精品解析：安徽省合肥市合肥经济技术开发区2026年九年级质量调研检测数学试卷

2026年九年级质量调研检测 数学试卷 温馨提示： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. （ ） A. 4 B. C. D. 0.25 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，得 ． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘除法和积的乘方和幂的乘方，运用相关运算法则计算出各选项结果后再判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，故本选项不符合题意； B、，原选项计算错误，故本选项不符合题意； C、，原选项计算错误，故本选项不符合题意； D、，原选项计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 4. 安徽省2026年第一季度货物出口总额为1948亿元，其中1948亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：1948亿用科学记数法表示为：． 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，进而求出m的取值范围． 【详解】解：原方程变形得 由题意知， 解得． 6. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 6 5 4 2 请根据上表，判断下列说法正确的是( ) A. 样本为20名学生 B. 众数是4个 C. 中位数是3个 D. 平均数是3.8个 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本，中位数，众数，平均数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、样本为20名学生编织的中国结数量，说法错误，故此选项不符合题意； B、因为编织数量为3个的人数为6人，人数最多，所以众数是3个，说法错误，故此选项不符合题意； C、因为编织数量处在第10位和第11位的数量分别为4个、4个，所以中位数为4个，说法错误，故此选项不符合题意； D、因为，所以平均数为3.8个，说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了样本，中位数，众数和平均数，熟知相关定义是解题的关键． 7. 若两个实数a，b满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，求出各选项代数式的取值范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴A．，则，可能小于0，故A错误； B．由，不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ，又，两式相加得 ，即，故B正确； C．由，不等式两边同乘得，又，两式相加得 ，则可能大于2，故C错误； D．由，为负数，不等式两边同除以，不等号方向不变，得，故D错误． 8. 如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、、，交于M．得到，，从而，，，，设，则，分别求得，，，，，计算即可． 【详解】解：连接、、、，交于M． 由题可知，，， ，， ， 在圆内接正六边形中， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，，，， 故的值带有x，不能确定． 9. 已知双曲线过抛物线的顶点，点，，在该双曲线上，若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线顶点坐标，代入反比例函数得到k的值，再根据反比例函数的性质比较y的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将顶点代入，得 ∴双曲线的图像在第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小 ∵， ∴点在第三象限，可得， ∵， ∴点都在第一象限，可得， 综上． 10. 如图，在矩形中，，，点P是边上的动点，将沿翻折得到，连接，下列结论错误的是（ ）． A. 当为直角三角形时， B. C. 的最大值为 D. 线段的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】A．根据折叠的性质、矩形的性质可得，，再分、两种情况求解即可；B．利用折叠的性质以及勾股定理即可判断B选项；C．由折叠的性质、等边对等角、垂直平分线的性质可得，再利用正切的定义进行分析即可解答；D．由折叠的性质可得为定值，易得点Q的轨迹是以A为圆心、半径为4的圆的一部分．进而求得线段的最小值即可判断D选项． 【详解】解：A．∵将沿翻折得到， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴，， ∵为直角三角形， ∴分两种情况讨论直角顶点： 如图：当时，此时A、P、C共线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：； 如图：当时，则四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 综上，A选项错误，符合题意； B．∵将沿翻折得到， ∴， ∴，即B选项正确，不符合题意； C．∵将沿翻折得到， ∴，垂直平分， ∴． 设与交于点O，则， ∴， 当P在上运动时，的斜率变化，，当最小时，最大，对应的正切值最大． 当P与C重合时，，此时， ∴，即最大值为，即C选项正确，不符合题意． D． ∵将沿翻折得到， ∴为定值， ∴点Q的轨迹是以A为圆心、半径为4的圆的一部分． ∴的最小值为：，即的最小值为，故D选项正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再根据有理数减法法则计算最终结果. 【详解】解：． 12. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式． 13. 图1是某化学实验室的一个装有液体的圆底烧瓶，其底部球形的截面示意图如图2所示，液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为___________ 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用． 由垂径定理得到，设的半径为x cm，则，在中，根据勾股定理计算即可解答． 【详解】解：如图，连接， ， ， 设的半径为x cm，则， ， 在中，， 即， 解得：， 的半径为 故答案为： 14. 已知点，在函数图象上，且，，，请探究下列问题： （1）若，则与的大小关系为_________（填“”，“”或“”）； （2）若方程有3个不同的实数根时，则实数t的取值范围为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点，在函数图象上，再由二次函数的性质解答即可； （2）画出函数图象，利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴点，在函数图象上， ∵， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴该函数图象开口向下， ∴该函数图象上距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴A点横坐标离对称轴的距离大于B点横坐标离对称轴的距离， ∴； （2）由（1）得：函数的顶点坐标为， 如图， ∵方程有3个不同的实数根， ∴直线与函数图象有3个交点， 观察图象得：此时实数t的取值范围为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【解析】 【详解】解：原式 ； 当，，原式． 16. 皖南某古城文创店售卖徽墨与歙砚两种特色文创商品，已知购买2盒徽墨、1方歙砚共需130元；购买1盒徽墨、2方歙砚共需170元．某校计划购进这两种文创商品共30件，总费用不超过1800元，则最多可以购进多少方歙砚？ 【答案】最多可以购进22方歙砚 【解析】 【分析】设每盒徽墨x元，每方歙砚y元，根据购买2盒徽墨、1方歙砚共需130元；购买1盒徽墨、2方歙砚共需170元，列出方程组，求出每盒徽墨30元，每方歙砚70元，设购进歙砚m方，则徽墨盒，根据两种文创商品总费用不超过1800元，列出不等式，解不等式，求出m的取值范围，最后得出m的最大整数值即可． 【详解】解：设每盒徽墨x元，每方歙砚y元，根据题意得： ， 解得， ∴每盒徽墨30元，每方歙砚70元， 设购进歙砚m方，则徽墨盒，则： ， 解得：， 由于m为整数，故m最大值为22， 答：最多可以购进22方歙砚． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． （1）画出的重心G，并写出重心G的坐标； （2）以原点O为位似中心，将按位似比将放大得到并画出其图形； （3）填空：的面积为_________． 【答案】（1）图见解析，重心G的坐标为 （2）图见解析 （3）12 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的几何变换与计算，掌握重心的定义、位似变换以及利用网格算不规则三角形的面积是解题的关键． （1）三角形的重心是是三条中线的交点，三角形重心的坐标公式：三角形重心的横坐标是三个顶点横坐标之和的平均数，纵坐标是三个顶点纵坐标之和的平均数； （2）以原点O为位似中心，位似比为k（此处为2）的变换，对应点的坐标变为原来的k倍； （3）网格中不规则三角形面积的计算：通常采用“割补法”或“铅垂法”（即构造外接矩形，用矩形面积减去周围直角三角形面积的方法）进行计算． 【小问1详解】 解：如图，连接三条边的中线交于点G，设重心G的坐标为， 则 ， ； 【小问2详解】 解：由A，B，C的坐标分别为，，可得： 以原点O为位似中心，按位似比放大得到的坐标分别为，，，如图，在平面直角坐标系中顺次连接这三个点即可得到； 【小问3详解】 解：方法一：利用位似图形的面积等于位似比的平方， ， ； 方法二：直接计算， ． 18. 如图，某风景区为方便游客登山，在某观景台处修建一条登山索道．已知观景台到出发点构成的坡面，的坡度，于点，于点，测绘人员在观景台处测得坡底处的俯角为，测得坡顶处的仰角为．求山峰的高度（结果精确到）．参考数据：． 【答案】山峰的高度约为 【解析】 【分析】作于点，连接，由坡度的定义可计算出，容易证明四边形是矩形，则．由题意可得，，，利用三角函数可计算出，最后求和即可． 【详解】解：如图，作于点，连接， 由题意可得，，， ∵的坡度， ∴， ∴， 在中， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 答：山峰的高度约为． 五、（本大题共2小题；每小题10分，满分20分） 19. 为进一步宣传推广安徽文旅，某校开展“最想去的安徽特色景点”问卷调查，每人限选一项：黄山，九华山，寿县古城，阜阳八里河，收集数据后绘制了不完整条形统计图、扇形统计图，已知选寿县的人数占总抽取人数的． （1）本次一共抽取多少名学生？补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“九华山”对应扇形的圆心角度数； （3）甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用树状图或列表法，求两人恰好都选中安徽名山和的概率． 【答案】（1），图见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）先求出选阜阳八里河的人数所占比例，然后用人数除以其所占比例可得这次被调查的学生人数，然后求出选寿县古城人数，选九华山人数，再补全即可； （）用乘以选九华山人数所占比例即可求解； （）画出树状图可知一共有种等可能的结果，其中两人恰好都选中安徽名山和的结果有种，然后用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数：，（人）， 选寿县古城人数：（人），选九华山人数：（人）， 如图，补全条形统计图； 【小问2详解】 解：“九华山”对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中两人恰好都选中安徽名山和的结果有，共种， ∴两人恰好都选中安徽名山和的概率． 20. 如图，为直径，为上一点，平分交于，过作的切线交延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，结合角平分线的性质可得，则，由切线的性质可得，因此； （2）延长交于点，由勾股定理可得，则，容易证明，计算得，则，由平行可判定，计算得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 在中，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 【项目主题】 若一个正数可以表示为两个正整数的平方差，即，（a，b为正整数，且），则称这个数为智慧数．例如：，，，因此3，5，7均是智慧数．某思维体操数学学习小组对智慧数的分布规律展开探究． 【项目分析】 小组讨论提出四种选项的猜想： 选项 猜想 A 智慧数的分布与正整数的奇偶性有关 B 智慧数的分布与正整数是否为质数有关 C 智慧数的分布与正整数的因数个数有关 D 智慧数的分布与正整数除以4的余数有关 【项目解决】 探究多变量问题时，常用控制变量法：保持其他量不变，只改变一个量，观察结论变化． 任务一：问题筛选 （1）质数3，5是智慧数，质数2不是智慧数，由此说明猜想①_________不成立（填猜想对应的选项字母即可）； （2）奇数、偶数中既有智慧数，也存在非智慧数，仅依靠奇偶性无法判定一个数是否为智慧数，由此说明猜想②_________不成立（填猜想对应的选项字母即可）； 任务二：探究论证 由智慧数定义及平方差公式变形： 可知：与同奇、同偶，且． 按正整数除以4的余数分类探究，整理表格如下： 除以4的余数 1 2 3 0 举例 5，9 2，6，10 3，7，11 8，12，16 是否为智慧数 是 否 是 是 归纳核心规律： 形如（k为自然数）的数一定不是智慧数； 大于等于3的奇数、大于等于8的4的倍数，都是智慧数： 特例：1、4不是智慧数． （3）完成下表填空： 正整数n 13 14 15 16 是否为智慧数 是 ③_________ 是 ④_________ 任务三：项目应用 （4）计算：在这2026个正整数中，智慧数一共有⑤_________个． （5）若一个智慧数有3种不同的平方差表示方法，且满足，则满足此条件的最大智慧数为⑥_________． 【答案】（1）B （2）A （3）否，是 （4）1517 （5）99 【解析】 【分析】（1）观察4种猜想结合质数3，5是智慧数，质数2不是智慧数即可解答； （2）观察4种猜想结合奇数、偶数中既有智慧数，也存在非智慧数，仅依靠奇偶性无法判定一个数是否为智慧数即可解答； （3）根据（2）得到的核心规律求解即可； （4）根据（2）得到的核心规律列不等式求解，并结合核心规律求得非智慧数的总数，再求得智慧数的个数即可； （5）根据智慧数的定义求解即可； 【小问1详解】 解：质数 3、5 是智慧数，质数 2 不是智慧数，说明 “智慧数的分布与正整数是否为质数有关” 这一猜想B不成立． 【小问2详解】 解：奇数、偶数中既有智慧数，也存在非智慧数，仅依靠奇偶性无法判定，说明 “智慧数的分布与正整数的奇偶性有关” 这一猜想A不成立． 【小问3详解】 解：，属于非智慧数，即填“否”； ，是4的倍数且，属于智慧数，即填“是”． 【小问4详解】 解：非智慧数包括：1、4、（，且）， ，解得：，共507个（到506）． 加上1和4，非智慧数总数为：个． 所以智慧数总数：个． 【小问5详解】 解：要满足3种不同表示方法，n需有至少3组不同的分解（且a，b为正整数，）． 智慧数n的分解需满足：与同奇偶，且． ∴最大的且符合条件的数为99，即，共3种表示方法． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在菱形中，，点E在对角线上，点F、G分别在边上，且，连接，延长交于点P． （1）如图2，当A、E重合时，求证：是等边三角形； （2）如图1，若，，，求的长； （3）连接，当,时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）8 （3） 【解析】 【分析】 （1）根据菱形的性质以及已知条件可得、均为等边三角形，再结合证明可得，进而证明结论； （2）如图：在上截取，连接，易得是等边三角形，再证明可得，即；由可得，进而求得，最后利用线段的和差求解即可； （3）如图：在上截取，连接，结合（2）可得，再利用相似三角形的性质可得；设，则，，，进而得到，，，最后代入化简即可解答． 【小问1详解】 证明：在菱形中，， ，， ，均为等边三角形， ，，，即， ， ， ， ， ， 是等边三角形，即是等边三角形． 【小问2详解】 解：如图：在上截取，连接， 由（1）知是等边三角形，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 菱形 ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图：在上截取，连接， 则是等边三角形，， 由（2）知是等边三角形， ∴， 根据（2）得， ， ∴， ∴， 当时，则， ∴， 设，则， 根据（2）得， ∴， ∴，，， ． 八、（本题满分14分） 23. 若函数，在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“和谐函数”． （1）已知函数G，当时，且函数G在范围上的“和谐函数”，求a的值； （2）当时，若函数G是范围上的“和谐函数”，请求出t的值； （3）已知函数G，当时，若函数G是范围（m为正整数）上的“和谐函数”，且存在整数k，使得，直接写出a的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的特点，确定自变量取值范围内的最大值，最小值，再根据材料提示“和谐函数”的计算方法即可求解； （2）根据材料提示的“和谐函数”的运算方法，分x在对称轴左侧、右侧以及三种情况求解即可； （3）根据二次函数图像的性质，结合材料提示的“和谐函数”的运算方法，分、、三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数且， ∴抛物线开口向上，对称轴． ∵， ∴x在对称轴的右侧，且y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，； ∵： ∴，解得：． 【小问2详解】 解：∵当时，函数为， ∴抛物线开口向上，对称轴，顶点． 分三种情况讨论： ①当x在对称轴左侧，即，解得：，即y随x的增大而减小， ∴当时，；当时，； ∵： ∴，解得：； ② 当对称轴在范围内：即，解得：， 此时最小值在顶点处：，最大值在离对称轴较远的端点处． 若，即，则最大值在处：， ∵： ∴，解得：（不符题意舍去）或（不符题意舍去）； 若，即，则最大值在处：， ∵： ∴，解得：（不符题意舍去）或（不符题意舍去）； ③当x在对称轴右侧，即，此时y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，； ∵： ∴，解得：． 综上，或． 【小问3详解】 解：∵函数且，且在（m为正整数）上的“和谐函数”， ∴抛物线开口向上，对称轴． ∵， ∴①当，即，此时y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，； ∵： ∴，解得：； ∴是整数，符合题意； ②当，区间为，此时y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，； ∴无意义，即这种情况不符合题意． ③当，区间，在对称轴右侧，此时y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，； ∵： ∴，解得：； ∴是整数， 当时，，整数，此时； 当时，，整数，此时； 当时，，整数，此时； 当时，不是整数，不符合题意． 综上，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级质量调研检测 数学试卷 温馨提示： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. （ ） A. 4 B. C. D. 0.25 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 安徽省2026年第一季度货物出口总额为1948亿元，其中1948亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 6 5 4 2 请根据上表，判断下列说法正确的是( ) A. 样本为20名学生 B. 众数是4个 C. 中位数是3个 D. 平均数是3.8个 7. 若两个实数a，b满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知双曲线过抛物线的顶点，点，，在该双曲线上，若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点P是边上的动点，将沿翻折得到，连接，下列结论错误的是（ ）． A. 当为直角三角形时， B. C. 的最大值为 D. 线段的最小值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 12. 分解因式________． 13. 图1是某化学实验室的一个装有液体的圆底烧瓶，其底部球形的截面示意图如图2所示，液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为___________ 14. 已知点，在函数图象上，且，，，请探究下列问题： （1）若，则与的大小关系为_________（填“”，“”或“”）； （2）若方程有3个不同的实数根时，则实数t的取值范围为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 皖南某古城文创店售卖徽墨与歙砚两种特色文创商品，已知购买2盒徽墨、1方歙砚共需130元；购买1盒徽墨、2方歙砚共需170元．某校计划购进这两种文创商品共30件，总费用不超过1800元，则最多可以购进多少方歙砚？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． （1）画出的重心G，并写出重心G的坐标； （2）以原点O为位似中心，将按位似比将放大得到并画出其图形； （3）填空：的面积为_________． 18. 如图，某风景区为方便游客登山，在某观景台处修建一条登山索道．已知观景台到出发点构成的坡面，的坡度，于点，于点，测绘人员在观景台处测得坡底处的俯角为，测得坡顶处的仰角为．求山峰的高度（结果精确到）．参考数据：． 五、（本大题共2小题；每小题10分，满分20分） 19. 为进一步宣传推广安徽文旅，某校开展“最想去的安徽特色景点”问卷调查，每人限选一项：黄山，九华山，寿县古城，阜阳八里河，收集数据后绘制了不完整条形统计图、扇形统计图，已知选寿县的人数占总抽取人数的． （1）本次一共抽取多少名学生？补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“九华山”对应扇形的圆心角度数； （3）甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用树状图或列表法，求两人恰好都选中安徽名山和的概率． 20. 如图，为直径，为上一点，平分交于，过作的切线交延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 【项目主题】 若一个正数可以表示为两个正整数的平方差，即，（a，b为正整数，且），则称这个数为智慧数．例如：，，，因此3，5，7均是智慧数．某思维体操数学学习小组对智慧数的分布规律展开探究． 【项目分析】 小组讨论提出四种选项的猜想： 选项 猜想 A 智慧数的分布与正整数的奇偶性有关 B 智慧数的分布与正整数是否为质数有关 C 智慧数的分布与正整数的因数个数有关 D 智慧数的分布与正整数除以4的余数有关 【项目解决】 探究多变量问题时，常用控制变量法：保持其他量不变，只改变一个量，观察结论变化． 任务一：问题筛选 （1）质数3，5是智慧数，质数2不是智慧数，由此说明猜想①_________不成立（填猜想对应的选项字母即可）； （2）奇数、偶数中既有智慧数，也存在非智慧数，仅依靠奇偶性无法判定一个数是否为智慧数，由此说明猜想②_________不成立（填猜想对应的选项字母即可）； 任务二：探究论证 由智慧数定义及平方差公式变形： 可知：与同奇、同偶，且． 按正整数除以4的余数分类探究，整理表格如下： 除以4的余数 1 2 3 0 举例 5，9 2，6，10 3，7，11 8，12，16 是否为智慧数 是 否 是 是 归纳核心规律： 形如（k为自然数）的数一定不是智慧数； 大于等于3的奇数、大于等于8的4的倍数，都是智慧数： 特例：1、4不是智慧数． （3）完成下表填空： 正整数n 13 14 15 16 是否为智慧数 是 ③_________ 是 ④_________ 任务三：项目应用 （4）计算：在这2026个正整数中，智慧数一共有⑤_________个． （5）若一个智慧数有3种不同的平方差表示方法，且满足，则满足此条件的最大智慧数为⑥_________． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在菱形中，，点E在对角线上，点F、G分别在边上，且，连接，延长交于点P． （1）如图2，当A、E重合时，求证：是等边三角形； （2）如图1，若，，，求的长； （3）连接，当,时，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 若函数，在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“和谐函数”． （1）已知函数G，当时，且函数G在范围上的“和谐函数”，求a的值； （2）当时，若函数G是范围上的“和谐函数”，请求出t的值； （3）已知函数G，当时，若函数G是范围（m为正整数）上的“和谐函数”，且存在整数k，使得，直接写出a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $