精品解析：河南开封高级中学2026届高三考前模拟预测数学试题

2026年普通高校招生考试冲刺压轴卷（六） 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 6078 D. -6078 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为顶点在坐标原点，焦点为的抛物线，过作的一条渐近线的垂线交于点P，且，设双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知数列的前n项的和为，且满足，，若，则（ ） A. 1 B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 C. 圆锥的表面积为 D. 圆锥的外接球的表面积为 10. 已知函数，且函数图象经过点，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递减 C. D. 存在常数m，使得对任意实数x，都有 11. 已知抛物线的焦点为，，，是E上不同的三个点，AB的中点为P，O为坐标原点，直线l是E的准线，且l与x轴的交点为M，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若点P的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 D. 若F是的重心，则点P的纵坐标不可能大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，已知，，且数列是等差数列，则________． 13. 某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 14. 已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，． （1）求样本的相关系数r；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 附：相关系数，． 16. 如图，在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若D是边AC的中点，，，求的面积； 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F． （1）求证：； （2）若，求直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 18. 已知函数，直线过坐标原点且与的图象相切. （1）证明：的图象（除了切点）始终在直线的上方： （2）已知，当时，恒成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，A是椭圆C上一点，的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线l交椭圆于B，D两点，求面积的最大值； （3）若P是椭圆C上不同于顶点的动点，且和的斜率都存在，椭圆C的左、右顶点分别为，，直线交椭圆于另一点M，直线交椭圆于另一点N．若直线MN的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高校招生考试冲刺压轴卷（六） 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，故，， 故. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为，. 所以. 3. 已知，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以， 即，解得， 由知，. 4. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 5. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 6078 D. -6078 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，再令即可求解. 【详解】由， 两边同时求导得， 令，则. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用三角恒等变换得到，再利用同角三角函数商数关系求解 【详解】因为， 所以， 所以. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为顶点在坐标原点，焦点为的抛物线，过作的一条渐近线的垂线交于点P，且，设双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线及其渐近线的几何性质，结合已知条件求出点，再利用抛物线的性质构造方程，进而求出． 【详解】 设与渐近线交于点Q，由，可知Q是的中点， 不妨设所在直线的方程为，联立可得， 由及中点坐标公式得，， 由题意得抛物线的方程为， 将P点坐标代入可得， 整理得，解得． 8. 已知数列的前n项的和为，且满足，，若，则（ ） A. 1 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过裂项相消法建立的关系，利用递推式发现数列以6为周期，计算周期和并结合建立方程求解. 【详解】因为 ，所以； 令，则，因为，即， 所以，，，，，，，， 所以数列是以6为周期的数列， 且当时，， 因为， 所以， 解得，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 C. 圆锥的表面积为 D. 圆锥的外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的底面半径为，高为，结合圆锥的几何结构特征，侧面积和体积公式，以及外接球的性质，即可求解. 【详解】对于A，由圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形， 可得圆锥的底面半径为，高为，则其体积为，故A正确； 对于B，由圆锥的底面周长为，即侧面展开图的弧长为， 设圆心角为，可得，解得，故B错误； 对于C，圆锥的侧面积为，底面圆的面积为， 所以圆锥的表面积为，故C正确； 对于D，由圆锥的外接球的直径为轴截面的外接圆的直径， 设外接球的半径为，可得， 则外接球的表面积为，故D错误. 10. 已知函数，且函数图象经过点，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上单调递减 C. D. 存在常数m，使得对任意实数x，都有 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据已知条件求出函数的表达式，再根据函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数值的计算来逐一分析选项. 【详解】由，得到， 因为，所以得，则. 对于A，， 因为，所以不是奇函数. 对于B，当时，， 结合正弦函数图象性质可得函数在区间上单调递减. 对于C，由，可知，则周期， 且，，，， 易知，所以 . 对于D，根据题意可得 因此存在常数，对于任意实数x，使. 11. 已知抛物线的焦点为，，，是E上不同的三个点，AB的中点为P，O为坐标原点，直线l是E的准线，且l与x轴的交点为M，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若点P的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 D. 若F是的重心，则点P的纵坐标不可能大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得A；设联立抛物线表示出韦达定理，表示出斜率关系可得B；结合中点坐标公式和韦达定理及抛物线方程表示出直线AB的斜率可得C；利用中点坐标公式和重心坐标公式结合抛物线上的点的坐标性质化简可得D. 【详解】 对于A：因为抛物线的焦点，所以，，若，则，即，A正确； 对于B：若，则A，F，B三点共线，设，代入抛物线方程得， 所以，又，所以，， 所以， 所以，即MA，MB关于x轴对称，则，B正确； 对于C：若点P的纵坐标为2，即，则， 所以直线AB的斜率， 所以直线AB的倾斜角为，C错误； 对于D：若F是的重心，则，即①， 又P是AB中点，其纵坐标为. 由重心横坐标公式，且，可得②， 将①代入②得③， 因为A，B是E上不同的点，所以④， 将②③代入④得到，所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，已知，，且数列是等差数列，则________． 【答案】2 【解析】 【详解】设，数列是等差数列，公差为d，则，， ，得，则，则，． 13. 某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】设事件甲、乙、丙获奖分别为A，B，C，至少两位员工获奖有如下情况： 甲、乙获奖丙未获奖，甲、丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖， 则． 14. 已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数存在极值，得到有两个不同根，由极小值大于，确定只有一个零点，结合判别式和韦达定理即可求解. 【详解】，. 因为的极小值大于0， 所以存在两个不同的根，，设， 当或时，，则在，上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 则为极大值，为极小值， 又极小值大于0，所以极大值，所以只有一个零点， 又， 显然是的零点，所以方程无实数根， 即，即， 因为，若，因为在上单调递增， 结合，可得，与条件矛盾， 所以，又，，所以， 即的极大值点与极小值点均大于0， 且方程的2个实数根均大于0， 所以，解得， 综上可得：，故b的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，． （1）求样本的相关系数r；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 附：相关系数，． 【答案】（1）0.92 （2）随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据统计表格中的数据，求得，，结合参考数据和相关系数的公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的取值为，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据统计表格中的数据，可得，， 以及，，． 可得样本相关系数. 【小问2详解】 解：根据题意，可得随机变量的取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 所以期望为. 16. 如图，在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若D是边AC的中点，，，求的面积； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得. 【小问1详解】 ，由正弦定理，得， 又， 则有， 即，又，故， 则，即，又，则； 【小问2详解】 由D是AC的中点，则， 由（1）知， 则， 又，， 则，则， 解得或（负值，舍去）， 则. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F． （1）求证：； （2）若，求直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证得平面，然后根据线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 【小问1详解】 在矩形ABCD中，， 又平面，平面DCP，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以； 【小问2详解】 由（1）可知，又，所以， 又因为E是PC的中点，所以F是PD的中点， 因为平面ABCD，AD，平面ABCD， 所以，， 因为，，即，故. 又在矩形ABCD中，，所以DA，DC，DP两两垂直. 如图以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面BCF的一个法向量为. 由，得， 令，得， 设直线AP与平面BCF所成角为， 则， 故直线AP与平面BCF所成角的正弦值为. 18. 已知函数，直线过坐标原点且与的图象相切. （1）证明：的图象（除了切点）始终在直线的上方： （2）已知，当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可求得切线方程为，令，利用导数求得，即可得到证明. （2）由，解得或，再利用转化思想和导数进行验证即可. 【小问1详解】 设切点，因为，则切线方程为， 将代入，得，所以. 故切线方程为，设，则， 令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 可得.所以，即， 当且仅当时取等，所以的图象（除了切点）始终在直线的上方. 【小问2详解】 因为 ， 所以，由题意可得，解得， 当时，令， 则，且， 则，令， 则，当时，令，则， 所以单调递增，所以 所以，所以， 令，则， 所以单调递增，所以，所以， 所以，即单调递增，所以，所以单调递增， 则，又当时，可得 ， 令，则， 则在上单调递增，而，故， 得到，故， 所以；当时，令， 则， 因为且，所以， 所以，令， 求导得， 令，则， 由时，， 可知，所以单调递增，，即单调递增， 所以，所以单调递增， 所以，所以； 若时，则，不满足题意； 综上，实数的取值范围为. 19. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，A是椭圆C上一点，的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线l交椭圆于B，D两点，求面积的最大值； （3）若P是椭圆C上不同于顶点的动点，且和的斜率都存在，椭圆C的左、右顶点分别为，，直线交椭圆于另一点M，直线交椭圆于另一点N．若直线MN的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）定值为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上任意一点到焦点的距离范围求出a、c，再由求出b，即可得到椭圆的标准方程. （2）利用椭圆的性质求焦点弦三角形面积的最大值. （3）先利用斜率公式表示出直线和直线的斜率，再联立椭圆方程，表示出直线MN的斜率，即可判断是否为定值. 【小问1详解】 由题意可知，的最大值为，最小值为， 即，，得，， 由，可得，因为，所以， 则椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 易知直线BD与x轴不重合，设直线BD的方程为， 联立，得，， 由韦达定理可得，， 所以， 所以三角形的面积为， 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，S取最大值，且. 【小问3详解】 设，满足， 已知直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 由椭圆C的标准方程为，且椭圆C的左、右顶点分别为，， 则， 可得，， 则， 设，， 联立，得， 由韦达定理，得，， 所以 ， 则， 同理，联立，得， ，， 所以 ， 则； 则 ， 故， 故为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $