海南海口实验中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷（二）

**基本信息** 高三数学模拟卷以“安全随我行”统计分析、概率游戏等真实情境为载体，通过函数图像识别、立体几何证明等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |解答题|5|三角函数、立体几何、统计回归、导数、椭圆|17题结合社会热点设计回归分析与独立性检验，18题通过导数极值点探究考查逻辑推理|

海南海口实验中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷(二) 一、单选题 1.已知集合,,若且,则( ) A. B. C. D. 2.奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分,在评定该选手的成绩时,去掉其中一个最高分和一个最低分,得到个有效评分,则与个原始评分(不全相同)相比,一定会变小的数字特征是( ) A.众数 B.方差 C.中位数 D.平均数 3.设,为非零向量,则“”是“与共线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为( ) A. B. C. D. 5.已知O为坐标原点,抛物线C:的焦点为F,过抛物线C上一点A(点A在第一象限)作C的准线的垂线,垂足为B,若,则点A到直线的距离为( ) A. B. C. D. 6.已知,,,则( ) A. B. C. D. 7.如图,三边的中点分别为,将六个数字全部标注在六个点处,每个点处标注一个数字,使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小,则不同的标注方法有( ) A.36种 B.48种 C.60种 D.72种 8.已知,且,,是函数的两个相邻的零点,且,则的值为 A. B. C. D. 二、多选题 9.已知为虚数单位,,,则下列选项中正确的有( ) A. B.的虚部为1 C.在复数范围内,为方程的根 D. 10.已知函数 ,则下列说法正确的是( ) A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C.当 时, D.点是函数 的对称中心 11.已知球(为球心)为正方体的内切球,且球的表面积为,则( ) A.线段的长为 B.直线与球相切 C.的面积为 D.直线与底面所成角的正弦值为 三、填空题 12.圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为_. 13.已知圆柱与圆锥的高均为3,底面半径均相等,若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等,则圆锥的体积为_. 14.甲、乙、丙、丁、戊五名同学玩邮件漂流瓶游戏,规则为:首先由甲同学把一封邮件随机的发送给其他四名同学中的一名,接到邮件的同学再随机的把邮件发送给另外四名同学中的一名,如此传递下去,则第3次发送后乙接收到邮件的概率_,记前次的发送中乙接到邮件的次数为,则_(附:) 四、解答题 15.已知三个内角,,所对的边分别为,,,且. (1)证明:是等腰三角形; (2)若,,求的面积. 16.在三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,平面平面. (1)证明:三棱柱为正三棱柱; (2)若点为棱的中点,且平面与平面夹角的余弦值为, 求点到平面的距离. 17.某市开展“安全随我行”活动,交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼,并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况,对统计得到的样本数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中,. (1)依据散点图推断,与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由),并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性,交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查,得到如下列联表: 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验,能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联? 参考公式:,,,其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18.已知函数,其中为常数. (1)若曲线在处的切线在轴上的截距为,求值; (2)若存在极大值点,求的取值范围,并比较与的大小. 19.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时,. (1)求椭圆C的方程; (2)设,当面积为时,求直线的方程. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $ 海南海口实验中学2025-2026学年高三下学期数学5月模拟试卷（二） 一、单选题 1．已知集合，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，结合题中定义可得结合. 【详解】因为集合，， 所以且. 故选：A. 2．奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（    ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【答案】B 【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案． 【详解】对于A：众数可能不变，如，故A错误； 对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确； 对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误； 对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误； 故选：B 3．设，为非零向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由化简得出，从而得出与共线，当与共线时，，，不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断. 【详解】当时，，化简得，即，，即与共线 当与共线时，则存在唯一实数，使得 ，，与不一定相等，即不一定相等 故“”是“与共线”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理. 4．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数奇偶性的，再取图象上的特殊点进行排除即可. 【详解】由图象可知为奇函数，且， 对于A：，则，为偶函数；排除 对于C：则，排除； 对于D: 可得：，排除； 对于B: ，则， 且当时，，时，取到等号， 而，取到等号，所以符合. 故选:B 5．已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点A（点A在第一象限）作C的准线的垂线，垂足为B，若，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合抛物线定义可得为等边三角形，求得点，坐标，运算即可得到答案. 【详解】连接，由及抛物线的定义可得为等边三角形， 故直线与准线的夹角为30°，则， 则，即，代入抛物线方程可得， 即点A的坐标为，则，直线OB的方程为，即，则点A到直线OB的距离为. 故选：B. 6．已知，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知转化为，，，作出函数，，，图象，数形结合即可得大小关系． 【详解】已知，，，则，，， 作出函数，，，的图象，      由图可知． 故选：A． 7．如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理及排列数公式计算求解. 【详解】由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意. 若顶点标注，则标注在中点处，此时有， 若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种， 所以不同的标注方法有种. 8．已知，且，，是函数的两个相邻的零点，且，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，可得周期，从而求出，得到函数，利用平方关系求出即可得到答案． 【详解】∵，是函数的两个相邻的零点，且， 则，，函数， ，且， 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦函数图象和性质，同角三角函数基本关系，函数零点等知识，属于基础题，侧重考查了数学运算的核心素养. 二、多选题 9．已知为虚数单位，，，则下列选项中正确的有（    ） A． B．的虚部为1 C．在复数范围内，为方程的根 D． 【答案】BC 【分析】根据虚数定义可判断 A；根据复数的分类可判断B；把，代入验证可判断C；分别计算、可判断D. 【详解】因为都是虚数，所以不能比较大小，故 A错误； 因为，所以的虚部为1，故 B正确； 因为，所以， 所以为方程的根，故C正确； ，， 所以，故 D错误. 故选：BC. 10．已知函数 ，则下列说法正确的是（    ） A． 有三个零点 B． 有两个极值点 C．当 时， D．点是函数 的对称中心 【答案】BCD 【分析】先求导，利用导数研究单调性求极值，作出图像即可判断AB，由得，令，由单调性即可求的范围，进而判断C，验证是否成立即可判断D. 【详解】由已知有，令有或， 由或，，所以在单调递减，在单调递增， 所以 有两个极值点，故B正确； 由，作出的图像如图：    由图可知 有两个零点，故A错误； 由，令，则，又在单调递增，在单调递减， 又，所以，即，故C正确； 由 ， 即， 所以点是函数 的对称中心，故D正确. 故选：BCD. 11．已知球（为球心）为正方体的内切球，且球的表面积为，则（    ） A．线段的长为 B．直线与球相切 C．的面积为 D．直线与底面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】由正方体内接球的表面积可得，进而可得，可判断A；设线段的中点为，则球与平面切于点，进而可判断B；结合B选项利用三角形面积公式计算可判断C；求出直线与平面所成角的平面角为，计算可得其正弦值，进而可判断D. 【详解】对于A，因为球的表面积为，所以（为球的半径），解得， 因为球的半径为，得，则正方体的边长为2， 则，故A错误； 对于B，设线段的中点为， 则由正方体及其内切球对称性结构特征可知球与平面切于点， 所以直线与球相切，故B正确； 对于C，因为， 所以的面积为，故C正确； 对于D，直线与底面所成的角即直线与底面所成的角，即， 所以直线与底面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，再利用几何法求出弦长即可． 【详解】双曲线的一条渐近线为，即， 圆的圆心为，半径， 圆心到渐近线的距离为， 由勾股定理得，弦长为． 13．已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为______． 【答案】 【详解】设出半径，根据圆柱侧面积和圆锥表面积相等得到方程，求出，利用锥体体积公式得到答案. 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，则圆柱的侧面积为， 圆锥的表面积为， 由圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等可得， 化简得，解得， 故圆锥体积． 故答案为： 14．甲、乙、丙、丁、戊五名同学玩邮件漂流瓶游戏，规则为：首先由甲同学把一封邮件随机的发送给其他四名同学中的一名，接到邮件的同学再随机的把邮件发送给另外四名同学中的一名，如此传递下去，则第3次发送后乙接收到邮件的概率________，记前次的发送中乙接到邮件的次数为，则________（附：） 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解空1，设第次的发送中乙接到邮件的次数为，则，故，证明，结合分组求和 和等比数列求和公式求结论. 【详解】游戏开始，甲随机的发送给其中一个人，故乙收到的概率为，不是乙的概率为， 第2次发射后，乙收到的概率为，乙没有收到的概率为， 故第3次发送后乙接收到邮件，则第2次发射时邮件不能在乙手里，故概率为， 设第次的发送中乙接到邮件的次数为， 则的可能取值为，表示第次乙没接到邮件，表示第次乙接到邮件，所以， 则,则， 则当时，，， 故，且， 故， 因此， 故， 故答案为：， 四、解答题 15．已知三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理得，即可求解， （2）由余弦定理求解，由同角关系求解正弦值，即可由面积公式求解. 【详解】（1）由可得, 由正弦定理可得, 由于，故,即是等腰三角形. （2）由余弦定理可得，解得， 而为三角形内角，故, 故 16．在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线面垂直，进而证明侧棱垂直于底面，结合底面形状可证结论； （2）建立坐标系，利用平面与平面夹角求出高，结合点面距的向量公式可求答案. 【详解】（1）证明：作于，因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面，即侧棱垂直于底面， 因为底面是正三角形，所以三棱柱为正三棱柱. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则； ， 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 因为平面与平面夹角的余弦值为，所以， 解得，即. ，设点到平面的距离为，则. 17．某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)更适合， (2)不能 【分析】（1）根据图形，即可作出判断，再将非线性回归方程转化成线性回归方程，再结合条件，求出，即可求解； （2）根据条件，求出的值，结合条件，即可求解. 【详解】（1）由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 由，得到，因为，则， 则，所以，则. （2）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联. 18．已知函数，其中为常数. （1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求值； （2）若存在极大值点，求的取值范围，并比较与的大小. 【答案】（1）；（2）的取值范围是，. 【分析】（1）求导得，求解出和，根据导数的几何意义写出切线方程，再利用切线在轴上的截距为，得； （2）求导，设，由题意可判断得是函数在区间内的一个变号零点，列不等式组求解的取值范围，表示出，设函数，求导判断单调性，从而得，即可判断得. 【详解】解：（1），所以. 又，所以切线方程为，即. 由已知，，解得. （2），设函数， 所以函数的减区间为，增区间为， 因为是极大值点，所以在的左右两侧，的值先正后负， 即 的值也是先正后负，故，所以是函数在区间内的一个变号零点. 于是. 解得，故所求的取值范围是. 因为是的极大值点，所以，于是，其中. 所以. 设函数，则. 所以在区间内单调递减，故. 又，所以，且，于是， 故. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 19．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)设，当面积为时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用离心率得出，进而得出，，再利用时，得出点的坐标，代入椭圆的方程即可求解； （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求解. 【详解】（1） 离心率，， 又，即，则， 椭圆：可化为， 当轴时，，，， 点在椭圆上，，将代入，得，， ，，椭圆C的方程为； （2） 由（1）知，设，， 当直线的斜率不存在时，，， 此时三点共线，不能构成三角形，故不满足题意； 当直线的斜率存在时，设， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 则，， ， 又点到直线的距离， ， 化简得，解得或（舍），则， 经检验符合题意. 直线的方程为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $