10.5分式方程（2）---分式方程的增根课件2025-2026学年苏科版八年级数学下册

执教： 张二平 苏科版八年级数学下册 10.5 分式方程（2） ---分式方程的增根 学习目标 1、了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的未知数的值 是否是分式方程的增根； 2、熟练掌握解分式方程的方法及步骤，能准确求出分式方程的解； 3、培养学生细心、耐心、严谨、认真的学习品质. 学习重点：解分式方程。 学习难点：分式方程产生增根的原因。 一、复习引入： 1.什么样的方程叫做分式方程？ 2.解分式方程的一般步骤是什么？ （1）化：方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方程； （2）解：解这个整式方程； （3）检：将所求得的整式方程的解代入原方程检验； （4）结：写出原方程的根。 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 3 二、新知探索： 问题：如何解方程： 在分式方程 这里，造成增根的原因是x=2使所乘整式3(x-2)的值为0，这相当于 在方程两边同时乘0.由于在分式方程两边乘各分式的最简公分母时 可能产生增根，因此解分式方程必须进行检验。 的两边同乘3(x-2)后， 解得的x=2， 使原方程的分母为0， 所以x=2虽然是化简后所得方程的解，但不是原方程的解. 这样的解称为增根(extraneousroot). 4 小结： ①去分母，在方程两边都乘以最简公分母化为整式方程； ②解这个整式方程； ③验根，把整式方程的根代入最简公分母， 若最简公母的值为零，则这个根是原方程的增根，必须舍去，表明此方程无解。 若最简公分母不为零，则这个根是原方程的根。 1、分式方程的增根： 使分式方程的分母为零的根叫做分式方程的增根。 注：因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须检验. 2、分式方程产生增根的原因 解分式方程时，由于两边同时乘以最简公分母，从而将分式方程转化为整式方程，这就扩大了字母的取值范围，如果x的取值使分母为零，解分式方程去分母时，方程两边就变成了“同乘值为0的代数式”。 3、解分式方程的步骤： 试一试： 1、解分式方程 ，分以下四步， 其中，错误的一步是 （ ） 　A、方程两边分式的最简公分母是（x-1）（x+1） 　B、方程两边都乘以(x-1)(x+1)，得整式方程2(x-1)+3(x+1)＝6 　C、解这个整式方程，得x＝1 　D、原方程的解为x＝1 D 6 2、若关于x的分式方程 无解,则a的值为( ) A、2 B、 3 C、0或2 D、一1或3 3、已知关于x的分式方程 有解， 则a的取值范围为 。 4、若关于x的分式方程 有增根， 则k= 。 D （a+1）x=a+5 a≠5且a≠0 -4或6 7 二、例题讲解 例1、解下列方程： .　 解:(1)方程两边同乘x(x+1)，得 30(x+1)=20x.解这个一元一次方程，得x=-3. 所以原方程的解为x=-3. 检验:当x=-3时，x(x+1)=6≠0. ∴x=-3是原方程的解。 (2)方程两边同乘(x+2(x-2),得 (x-2)2-(x+2)2=16.解这个一元一次方程，得x=-2. 检验:当x=-2时，(x+2(x-2)=0,x=-2是增根. 所以原方程无解. 例2、小华想复习分式方程，由于印刷问题.方程 中有一个数“?”看不清楚. (1)他把这个数“?”猜成5,请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说:“我看到答案是‘方程的增根是x=2,原方程无解’.” 请你求出原方程中的数“?”. (2)设“？”为m,方程两边同乘(x-2),得m+3(x-2)=-1. 由于x=2是原分式方程的增根， 故把x=2代入m+3(x-2)=-1中，得m+3x(2-2)=-1,解得m=-1， 所以原分式方程中“?”代表的数是-1. 解:(1)方程两边同乘(x-2)，得5+3(x-2)=-1.解之得x=0. 检验:当x=0时，x-2=-2≠0,所以x=0是原方程的解. 9 三、基础强化： 1、已知关于#的分式方程 无解. 且一次函数 的图象不经过第二象限， 则符合条件的所有m的值之和为（ ） A、4.5 B、3.5 C、2.5 D、1.5 2、若关于x的分式方程 有正整数解. 则整数m的值是 . 3、若关于x的分式方程 无解， 则m= . C -2或1 m=1或x=3或x=6 m=1或m=2或m=1.5 m＞0.5 -1或3或 m=-1或x=3或x=-3 10 4、解分式方程： （1） 检验： 5、解方程： 解： ∴ x=3。 经检验：x=3是原方程的解。 12 四、拓展提高： 若关于x的分式方程 无解，求m的值. 解:方程两边同乘x(x-3)，得(2m+x)x-x(x-3)=2(x-3)， 即(2m+1)x=-6.若关于x的分式方程 有增根， 则x=0或x-3=0,即x=0或x=3. 当x=0时，代入(2m+1)x=-6,得(2m+1)x0--6,此方程无解； 当x=3时,代入(2m+1)x=-6,得(2m+1)x3=-6,解得m--1.5. ∴m的值是-1.5.上面的解法对吗？为什么？ 解：不对.理由如下：漏掉了一种情况： 当2m+1=0时,此方程也无解,此时m=-0.5. 结合题中所解可知m的值是-1.5或-0.5. 13 五、总结反思： 1、分式方程的增根： 使分式方程的分母为零的根叫做分式方程的增根。 注：因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须检验. 2、解分式方程时，怎样检验较简便？ 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解 不是原分式方程的解. 3、根据增根确定分式方程中待定字母的值的步骤： 六、达标检测： 1、解分式方程： (2)去分母,得x2+2x+1-x2+1=4, 解得 x=1. 经检验,x=1是增根.原分式方程无解 解:(1)去分母,得1=3x-1+4. 解得 经检验。 是原分式方程的解。 15 2、已知关于x的分式方程 (1)若分式方程有增根，求m的值； (2)若分式方程的解是正数，求m的取值范围。 解:去分母,得2-x-m=2x-4. (1)由分式方程有增根,得到x-2=0,即x=2, 把x=2代入整式方程,得m=0. (2)解原方程,得 ∵分式方程的解为正数， 且 解得 m<6且m≠0。 16 $