6.3 三角形的中位线-【导学练评】 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

6.3三角形的中位线-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、 理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题； 2、 进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 3、 在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力； 在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法. 学习重点： 三角形中位线定理证明及应用 学习难点： 添加辅助线的证明三角形中位线定理. 平行四边形的判断方法： 1、 的四边形是平行四边形. 2、 的四边形是平行四边形. 3、 四边形是平行四边形. 4、 的四边形是平行四边形. 5、 是平行四边形. 探究1：中位线定义 请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE． 定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 想一想： （1）一个三角形有几条中位线？仿照上面的说法说一说。 ∵AD=BD ,AE=EC，∴ DE是△ABC的中位线 ∵DE是△ABC的中位线，∴ AD=BD ,AE=EC （2）三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系？ 中位线的两个端点是( )，而中线的两个端点是( )和( ) 探究2： 探究三角形中位线定理 观察思考 1、连接任意一个三角形三边的中点，如图（1），分成了4个三角形，猜想它们的面积相等吗？ 2、通过剪拼，如图（2），猜想拼成的四边形BDFC是平行四边形吗？ 3、三角形的中线与底边的关系（位置关系、数量关系）如何？ 证明猜想 已知:如图,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE= BC 分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等. 证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE, ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. ∴CF∥AB. ∵BD＝AD，∴CF＝BD. ∴四边形DBCF是平行四边形( ) ∴ DF∥BC( )， DF＝BC( ). ∴DE∥BC，DE＝ BC. 探究小结 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 用几何语言表示：∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC，DE= BC 定理的理解 （1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理. (2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用. 例题1 1．证明：，连接任意一个三角形三边的中点，分成了4个三角形，它们的面积相等 例题2 2．如图，平行四边形的对角线AC与BD相交于O，E为AB的中点，∠ADB=90°AC=6，OE=1，求AD和BD的长度。 一、基础达标1： 3．已知：D、E分别为AB、AC的中点. （1）∵ D、E分别为AB、AC的中点. ∴ DE∥BC（根据　 　 ） （2）若BC =10cm，则DE =　 　 ㎝. （3）若DE =6cm，则BC = 　 　 cm. （4）若∠ADE=60°，则∠B=　 　度 4．△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 5．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为(　　) A．6.5cm B．34cm C 26cmD. 52cm 6．如图，在长方形ABCD中，P、R分别是BC边和DC边上的点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR=3，AD=4，则EF的长为　 　。 7．在四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长为 　 　. 8．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线AC的中点，点E、F分别是BC、AD的中点，AB=CD，∠PEF=30°， ∠FPE的度数是　 　 . 9．已知：如图，在四边形ABCD中， E，F，G，H分别为各边的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. 二、能力提升： 10．如图，已知△ABC的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中 位线又组成三个三角形，以此类推，第2022个三角形的周长是　 　. 11．将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是( ) A．0.5 B．1 C．2 D．3 三、拓展迁移1： 12．在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E，F分别为BC，AC的中点，试说DF=BE理由。 13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别是AC﹑BD的中点 （1）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？　 三角形的中位线 定义： 三角形两边中点的连线，区别于三角形的中线. 定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 联想：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形. 四、基础达标2： 14．如图：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°， 则∠B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？ 15．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为　 　cm. 16．如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°，D、E、F分别是各边中点， AB=9cm，AC=12cm，则△DEF的周长=　 　 cm。 17．如图，已知△ABC中，AB = 4㎝，BC=4.6 ㎝ AC=6㎝ 且D，E，F分别为 AB，BC，AC边的中点，则△DEF的周长是 　 　 ㎝. 18．如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为(　　) A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm 19．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 20．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(　　) A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 21．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　) A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m 22．已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，CD，AC，BD的中点.求证：四边形EGFH是平行四边形. 五、能力提升2： 23．如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF. 六、拓展迁移2： 24．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形． 答案解析部分 1．【答案】证明：∵AD=DA.AE=EC ∴DE∥BC.DE=BC=BF ∵ ∴四边形EDCF是平行四边形 ∴ 同理， ∴ 2．【答案】解：∵ABCD的对角线AC与BD相交于O ∴OA=OC，OD=OB( ） ∵E是AB的中点 ∴OE是△ABD的中位线（ ） ∴AD=2OE=2( ） ∵AC=6，OA=OC=3 在Rt△ADO中， ∴BD=2OD=2 3．【答案】（1）三角形中位线定理 （2）5 （3）12 （4）60 4．【答案】B 6．【答案】2.5 7．【答案】14cm 8．【答案】120° 9．【答案】解：证明：如图，连接AC ∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC EF= AC ∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC HG= AC ∴EF=HG EF∥HG ∴四边形EFGH是平行四边形. 10．【答案】 11．【答案】D 12．【答案】证明：∵点E，F分别为BC，AC的中点 ∴EF∥AB，EF=AB ∴∠DAC=∠EFC=90° ∵AD=AB，∴AD=EF， ∵AF=CF， ∴△ADF≌△FEC(SAS) ∴DF=EC∵BE=EC， ∴DF=BE 13．【答案】解：AD∥EF∥BC 证明如下：连接DF并延长交BC于G ∵AD∥BC ∴∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF 又AF＝FC ∴△ADF≌△CFG(AAS) ∴DF=FG又∵DE=EB ∴EF∥BC(三角形的中位线平行于第三边) 又∵AD∥BC ∴AD∥EF∥BC （2）若AD=a，BC=b，求EF的长。 解：由（1）可知：EF是△DBG的中位线 ∴EF=BG=(BC-GC)　（三角形的中位线等于第三边的一半。） 而GC=AD ∴EF=(BC-AD)=(b-a) 14．【答案】（1）解：60 （2）解：4 15．【答案】10 16．【答案】18 17．【答案】7.3 18．【答案】D 19．【答案】B 20．【答案】A 21．【答案】B 22．【答案】证明：由题意可知GF、HE 分别是△ACD和△ABD的中位线 ∴GF//AD，GF=ADHE//AD，HE=AD ∴GF//HE，GF=HE ∴四边形EGFH是平行四边形. 23．【答案】证明∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC， ∴AB∥CE，AB＝CE. ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴点F是BC的中点． 又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线． ∴AB＝2OF. 24．【答案】解：证明：如图，连接BD. ∵点E，H分别是边AB，DA的中点， ∴EH为△ABD的中位线． ∴EH∥BD，EH＝BD. 同理可得：FG∥BD，FG＝BD. ∴EH∥FG，EH＝FG. ∴四边形EFGH是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $