精品解析：河南南阳市内乡县2026年春期期中七年级数学巩固与练习

2026年春期期中七年级数学巩固与练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1. “a的5倍与3的和不超过”列出的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据a的5倍与3的和，列式为5a+3，再根据不超过，则是小于或等于-3，即可列出不等式5a+3≤-3． 【详解】解：由题意，得5a+3≤-3， 故选：B． 【点睛】本题考查列不等式，掌握“不超过”即是“≤”是解题的关键． 2. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的步骤计算求解即可． 【详解】， 去括号，得， 移项，得， 合并，化系数为1，得， 故选D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 3. 解方程：，去分母后，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 方程两边同时乘以，整理作答即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 故选：B． 4. 不等式组的解集在数轴上表示如图，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用数轴确定不等式组的解集；根据数轴可直接得出答案． 【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集是． 故选：A． 5. 等式就像平衡的天平，下列选项能刻画如图事实的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，关键是结合天平操作判断对应的等式变形规则．观察图形可知，初始天平平衡代表，后续天平两边同时移除相同的砝码，对应等式两边同时减去同一个数，这符合等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立． 【详解】解：观察图形，左边平衡的天平表示，右边天平是在两边同时加上一个相同的砝码，相当于等式两边同时加上同一个数，根据等式的性质1，等式两边同时加上(或减去)同一个数，等式仍然成立； 选项A是对等式两边平方，与图示操作无关； 选项B是等式两边乘同一个数，不符合图示的减法操作； 选项C是等式两边除以同一个不为0的数，也不符合图示； 选项D“若，则”体现了等式性质1中“同时加同一个数”的规则，和图示中“同时减同一个数”属于同一性质范畴． 故选：D． 6. 某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 7. 下列不等式变形正确的是( ) A. 由，得 B. 由，且，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】A． 由，若c＜0，得，故本选项不一定正确； B． 由，且，若m＜0，得，故本选项不一定正确； C． 由，若z=0，得，故本选项不一定正确； D． 由，可得z≠0，，将不等式的两边同时除以，得，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是不等式的变形，掌握不等式的基本性质是解决此题的关键． 8. 如图，小明从一张正方形纸片上剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原来正方形纸片的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据图形正确列方程是解题关键．原来正方形纸片的边长为，根据“两次剪下的长条面积正好相等”，列方程求解即可． 【详解】解：原来正方形纸片的边长为， 则， 解得：， 即原来正方形纸片的面积为， 故选：D． 9. 将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（　　） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 【答案】A 【解析】 【分析】设可以兑换张5元的零钱，张2元的零钱，根据零钱的总和为50元，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论． 【详解】解：设可以兑换张5元的零钱，张2元的零钱， 依题意，得：， ． ，均为正整数， 当时，；当时，；当时，；当时，． 共有4种兑换方案． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 10. 某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的部分信息，根据其中的数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（ ） 书名 数量/本 单价/（元/本） 金额/元 《假如给我三天光明》 5 50 250 《爱的教育》 ■ 30 ■ 《边城》 ■ 25 ■ 合计 30 950 A. 12本，13本 B. 13本，12本 C. 15本，10本 D. 10本，15本 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设购买《爱的教育》《边城》的数量分别为本和本，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设购买《爱的教育》《边城》的数量分别为本和本，由题意，得： ，解得：， 答：购买《爱的教育》《边城》的数量分别为本和本； 故选C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 【详解】解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 12. 现规定一种运算：，如，则方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的新运算，再根据规则列出一元一次方程求解即可. 【详解】解：∵ ， 代入原方程得：， 再根据规定的运算法则整理方程得：， 移项得：， 系数化为得：. 13. 已知不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组无解情况． 先求出两不等式的解集，再根据不等式组无解判断即可． 【详解】解：， 解①得：； 解②得：； ∴ ∵不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，那么这个队胜了______场． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据总场数与负场数确定胜场与平场的总场数，再设未知数，根据总得分列出一元一次方程求解即可. 【详解】解：设这个队胜了场， 由题意得，总比赛9场，负2场，因此平的场数为场， 根据得分规则，总得分满足方程 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得. ∴这个队胜了场． 15. 多项式和（，为实数，且）的值随的取值不同而不同，如表是当取不 同值时多项式对应的值 ，则关于的方程的解是________． 1 2 3 4 -2 -1 0 1 1 -1 -3 -5 【答案】x=2 【解析】 【分析】根据表格确定出方程-mx＋n＝2mx-n的解即可． 【详解】解：当x＝2时，mx-n＝-1， 当x＝2时，-2mx＋n＝-1， 则关于x的方程-mx＋n＝2mx-n的解是x＝2， 故答案为：x＝2． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 三、解答题 16. 解下列方程（组）： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程即可. （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可. 【小问1详解】 解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为. 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得： 整理得：， ∴. 17. 解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为；整数解为-1、0、1、2； 【解析】 【分析】分别解不等式，求解集的公共部分，再找出整数解即可； 【详解】解∶由得： ， ， 由得： ， ， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为-1、0、1、2； 【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 18. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个一元一次方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”求的值． 【答案】23 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和“美好方程”的定义．先分别求出两个方程的解，然后根据解之和为0列出方程求解k． 【详解】解：解得； 解得； ∵两个方程是“美好方程”， ∴解之和为0， 即， 解得：． 19. 延时课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： （1）按照小云的方法，的值为_____，的值为_____． （2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把方程①＋②，利用整体未知数再建立一元一次方程即可． 【小问1详解】 解： 得到， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 故答案为： 【小问2详解】 ， ①＋②得到， 即， ∵③， ∴， 解得：． 20. 【问题情景】 已知关于的二元一次方程组，在解该方程组时，小明把方程①抄错了，得到的解是；小亮把方程②抄错了，得到的解是． 根据以上信息，如何才能得到原方程组？原方程组的正确解是什么？ 【解决问题】 （1）请阅读下面解答过程，并将解答过程补充完善． 解：小明把方程①抄错了，他得到的解满足方程②， 把小明得到的解代入方程②，得___________③， 小亮把方程②抄错了，他得到的解满足方程①， 把小亮得到的解代入方程①，得___________④， 由方程③和④建立方程组，得___________， 解这个方程组，得___________， 原方程组为__________． （2）请你写出原方程组的解答过程． 【答案】（1），，，， （2） 【解析】 【分析】（）根据题意补充解答过程即可； （）利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小明把方程①抄错了，他得到的解满足方程②， 把小明得到的解代入方程②，得③， 小亮把方程②抄错了，他得到的解满足方程①， 把小亮得到的解代入方程①，得， 由方程③和④建立方程组，得， 解这个方程组，得， 原方程组为， 故答案为：，，，，； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 21. 小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程可化为【A】 去分母，得【B】 去括号，得【C】 移项，得【D】 合并同类项，得【E】 系数化为1，得【F】 （1）他错在哪一步？_____（请填后面的大写字母代号），错误的原因是_____； （2）步骤【A】的变形依据是_____；步骤【B】的变形依据是_____； （3）请你帮助写出正确求解过程． 【答案】（1）D；移项时忘了变号 （2）分数的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的数，分数的值不变；等式两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式（方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变） （3），正确求解过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据移项要改变符号可得答案； （2）根据分数的基本性质，等式的基本性质2可得答案； （3）把方程化为，再去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可. 【小问1详解】 解：他错在哪一步，D（请填后面的大写字母代号），错误的原因是移项时忘了变号； 【小问2详解】 解：步骤【A】的变形依据是分数的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的数，分数的值不变； 步骤【B】的变形依据是等式两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式； 【小问3详解】 解：原方程即， 去分母，得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 22. 【问题情景】内乡县作为“中国核桃之乡”，依托得天独厚的自然条件，核桃种植规模已达10.8万亩，核桃产业成为带动乡村振兴、促进农户增收的核心支柱产业．某农产品深加工企业一次性收购了23吨优质内乡核桃，经市场调研测算，若直接销售，每吨可获利500元；若经过粗加工（提取核桃油、制作核桃干果），每吨可获利2500元；若经过精加工（开发核桃酥、核桃蛋白粉等高端产品），每吨可获利4000元．该企业现有加工能力有限，每天只能开展一种加工模式：单日可粗加工4吨，或单日可精加工1.5吨，且同一天无法同时开展两种加工．为保障产业效益，企业需在7天内完成全部23吨核桃的加工或销售，为此制定了三种运营方案：①全部进行粗加工并包装；②尽可能多地精加工，剩余部分直接销售；③部分核桃精加工，其余粗加工，且恰好7天完成全部加工任务． 【解决问题】请根据以上信息，解答下列问题： （1）若选择方案①，求该企业最终可获得的总利润； （2）请通过计算分析，为该企业选择最优方案，即哪种方案能实现利润最大化，并说明具体理由． 【答案】（1）若选择方案①，该公司所得的利润为57500元 （2）选择第③种方案能使公司利润最大化，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出方案②的利润，当选择方案③时，设进行粗加工并包装天，进行精加工并包装天，列出二元一次方程组，继而求出方案③的利润，再比较即可． 【小问1详解】 解：（元）． 答：若选择方案①，该公司所得的利润为57500元． 【小问2详解】 解：当选择方案②时，由题意得，进行7天精加工，余下的直接销售． 则精加工的数量为，直接销售的数量为． ∴此时的利润为：（元）． 当选择方案③时，设进行精加工x天，进行粗加工y天，由题意得 ， 解得， ∴此时的利润为：（元）． 由（1）知，当选择方案①时，利润为57500元， ∵， ∴选择第③种方案能使公司利润最大化． 23. 【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． （1）若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ （2）现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． （3）请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 【答案】（1）两人合作需要天完成全部广告牌 （2）师傅和徒弟应分得的报酬金额各为225元 （3）师傅与徒弟合作先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 【解析】 【分析】（1）设两人合作需要x天完成，由题意得： ，进一步求解即可； （2）设两人合作还需y天完成，由题意得： ，再进一步求解即可； （3）设置合理问题即可. 【小问1详解】 解：设两人合作需要x天完成，由题意得： ， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：两人合作需要天完成． 【小问2详解】 解：设两人合作还需y天完成，由题意得： ， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 师傅的工作量为，徒弟的工作量为，因为师傅和徒弟的工作量相同，所以报酬也相同，每人应得元． 答：师傅和徒弟各得225元． 【小问3详解】 解：（问题不唯一） 如：师傅与徒弟先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 解：设徒弟还需m天完成，由题意得： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期期中七年级数学巩固与练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1. “a的5倍与3的和不超过”列出的不等式是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 3. 解方程：，去分母后，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示如图，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 等式就像平衡的天平，下列选项能刻画如图事实的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列不等式变形正确的是( ) A. 由，得 B. 由，且，得 C. 由，得 D. 由，得 8. 如图，小明从一张正方形纸片上剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原来正方形纸片的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（　　） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 10. 某爱心组织开展图书捐赠活动，以教育助力乡村振兴，下表是本次购买图书的部分信息，根据其中的数据求出购买《爱的教育》《边城》的数量分别为（ ） 书名 数量/本 单价/（元/本） 金额/元 《假如给我三天光明》 5 50 250 《爱的教育》 ■ 30 ■ 《边城》 ■ 25 ■ 合计 30 950 A. 12本，13本 B. 13本，12本 C. 15本，10本 D. 10本，15本 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 写出一个解为的二元一次方程组________． 12. 现规定一种运算：，如，则方程的解为_____． 13. 已知不等式组无解，则的取值范围是______． 14. 暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，那么这个队胜了______场． 15. 多项式和（，为实数，且）的值随的取值不同而不同，如表是当取不 同值时多项式对应的值 ，则关于的方程的解是________． 1 2 3 4 -2 -1 0 1 1 -1 -3 -5 三、解答题 16. 解下列方程（组）： （1） （2）． 17. 解不等式组：，并写出它的整数解． 18. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个一元一次方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”求的值． 19. 延时课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 请结合他们的对话，解答下列问题： （1）按照小云的方法，的值为_____，的值为_____． （2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 20. 【问题情景】 已知关于的二元一次方程组，在解该方程组时，小明把方程①抄错了，得到的解是；小亮把方程②抄错了，得到的解是． 根据以上信息，如何才能得到原方程组？原方程组的正确解是什么？ 【解决问题】 （1）请阅读下面解答过程，并将解答过程补充完善． 解：小明把方程①抄错了，他得到的解满足方程②， 把小明得到的解代入方程②，得___________③， 小亮把方程②抄错了，他得到的解满足方程①， 把小亮得到的解代入方程①，得___________④， 由方程③和④建立方程组，得___________， 解这个方程组，得___________， 原方程组为__________． （2）请你写出原方程组的解答过程． 21. 小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程可化为【A】 去分母，得【B】 去括号，得【C】 移项，得【D】 合并同类项，得【E】 系数化为1，得【F】 （1）他错在哪一步？_____（请填后面的大写字母代号），错误的原因是_____； （2）步骤【A】的变形依据是_____；步骤【B】的变形依据是_____； （3）请你帮助写出正确求解过程． 22. 【问题情景】内乡县作为“中国核桃之乡”，依托得天独厚的自然条件，核桃种植规模已达10.8万亩，核桃产业成为带动乡村振兴、促进农户增收的核心支柱产业．某农产品深加工企业一次性收购了23吨优质内乡核桃，经市场调研测算，若直接销售，每吨可获利500元；若经过粗加工（提取核桃油、制作核桃干果），每吨可获利2500元；若经过精加工（开发核桃酥、核桃蛋白粉等高端产品），每吨可获利4000元．该企业现有加工能力有限，每天只能开展一种加工模式：单日可粗加工4吨，或单日可精加工1.5吨，且同一天无法同时开展两种加工．为保障产业效益，企业需在7天内完成全部23吨核桃的加工或销售，为此制定了三种运营方案：①全部进行粗加工并包装；②尽可能多地精加工，剩余部分直接销售；③部分核桃精加工，其余粗加工，且恰好7天完成全部加工任务． 【解决问题】请根据以上信息，解答下列问题： （1）若选择方案①，求该企业最终可获得的总利润； （2）请通过计算分析，为该企业选择最优方案，即哪种方案能实现利润最大化，并说明具体理由． 23. 【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． （1）若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ （2）现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． （3）请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $