精品解析：山东济宁市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试题

2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名和准考证号，然后用黑色签字笔将本人的姓名、座号和准考证号填写在答题卡相应位置． 2．作答选择题时，用2B铅笔将正确选项填涂在答题卡相应位置．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由求导得：，则. 2. 甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【详解】先对甲进行排序，有3种不同的选择， 再对其他3人进行全排列，有种不同方法， 则一共有种不同名次排列. 3. 小李打算周末去游玩，去地与地的概率分别为，在地去徒步爬山的概率为，在地去徒步爬山的概率为，则小李去徒步爬山的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过定义相关事件，利用全概率公式，将不同游玩地点的先验概率与对应条件下徒步爬山的条件概率结合，计算得到总概率. 【详解】设事件为“小李去地游玩”，事件为“小李去地游玩”，事件为“小李去徒步爬山”. 由题意得 ，，，. 根据全概率公式可得： . 4. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则下列选项正确的为（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 在处取得最大值 D. 有个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断AC选项；利用函数的极值与导数的关系可判断BD选项. 【详解】对于A选项，当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以函数在上不单调，A错； 对于B选项，当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，B错； 对于C选项，函数在上单调递增，函数在处不取得最大值，C错； 对于D选项，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 极小值 增 所以函数有个极值点，D对. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对立事件的概率公式得到，再由条件概率公式可得. 【详解】由，则，， 所以. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为在上恒成立，由此可求结论. 【详解】函数求导得， 已知在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则是极小值点， ，， 在的上确界为3， ． 7. 随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据得到，再由求解. 【详解】因为随机变量的可能取值为0，1，2，且， 所以， ，又因为， 所以. 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解. 【详解】令，依题意，． 函数在上单调递增． 对，不等式恒成立， , 即， ． 当时，， 则， 则；； 故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值， ． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，其各项的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 的系数是240 C. 二项式系数最大的项为 D. 各项的系数和为1 【答案】ABD 【解析】 【详解】根据二项式性质，展开式的所有二项式系数和为， 所以由题意可得，解得，故A正确； 展开式的通项公式为： ， 要得到，令，得，所以的系数为： ，故B正确； 因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间第4项， 代入通项得： ，故C错误； 求展开式各项系数和，令代入原式得： ，即各项系数和为，故D正确. 10. 一袋中装有大小相同、质地均匀的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ） A. 从中不放回的取2个球，每次取1个球，第二次取到红球的概率为 B. 从中有放回的取球9次，每次取1球，则取到红球次数的方差为6 C. 从中取2个球，已知有红球的情况下，两个都是红球的概率为 D. 从中取3个球，恰有两个红球的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件概率公式以及全概率公式即可判断A；根据二项分布的公式计算即可判断B；根据条件概率公式即可判断C；根据古典概型即可判断D． 【详解】对于A选项，设为“第一次取到红球”，为“第一次取到白球”，为“第二次取到红球”， 所以，， 所以在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为， 在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为， 由全概率公式，第二次取到红球的概率为 ，故A正确； 对于B选项，每次取到红球的概率为，取球9次，取到红球的次数服从二项分布， 即，其中，， 二项分布的方差公式为，故B错误； 对于C选项，设事件为“取出的2个球中至少有一个红球”， 事件为“取出的2个球都是红球”， 从6个球中任取2个球的总组合数为，事件的组合数为， 事件的对立事件是“两个都是白球”， 两个都是白球的组合数为，所以事件的组合数为14， 因为事件发生必然意味着事件发生， 所以，，故C正确； 对于D选项，从6个球中任取3个球的总组合数为， 恰好两个红球意味着取了2个红球和1个白球， 取2个红球的组合数为，取1个白球的组合数为， 恰有两个红球的组合数为， 所求概率为，故D错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若函数有两个不同零点，则 C. 若恒成立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对每个选项分别构造对应函数，通过求导分析函数的单调性、极值与最值，结合函数值的符号判断不等式是否恒成立，从而确定正确选项. 【详解】对于A：，即， 令函数，则， 当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以当时，取得极小值也是最小值，所以， 即，即，故选项A正确； 对于B：函数的定义域为， 令， 令， 当时，，在上单调递减； 当时，， 在上单调递增， 当时，取得极大值也是最大值，所以， 当时，，当时，， 函数的图象如下图所示： 因为函数有两个不同零点， 所以直线与函数的图象有两个不同的交点， 因此，所以本选项说法不正确； 对于C：因为，即， 令，则， 令得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数的最小值是， 若恒成立，则，设， 则由，得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，取最大值为，即， 所以不等式的解为， 则不等式的解为，可得，故选项C正确； 对于D：因为单调递增，，所以， 记， 因为函数和在是增函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以在上必定存在唯一一个零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， 所以， 所以， 所以， 所以，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】将五名同学分为两组，再将分好的两组同学分配到两个不同的社团中即可. 【详解】将五名同学分为两组，一组2人，一组3人，有种， 再将这两组同学分配到两个不同的社团中，有种分配方式， 则总的分配方案有种. 13. 随机变量,且,则___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据期望的性质和二项分布的期望公式计算即可得解. 【详解】解：由数学期望的性质可得， 解得， 由二项分布的期望公式可得：， 所以. 故答案为：6. 14. 已知函数，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域，对不等式进行化简，构造函数，再根据函数导数判定函数单调性，求出函数最值，根据不等式求出参数范围. 【详解】可知函数定义域为，所以恒成立，等价于在恒成立， 等价于在恒成立， 设函数，可知， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在时，取得最小值，即时，， 设函数，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在时，取得最大值，即时，， 所以恒成立， 当时，即成立， 所以，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且满足． （1）求的值； （2）求其展开式中的常数项． 【答案】（1） （2）672 【解析】 【分析】（1）利用组合数公式即可求解； （2）利用二项式定理的通项公式即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 解得（舍）或，故； 【小问2详解】 有二项式定理得其展开式的通项为， 令，解得， 所以常数项为. 16. 老师要从7篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，至少要背出其中两篇才能及格．若某位同学只会背诵其中的4篇． （1）求抽到他会背诵的课文数量的分布列和均值； （2）求他能及格的概率． 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （2）根据互斥事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 抽到该生会背诵的课文数量的可能取值有0，1，2，3，则 ， ， ， ， 0 1 2 3 则； 【小问2详解】 ， 即这位同学能及格的概率为. 17. 已知函数，当时取得极小值0． （1）求的值； （2）求在的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为2，最小值为0 【解析】 【分析】（1）先对进行求导，再根据题意列式求解即可； （2）利用导数判断函数的单调性即可求出最大值和最小值． 【小问1详解】 ， 由取得极小值0，可知，即， 由时取得极小值，可知，即， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 令，得，或， 2 （2，3） + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当时，有极大值； 所以当时，有极小值0； 又因为， 所以的最大值为2，最小值为0. 18. 甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． （1）求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； （2）记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； （3）若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解； （2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解； （3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出. 【小问1详解】 记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . 【小问2详解】 一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. 【小问3详解】 甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线为，求、； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数存在极值点，且有两个不相等的零点、，证明：． 【答案】（1）， （2）当时，的减区间为；当时，的增区间为，减区间为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，解之即可； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）利用分析法可知，要证，即证，即证，分析函数的单调性，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意， 由曲线在点处的切线为， 可知，解得. 【小问2详解】 易知的定义域为， 当时，，所以的减区间为，无增区间； 当时，令，得， 由可得，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为. 综上：当时，的减区间为； 当时，的增区间为，减区间为. 【小问3详解】 由（2）知，且需满足，， 要证，即证，即证， 因为，所以， 由在上为减函数，只需证， 由，即证， 令， 则 ， 由，得，，所以， 所以在上为增函数，所以， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名和准考证号，然后用黑色签字笔将本人的姓名、座号和准考证号填写在答题卡相应位置． 2．作答选择题时，用2B铅笔将正确选项填涂在答题卡相应位置．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 3. 小李打算周末去游玩，去地与地的概率分别为，在地去徒步爬山的概率为，在地去徒步爬山的概率为，则小李去徒步爬山的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则下列选项正确的为（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 在处取得最大值 D. 有个极值点 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，其各项的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 的系数是240 C. 二项式系数最大的项为 D. 各项的系数和为1 10. 一袋中装有大小相同、质地均匀的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ） A. 从中不放回的取2个球，每次取1个球，第二次取到红球的概率为 B. 从中有放回的取球9次，每次取1球，则取到红球次数的方差为6 C. 从中取2个球，已知有红球的情况下，两个都是红球的概率为 D. 从中取3个球，恰有两个红球的概率是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若函数有两个不同零点，则 C. 若恒成立，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为___________． 13. 随机变量,且,则___________. 14. 已知函数，若，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且满足． （1）求的值； （2）求其展开式中的常数项． 16. 老师要从7篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，至少要背出其中两篇才能及格．若某位同学只会背诵其中的4篇． （1）求抽到他会背诵的课文数量的分布列和均值； （2）求他能及格的概率． 17. 已知函数，当时取得极小值0． （1）求的值； （2）求在的最大值和最小值． 18. 甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． （1）求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； （2）记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； （3）若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线为，求、； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数存在极值点，且有两个不相等的零点、，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $