5.3.1 函数的单调性（第1课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.1 函数的单调性(第1课时) 01 情境导入 研究股票时，我们最关心的是股票 的发展趋势(走高或走低)以及股票价格 的变化范围(封顶或保底)．从股票走势 曲线图来看，股票有升有降．在数学上， 函数曲线也有升有降，就是我们常说的 单调性． 那么，函数的单调性与导数有什么关系? 情境导入 02 函数的单调性与导数 探究：图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化 的函数的图象，图(2)是跳水运动员的速 度随时间变化的函数的图象. 问题1：运动员从起跳到最高点，以及从 最高点到入水这两段时间的运动 状态有什么区别?如何从数学上 刻画这种区别? t h a O b (1) t v a O b (2) 新知讲解 观察图象可以发现： (1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于 上升状态，离水面的高度随时间的 增加而增加，即单调递增. 相应地， . (2) 从最高点到入水，运动员的重心处于 下降状态，离水面的高度随时间的 增加而减小，即单调递减. 相应地， . t h a O b (1) t v a O b (2) 新知讲解 问题2：我们看到，函数的单调性与的正负有内在联系. 那么，我们能否由的正负来判断函数的单调性? 对于高台跳水问题，可以发现： 当时，，函数的图象是“上升”的， 函数在内单调递增； 当时，，函数的图象是“下降”的， 函数在内单调递减. 猜测：在区间上， ⇒在区间上，单调递增； 在区间上， ⇒在区间上，单调递减. 新知讲解 问题3：画出下面一些函数的导函数的图象，你能说明你的猜测 是否正确?函数的单调性与导数的正负有关系吗? 新知讲解 函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数的单调性与导函数的正负具有如下关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间 上单调递减. 新知讲解 思考1：如果在某个区间上恒有，那么函数有什么特性? 函数在这个区间上是常数函数. 思考2：在区间内，若，则在此区间上单调递增， 反之也成立吗? 不一定成立．例如：在上为增函数，但其在处的 导数等于零．也就是说是在某个区间上单调递增 的充分不必要条件. 新知讲解 【例1】(1)已知函数的的导函数的图象如图所示， 则函数图象是下列四个图象中的(　 ) (2)函数在其定义域内可导，的图象如图所示， 则导函数的图象为 (　 ) 例题剖析 函数与导函数图象之间的关系： 导函数的正负看原函数的增减 (1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点， 分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点， 分析导数的正负. 规律方法 【练习】(1)设函数在定义域内可导，的图象如图所示， 则导函数的图象可能为(　　) (2)已知函数的图象 如图所示，则不等式 的解集为　　　 　. 举一反三 03 不含参函数的单调性 【例2】利用导数判断下列函数的单调性： (1) (2) 例题剖析 判定函数单调性的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数； (3)用导数的零点将的定义域分成若干区间， 列表给出在各区间的正负； (4)确定函数的单调性. 规律方法 【练习】利用导数判断下列函数的单调性： (1) (2) 举一反三 04 课堂小结 课堂小结 函数的单调性 $