所以需要的时间为架=2小时)， …15分 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+V3 asinC=b+c. (1)求A的值； (2)若△ABC为锐角三角形，且c=V3,求△ABC面积的取值范围. (3)若a+1=b,c>2,当△ABC的周长最小时，求c的值. 【详解】(1)由正弦定理可得sinAcosC+V3 sinAsinC=sinB+sinC, sinB sin(I-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC sinCcosA, sinAcosC+V3sinAsinc sinAcosC sinCcosA+sinC, 即V3 sinAsinC=sinCcosA+sinC,又C∈(0，m),故sinC≠0， 则V3sinA=cosA+1,故V3sinA-cosA=2sin(4-君)=1， 即sin(4-)=分又A-e(）,故A-8=8即A=于 …5分 (2)由(1)知：A= 法、由正弦定理二品品：兰-品品 所以AC=3sn8 sinC S=专40Acin4=×V5x5×器×sA=×器×9=空盟 4 sinc 又4+B+C元，A=测B=号-C, -353gm 4 sinC 4 sinC -5是之c-(停+) 4 sinc 试卷第9页，共11页 因为△ABC为锐角三角形B=牙-C, 0<B<5 0<号-c片，解得：<c<告 0<c<5 则amc>9号+2， 所以<平（停品+月<9 所以△ABC的面积的取值范围为(S,) …10分 法二、求b的范围 S=ibcsinA=ib/3sinb,a2=b2+e2-2bccos=b2+3-3. 因为△ABC为锐角三角形， 所爬+g子 3<b2+3-V3b+b2 解得9<b<2V8,9<5-b< 4 21 所以△ABC的面积的取值范围为(，罗) …10分 (3)由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-bc, 由b=a+1,故a2=(a+1)2+c2-(a+1)c,整理得a=-c+ c-2 故a+b+c=2a+1+c=2C-+9+1+c=2c2-202c-2)+6+c+1 c-2 c-2 =2c+2+9+c+1=3c-2)+吾+9≥23c-2)吾+9=9+6V2, 当且仅当3(c-2)=名2即c=2+V2时，等号成立， 故当△ABC的周长最小时，c的值为2+√2. ……………17分 19.(17分)如图，设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,C,D为边AB上的中点， 且m4+2D=2-2c0sC,b=2,CD=2W2 sinB (1)求a; (2)求c0 SLACB: D (3)设M,N分别为边CA,CB上的动点，线段MN交CD于P, 且四边形ABNM的面积为△CAB面积的号，求CP,MN的取值范围. 【详解】(1)由a+2D=2-2cosC,得sin(4+2B)=sinB(2-2cosC), sinB 试卷第10页，共11页 sin(A+B)cosB cos(A+B)sinB 2sinB-2sinBcosC, 由于A+B=π-C,所以sinCcosB-cosCsinB=2sinB-2 sinBcosC, 则sinCcosB+cosCsinB=2sinB,即sin(C+B)=2sinB=sin(π-A)=sinA. 由正弦定理，得a=2b=4. …4分 (2)由于D为边AB上的中点，所以cD=(CA+CB), C=(CA+CB)=(b2 a2+2bacos-ACB), 所以eos4AGB=四22-E-22半- …8分 2ba 2×2×4 (3)设CP=kCD(k≠0)，CM=1CA,CN=CB武L,u∈(0,1)， 所以cM=2λ，c=4μ 由于cD=A+CB,所以P=kcD=A+cB=会cm+cN 由于P、M、N三点共线，可得货+益=1，所以k=器 由于CP·M=(传CA+CB)·(C-CM=(（传CA+cB·(ucB-AcA -(停约丽-2亦+号-（偿匀）×2x4×星兰×公+号×4 2 =3kμ-3k-2kλ+8ku=11kμ-5k; 由题意知S四边形ABMW=Sac4B-SACMN,而形B==aC想-5ac, S△CAB S△CAB 所以=-专 由于Sacw 1cMc-sin∠AcB 22λ：4wsin∠ACB S△CAB CAllCBI-sinLACB X2×4sin∠ACB 所以cP=kμ-5切三是-· 1+u 由于∈o,1),而u=立e0,1),所以ae(传1) 则32+1∈(（信，4所以-5+n4(-1,刀， 所以cp.MNe(,) …17分 试卷第11页，共11页2025-2026学年度下学期期中考试 数学试题 说明：1.测试时间：120分钟总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷(58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知复数2=别 则z的虚部是（) A月 B.-月 C. D.- 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,∠A=30°，则△ABC外接 圆的周长为() A.2π B.4元 C.2 D.1 3.己知二2g=1,则sin2a=（) sin (a A.是 B.号 C. D.是 4.已知a=,b=sin,c=tan3则(） A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 5.己知sin(a+)=手则cos(2a-)=() A器 B碧 c D.房 6.在△ABC中，BC=4,AC=2,∠ACB=,则() A.AB=2v3 B.若CD是AABC的中线，则CD=3 C.若CD是AABC的高，则CD=2 D.若CD是△ABC的角平分线，则CD= 7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,c,若B=60,b2=ac,则sinA+sinC=() A.月 B.√2 c.9 D.9 8.已知平面向量d、五、元满足==a·c=2,且a+≥a-对任意实数恒成 立，则}a++五-的最小值为() A.V3+1 B.23 C.3+5 D.2V5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分 9,下列化简正确的是（) A.tan25°+tan35°+√3tan25°.tan35°=√3 B.cos -sin C. an22.5° 1 3 D.5n10-cos10 =2 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形 C.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 D.若△ABC的面积为S,且S=(a2+b2-c2),则C=4 11.已知函数f()=sin(ox+羽)（ω>0），则下列说法正确的是() A.若将f(x)图象向左平移"个单位长度，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为4 B.若f(月=f(（),则ω的最小值为1 C.若f在（行内无零点，则ω的取值范围为(0，到 D.若f(x)在(G内单调递减，则ω的取值范围为，习 第Ⅱ卷(92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三 斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S= e2a2-y7 其中a,b,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边 a=V3,b=2,c=√5，则该三角形的面积S= 13.若复数z1和复数z2满足|z1=6,z2=8,21+22l=10,则z1-22l= 14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a=3 bsinC,则+的最大值等于 四、解答题：本题共5小题，共77分」 15.(13分)已知函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,d>0,0<p<) 的部分图象如图所示 (I)求f(x)的解析式 (2)求f(x)的对称轴方程； (3)若方程f(x)=V3在(0，m有且仅有一个实根，求实数m的取值范 围 (15分)已知向量a=(2cosx,1),方=(-c0s（+),) 16. ()若ai且x∈[0，引，求x的值： (2)记f(x)=a.b,xeR. ①求f(x)的单调增区间； ②若任意x∈【晋，均满足-2≤f闭-m≤5，求实数m的取值范围. 17.(15分)某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点（如图）， D 它们相距25√6海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得 759 159 知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西75°，这时位于B点南偏西45 且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时： (I)求B点到D点的距离BD: (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+V3 asinC=b+c. (1)求A的值； (2)若AABC为锐角三角形，且c=V3,求△ABC面积的取值范围. (3)若a+1=b,c>2,当△ABC的周长最小时，求c的值 19.(17分)如图，设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为边AB上的中点， Si(A2B)=2-2cosC,b=2,CD =2v2 sinB (1)求a: (2)求cosLACB; (3)设M,N分别为边CA,CB上的动点，线段MN交CD于P, 且四边形ABNM的面积为△CAB面积的号，求C币，M的取值范围，