精品解析：河南郑州市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

河南郑州市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 命题人：张芸芸 审题人：闫国栋 说明：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分． 2.考试时间：120分钟． 3.将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由复数的几何意义可得. 2. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助向量加法与减法法则计算即可得. 【详解】. 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则 B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 C. 梯形可确定一个平面 D. 连接圆锥顶点与下底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线 【答案】A 【解析】 【分析】举例子可判断A；利用两个底面全等的斜棱柱拼接可判断B；由平面性质可判断C；由母线定义可判断D． 【详解】对于A，当直线与平面相交时，直线上也有无数个点不在平面内，故A错误； 对于B，如图，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足条件，但该几何体不是棱柱，B正确； 对于C，梯形有一组对边平行，由平面的基本性质的推论知：梯形可确定一个平面，故C正确； 对于D，连接圆锥顶点与下底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线，D正确； 4. 如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 10米 C. 米 D. 11米 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得BC，进而在中，利用求解即可． 【详解】在中，， 则， 由正弦定理得， 所以， 在中，，所以米. 5. 已知在中，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由满足勾股定理，判断为直角三角形，三个内角可求，再利用数量积的定义求解即可. 【详解】因为,所以则，即， 又，则，即， 所以， 所以. 6. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ） A. AB与HG相交 B. AB与EF平行 C. HE与CD共面 D. EF与CD异面 【答案】D 【解析】 【详解】首先还原正方体，再根据选项判断直线与直线的位置关系． 由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. 7. 在中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示， 在边AB、AC上分别取点D、E，使， 以AD、AE为邻边作平行四边形ADFE，则，显然， 因此平行四边形ADFE为菱形，AF平分，而， 则有，即，于是得是等腰三角形， 即，而， 因此有，从而得，所以是等边三角形. 8. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（ ） A. 16 B. 22 C. 26 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为，依题意列方程组可解得，然后可得棱台体积. 【详解】由正四棱台性质可知，四棱锥的底面为正方形， 设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为， 由题知，可得，， 所以棱台的体积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若满足条件的是唯一的，则的值可以是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为， 当或时，满足条件的是唯一的. 结合选项可知，的值可以是4，8，10. 10. 已知为虚数单位，则下列选项中错误的是（ ） A. 复数是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由纯虚数的概念可判断A，由复数比较大小的定义可判断B，利用复数的几何意义可判断C，利用特值法（反例）可判断D． 【详解】对A，由是纯虚数，可得， 解得：，故A正确； 对，所以是正实数．例如：满足要求， 但虚数不能比较大小，所以不能说，故B错误． 对C，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上， 可看作单位圆上的点到点的距离， 因为圆心到的距离为， 则该单位圆上的点到点的距离最大值为，故C正确； 对D，当时，此时， 但是，可见，故D错误； 11. 已知平面向量满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得及的值，再逐项求解判断． 【详解】由，得是非零向量，且， 所以， 又所以． 对于 ， 又是非零向量，因此，故A正确； 对于B，由，得， 则，即， 当且仅当同向共线时取等号， 解，得，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 所以 的最小值为，故C错误； 对于D，由题意知，关于的方程有非负实数解，且至少有一个非负实数解， 由韦达定理知两根之积为4，而，所以两根同号，均为正， 所以两根之和，即，所以. 由得，即 解得， 而，因此，故D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为________________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出原平面图形，由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案． 【详解】如图，作出原图， 由斜二测画法，在原图中， 所以由勾股定理知， 故的周长为. 13. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念计算即可求解． 【详解】由题意知，， 所以在上的投影向量为， 即向量在向量上的投影向量的坐标为. 14. 已知中内角A、B、C满足，若在边AB，BC，CA上各取一点M、N、P，满足，则的面积的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式和正弦函数的值域推得，即得，进而推得为等边三角形，再由余弦定理求出，推出，设，利用正弦定理求出，最后借助于辅助角公式推得，最后应用面积公式求解最大值. 【详解】由和正弦定理可得， 又由余弦定理，代入上式得， 整理可得，因 所以，当且仅当时，等号成立， 又因，所以， 由，可得，即， 又因，则为等边三角形. 如图，在中，由余弦定理得， 所以，所以，从而， 设，则， 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 所以， 其中，所以AC的最大值为，当时取得最大值， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知复数满足. （1）求； （2）若是方程的一个根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数除法的运算法则求出，再根据共轭复数的概念即可求出； （2）根据实系数一元二次方程复数根的共轭性及韦达定理求出a，b，即可求出的值. 【小问1详解】 由得，所以； 【小问2详解】 若是方程的一个根， 由实系数一元二次方程复数根的共轭性可知是方程的另一根， 由韦达定理可得，解得， 所以. 16. 已知向量. （1）若，且，求向量与向量的夹角； （2）若，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答； （2）运用向量平行的坐标结论计算即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，即， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，设， 则，解得， 故或. 17. 如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值. 【答案】（1）圆柱的侧面积为，体积为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式即可求解； （2）将CE和ED转化到一个平面中，利用两点间线段最短即可求得最小值. 【小问1详解】 圆柱的底面半径r＝1，高h＝2， 圆柱的侧面积. 圆柱的体积. 【小问2详解】 将△PAC绕着PA旋转到使其与平面PAB共面，且在AB的反向延长线上. ∵，， ，， ∴在三角形中， 由余弦定理得， ∴CE＋ED的最小值等于. 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点. （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E、F，且，，设的面积为，四边形BEFC的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）由共线定理及平面向量基本定理得到方程组，解答即可； （3）根据共线定理得到，根据三角形的面积公式可得，再结合，将转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，且不共线，所以 【小问2详解】 由（1）， 又因为，即， 因为，所以， 所以 因为G、O、C三点共线，， 所以. 【小问3详解】 根据题意设，则， 由（2），所以， 因为O、E、F三点共线，所以，即 所以， 因为，所以， ， 因为，所以令， 则，故在上单调递减， 其中，所以. 19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. （1）求角的大小； （2）求边的值； （3）角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角； （2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出； （3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域． 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. 【小问3详解】 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南郑州市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 命题人：张芸芸 审题人：闫国栋 说明：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分． 2.考试时间：120分钟． 3.将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若直线上有无数个点不在平面内，则 B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 C. 梯形可确定一个平面 D. 连接圆锥顶点与下底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线 4. 如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 10米 C. 米 D. 11米 5. 已知在中，，则（ ） A. 4 B. C. D. 6. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ） A. AB与HG相交 B. AB与EF平行 C. HE与CD共面 D. EF与CD异面 7. 在中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（ ） A. 16 B. 22 C. 26 D. 28 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若满足条件的是唯一的，则的值可以是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 已知为虚数单位，则下列选项中错误的是（ ） A. 复数是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则 11. 已知平面向量满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为________________. 13. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为_______________. 14. 已知中内角A、B、C满足，若在边AB，BC，CA上各取一点M、N、P，满足，则的面积的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知复数满足. （1）求； （2）若是方程的一个根，求的值. 16. 已知向量. （1）若，且，求向量与向量的夹角； （2）若，且，求向量的坐标. 17. 如图，AB是圆柱的底面直径，AB＝2，PA是圆柱的母线且PA＝2，点C是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若AC＝1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE＋ED的最小值. 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点. （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E、F，且，，设的面积为，四边形BEFC的面积为，求的取值范围. 19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. （1）求角的大小； （2）求边的值； （3）角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $