等差数列及其前N项和 讲义-2026届高三数学二轮复习

等差数列及其前n项和 知识梳理 1．等差数列与等差中项 (1)定义： ①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； ②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝． 3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 常用结论 1．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0. 2．两个常用结论 (1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 【题型1 等差数列的基本量求解】 规律与方法 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 1．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 2．（2026·重庆·模拟预测）记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）在等差数列中，已知则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【题型2 等差数列的性质及应用】 规律与方法 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 1.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2.（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．44 B．33 C．66 D．77 3.（2026·吉林长春·三模）已知等差数列的前项和为，若与均为定值，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．50 【题型3 等差数列的前n项和性质及应用】 规律与方法 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 1.（多选 24-25高二下·广西南宁·期中）已知为数列的前项和，则下列结论成立的有（    ） A．若是等差数列， ，若，则 B．若数列为等差数列，，则 C．已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为290，所有偶数项之和为261，则 D．已知等差数列，的前n项和分别为且则＝ 2．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 3．（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 6.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 7（多选 2025·广东汕尾·一模）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型4 等差数列的单调性及最值】 规律与方法 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 1．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（    ） A．20 B．24 C．36 D．40 2．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（多选 25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 4.（多选2026·重庆渝中·二模）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 【题型5 等差数列的判定与证明】 规律与方法 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 1．数列满足. （1）求的值； （2）设，证明是等差数列. 2.已知数列满足. (1)求证：是等差数列.(2)求数列的通项公式. 【题型6 含绝对值等差数列求和】 规律与方法 含绝对值等差数列求和步骤： 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 1．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 2．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 课后作业： 1．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．9 B．16 C．25 D．36 2.（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 3.在数列中，，点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 4.（24-25高三下·青海海东·月考）已知函数，若数列满足，则是（    ） A．等差数列 B．等比数列 C．递减数列 D．常数列 5.（2025·湖北·模拟预测）已知数列，满足，对，都有成立，为数列的前n项和，则（    ） A．55 B．60 C．100 D．110 6．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知等差数列的公差d>0，若，，则公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（24-25高三下·重庆·月考）已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8.在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．2 9.（多选）已知等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，公差，则 B．若，则 C．若前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为∶，且，则公差为 D．若，，则的最小值是 10.（多选 2026·青海西宁·一模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 11．（多选 2026·广东茂名·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．当时，最大 C．当时， D．数列的最小项为 12.（2025·河南南阳·模拟预测）已知数列中，，，若，，则前10项的和为 ． 13.（2026·广东深圳·二模）已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 14.（24-25高三下·宁夏银川·模拟预测）设等差数列的前项和分别为，若，则 . 15.（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 16.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列及其前n项和 知识梳理 1．等差数列与等差中项 (1)定义： ①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； ②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝． 3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 常用结论 1．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0. 2．两个常用结论 (1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 【题型1 等差数列的基本量求解】 规律与方法 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 1．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以．故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是，所以．故选：C. 2．（2026·重庆·模拟预测）记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【难度】0.66 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求出数列的首项和公差，进而求出数列的通项公式，利用三角形边的关系列出不等式求解. 【详解】设等差数列的首项为和公差为， ，得， ，得， 解得，， 若长为的线段能构成三角形， 则，即， 解得， 又三角形的最短边，解得， 因为为正整数，所以， 故，共个值. 3．（2024·江苏盐城·模拟预测）在等差数列中，已知则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意得， ， 即，解得.故选：C. 4.（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 【题型2 等差数列的性质及应用】 规律与方法 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 1.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 2.（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．44 B．33 C．66 D．77 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为d， 因为，所以， 则.故选：D. 3.（2026·吉林长春·三模）已知等差数列的前项和为，若与均为定值，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列下标和性质可知为定值，再结合等差数列通项公式运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，则为定值，即为定值， 又因为为定值， 则，即. 4．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与是方程的两根，由韦达定理得， 因为数列为等差数列，所以，， 所以，故选：B. 5．（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．50 【答案】C 【解析】∵， 又∵， ∴，当且仅当时，取“=” ∴的最大值为25.故选：C 【题型3 等差数列的前n项和性质及应用】 规律与方法 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 1.（多选 24-25高二下·广西南宁·期中）已知为数列的前项和，则下列结论成立的有（    ） A．若是等差数列， ，若，则 B．若数列为等差数列，，则 C．已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为290，所有偶数项之和为261，则 D．已知等差数列，的前n项和分别为且则＝ 【答案】ABC 【难度】0.65 【分析】根据等差数列的定义判断A，根据等差数列求和公式判断B，根据等差数列等差中项的性质，结合等差数列求和公式判断C，利用裂项相消法求和判断D. 【详解】对对于A，设等差数列的公差为， 因为，所以，故C正确； 对于B：数列为等差数列，设公差为，则，， 又，即，化简可得， 则，，所以，故B正确； 对于C：设等差数列的所有奇数项之和为，所有偶数项之和为， 由题知， ， 两式相减，可得，故C正确； 对于D，由，可得：，故D错误. 故选：ABC 2．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【解析】由等差数列的等和性可得， .故选：C. 3．（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等差数列片段和性质知：是等差数列. 由，可设，则， 于是依次为， 所以，所以.故选：B 4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， .故选：D. 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．10 C．30 D．75 【答案】D 【难度】0.81 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【详解】设等差数列的公差为， ，， ，， . 6.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 7（多选 2025·广东汕尾·一模）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、等差数列片段和的性质及应用、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 【题型4 等差数列的单调性及最值】 规律与方法 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 1．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（    ） A．20 B．24 C．36 D．40 【答案】C 【解析】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列， 显然，而，且，解得，则， ，由，得， 因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数， 所以的最大值为.故选：C. 2．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.73 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】根据等差数列前项和最值的性质，建立不等式解出即可. 【详解】因为是中的唯一最大项，所以且， 即且，又，解得， 即的取值范围为． 3.（多选 25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 【答案】AB 【难度】0.65 【分析】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用等差数列求和公式计算即可得B；利用等差数列性质及等差数列求和公式计算可得C、D. 【详解】对A：，故，故A正确； 对B：，故的公差为， 故， 则，故B正确； 对C：由，故，当时，，当时，， 故当或时，最大，故C错误； 对D：当时，，当时，， 又，故， 则当时，，当时，， 故满足的最大整数为，故D错误. 故选：AB. 4.（多选2026·重庆渝中·二模）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 【答案】AD 【难度】0.7 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列的单调性、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 所以，，故C错误，D正确． 【题型5 等差数列的判定与证明】 规律与方法 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 1．数列满足. （1）求的值； （2）设，证明是等差数列. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）数列满足 所以， （2）∵，∴为等差数列. 2.已知数列满足. (1)求证：是等差数列.(2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析(2) （2）根据等差数列的通项即可求解. 【详解】（1）为常数，所以为公差为的等差数列， （2）由于为公差为的等差数列，且首项为，所以，所以 【题型6 含绝对值等差数列求和】 规律与方法 含绝对值等差数列求和步骤： 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 1．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为，令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 2．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设的公差为，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去），， 所以经检验满足题意. （2）依题意得，，， 其前项和， 当时，，， 故， 当时，， 故 所以. 综上所述：. 课后作业： 1．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．9 B．16 C．25 D．36 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d， 则由题可得，解得， 所以．故选：C． 2.（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 3.在数列中，，点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，点在直线上， 则，即， 可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 所以. 故选：C. 4.（24-25高三下·青海海东·月考）已知函数，若数列满足，则是（    ） A．等差数列 B．等比数列 C．递减数列 D．常数列 【答案】A 【解析】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以，，所以是等差数列.故选：A. 5.（2025·湖北·模拟预测）已知数列，满足，对，都有成立，为数列的前n项和，则（    ） A．55 B．60 C．100 D．110 【答案】D 【详解】当时，得到，所以是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，因为，所以，所以. 故选：D. 6．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知等差数列的公差d>0，若，，则公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】已知等差数列的公差，若，则， 又因为，解得或， 由于公差，因此，则，故B正确. 7．（24-25高三下·重庆·月考）已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为等差数列，且， 由等差数列的性质得，所以， 所以， 故.故选：C 8.在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】由题意，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立． 故选：B． 9.（多选）已知等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，公差，则 B．若，则 C．若前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为∶，且，则公差为 D．若，，则的最小值是 【答案】ACD 【难度】0.65 【分析】对于A：由为等差数列，且，，得，再由等差数列的前项和，即可判断A是否正确； 对于B：由为等差数列，得，，，为等差数列，设，由，得，进而可得，即可判断B是否正确； 对于C：根据题意可得奇数项的和为，偶数项的和为，进而可得，设，，由，解得，即可判断C是否正确； 对于D：由为等差数列，且，得，当，，，，时，，当时，，即可判断D是否正确． 【详解】对于A：因为为等差数列，且，，所以，， 所以，故A正确； 对于B：因为为等差数列，所以，，，为等差数列， 设，由，得， 所以，，，为等差数列，所以，， 所以，故B错误； 对于C：奇数项的和为， 偶数项的和为， 因为前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为∶，所以， 设，， 因为，所以，即， 所以，所以， 所以等差数列的公差为，故C正确； 对于D：因为为等差数列，且，则 所以，即， 所以当，，，，时，；当时，， 所以的最小值为，故D正确， 故选：ACD． 10.（多选 2026·青海西宁·一模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则公差可能为1 C．若，则当且仅当时，取得最小值 D．若数列是递增数列，则的取值范围是 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数、求等差数列前n项和的最值、由前n项和判断数列是否是等差数列、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 因为当时，，所以若为等差数列，则的公差为2，故B错误； 若，则，当时，， 所以，，，又当时，，所以当且仅当时取得最小值，故C正确； 当时，， 故数列为递增数列等价于对任意的，恒成立， 即，可得，故D错误． 11．（多选 2026·广东茂名·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．当时，最大 C．当时， D．数列的最小项为 【答案】BCD 【难度】0.51 【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用等差数列的性质计算、确定数列中的最大（小）项 【分析】根据题意可判断，，，据此结合等差数列的性质判断各项即可． 【详解】因为，即． 因为，所以的公差小于零， 则，，则，故，A错误； 因为当时，，且当时，，则当时，最大，B正确； 因为，，， 所以，，C正确； 因为当时，，且当时，， 所以当时，，此时． 又因当时，最小，且时，单调递减， 所以数列的最大值为，故数列的最小项为，所以D正确． 12.（2025·河南南阳·模拟预测）已知数列中，，，若，，则前10项的和为 ． 【答案】10 【解析】若，，则， 则数列为等差数列，设公差为， 由，可得，则， 所以， 则前10项的和为. 13.（2026·广东深圳·二模）已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 【答案】260（均可） 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据为的最大值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且是前项和的最大值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式可得： ， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 14.（24-25高三下·宁夏银川·模拟预测）设等差数列的前项和分别为，若，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 15.（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，， ，， ， ，则，， ，又， ，. （2）由（1）得，， 当时，， 当时， ， . 16.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn. 解：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k. 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. (2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $