10.5分式方程（第3课时+用分式方程解决问题）（课件）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

10.5 分式方程 第3课时 用分式方程解决问题 第十章 分式 教学目标 1.会列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理. 2.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，发展模型观念，提升分析问题、解决问题的能力. 同学们，我们先一起来回顾两个问题，检验一下大家上一节课的学习成果：第一，什么是分式方程？第二，我们如何解分式方程？ 我们学会了解分式方程，它能帮我们解决什么实际问题呢？ 今天，我们就带着这个疑问，一起学习用分式方程解决实际问题，把我们学到的知识运用到实际中去。 大家已经掌握了分式方程的定义和解法，知道解分式方程的关键是去分母转化为整式方程，并且一定要检验，避免增根。 分母中含有未知数的方程叫作分式方程 步骤：去分母 → 解整式方程 → 代入最简公分母检验 → 写出最终结论。 情境设计 情境1　刘大妈在超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元．几天后，大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40 kg．这种大米的原价是多少？ 解：设这种大米的原价为x元/kg． 项　目 第一次 第二次 单价（元/kg） x 0.8x 数量/kg 总价/元 105 140 等量关系：第一次购买的数量＋第二次购买的数量＝40 kg 解：设这种大米的原价为x元/kg． 根据题意，得 解这个方程，得　x＝7． 经检验，x＝7是所列方程的解． 答：这种大米的原价为7元/kg． 情境设计 情境1　刘大妈在超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元．几天后，大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40 kg．这种大米的原价是多少？ 典例分析 例4 刘大妈在超市购买大米．第一次按原价购买，用了105元．几天 后，大米 8 折出售，她用 140 元又买了一些，两次一共购买了 40 kg．这种大米的原价是多少？ 解：设这种大米的原价为x元/kg． 根据题意，得 ＝40． 解这个方程，得 x＝7． 经检验，x＝7是所列方程的解，且符合题意． 答：这种大米的原价为7元/kg． 等量关系：第一次购买的质量＋第二次购买的质量＝40． 典例分析 例5 某校师生到离学校15km处参加义务植树活动，部分师生骑自行车 出发，40min后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的 3倍，全体师生同时到达，分别求自行车与汽车的平均速度． 等量关系：自行车行驶时间＝汽车行驶时间＋40min． 解：设自行车的平均速度为x km/h． 根据题意，得 ＝ ＋． 解这个方程，得 x＝15． 经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意． 答：自行车的平均速度是15 km/h，汽车的平均速度是45 km/h． 列分式方程解决实际问题的一般步骤： 审清题意 设未知数 找等量关系 列出分式方程 解分式方程 验根 是否是原分式方程的根 是否符合题意 写出答案 参见解分式方程的一般步骤 注意：检验是分式方程不可缺少的步骤，既要检验是不是所列方程的解，又要检验是否符合问题的实际意义. 情境2　某校师生到离学校15 km处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，40 min后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达．分别求自行车与汽车的平均速度． 解：设自行车的平均速度为 x km/h． 项　目 骑自行车师生 乘汽车师生 速度（km/h） x 3x 时间/min 路程/km 15 15 等量关系：骑自行车师生所花时间－汽车所花时间＝40min 情境设计 新知归纳 列分式方程解应用题的步骤： (1) 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量． (2) 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性． (3) 列：根据相等关系列出分式方程． (4) 解：解所列的分式方程． (5) 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，还要检验是否符合实际意义． (6) 答：写出答案． 讨论交流 某条高速铁路干线上的甲、乙两地相距约 700 km，“复兴号”动车组列车的速度约为普通动车组列车的1.75倍．已知从甲地到乙地的“复兴号”动车组列车比普通动车组列车少用1.5h． 如何分别求出普通动车组列车和“复兴号”动车组列车的平均速度？ 解：设普通动车组列车的平均速度为 x km/h，则“复兴号”动车组列车的 平均速度为1.75x km/h． 根据题意，可列出方程： ＝1.5． 解这个方程，得 x＝15． 经检验，x＝200是原分式方程的解． “复兴号”动车组列车的平均速度为1.75x＝1.75×200＝350(km/h)． 答：普通动车组列车的平均速度为200km/h，“复兴号”动车组列车的平均 速度为350km/h． 情境2 某校师生到离学校15 km处参加义务植树活动，部分师生骑自行车出发，40 min后，其余师生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体师生同时到达．分别求自行车与汽车的平均速度． 解：设自行车的平均速度为 x km/h，则汽车的平均速度为3x km/h． 根据题意，得 解这个方程，得　x＝15． 经检验，x ＝15是所列方程的解． 且自行车速度15 km/h，汽车速度45 km/h，符合实际行程问题的速度范围． 答：自行车的平均速度为15 km/h，汽车的平均速度是45 km/h． 情境设计 基础巩固题 知识点1 列分式方程解应用题的步骤 1.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按 要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答. 一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时 后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求汽车原计划的行驶速度. 设汽车原计划的行驶速度为 千米/时. （1）用含 的代数式完成下面的填空： ①若一直按原计划的速度匀速行驶，从出发地到目的地行驶的时间为_ ___小时. 【解析】路程为180千米，速度为千米/时，则行驶时间为小时，故答案为 . ②出发一小时后，距离目的地__________千米. 【解析】一小时行驶千米，出发一小时后，距离目的地 千米,故答案为 . ③汽车以原来速度的1.5倍匀速行驶的时间为_ _____小时. 【解析】路程为千米，速度为千米/时，行驶时间为 小时，故答案为 . （2）列出方程，并完成此题的解答. 【解】40分 小时.根据题意，得 ，解得 .检验：当时， , 是所列分式方程的解，且符合题意.答：汽车原计划的行驶速度为60千米/时. 情境3　小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？ 解：设软面笔记本每本x 元，则硬面笔记本每本(x＋1.2)元． 根据题意，得 解这个方程，得　x＝1.6． 经检验，x＝1.6是所列方程的解． 答：小明和小丽不能买到相同数量的笔记本． 但按此价格，他们都买了7.5本笔记本，不是整数，不符合实际意义． 探索交流 2.【2024河北邯郸模拟】某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质 合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元.指挥中心 的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲、乙两厂合做4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成. 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是( ) C A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③ 知识点2 列分式方程解应用题 【解析】设甲厂单独完成这项任务需天，则乙厂单独完成这项任务需 天. 依题意得，解得，经检验， 是原分式方程的解，且符合 题意，.这三种施工方案需要的费用如下：方案①： （万元）；方案②： （万元），但乙厂单独完成这项任务超过了规 定日期，不能选；方案③：（万元）， 在不 耽误工期的前提下，第③种施工方案最节省费用. 15 新知归纳 (1) 行程问题：路程＝速度×时间． (2) 工程问题：工作量＝工作效率×工作时间． (3) 利润问题：利润＝售价－进价，利润率＝ ×100%． 分式方程应用题的主要类型： 新知巩固 1． 一个分数的分母比它的分子大5，如果将这个分数的分子加上14， 　 分母减去1，那么所得分数是原分数的倒数．求原分数． 解：设原分数的分子为x，则分母为x＋5． 根据题意，得 ＝ ． 解这个方程，得 x＝4． 经检验，x＝4是原方程的解． 答：原分数为 ． 列分式方程解应用题的步骤： (1) 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量． (2) 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性． (3) 列：根据相等关系列出分式方程． (4) 解：解所列的分式方程． (5) 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，还要检验是否符合实际意义． (6) 答：写出答案． 归纳总结 应用分式方程解决实际问题的解答中，检验有两层含义: 一是看所得的整式方程的根是否是原分式方程的增根; 二是看所得方程的根是否符合实际问题的要求，即是否符合题意 但按此价格，他们都买了7.5本记本，不是整数，不符合实际意义． 列分式方程解决实际问题的一般步骤： 审清题意 设未知数 找等量关系 列出分式方程 解分式方程 验根 是否是原分式方程的根 是否符合题意 写出答案 参见解分式方程的一般步骤 注意：检验是分式方程不可缺少的步骤，既要检验是不是所列方程的解，又要检验是否符合问题的实际意义. 归纳总结 谢谢大家 $