10.1.4 概率的基本性质 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.4 概率的基本性质 第十章　概率 数学 学习目标 ①通过实例,理解概率的性质. ②掌握随机事件概率的运算法则. 学习重难点 重点： 概率的运算法则及性质. 难点： 用概率的性质求解复杂事件的概率. 课堂导入 问题1：古典概型有哪些特征? 古典概型的概率是如何定义的? 复习情境 答案 一般地,若试验E具有以下特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有有限个; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等. 我们就称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点, 则定义事件A的概率P(A)=. 课堂导入 在给出指数函数的定义后,我们从定义出发研究了 指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质. 类似地,在给出了概率的定义后, 问题2：你认为可以从哪些角度研究概率的性质? 类比情境 答案 (1)概率的取值范围; (2)特殊事件的概率; (3)事件有某些特殊关系时,它们的概率之间的关系;等等. 思考1：从以下试验中你能发现概率具有哪些特点? 试验1:一个星期有7天; 试验2:4月份有31天; 试验3:抛掷一枚质地均匀的硬币,硬币落地时正面朝上. 答案 由以上试验可知:任何事件的概率都是非负的; 在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生. 探究一　概率的性质1、性质2 课堂探究 概率有以下性质: 性质1　对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 归纳新知 课堂探究 概率的非负性 思考2：一个袋子中有大小和质地完全相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”互斥,R∪G=“两次摸到的球颜色相同”. 那么,事件R,G,R∪G的概率分别是多少呢? 答案 因为n(R)=2,n(G)=2,n(R∪G)=2+2=4, 所以P(R)=P(G)=,P(R∪G)=. 因此P(R∪G)==P(R)+P(G). 探究二　概率的性质3、性质4 课堂探究 思考3：事件R与事件G有什么关系?它们的概率又有怎样的关系? 答案 事件R与事件G互斥,即R与G不含有相同的样本点, 所以n(R∪G)=n(R)+n(G),这等价于P(R∪G)=P(R)+P(G), 即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和. 探究一　概率的性质 课堂探究 R G Ω 思考4：如果事件A与事件B互为对立事件,它们的概率有什么关系? 答案 因为事件A与事件B互为对立事件,所以A∪B=Ω. 由 P(Ω) = 1可得1= P(A∪B)= P(A)+P(B), 从而P(B)=1-P(A), P(A)=1-P(B). 探究一　概率的性质 课堂探究 A B Ω 概率有以下性质: 性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况. 如果事件A1,A2,…,Am两两互斥, 那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和, 即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 归纳新知 课堂探究 互斥事件的概率加法公式 【例题1】 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A=“抽到红心”,事件B=“抽到方片”,P(A)=P(B)=那么 (1)C=“抽到红花色”,求P(C); (2)D=“抽到黑花色”,求P(D). 课堂探究 解 (1)因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以A与B是互斥事件. 根据互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(A)+P(B)=. (2)因为C与D互斥,又因为C∪D是必然事件, 所以C与D互为对立事件.因此P(D)=1－P(C)=1－. 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 归纳方法 课堂探究 注意:事件彼此互斥是公式使用的前提条件,不符合这点,就不能运用互斥事件的概率加法公式进行计算. 判断事件的互斥性 计算各互斥事件的概率 计算概率之和 【跟踪训练1】 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3,设各车主至多购买一种保险. (1)求该地的车主购买甲、乙两种保险中的一种的概率; (2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 课堂探究 解 (1)记A表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”,B表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”,C表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”; 由题意可知,P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A∪B, 所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8. 【跟踪训练1】 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3,设各车主至多购买一种保险. (1)求该地的车主购买甲、乙两种保险中的一种的概率; (2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 课堂探究 (2) 记D表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”. 因为D=, 所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2. 思考5：抛掷一枚质地均匀的骰子,设事件A=“朝上面的点数为偶数”,B=“朝上面的点数为2”,事件A与事件B是什么关系?它们的概率有什么关系? 答案 在古典概型中,对于事件A与事件B, 如果A⊆B,那么n(A)≤n(B).于是,, 即P(A)≤P(B). 探究一　概率的性质 课堂探究 思考6：一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R1∪R2=“两个球中有红球”,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗?如果不相等,请说明原因,并思考如何计算P(R1∪R2). 答案 因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10, 所以P(R1)=P(R2)=,P(R1∪R2)=. 因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠⌀,即事件R1,R2不是互斥的. 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2). 探究一　概率的性质 课堂探究 概率有以下性质: 性质5　如果事件A⊆B,那么P(A)≤P(B). 由性质5可得:对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1. 性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 归纳新知 课堂探究 概率的一般加法公式 概率的取值范围 【例题2】 甲、乙、丙、丁四人参加4×100 m接力赛,求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率. 课堂探究 解 设事件A为“甲跑第一棒”,事件B为“乙跑第四棒”,则P(A)=,P(B)=. 记甲跑第x棒,乙跑第y棒,则结果可记为(x,y),共有12种等可能结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3). 而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能,即(1,4).故P(A∩B)=. 所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=. 概率的一般加法公式的理解 概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式的区别: 在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件; 在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件. 利用概率的一般加法公式求解的关键: 正确理解P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中交事件A∩B的含义,准确求出其概率. 归纳方法 课堂探究 【跟踪训练2】 在对200家公司的最新调查中发现,40%的公司在研究广告效果,50%的公司在进行短期销售预测,而30%的公司同时开展了这两项研究.假设从这200家公司中任选一家,记事件A为“该公司在研究广告效果”,记事件B为“该公司在进行短期销售预测”,求P(A),P(B),P(A∪B). 课堂探究 解 P(A)=40%=0.4,P(B)=50%=0.5, 又已知P(A∩B)=30%=0.3, 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.5-0.3=0.6. 【例题3】 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率是多少? 课堂探究 解 (方法一)设事件A=“中奖”,事件A1=“第一罐中奖”,事件A2=“第二罐中奖”, 那么事件A1A2=“两罐都中奖”,A1=“第一罐中奖,第二罐不中奖”, A2=“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且A=A1A2∪A1A2. 因为A1A2,A1A2两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,可得 P(A)=P(A1A2)+P(A1)+P(A2). 【例题3】 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率是多少? 课堂探究 我们借助如下所示的树状图来求相应事件的样本点数. 【例题3】 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率是多少? 课堂探究 可以得到,样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30, 且每个样本点都是等可能的. 因为n(A1A2)=2,n(A1)=8,n(A2)=8, 所以P(A)=. 【例题3】 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率是多少? 课堂探究 解 (方法二)设事件A=“中奖”,事件A1=“第一罐中奖”,事件A2=“第二罐中奖”, 事件A的对立事件是“不中奖”,即“两罐都不中奖”, 由于=“两罐都不中奖”,而n()=4×3=12, 所以P()=. 因此P(A)=1－P()=1－. 概率性质的应用 化难为易：对于一个较复杂的事件，一般将其拆分为几个简单的互斥事件的和，从而可以利用互斥事件的概率加法公式求解．此方法的关键是确保各事件两两互斥(即不会同时发生). 正难则反：有些事件直接求解比较复杂，可以先求其对立事件的概率，再根据对立事件的概率公式求解．该方法尤其适用于含有“至少”“至多”“不都”等关键词的事件. 归纳方法 课堂探究 【跟踪训练3】 盒子中有12个大小质地完全相同的球,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中随机摸出1个球,求: (1)摸到红球或黑球的概率; (2)摸到红球或黑球或白球的概率. 课堂探究 解 记事件A1={摸到红球},A2={摸到黑球},A3={摸到白球},A4={摸到绿球}, 则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=. 根据题意,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥. 【跟踪训练3】 盒子中有12个大小质地完全相同的球,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中随机摸出1个球,求: (1)摸到红球或黑球的概率; (2)摸到红球或黑球或白球的概率. 课堂探究 (方法一)由互斥事件的概率加法公式,得 (1)摸到红球或黑球的概率P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=. (2)摸到红球或黑球或白球的概率 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=. 【跟踪训练3】 盒子中有12个大小质地完全相同的球,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中随机摸出1个球,求: (1)摸到红球或黑球的概率; (2)摸到红球或黑球或白球的概率. 课堂探究 (方法二)(1)摸到红球或黑球的对立事件为摸到白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以摸到红球或黑球的概率 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-. (2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-. 课堂小结 总结归纳 概率的基本性质： 性质1　对任意的事件A,都有P(A)≥0 性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 性质5　如果事件A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 课堂小结 总结归纳 多个互斥事件的概率公式： 如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An), 即彼此互斥事件和的概率等于概率和. 概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式的区别与联系： 性质6中公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)适用于一个随机试验中的任意两个事件,也适用于A,B为互斥事件的情况,因为互斥事件满足P(A∩B)=0,此时公式变为P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是互斥事件的概率加法公式. 1.在掷一枚质地均匀的骰子的游戏中，向上的点数是5或6的概率是 ( ) A. B. C. D.1 [解析] 事件“向上的点数是5”与事件“向上的点数是6”为互斥事件， 且二者发生的概率都是 ， 所以“向上的点数是5或6”的概率是 ，故选B. √ 课堂练习 32 2.已知，，如果，那么 ( ) A.0.18 B.0.42 C.0.6 D.0.7 [解析] 因为，所以 .故选C. √ 课堂练习 33 3.［2025·广东广州三中高二期中］已知， ， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由,, ， 得 .故选B. √ 课堂练习 34 4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球， 摸出红球的概率是，摸出白球的概率是 ，那么摸出黑球的概 率是( ) A.0.2 B.0.28 C.0.52 D.0.8 [解析] 设“摸出红球”为事件，“摸出白球”为事件 ，“摸出黑球”为 事件，则，， 两两互斥， 又口袋内只有三种球，则 ， 所以 .故选A. √ 课堂练习 35 5.［2025·上海浦东新区高二期末］已知,,为随机事件，与 互 斥，与互为对立事件，且，，则 ( ) A.0.06 B.0.5 C.0.6 D.0.7 [解析] 因为与互为对立事件， ， 所以， 又与 互斥，所以 .故选D. √ 课堂练习 36 6.（多选题） 下列说法中不正确的有( ) A.对立事件一定是互斥事件 B.若,为两个事件，则 C.若事件,,彼此互斥，则 D.若事件,满足，则, 是对立事件 √ √ √ 课堂练习 37 [解析] 对于A，对立事件一定是互斥事件，故A中说法正确； 对于B，当且仅当与互斥时才有 ，故B中 说法不正确； 对于C，若事件,,彼此互斥，则 ，故C中 说法不正确； 对于D，若袋中有除颜色外完全相同的红、黄、黑、蓝四种颜色的小 球各一个，从袋中任意摸出一个小球，设事件“摸到红球或黄球”， 事件 “摸到黄球或黑球”，则满足，， ，但事件与 不互斥，也不对立，故D中说法不正确. 故选 . 38 7.袋中有9个大小、形状完全相同的黑球、黄球、绿球，从中任意取 出一个球，取出黑球或黄球的概率是，取出黄球或绿球的概率是 ， 则袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是_________. 3，2，4 [解析] 记事件，，分别表示取出黑球、黄球、绿球，则， ， 为互斥事件，由题意得解得 39 ，黄球的个数是，绿球的个数是 ，即袋 中黑球、黄球、绿球的个数分别是3,2,4. 布置作业 教材第247页习题10.1第13,14题. 谢谢大家 谢谢大家 $