10.5分式方程（第2课时+分式方程的增根）（课件）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第十章 分式 10.5 分式方程 第二课时 分式方程的增根 教学目标 1.会解可化为一元一次方程的分式方程 2.了解增根的概念，会对分式方程的解进行检验. 问题情境 解方程 　 ＝ －1． 解：方程两边同乘 3(x－2)，得 3(5x－4)＝4x＋10－(3x－6)． 解这个一元一次方程，得 x＝2． x＝2是不是这个方程的解？为什么？ 去分母时，在分式方程的两边同乘了使分母为0的代数式． 不是，当x＝2时，分式 的分母都为0． 探究活动 问题2　像x＝2这样的解，具备什么特征？ 　　这种使原分式方程的分母为零的整式方程的解叫作分式方程的增根． 问题3　为什么解分式方程会产生增根？ 追问1　当x＝2时，3(x－2)的值是多少？ 追问2　方程两边同时乘0，会对原方程的解产生什么影响？ 　　解分式方程时，若方程两边同乘的最简公分母的值为0，就可能产生增根，因此解分式方程必须检验． 探究活动 新知归纳 将分式方程变形为整式方程，若整式方程的解使得原分式方程的分母为0，则这个解称为原分式方程的增根（extraneous root）． 分式方程的增根： 分式方程产生增根的原因是什么？ 分式方程在化为整式方程的过程中，未知数允许的范围扩大了． 讨论交流 1. 你认为在解分式方程的过程中，哪一步的变形可能会产生增根？ 分式方程去分母时可能会引起增根． 2. 为什么解分式方程必须检验？如何检验比较简便？ 由于在分式方程两边乘各分式的最简公分母时可能产生增根，因此解分式方程必须进行检验．将解得的根代入最简公分母，看最简公分母的值是不是0，若为0，则是增根． 问题 解方程： 👨‍🎓 左边同学的解法 🧑‍🎓 右边同学的质疑 概念解读 什么是“增根”？ 刚才我们在解分式方程时，遇到了一个看似成立却又“奇怪”的解。 这其实就是分式方程中特有的现象——增根。 接下来，让我们正式揭开它的神秘面纱，深入剖析增根的定义、产生原因以及判定方法。 1.7.2013 刚才我们遇到的这个“奇怪”的解，其实就是我们今天要学习的核心概念——增根。接下来，让我们正式揭开它的神秘面纱，看看它到底是什么，以及如何定义它。 ‹#› 问题4　解分式方程时，如何检验所求的解是否为增根？ 　　方法1　将解代入原分式方程，若所有分母都不为0，且左右两边相等，则是原方程的解；若分母为0，则是增根． 　　方法2　将解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原方程的解；若最简公分母为0，则是增根． 追问　哪种检验方法更简便？为什么？ 探究活动 例题分析 典例分析 例3 解下列方程： (1) ； 解：(1)方程两边同乘 x (x＋1)，得 30(x＋1)＝20x． 解这个一元一次方程，得 x＝－3． 检验：当x＝－3时，x (x＋1)＝6≠0． 所以原方程的解为x＝－3． 典例分析 例3 解下列方程： (1) ； 解：(1)方程两边同乘 x (x＋1)，得 30(x＋1)＝20x． 解这个一元一次方程，得 x＝－3． 检验：当x＝－3时，x (x＋1)＝6≠0． 所以原方程的解为x＝－3． 一化(化分式方程为整式方程) 二解(得到的整式方程) 三验(代入最简公分母检验) 四写(写出原分式方程的解) 确定最简公分母 验根有两种方法： 第一种代入原分式方程； 第二种代入最简公分母． 通常使用第二种方法. (2) ． 典例分析 例3 解下列方程： 解：(2)方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得 (x－2)2－(x＋2)2＝16． 解这个一元一次方程，得 x＝－2． 检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)＝0， x＝－2是增根．所以原方程无解. 方法总结 由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须对解得的根进行检验． 注意：增根不能舍掉． 核心概念 在解分式方程的过程中，我们通过去分母将其转化为整式方程。若该整式方程的解，使得原分式方程的最简公分母的值为零，则此解不是原分式方程的解，我们称之为增根 (Extraneous Root)。 关键点强调 ● 来源：增根是在“去分母”解分式方程的过程中，人为产生的额外解。 ● 本质：它是转化后整式方程的有效解，但却是原分式方程的无效解。 ● 判定：将解代入原方程的最简公分母，若结果为0，则判定为增根。 💡 一句话总结：增根是一个“冒牌”的解，它只满足整式方程，却会让原分式方程的分母为零，失去意义。 归纳总结 1.7.2013 大家请看屏幕。增根的定义非常关键。它的本质是，它是我们去分母后得到的整式方程的解，但这个解会让原来分式方程的分母为零，导致原方程无意义。所以，我们说它是一个“冒牌”的解。请大家务必记住判定增根的标准：代入最简公分母检验是否为零。 ‹#› 深度探究 增根是如何产生的？ 在去分母的变形过程中，我们究竟“创造”了什么？为什么原本的方程会多出一个不满足定义的根？ 回顾第一步：去分母的依据 操作：方程两边同乘以3(x-2)。 依据：等式基本性质 —— 等式两边同时乘以同一个不为零的数或整式，等式仍然成立。 核心追问：这个整式一定不为零吗？ 不一定！因为 x 是未知数。若 x 的值恰好使 3(x-2)=0，我们实际上是在等式两边同时乘以了0，这违背了性质的前提条件。 结论：增根产生的根本原因 解分式方程时，通过去分母（同乘含未知数的整式），扩大了未知数的取值范围，从而产生了使原方程分母为零的“额外”的根（增根）。 1.7.2013 我们知道了什么是增根，那么更重要的问题来了：它是从哪里来的？为什么我们在解方程的过程中会“创造”出这样一个奇怪的根？这就是我们接下来要深度探究的重点和难点。 ‹#› 例题分析 (2) ． 例3 解下列方程： 解：(2)方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得 (x－2)2－(x＋2)2＝16． 解这个一元一次方程，得 x＝－2． 检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)＝0， x＝－2是增根．所以原方程无解. 总结解分式方程的一般步骤： 1.去分母，转化为整式方程 2.解整式方程，得到x=m. 3.检验x=m是否使最简公分 母为0. 4.写出结论． 总结归纳 注意点 1解分式方程必须验根: 2增根不是原分式方程的根，解答时应指出增根，并舍去; 3对于可化为一元一次方程的分式方程，一旦出现增根，原方程必定无解(该规律并非对任何分式方程都适用); 4验根时可以代入最简公分母或代入原方程 教材P143-144 例题 解下列方程： (1)(2) 解：(1)方程两边同乘x(x+1)，得30(x+1)=20x 解这个一元一次方程，得x=-3 检验：当x=-3时，x(x+1)=6≠0.所以原方程的解为x=-3 (2)方程两边同乘(x+2)(x-2),得x=-2 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0,x=-2是增根.所以原方程无解 ★ 核心口诀：“一化二解三检验”，检验步骤不可少，公分母为零即增根。 ● 例3 解 新知巩固 解下列方程： (1) ＝ ； 解：(1)方程两边同乘(x－1)，得 4＋x－5(x－1)＝2x． 解这个一元一次方程，得 x＝． 检验：当x＝时，x－1＝≠0． 所以原方程的解为x＝． (2) ； (2)方程两边同乘(x－2)，得 1＝x－1－3(x－2)． 解这个一元一次方程，得 x＝2． 检验：当x＝2时，x－2＝0， x＝2是增根，所以原方程无解． 方法技巧 解分式方程的“三步曲” 01. 化整：在方程两边同乘以各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。 02. 求解：按照解整式方程的一般步骤，解出转化后的整式方程的根。 03. 检验：将整式方程的解代入最简公分母中进行检验：若最简公分母的值不为零，则该解是原分式方程的解；若最简公分母的值为零，则该解是增根，原分式方程无解。 核心口诀：一化二解三检验，验根必须记心间。公分母为零是增根，原方无解要判断。 1.7.2013 这就是解分式方程的“三步曲”：化整、求解、检验。每一步都不能少，尤其是第三步检验。为了方便大家记忆，我还编了一个口诀，大家可以一起念一遍：“一化二解三检验，验根必须记心间。公分母为零是增根，原方无解要判断。” ‹#› 基础巩固题 知识点 分式方程的增根 1.【2025河北邢台调研】下列关于分式方程增根的说法正确的是( ) D A.使所有的分母的值都为零的解是增根 B.分式方程的解为零就是增根 C.使分子的值为零的解就是增根 D.使最简公分母的值为零的解是增根 【解析】分式方程的增根是使最简公分母的值为零的解．故选D. 归纳总结 增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方 程即可求得相关字母的值或取值范围． （3）解方程：　 解：方程两边同乘x2－1， 　　得3(x－1)＝6． 　　解这个一元一次方程，得x＝3． 　　把x＝3代入原方程：左边＝　，右边＝　，左边＝右边． 　　原方程的解是x＝5． 例题分析 能力提升 1．(1) 分式方程 有解吗？为什么？ 解：(1)无解．因为解方程 ，得x＝2是方程的增根． (2) 化简分式 ，结果可能为0吗？ (2) ． 当x≠2时，＝1；当x＝2时，无意义， 所以化简结果不可能为0． 易错点1 分类讨论不完全，只考虑增根，忽略转化的整式方程无解 3.【2025江西景德镇期末】已知关于的分式方程无解，则 的值为____________. 或或 【解析】,去分母得 ,去括号得 ,移项、合并同类项得.当 ，即 时，方程无解；当时， 原方程无解， 原方程有增根， 或，或，或 ， 解得或.综上所述，的值为或或.故答案为或或 . 24 易错点2 不检验、分子未变号、常数项未乘公分母致错 4.小丁和小迪分别解方程 过程如下： 小丁： 解：去分母，得 ，去括号，得 ，合并同类项，得 ， 解得 ， 原方程的解是 . 小迪： 解：去分母，得 ，去括号，得 ，合并同类项，得 ， 解得 .经检验， 是方程的增根，所以原方程无解. 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并 写出你的解答过程.#1.3 【解】小丁和小迪的解法都错误，应在两个框内打“×”.正确解答过程如下： ，去分母，得 ，移项、合并同类项得 ， 检验：将代入中可得 ，故原分式方程的解是 . 25 小结思考 10.5 分式方程（2） 分式方程的增根:分式方程两边乘各式的最简公分母时可能产生增根，因此解分式方程必须检验， 总结解分式方程的一般步骤： 1.去分母，转化为整式方程 2.解整式方程，得到x=m. 3.检验x=m是否使最简公分 母为0. 4.写出结论． $