8.1 功与功率 知识解读 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦高中物理“功与功率”核心内容，系统梳理功的定义与计算、正功负功的判断及总功求解、功率的概念与公式、机车启动两种模型（恒定功率和恒定加速度）的规律及图像分析，构建从基础概念到实际应用的知识支架。 资料通过典例（如帆伞运动功率计算）和变式题（如斜面摩擦力做功）结合生活情境，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。设计知识点解读、典例分析、随堂检测的结构，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，体现严谨的科学态度与联系实际的学科特色。

8.1 功与功率（知识解读）（解析版） •知识点1 功 •知识点2 正功和负功 •知识点3 功率 •知识点4 机车启动的两种模型 •作业 随堂检测 知识点1 功 1、定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 2、公式：W＝Flcosα。 （1）公式只适用于恒力做功。 （2）F和S是对应同一个物体的。 （3）恒力做功多少只与F、l及二者夹角余弦有关，而与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力做功也无关。 3、功是标量，没有方向、但是有正负，正负表示能量转化的方向，表示物体是输入了能量还是输出了能量。 4、在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J（1J=1N•m）。 5、物理意义：功是能量转化的量度。 注意：（1）公式中的F是恒力，即公式W=Flcosα并不是普遍适用的，它只适用于大小和方向均不变的恒力做功。如果F是变力，W=Flcosα就不适用了。 （2）F与l必须具备同时性，即必须是力作用过程中物体的位移。如果力消失后物体继续运动，力所做的功就只跟力作用的那段位移有关，跟其余的位移无关， 【典例1】关于功，下列说法正确的是（　　） A．-10J的功小于+5J的功 B．功是矢量，正、负表示方向 C．一个力对物体做了负功，但这个力不一定阻碍物体的运动 D．一对作用力与反作用力所做的总功不一定等于零 【答案】D 【详解】AB．功是标量，正负仅表示做功的性质（动力做功或阻力做功），功的大小由绝对值决定，所以-10J的功大于+5J的功，故AB错误； C．力做负功的充要条件是力与位移方向夹角大于90°，此时该力为阻力，一定阻碍物体的运动，故C错误； D．作用力与反作用力作用在两个不同物体上，两个物体的位移不一定相等，因此总功可能为正、负或零，不一定等于零，例如滑动摩擦力的作用力与反作用力总功为负，故D正确。 故选D。 【变式1-1】如图甲所示，两位同学合力推动一个箱子在水平地面滑动，如图乙所示，两个力大小相等，互成120°夹角，箱子沿虚线运动，已知两个力做功均为10J，则合力做功为（　　） A．10J B．0J C．20J D． 【答案】C 【详解】功是标量，已知两个力做功均为10J，则合力做功为 故选C。 【变式1-2】（多选）如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力f的大小不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为mgL B．绳的拉力做功为0 C．空气阻力f做功为 D．外力做的总功为 【答案】ABD 【详解】A．重力在整个运动过程中始终不变，所以重力做功为，故A正确； B．因为绳子拉力在运动过程中始终与运动方向垂直，故绳子拉力对小球不做功，即，故B正确； C．阻力所做的总功等于每个小弧段上阻力所做功的代数和，即，故C错误； D．外力做的总功等于各个力做功的代数和，即，故D正确。 故选ABD。 【变式1-3】一台起重机匀加速地将质量为的货物从静止开始竖直吊起，在2s末货物的速度v=4m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求 (1)起重机在这2s内所做的功W； (2)起重机在2s末的输出功率P。 【详解】（1）2s内的加速度 2s内的位移 由牛顿第二定律得 起重机在这2s内所做的功 代入数据解得 （2）2s末的瞬时功率P=Fv=4.8×104 W 知识点2 正功和负功 1、正功和负功的判断 由W＝Flcos α可知 (1)当α＝时，W＝0，力F对物体不做功(填“做正功”“做负功”或“不做功”)。 (2)当0≤α＜时，W＞0，力F对物体做正功(填“做正功”“做负功”或“不做功”)。 (3)当＜α≤π时，W＜0，力F对物体做负功(填“做正功”“做负功”或“不做功”)。 2、总功的计算 当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于： (1)各个力分别对物体所做功的代数和。 (2)几个力的合力对物体所做的功。 3、变力做功：对于变力做功不能依定义式W=Fscosα直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。 ①可用（微元法）无限分小法来求，过程无限分小后，可认为每小段是恒力做功。 ②平均力法：若变力大小随位移是线性变化，且方向不变时，可将变力的平均值求出后用公式：W＝Flcosα＝lcosα计算。 ③利用F-s图象，F-s图线与坐标轴所包围的面积即是力F做功的数值。 ④已知变力做功的平均功率P，则功W=Pt。 注意：判断功的正、负主要有以下三种方法 （1）若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断，此法常用于恒力做功的判断。 （2）依据能量变化来判断：此法既适用于恒力做功，也适用于变力做功，关键应分析清楚能量的转化情况；根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．比如系统的机械能增加，说明力对系统做正功；如果系统的机械能减少，则说明力对系统做负功；此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。 【典例2】如图所示，在减速上升的升降机中，物块始终静止在固定的斜面上，关于物块所受各力做功的说法正确的是（　　） A．合力做正功 B．支持力做负功 C．摩擦力不做功 D．摩擦力做正功 【答案】D 【详解】A．升降机减速上升，位移方向竖直向上，加速度方向向下，因此物块所受合力方向向下。根据功的计算公式 合力与位移方向夹角为，，因此合力做负功，故A错误； B．物块静止在斜面上，受重力、垂直斜面向上的支持力、沿斜面向上的静摩擦力，位移方向竖直向上。支持力垂直斜面向上，分解后存在竖直向上的分量，与位移方向同向，因此支持力做正功，故B错误； CD．摩擦力沿斜面向上，分解后也存在竖直向上的分量，与位移方向同向，因此摩擦力做正功，故C错误，D正确。 故选D。 【变式2-1】如图所示的四种情况，物体在力F的作用下沿水平面运动了一段位移l。四种情形的力F和位移l的大小都相同. 则力F对物体做功相同的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙 【答案】B 【详解】分别计算四种情况力F做功为，甲： 乙： 丙： 丁： 故选B。 【变式2-2】（多选）下列关于摩擦力对物体做功的说法，其中正确的是（　　） A．静摩擦力可能做负功 B．静摩擦力不可能做正功 C．滑动摩擦力可能做正功 D．滑动摩擦力可能不做功 【答案】ACD 【详解】AB．静摩擦力对物体可以做负功，例如：手握着竖放的瓶子上下匀速运动时，静摩擦力可对瓶子做正功或负功，故A正确，B错误； C．把物体轻放在运动的传送带上，物体相对传送带向后滑动，受到的滑动摩擦力与物体对地位移同向，做正功，故C正确； D．物体在桌面滑动时，滑动摩擦力作用在桌面上，桌面位移为0，摩擦力对桌面不做功，因此滑动摩擦力可以不做功，故D正确。 故选ACD 。 【变式2-3】（多选）如图，自动卸货车静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢底板与水平方向的夹角缓慢增大，在货物滑动之前的过程中，下列说法正确的是（   ） A．货物受到的重力做负功 B．货物受到的支持力做正功 C．货物受到的摩擦力做负功 D．货物受到的合外力做正功 【答案】AB 【详解】AB．车厢与水平方向的夹角缓慢增大的过程中，货物做圆周运动，支持力垂直车厢向上，支持力与速度方向相同，所以支持力做正功，货物上升，重力做负功，故A正确，B正确。 CD．摩擦力沿车厢向上，与速度方向垂直，所以摩擦力不做功，货物缓慢运动，速度不变，合力与速度方向垂直，合力不做功，故C、D错误。 故选AB。 知识点3 功率 1、功率意义：功率是表示做功的快慢的物理量，功率的定义是功与完成这些功所用时间之比。 （1）定义式：P＝，单位：瓦特，简称瓦，符号是W。 （2）功率是标(选填“标”或“矢”)量。 （3）额定功率：机械正常工作时输出的最大功率。 （4）实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求不大于额定功率。 2、功率与速度的关系：一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的乘积；关系式是P＝Fvcosα（α为F与v的夹角）。 (1)若v是物体在恒力F作用下的平均速度，则P＝Fv对应这段时间内的平均功率。 (2)若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率。 推导：如果物体的受力F与运动方向的夹角为α，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移是l，则力在这段时间所做的功W=Flcosα因此有由于位移l是从开始计时到时刻t这段时间内发生的，所以是物体在这段时间内的平均速度v，于是上式就可以写成P=Fvcosα可见，力对物体做功的功率等于沿运动方向的分力与物体速度的乘积。 通常情况下，力与位移的方向一致，即F与v的夹角一致时，cosα=1，上式可以写成P=Fv。 从以上推导过程来看，P=Fv中的速度v是物体在恒力F作用下的平均速度，所以这里的功率P是指从计时开始到时刻t的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度，这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。 3、应用：由功率与速度的关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。 注意：（1）功率是反映做功快慢的物理量，与功的多少没有直接关系。 （2）功率的定义式P＝适用于任何做功的情况。 （3）对于恒力做功，除了可以先求出总功，再除以时间求平均功率外，也可以求出平均速度，再利用P=Fv计算平均功率。 （4）对于瞬时功率的计算，一定要牢记瞬时功率等于力在速度方向上的投影与速度的乘积。 （5）重力的功率等于重力乘以竖直方向上的速度。 【典例3】帆伞运动又称拖曳伞，是近年来海南比较盛行的旅游活动。如题图所示，在游客身上系上降落伞，由疾驰的快艇牵引游客前行，可以将游客带到数十米高的天空，领略海洋的全景并享受速度与激情。若伞下游客受到的拉力（忽略伞和绳的重力），快艇拉着游客以的速度匀速直线运动时，伞相对于海面的高度不变，与竖直方向成夹角斜向左上方。求： (1)内游客受到的拉力做的功； (2)末游客受到的拉力的功率P。 【详解】（1）快艇做匀速直线运动，则快艇移动的距离为 根据做功的定义有 （2）根据 可知末游客受到的拉力的功率 【变式3-1】某抽水机工作时的输出功率为4kW，用它为8m高的水塔供水，这台抽水机每秒最多能抽水的质量为（g取）（　　） A．20kg B．30kg C．40kg D．50kg 【答案】D 【详解】提升水所做的功等于水的重力势能增加，即，则t=1s时间内抽水的质量 故选D。 【变式3-2】（多选）在一段倾斜路面上，汽车受到路面的阻力大小等于汽车重力沿斜面分力大小的 1.5 倍，若汽车匀速上坡时速度为v1，牵引力功率为P1，汽车匀速下坡时速度为v2，牵引力功率为P2，则下列判断正确的是（   ） A．若v1= v2，则有P1= P2 B．若v1= v2，则有P1=5P2 C．若P1=2P2，则有2.5 v1= v2 D．若P1=2P2，则有v1=2.5 v2 【答案】BC 【详解】AB．当匀速上坡时，设牵引力为，， 当匀速下坡时，设牵引力为，， 所以当 则有，A错误，B正确； CD．当匀速上坡时，设牵引力为，， 当匀速下坡时，设牵引力为，， 如果 则有，C正确，D错误。 故选BC。 【变式3-3】AI机器人逐渐改变了我们的生活，我国自主研发的某款人形机器人身高，质量55kg。某次测试中该机器人用100N竖直向上的力将一个质量为9.2kg的箱子在2s内抬高1m，。求： (1)机器人克服箱子重力做的功； (2)内机器人对箱子做的功； (3)内机器人对箱子做功的功率。 【详解】（1）机器人克服重力做功为 （2）内机器人对箱子做的功为 （3）内机器人对箱子做功的功率 知识点4 机车启动的两种模型 1、两种机车启动方式的规律 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图像 和v­t图像 OA 段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动 2、机车启动a-1/v和F-1/v图像问题 恒定功率启动a-1/v图像 恒定加速度启动F-1/v图像 由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－， ①斜率k＝ ②纵截距b=－ ③横截距c== ①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动； ②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动； ③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v1； ④C点横坐标对应运动的最大速度1/v2，此时牵引力等于阻力。 注意： （1）机车启动问题的本质是因为受发动机的限制，机车的功率不能无限增大，力与速度存在制约关系，即需满足P=Fv。 （2）机车在运动过程中，虽然方向时刻在变化，但可以认为发动机的牵引力时刻与机车的瞬时速度的方向保持一致，所以发动机的输出功率等于发动机的牵引力乘以机车的瞬时速度，即P=Fv。 （3）机车启动的过程是一个变加速过程，要结合牛顿第二定律进行相关的分析计算。 （4）当机车在做匀速运动时，此时牵引力与阻力平衡，即F=f，所以发动机的功率P=Fv=fv。 【典例4】有一个在水平直轨道上行驶的高速列车，功率P随时间变化规律如图，列车以恒定的加速度启动，t1后达到额定功率，并保持额定功率行驶。已知列车总质量 ， ，轨道对列车的阻力f恒为。求 (1)列车恰好达到的最大速度； (2)t1时刻的列车速度v1； (3)列车匀加速运动的过程中，克服阻力做的功。 【详解】（1）当牵引力等于阻力时，列车恰好达到最大速度，最大速度大小 （2）设匀加速阶段牵引力为，由牛顿第二定律 解得 t1时刻的列车速度 （3）列车匀加速运动的过程中位移大小 列车匀加速运动的过程中，克服阻力做的功 【变式4-1】如图所示为某新能源汽车在某次测试行驶时的加速度a和车速的倒数的关系图像。若车的质量为，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，根据以上条件结合图像，下列说法正确的是（　　） A．汽车加速到最大速度所用的时间为15s B．汽车行驶过程中所受的阻力为6000N C．可以求出汽车的额定功率 D．无法求出汽车的加速度为时的速度大小 【答案】C 【详解】BC．由题图可知，汽车做匀加速直线运动的加速度大小为 末速度大小 设汽车所受阻力大小为，额定功率为，当汽车速度达到最大时，有 汽车做匀加速直线运动过程，由牛顿第二定律可得 又 联立解得，，故B错误，C正确； A．由题意可知，汽车加速到最大速度的过程中，先匀加速后做加速度减小的加速运动，所以汽车加速到最大速度所用的时间，故A错误； D．当汽车的加速度 根据 解得 则此时汽车的速度大小为，故D错误。 故选C。 【变式4-2】（多选）某次车辆行驶测试时的加速度和车速的倒数的关系图像如图所示。汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶中阻力恒定，已知汽车的质量为，行驶的最大速度为，下列说法正确的是（    ） A．无法求出汽车做匀加速运动的时间 B．可以求出汽车的额定功率为 C．可以求出汽车所受阻力大小为 D．可以求出汽车的加速度为时的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．由图知，汽车以恒定加速度启动，汽车匀加速运动的加速度为， 汽车匀加速运动的末速度 解得 匀加速运动的时间，故A错误； BC．由图可知，汽车的最大速度为，汽车开始做匀速直线运动，此时F=f 当时，汽车的加速度 根据牛顿第二定律可知 解得 ，，故B正确，C错误； D．当汽车的加速度为时，由牛顿第二定律可得 解得牵引力大小为 此时汽车的速度大小为，故D正确。 故选BD。 【变式4-3】一辆小型新能源汽车在平直路面上启动，汽车在启动过程中的图像如图所示，段为直线。时汽车的速度大小v1=72km/h且汽车达到额定功率，此后保持额定功率不变，（未知）时刻汽车的速度达到最大值，整个过程中，汽车受到的阻力不变。求： (1)汽车所受的阻力f大小； (2)时间内，汽车的牵引力大小； (3)达到额定功率后加速度开始减小，当加速度为时，汽车的速度v大小。 【详解】（1）汽车的最大速度 据 可知 解得汽车所受的阻力大小为。 （2）0~t1时间内，汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，由   解得所求汽车的牵引力大小 （3）如图，汽车0~t1时间内加速度 由牛顿第二定律有 解得 m=750 kg    当加速度为a2=0.8m/s2时，根据牛顿第二定律 汽车已达到额定功率 此时速度为 1．两个互相垂直的力与作用在同一物体上，使物体通过一段位移的过程中，力对物体做功4J，物体克服力做功3J，则力与的合力对物体做功为（　　） A．7J B．1J C．5J D．3.5J 【答案】B 【详解】功是标量，合力对物体做的总功等于各分力对物体做功的代数和，与分力的方向无关，已知对物体做功为；物体克服做功为3J，则对物体做功。因此合力对物体做功为 故选B。 2．如图所示，一物体受到两个大小相等，夹角为120°的拉力和的作用，在某一过程中和做功分别为5J、5J，则在此过程中这两个力的合力做功为（    ） A．10J B． C．5J D．0 【答案】A 【详解】功是标量，多个力的总功（合力做功）等于各个分力单独做功的代数和，与分力的夹角无关。 已知做功，做功，因此合力做功 故选A。 3．下列说法错误的是（　　） A．匀速圆周运动物体的加速度和速度均发生变化 B．匀速圆周运动的物体运动过程中合力对物体做功为零 C．做平抛运动的物体加速度不变 D．物体做曲线运动的条件是所受合力与初速度方向不一致 【答案】D 【详解】A．匀速圆周运动的速度为矢量，方向沿轨迹切线时刻变化；向心加速度方向始终指向圆心，也时刻变化，因此加速度和速度均发生变化，故A正确； B．匀速圆周运动的合力为向心力，方向始终与速度方向垂直，夹角，其瞬时功率，始终为零，因此合力对物体做功为零，故B正确； C．平抛运动仅受重力作用，加速度为恒定的重力加速度，大小和方向都不改变，故C正确； D．物体做曲线运动的条件是：合力不为零，且合力方向与速度方向不在同一直线上。如果合力与初速度方向相反（二者方向不一致但共线），物体做匀减速直线运动，不是曲线运动，故D错误。 故选D。 4．以一定的初速度竖直向上抛出一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h。空气阻力大小恒为，则从抛出点到返回至原出发点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．重力对小球做的功为零，空气阻力对小球做的功为 B．重力对小球做的功为，空气阻力对小球做的功为 C．重力对小球做的功为零，空气阻力对小球做的功为零 D．重力对小球做的功为，空气阻力对小球做的功为 【答案】A 【详解】从抛出点至落回到原出发点的过程中，重力为恒力，小球的位移为零，则重力做功为零，上升过程中，空气阻力对小球做功 下落过程中，空气阻力对小球做功 则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功 故选A。 5．如图甲为我国以前农村毛驴拉磨的场景。毛驴拉磨可看成是匀速圆周运动，假设毛驴的拉力始终与拉磨半径方向垂直，图乙为其简化图，拉力为，拉磨半径为，拉磨周期为。下列说法正确的是（　　） A．毛驴拉磨一周所做的功为 B．毛驴拉磨一周所做的功为0J C．毛驴拉磨一周所做的功为 D．毛驴拉磨的瞬时功率为0W 【答案】A 【详解】ABC．毛驴的拉力大小不变，但是方向不断变化，取一小段位移，则做功 求和可得毛驴拉磨一周所做的功为，故A正确，BC错误； D．因为 所以毛驴拉磨的瞬时功率，故D错误。 故选A。 6．2025年11月1日3时22分，神舟二十一号飞船成功对接空间站天和核心舱前向端口，整个对接过程历时约3.5小时，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录。为了此次对接，空间站于2025年10月17日实施了变轨操作，使空间站近地点高度提升约4.7公里，远地点高度增加约9.2公里。下列说法正确的是（　　） A．空间站的运行速度比第一宇宙速度大 B．变轨后，空间站的运行周期变大 C．空间站在远地点的速度大于它在近地点的速度 D．从远地点向近地点运行时，地球引力对空间站做负功 【答案】B 【详解】A．第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，由万有引力提供向心力公式 得，空间站轨道半径大于地球半径，因此运行速度小于第一宇宙速度，故A错误； B．变轨后空间站近地点、远地点高度均升高，轨道半长轴增大，根据开普勒第三定律，可知运行周期变大，故B正确； C．根据开普勒第二定律，同一轨道上天体与地心连线单位时间扫过的面积相等，远地点到地心距离更大，因此空间站在远地点的速度小于近地点的速度，故C错误； D．从远地点向近地点运行时，空间站所受引力指向地心，与速度方向夹角为锐角，地球引力对空间站做正功，故D错误。 故选B。 7．额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化图线如图所示。两车分别从和时刻开始以额定功率行驶，从和时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所受阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（　　） A．甲车质量大于乙车质量 B．乙车可能比甲车先开始运动 C．甲车在时刻的速率小于乙车在时刻的速率 D．甲车在时刻的速率等于乙车在时刻的速率 【答案】A 【详解】A．根据题述，两车额定功率P相同，两车从和时刻开始牵引力不变，可知此后两车牵引力等于各自所受阻力，结合题图可知，甲车所受阻力大于乙车所受阻力，又两车行驶时阻力大小与重力成正比且比例系数相同，可知甲车的质量比乙车大，故A正确； B．对甲、乙两车启动的第一阶段，甲车的牵引力达到最大时，乙车的牵引力还小于其行驶时所受的阻力，可知甲车一定比乙车先开始运动，故B错误； C．甲车在时刻的牵引力等于乙车在时刻的牵引力，又两车均刚达到额定功率，根据可知，甲车在时刻的速率与乙车在时刻的速率相同，故C错误 D．时刻甲车达到最大速度，时刻乙车达到最大速度，汽车的额定功率，又甲车所受的阻力比乙车所受阻力大，所以甲车在时刻的速率小于乙车在时刻的速率，故D错误。 故选A。 8．电动方程式（Formula E）是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前2 s内做匀加速直线运动，2 s末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其图像如图所示。已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的0.2倍，取，下列说法正确的是（　　） A．赛车在2 s时的瞬时功率 B．赛车在匀加速阶段平均功率 C．该赛车的最大速度是 D．当速度时，其加速度为 【答案】D 【详解】A．加速度2s时赛车的加速度为 由牛顿第二定律得 解得F=mg 2s末达到额定功率，即赛车瞬时功率 ，A错误； B．匀加速阶段平均速度 平均功率 ，B错误； C．当赛车的牵引力等于阻力时，赛车达到最大速度，，C错误； D．时，赛车已达额定功率，牵引力 加速度 ，D正确。 故选 D。 9．（多选）下列说法正确的是（　　） A．物体一定要相互接触才能产生弹力 B．功率的单位是焦耳（J） C．摩擦力也可能是动力 D．若一个临潼石榴处于平衡状态，则石榴一定是静止的 【答案】AC 【详解】A．物体一定要相互接触才能产生弹力，故A正确； B．功率的单位是瓦特（W），故B错误； C．摩擦力可以是阻力也可能是动力，故C正确； D．若一个临潼石榴处于平衡状态，则石榴可能是做匀速直线运动，故D错误。 故选AC。 10．（多选）一质量为的物体静止在水平桌面上，在水平拉力的作用下，沿水平方向运动后撤去外力，其图像如图所示，下列说法错误的是（　　） A．在内，合外力做的功为 B．在内，合外力做的功为 C．在内，摩擦力做的功为 D．在时，摩擦力做的功率为 【答案】BD 【详解】AB．根据动能定理，合外力做功等于动能变化 故A不符合题意，B符合题意； C．由图可知，2~6s后撤去外力，物体仅受摩擦力做匀减速运动，加速度大小 由牛顿第二定律，摩擦力大小 图的面积表示总位移，总位移 摩擦力全程做负功 故C不符合题意； D．时，速度，摩擦力功率大小 故D符合题意。 故选BD。 11．（多选）在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中（　　） A．小球所需向心力做功为0 B．小球所需向心力做功为FR C．拉力F做功为 D．拉力F做功为 【答案】AC 【详解】AB．小球做圆周运动，向心力与速度方向始终垂直，故向心力不做功，故A正确，B错误； CD．虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为 则拉力做的功为，故C正确，D错误。 故选AC。 12．（多选）如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一质量为m的人正用水平恒力F向前推车厢在车以恒定加速度a向前水平加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人对车的推力F做的功为FL B．车对人做的功为FL C．车对人的摩擦力做的功为(F+ma)L D．车对人的作用力大小为ma 【答案】AC 【详解】A．根据功的定义可知，人对车的推力F做的功为W=FL，故A正确； B．水平方向上，人受到车的反作用力F及脚与地面间的摩擦力Ff作用，人的加速度水平向前，根据牛顿第二定律可知，车对人的合力为 方向向前，所以车对人做的功为 因合力大小Ff−F不一定恰好等于F，故车对人做的功只表示为(Ff−F)L，故B错误； C．由B选项分析可知，车对人的摩擦力大小 摩擦力方向和位移同向，因此车对人的摩擦力做的功为，故C正确； D．水平方向上车对人的合力满足 竖直方向上车对人的合力为平衡重力的支持力，即 因此，车对人的作用力大小为，故D错误。 故选AC。 13．用200N的力在水平地面上拉车行走50m用了5s，拉力与车前进的方向成60°角。求： (1)拉力对车做的功是多少？ (2)在这5s内拉力对车做功的平均功率是多少？ 【详解】（1）由功的公式可得 （2）由功率公式可知 14．某款儿童滑梯如图所示，其滑面可视为与水平地面夹角的平直斜面，滑面顶端距离地面高度。一质量的儿童从滑面顶端由静止开始下滑至底端，已知儿童与滑梯间的阻力为48N，儿童沿滑面下滑的过程，可以看作质点沿斜面做直线运动，取重力加速度，忽略空气阻力的影响。求： (1)儿童下滑的整个过程中，所受的几个力做的功各是多少？ (2)儿童下滑过程中，这些力做的总功是多少？ 【详解】（1）儿童受重力、支持力和阻力作用，其中重力做功 支持力与位移垂直，所以不做功 阻力与位移方向相反，做功为 （2）总功为 15．“抛石机”是古代战争中常用的一种设备。如图所示，某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程，已知所用抛石机长臂的长度，质量的石块（可视为质点）装在长臂末端的口袋中，开始时长臂处于静止状态，与水平面间的夹角，现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块以的初速度水平抛出，抛出后垂直打在倾角为的斜面上，不计空气阻力，重力加速度g取，求： (1)石块水平抛出瞬间受到长臂末端口袋沿杆方向作用力的大小； (2)石块从抛出到击中斜面所用的时间； (3)石块从抛出到击中斜面重力做的功和平均功率。 【详解】（1）石块在长臂顶部，在竖直方向上，设石块受到口袋的作用力大小为，根据牛顿第二定律有 解得 （2）石块被抛出后做平抛运动，其速度垂直于斜面，可知 解得 从石块水平抛出到落地斜面上所经历的时间 （3）石块下落的高度 重力做的功 重力做的平均功率 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 功与功率（知识解读）（原卷版） •知识点1 功 •知识点2 正功和负功 •知识点3 功率 •知识点4 机车启动的两种模型 •作业 随堂检测 知识点1 功 1、定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 2、公式：W＝Flcosα。 （1）公式只适用于恒力做功。 （2）F和S是对应同一个物体的。 （3）恒力做功多少只与F、l及二者夹角余弦有关，而与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力做功也无关。 3、功是标量，没有方向、但是有正负，正负表示能量转化的方向，表示物体是输入了能量还是输出了能量。 4、在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J（1J=1N•m）。 5、物理意义：功是能量转化的量度。 注意：（1）公式中的F是恒力，即公式W=Flcosα并不是普遍适用的，它只适用于大小和方向均不变的恒力做功。如果F是变力，W=Flcosα就不适用了。 （2）F与l必须具备同时性，即必须是力作用过程中物体的位移。如果力消失后物体继续运动，力所做的功就只跟力作用的那段位移有关，跟其余的位移无关， 【典例1】关于功，下列说法正确的是（　　） A．-10J的功小于+5J的功 B．功是矢量，正、负表示方向 C．一个力对物体做了负功，但这个力不一定阻碍物体的运动 D．一对作用力与反作用力所做的总功不一定等于零 【变式1-1】如图甲所示，两位同学合力推动一个箱子在水平地面滑动，如图乙所示，两个力大小相等，互成120°夹角，箱子沿虚线运动，已知两个力做功均为10J，则合力做功为（　　） A．10J B．0J C．20J D． 【变式1-2】（多选）如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力f的大小不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．重力做功为mgL B．绳的拉力做功为0 C．空气阻力f做功为 D．外力做的总功为 【变式1-3】一台起重机匀加速地将质量为的货物从静止开始竖直吊起，在2s末货物的速度v=4m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求 (1)起重机在这2s内所做的功W； (2)起重机在2s末的输出功率P。 知识点2 正功和负功 1、正功和负功的判断 由W＝Flcos α可知 (1)当α＝时，W＝0，力F对物体不做功(填“做正功”“做负功”或“不做功”)。 (2)当0≤α＜时，W＞0，力F对物体做正功(填“做正功”“做负功”或“不做功”)。 (3)当＜α≤π时，W＜0，力F对物体做负功(填“做正功”“做负功”或“不做功”)。 2、总功的计算 当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于： (1)各个力分别对物体所做功的代数和。 (2)几个力的合力对物体所做的功。 3、变力做功：对于变力做功不能依定义式W=Fscosα直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。 ①可用（微元法）无限分小法来求，过程无限分小后，可认为每小段是恒力做功。 ②平均力法：若变力大小随位移是线性变化，且方向不变时，可将变力的平均值求出后用公式：W＝Flcosα＝lcosα计算。 ③利用F-s图象，F-s图线与坐标轴所包围的面积即是力F做功的数值。 ④已知变力做功的平均功率P，则功W=Pt。 注意：判断功的正、负主要有以下三种方法 （1）若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断，此法常用于恒力做功的判断。 （2）依据能量变化来判断：此法既适用于恒力做功，也适用于变力做功，关键应分析清楚能量的转化情况；根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．比如系统的机械能增加，说明力对系统做正功；如果系统的机械能减少，则说明力对系统做负功；此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。 【典例2】如图所示，在减速上升的升降机中，物块始终静止在固定的斜面上，关于物块所受各力做功的说法正确的是（　　） A．合力做正功 B．支持力做负功 C．摩擦力不做功 D．摩擦力做正功 【变式2-1】如图所示的四种情况，物体在力F的作用下沿水平面运动了一段位移l。四种情形的力F和位移l的大小都相同. 则力F对物体做功相同的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．甲、丁 D．乙、丙 【变式2-2】（多选）下列关于摩擦力对物体做功的说法，其中正确的是（　　） A．静摩擦力可能做负功 B．静摩擦力不可能做正功 C．滑动摩擦力可能做正功 D．滑动摩擦力可能不做功 【变式2-3】（多选）如图，自动卸货车静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢底板与水平方向的夹角缓慢增大，在货物滑动之前的过程中，下列说法正确的是（   ） A．货物受到的重力做负功 B．货物受到的支持力做正功 C．货物受到的摩擦力做负功 D．货物受到的合外力做正功 知识点3 功率 1、功率意义：功率是表示做功的快慢的物理量，功率的定义是功与完成这些功所用时间之比。 （1）定义式：P＝，单位：瓦特，简称瓦，符号是W。 （2）功率是标(选填“标”或“矢”)量。 （3）额定功率：机械正常工作时输出的最大功率。 （4）实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求不大于额定功率。 2、功率与速度的关系：一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的乘积；关系式是P＝Fvcosα（α为F与v的夹角）。 (1)若v是物体在恒力F作用下的平均速度，则P＝Fv对应这段时间内的平均功率。 (2)若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率。 推导：如果物体的受力F与运动方向的夹角为α，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移是l，则力在这段时间所做的功W=Flcosα因此有由于位移l是从开始计时到时刻t这段时间内发生的，所以是物体在这段时间内的平均速度v，于是上式就可以写成P=Fvcosα可见，力对物体做功的功率等于沿运动方向的分力与物体速度的乘积。 通常情况下，力与位移的方向一致，即F与v的夹角一致时，cosα=1，上式可以写成P=Fv。 从以上推导过程来看，P=Fv中的速度v是物体在恒力F作用下的平均速度，所以这里的功率P是指从计时开始到时刻t的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度，这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。 3、应用：由功率与速度的关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。 注意：（1）功率是反映做功快慢的物理量，与功的多少没有直接关系。 （2）功率的定义式P＝适用于任何做功的情况。 （3）对于恒力做功，除了可以先求出总功，再除以时间求平均功率外，也可以求出平均速度，再利用P=Fv计算平均功率。 （4）对于瞬时功率的计算，一定要牢记瞬时功率等于力在速度方向上的投影与速度的乘积。 （5）重力的功率等于重力乘以竖直方向上的速度。 【典例3】帆伞运动又称拖曳伞，是近年来海南比较盛行的旅游活动。如题图所示，在游客身上系上降落伞，由疾驰的快艇牵引游客前行，可以将游客带到数十米高的天空，领略海洋的全景并享受速度与激情。若伞下游客受到的拉力（忽略伞和绳的重力），快艇拉着游客以的速度匀速直线运动时，伞相对于海面的高度不变，与竖直方向成夹角斜向左上方。求： (1)内游客受到的拉力做的功； (2)末游客受到的拉力的功率P。 【变式3-1】某抽水机工作时的输出功率为4kW，用它为8m高的水塔供水，这台抽水机每秒最多能抽水的质量为（g取）（　　） A．20kg B．30kg C．40kg D．50kg 【变式3-2】（多选）在一段倾斜路面上，汽车受到路面的阻力大小等于汽车重力沿斜面分力大小的 1.5 倍，若汽车匀速上坡时速度为v1，牵引力功率为P1，汽车匀速下坡时速度为v2，牵引力功率为P2，则下列判断正确的是（   ） A．若v1= v2，则有P1= P2 B．若v1= v2，则有P1=5P2 C．若P1=2P2，则有2.5 v1= v2 D．若P1=2P2，则有v1=2.5 v2 【变式3-3】AI机器人逐渐改变了我们的生活，我国自主研发的某款人形机器人身高，质量55kg。某次测试中该机器人用100N竖直向上的力将一个质量为9.2kg的箱子在2s内抬高1m，。求： (1)机器人克服箱子重力做的功； (2)内机器人对箱子做的功； (3)内机器人对箱子做功的功率。 知识点4 机车启动的两种模型 1、两种机车启动方式的规律 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图像 和v­t图像 OA 段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB 段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速运动 2、机车启动a-1/v和F-1/v图像问题 恒定功率启动a-1/v图像 恒定加速度启动F-1/v图像 由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－， ①斜率k＝ ②纵截距b=－ ③横截距c== ①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动； ②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动； ③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v1； ④C点横坐标对应运动的最大速度1/v2，此时牵引力等于阻力。 注意： （1）机车启动问题的本质是因为受发动机的限制，机车的功率不能无限增大，力与速度存在制约关系，即需满足P=Fv。 （2）机车在运动过程中，虽然方向时刻在变化，但可以认为发动机的牵引力时刻与机车的瞬时速度的方向保持一致，所以发动机的输出功率等于发动机的牵引力乘以机车的瞬时速度，即P=Fv。 （3）机车启动的过程是一个变加速过程，要结合牛顿第二定律进行相关的分析计算。 （4）当机车在做匀速运动时，此时牵引力与阻力平衡，即F=f，所以发动机的功率P=Fv=fv。 【典例4】有一个在水平直轨道上行驶的高速列车，功率P随时间变化规律如图，列车以恒定的加速度启动，t1后达到额定功率，并保持额定功率行驶。已知列车总质量 ， ，轨道对列车的阻力f恒为。求 (1)列车恰好达到的最大速度； (2)t1时刻的列车速度v1； (3)列车匀加速运动的过程中，克服阻力做的功。 【变式4-1】如图所示为某新能源汽车在某次测试行驶时的加速度a和车速的倒数的关系图像。若车的质量为，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，根据以上条件结合图像，下列说法正确的是（　　） A．汽车加速到最大速度所用的时间为15s B．汽车行驶过程中所受的阻力为6000N C．可以求出汽车的额定功率 D．无法求出汽车的加速度为时的速度大小 【变式4-2】（多选）某次车辆行驶测试时的加速度和车速的倒数的关系图像如图所示。汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶中阻力恒定，已知汽车的质量为，行驶的最大速度为，下列说法正确的是（    ） A．无法求出汽车做匀加速运动的时间 B．可以求出汽车的额定功率为 C．可以求出汽车所受阻力大小为 D．可以求出汽车的加速度为时的速度大小为 【变式4-3】一辆小型新能源汽车在平直路面上启动，汽车在启动过程中的图像如图所示，段为直线。时汽车的速度大小v1=72km/h且汽车达到额定功率，此后保持额定功率不变，（未知）时刻汽车的速度达到最大值，整个过程中，汽车受到的阻力不变。求： (1)汽车所受的阻力f大小； (2)时间内，汽车的牵引力大小； (3)达到额定功率后加速度开始减小，当加速度为时，汽车的速度v大小。 1．两个互相垂直的力与作用在同一物体上，使物体通过一段位移的过程中，力对物体做功4J，物体克服力做功3J，则力与的合力对物体做功为（　　） A．7J B．1J C．5J D．3.5J 2．如图所示，一物体受到两个大小相等，夹角为120°的拉力和的作用，在某一过程中和做功分别为5J、5J，则在此过程中这两个力的合力做功为（    ） A．10J B． C．5J D．0 3．下列说法错误的是（　　） A．匀速圆周运动物体的加速度和速度均发生变化 B．匀速圆周运动的物体运动过程中合力对物体做功为零 C．做平抛运动的物体加速度不变 D．物体做曲线运动的条件是所受合力与初速度方向不一致 4．以一定的初速度竖直向上抛出一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h。空气阻力大小恒为，则从抛出点到返回至原出发点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．重力对小球做的功为零，空气阻力对小球做的功为 B．重力对小球做的功为，空气阻力对小球做的功为 C．重力对小球做的功为零，空气阻力对小球做的功为零 D．重力对小球做的功为，空气阻力对小球做的功为 5．如图甲为我国以前农村毛驴拉磨的场景。毛驴拉磨可看成是匀速圆周运动，假设毛驴的拉力始终与拉磨半径方向垂直，图乙为其简化图，拉力为，拉磨半径为，拉磨周期为。下列说法正确的是 A．毛驴拉磨一周所做的功为 B．毛驴拉磨一周所做的功为0J C．毛驴拉磨一周所做的功为 D．毛驴拉磨的瞬时功率为0W 6．2025年11月1日3时22分，神舟二十一号飞船成功对接空间站天和核心舱前向端口，整个对接过程历时约3.5小时，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录。为了此次对接，空间站于2025年10月17日实施了变轨操作，使空间站近地点高度提升约4.7公里，远地点高度增加约9.2公里。下列说法正确的是（　　） A．空间站的运行速度比第一宇宙速度大 B．变轨后，空间站的运行周期变大 C．空间站在远地点的速度大于它在近地点的速度 D．从远地点向近地点运行时，地球引力对空间站做负功 7．额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化图线如图所示。两车分别从和时刻开始以额定功率行驶，从和时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所受阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（　　） A．甲车质量大于乙车质量 B．乙车可能比甲车先开始运动 C．甲车在时刻的速率小于乙车在时刻的速率 D．甲车在时刻的速率等于乙车在时刻的速率 8．电动方程式（Formula E）是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前2 s内做匀加速直线运动，2 s末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其图像如图所示。已知汽车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的0.2倍，取，下列说法正确的是（　　） A．赛车在2 s时的瞬时功率 B．赛车在匀加速阶段平均功率 C．该赛车的最大速度是 D．当速度时，其加速度为 9．（多选）下列说法正确的是（　　） A．物体一定要相互接触才能产生弹力 B．功率的单位是焦耳（J） C．摩擦力也可能是动力 D．若一个临潼石榴处于平衡状态，则石榴一定是静止的 10．（多选）一质量为的物体静止在水平桌面上，在水平拉力的作用下，沿水平方向运动后撤去外力，其图像如图所示，下列说法错误的是（　　） A．在内，合外力做的功为 B．在内，合外力做的功为 C．在内，摩擦力做的功为 D．在时，摩擦力做的功率为 11．（多选）在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中（　　） A．小球所需向心力做功为0 B．小球所需向心力做功为FR C．拉力F做功为 D．拉力F做功为 12．（多选）如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一质量为m的人正用水平恒力F向前推车厢在车以恒定加速度a向前水平加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人对车的推力F做的功为FL B．车对人做的功为FL C．车对人的摩擦力做的功为(F+ma)L D．车对人的作用力大小为ma 13．用200N的力在水平地面上拉车行走50m用了5s，拉力与车前进的方向成60°角。求： (1)拉力对车做的功是多少？ (2)在这5s内拉力对车做功的平均功率是多少？ 14．某款儿童滑梯如图所示，其滑面可视为与水平地面夹角的平直斜面，滑面顶端距离地面高度。一质量的儿童从滑面顶端由静止开始下滑至底端，已知儿童与滑梯间的阻力为48N，儿童沿滑面下滑的过程，可以看作质点沿斜面做直线运动，取重力加速度，忽略空气阻力的影响。求： (1)儿童下滑的整个过程中，所受的几个力做的功各是多少？ (2)儿童下滑过程中，这些力做的总功是多少？ 15．“抛石机”是古代战争中常用的一种设备。如图所示，某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程，已知所用抛石机长臂的长度，质量的石块（可视为质点）装在长臂末端的口袋中，开始时长臂处于静止状态，与水平面间的夹角，现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块以的初速度水平抛出，抛出后垂直打在倾角为的斜面上，不计空气阻力，重力加速度g取，求： (1)石块水平抛出瞬间受到长臂末端口袋沿杆方向作用力的大小； (2)石块从抛出到击中斜面所用的时间； (3)石块从抛出到击中斜面重力做的功和平均功率。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $