海南海口市琼山中学2025-2026学年高三下学期5月模拟数学试卷

**基本信息** 聚焦高三数学核心知识，通过篮球投篮游戏、商品销售数据等真实情境，结合导数切线、椭圆与抛物线综合等问题，考查数学眼光、思维与语言，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、复数模、向量夹角、双曲线离心率等|第6题结合双曲线渐近线与圆的位置关系，考查几何直观| |多选题|3|数列综合、概率计算、正四面体性质|第11题涉及正四面体内接圆柱侧面积最值，体现空间观念| |填空题|3|线性回归、三角函数周期、函数恒成立|第12题用商品销售数据考查线性回归，培养数据意识| |解答题|5|解三角形、概率分布、立体几何、导数应用、圆锥曲线综合|第16题以篮球闯关游戏为情境，考查概率期望；第19题综合椭圆与抛物线，体现逻辑推理与创新意识|

海南省海口市琼山中学2025－2026学年下学期高三数学5月模拟试卷 一、单选题 1．设全集U＝R，集合A＝｛x｜x＜1或x＞4｝，B＝｛x｜x≥2｝，则∩B＝（    ） A．［1，2］ B．［2，4］ C．［2，＋∞） D．（－∞，4］ 【答案】B 【分析】先求出集合A的补集，进而求交集即可. 【详解】∵全集U＝R，集合A＝｛x｜x＜1或x＞4｝， ∴，又B＝｛x｜x≥2｝， ∴［2，4］， 故选：B 【点睛】本题考查交并补运算，考查对概念的理解与运用，属于基础题. 2．已知复数满足，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由条件求得，即可计算模长. 【详解】∵，，∴，， ∴. 故选：C. 3．已知平面向量，，若实数m，n满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两向量的坐标，利用平面向量的坐标运算计算两向量的数量积，由两向量的数量积为0得结果. 【详解】因为，，所以，， 又，所以， 即，所以与的夹角为, 故选：B. 4．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（    ） A． B． C． D．28 【答案】B 【分析】根据题意可得：，求展开式的常数项，要先写出展开式的通项，令的指数为0，则为常数项，求出的值代入展开式，可以求得常数项的值 【详解】展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以，展开式的通项为： ，若为常数项，则，所以， ，得常数项为： 故选：B 5．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则下列结论错误的是（   ） A． B．使得成立的最小自然数是 C． D． 【答案】D 【分析】利用条件得出数列正负项的分界，结合等差数列的性质，求和公式可得答案. 【详解】因为，，所以且. 对于A，，A正确； 对于B，，, 所以使得成立的最小自然数是，B正确； 对于C，因为，， 所以，因为，所以，即，C正确； 对于D，由B可知，所以， 假设成立，则,即， 整理得，而，矛盾，所以不成立，D不正确. 故选：D 6．已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得为等腰三角形，作,垂足为,过作轴，交渐近线第一象限部分于,则，利用相似三角形的性质，结合的基本关系求得的关系，进而求. 【详解】如图所示，, 又双曲线的渐近线关于轴对称，,为等腰三角形， 作,垂足为,过作轴，交渐近线第一象限部分于, 则，, . 由三角形相似的性质得,即， 整理得， 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线和离心率，关键是抓住问题的特殊性，适当添加辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质及的基本关系得到的关系，从而求得离心率的值. 7．已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由含绝对值的函数和对数函数的单调性，可求得的值域记为A，若存在实数，使，即,结合二次不等式的解法可解得的取值范围 【详解】, 当时，的值域为 当时，的值域为 所以的值域记为 若存在实数，使，即，即, 解得的取值范围为 故答案为：C 8．已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，由题意可得，计算即可求解. 【详解】因为，所以， 将其解集（部分）在数轴上表示如下： 若，存在，使得成立， 则区间的长度大于等于相邻两个解集之间的长度， 即，即， 又，所以，所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题 9．已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（    ） A． B．为最大项 C． D．数列，，的公差为64 【答案】AC 【分析】根据前三项成等比数列、后三项成等差数列，设后三项的公差为，根据题意将表示成关于d的方程，解出d，分情况逐项讨论即可． 【详解】设后三项的公差为，因为，则，， 由，得， 由前三项成等比数列，公比，所以， 结合，可得， 解得或， 当时，数列为； 当时，数列为； 对于A，当时，，故A正确； 对于B，两种情况的最大项分别是112和180，均不是，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，公差为16或，均不是64，故D错误． 故选：AC． 10．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误. 11．在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（    ） A．正四面体的体积为 B．正四面体外接球的表面积为 C．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D．正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A,作出正四面体的高,利用勾股定理可求其值，计算体积即可；对于B，确定外接球球心在高上，利用直角三角形，建立方程，解出后进一步计算即可；对于C，以点为顶点构造四个三棱锥，利用等体积法即可求解；对于D，作出棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形，设其边长为，其内切圆为所求圆柱的上底面，根据条件建立方程，求出底面圆半径后，求得圆柱侧面积，利用函数的性质求最值即可. 【详解】由于正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形， 故棱长为2，如下图所示， 为底面中心，为的中点则共线，为正四面体的高， 故， 所以, 故四面体的体积为 ， 故A错误； 由题意，正四面体外接球球心在上， 且半径, 所以， 则, 故外接球的表面积为， 故B正确； 正四面体内一点，设到四个面的距离分别为， 则正四面体的体积 ， 故， 即正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值， 故C正确； 如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接圆柱的一个上底面， 若截面所成正三角形边长为， 则圆柱的高， 圆柱底面半径为， 所以其侧面积 ， 故当时，，D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12．在2017年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 9 9.5 10 10.5 11 销售量 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：，则__________． 【答案】40 【详解】根据题意：，，， 13．函数的最小正周期为____________. 【答案】 【分析】首先化简所给的三角函数式，然后结合三角函数的性质即可确定其最小正周期. 【详解】由题意可得：. 故函数的最小正周期为：. 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，正切函数的最小正周期公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．设函数，若恒成立，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】分析知，从而，故可构造函数，利用导数求得最小值即可得解. 【详解】由已知可得：当，则恒正，不恒为正，所以不成立； 故. 而，均递增且与轴均只有一个交点， 所以要使得，只需要两个函数与轴交于同一点，即， 所以，令， 则， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，AC边上的中线长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解；法二，利用余弦定理角化边，进而求出角. （2）利用中点向量关系，借助数量积的运算律求出边c，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）（1）法一：由已知及正弦定理可得： 可得，因为，所以， 因为，所以，因为，所以. 法二：由已知及余弦定理可得：， 化简得，由余弦定理可得 因为，所以，因为，所以. （2）由，得， 即，整理得，即，解得， 所以. 16．某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）方案一 【分析】（1）由独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得； （2）（i）先求出的分布列，再由期望公式求出期望；（ii）分别求出两种方案的期望，作差比较大小即可； 【详解】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以. （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 . （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小. 17．如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ．已知，，，，． (1)设点是的中点，证明：平面； (2)求与平面所成的角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）判断方向向量平行于平面， （2）通过向量积找法向量，然后利用点积确定角度. 【详解】（1），为原点建立空间直角坐标系，如图， 则， 是的中点，， 由图可知，是平面的一个法向量， 由，且不在平面内， 平面· （2）设与面所成的角为 ， 因为， 设是平面的一个法向量， 则由得， 令，得， 又，，则， 与面所成的角为正弦值为. 18．已知函数，直线l是曲线在点处的切线. (1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； (2)若存在l经过点，求实数a的取值范围； (3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入得到函数，求出切点坐标，然后求导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）由函数求出切点坐标，由导数求出切线斜率得到切线方程.带点到直线方程得到方程，设函数，通过导数求得函数的单调区间，然后得到函数的最小值，方程有解即函数由零点，即函数最小值小于等于0，建立不等式后求得实数a的取值范围； （3）代入得到函数解析式，然后求出切点坐标，求导数得到切线斜率，然后得到切线方程，即得点坐标.然后得到三角形面积，由（2）得到函数在时取得最小值，由于最小值大于0，从而知道当时，三角面积最小值，即得到结果. 【详解】（1）当，（为自然对数的底数）时， ，， ，， 所以直线l的方程为，即. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以直线l的方程为. 因为l经过点，所以，化简得. 设，由题意知，存在，使得. 又因为， 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 所以在时取得最小值. 因为，所以，解得. 此时. 因为， 所以只需.所以a的取值范围是. （3）当时，，， ，， 直线l的方程为. 令，得，即， 所以. 由（2）知，当时，在时取得最小值， 因为，所以恒成立， 所以当时，取得最小值. 19．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市琼山中学2025－2026学年下学期高三数学5月模拟试卷 一、单选题 1．设全集U＝R，集合A＝｛x｜x＜1或x＞4｝，B＝｛x｜x≥2｝，则∩B＝（    ） A．［1，2］ B．［2，4］ C．［2，＋∞） D．（－∞，4］ 2．已知复数满足，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知平面向量，，若实数m，n满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（    ） A． B． C． D．28 5．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则下列结论错误的是（   ） A． B．使得成立的最小自然数是 C． D． 6．已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 7．已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（    ） A． B．为最大项 C． D．数列，，的公差为64 10．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 11．在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（    ） A．正四面体的体积为 B．正四面体外接球的表面积为 C．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D．正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 三、填空题 12．在2017年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 9 9.5 10 10.5 11 销售量 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：，则__________． 13．函数的最小正周期为____________. 14．设函数，若恒成立，则的最小值为______. 四、解答题 15．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，AC边上的中线长为，求的面积． 16．某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 17．如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ．已知，，，，． (1)设点是的中点，证明：平面； (2)求与平面所成的角的正弦值； 18．已知函数，直线l是曲线在点处的切线. (1)当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； (2)若存在l经过点，求实数a的取值范围； (3)当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 19．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $