数学终极押题猜想（江苏宿迁专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以考情分析为骨架，构建15模块分层训练体系，提炼高频考点解题方法，注重知识逻辑链与中考命题趋势的深度契合，发展数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数/方程计算|8道模考题|必拿分题解题规范，运算技巧总结|代数运算基础，为综合题奠基| |方程判别式|8道综合题|判别式与韦达定理联用，参数范围推理|方程根的性质→代数推理能力| |统计概率|8道情境题|图表信息转化，概率模型构建|数据收集→分析→推断，培养数据观念| |几何图形|8道证明题|特殊图形性质应用，辅助线构造|三角形→四边形→图形变换，发展几何直观| |函数综合|12道压轴题|数形结合，动态问题分类讨论|反比例→二次函数→实际应用，构建模型意识| |新定义问题|6道创新题|信息迁移，自定义规则应用|知识整合→创新思维，提升数学抽象能力|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 实数、方程与不等式等计算题 2 押题猜想二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 4 押题猜想三 统计与概率问题 6 押题猜想四 三角形、四边形的判定与性质 12 押题猜想五 几何图形中的尺规作图综合 16 押题猜想六 反比例函数的图象与性质 20 押题猜想七 二次函数的图象与性质综合 25 押题猜想八 二次函数中的倍角关系、面积关系 28 押题猜想九 二次函数的实际应用 33 押题猜想十 解直角三角形及其应用 37 押题猜想十一 圆的切线判定与性质应用 41 押题猜想十二 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥面积） 43 押题猜想十三 几何图形的平移、翻折、对称问题 46 押题猜想十四 几何图形中的最值问题 48 押题猜想十五 新情境类材料阅读与新定义问题 50 押题猜想一 实数、方程与不等式等计算题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】计算与解不等式组： (1) (2) 【改编题】先化简，再求值：，其中x满足方程． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分选择、填空和解答题中均会考查，一般以实数的计算、方程不等式、三角函数的计算题为主，在函数类、几何类的题目中也会考查代数这一块的计算能力；分值占比较大，但是整体难度不大，一般是必拿分的题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·一模）解决下列问题： (1)计算：； (2)解方程：． 2．（2026·江苏苏州·一模）先化简、再求值：，其中． 3．（2026·江苏泰州·一模）按要求完成下列计算： (1)计算： (2)解方程： 4．（2026·江苏徐州·一模）解方程或解不等式组． (1)解方程：； (2)解不等式组：． 5．（2026·江苏无锡·二模）解方程（不等式） (1)； (2)． 6．（2026·山东青岛·一模）化简与解不等式组 (1)化简：； (2)解不等式组：． 7．（2026·江苏南通·一模）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 8．（2026·江苏泰州·一模）计算及解分式方程： (1)计算：； (2)解分式方程：． 押题猜想二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 试题前瞻·能力先查 限时：15min 已知：关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若两实数根、满足，求的值． 【改编题】已知，是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值为______________． 分析有理·押题有据 宿迁中考此知识点为高频必考，常以选填和中档解答题呈现。重点考查判别式判定根的情况、含参数取值范围求解，结合韦达定理整体代入求代数式值。命题常隐含二次项系数不为零、判别式非负前提，融合方程与代数式化简，侧重基础推理与易错条件把控。 终极猜想·精练通关 9．（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 10．（2025·江苏盐城·一模）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 11．（2025·江苏淮安·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程恰有一个根等于，求k的值； (2)求证：不论k取何值，方程总有实数根． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求下列代数式的值：①，②； (2)已知，求p的值． 13．（2025·江苏南通·一模）若，，，则的值是____． 14．（2025·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 15．（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，且，则的值为_____． 16．（2025·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数________． 押题猜想三 统计与概率问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试．现从八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生的成绩是：66，75，77，80，82，84，84，86，96，100， 九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，86，86， 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 83 b 众数 c 86 方差           根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：= ， ， ； (2)求九年级抽取的学生成绩扇形统计图中，D组所对应的扇形圆心角的度数； (3)该校八年级有1200人、九年级有650人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有多少人． 某商场为某品牌冰箱举办有奖促销活动，采取盒中摸球抽奖方式，规定：顾客每购买1台该品牌冰箱可获得1次抽奖机会，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.3，中三等奖的概率为0.6．商场设计一个用2种颜色小球抽奖方案如下：在一个盒子中放入2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到2个红球的顾客中一等奖，摸到2个白球的顾客中二等奖，摸到1红1白两个球的顾客中三等奖．商场设计的方案符合规定吗？为什么？（用列表或树状图说明） 分析有理·押题有据 统计与概率是宿迁中考必考基础题型，统计侧重条形、扇形统计图综合计算，考查平均数、中位数、众数及样本估计总体。概率多以列表或树状图求随机事件概率，常结合生活情境命题，注重数据整理分析与概率模型构建，题型基础稳定，侧重读图能力和规范解题步骤。 终极猜想·精练通关 17．（2026·江苏南通·一模）“身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． (1)随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； (2)估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； (3)基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 18．（2026·江苏连云港·一模）2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，_____，请补全条形统计图； (2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 19．（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）． (1)根据图中所提供的信息，填空：2025年比2025年增加了__________公顷，在2025年，2025年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年； (2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率； (3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图． 20．（2026·江苏南京·模拟预测）阅读涵养心灵．某区2025年9月就“初中生每天阅读时间”对七年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为，调查问卷设置了四个时间选项：A．；B．；C．；D．），并根据调查结果制作了如图（1）所示的条形统计图．2025年9月该区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2025年12月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图（2）所示的扇形统计图． 请根据提供的信息，解答下列问题． (1)2025年9月份抽样调查的样本容量为______，该地区七年级学生“每天阅读时间不少于小时”的人数约为______人； (2)关于这两次调查，下列说法正确的是（   ） A．9月份阅读时间的众数是320人 B．12月份阅读时间的中位数落在C组 C．9月份和12月份阅读时间的平均数相同 D．12月份调查中阅读时间在B组的人数一定少于80人 (3)估算该地区2025年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率．（精确到） 21．（2026·江苏泰州·模拟预测）在一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再随机摸出1个球，用列表法或树状图法求两次摸到不同颜色球的概率； (2)若在袋中再加入n个白球，使得从袋中随机摸出1个球是红球的概率为，求n的值． 22．（2026·江苏连云港·一模）为落实“健康第一”的教育理念，老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成四组：A．篮球，B．羽毛球，C．乒乓球，D．跳绳． (1)明天小明同学恰好被分到球类运动项目的概率是_____； (2)小明和小虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 23．（2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人． (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 24．（2026·辽宁抚顺·一模）为传承中华优秀传统文化，某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，，并绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ，请将条形统计图补充完整； (2)若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛．小敏这三轮的成绩分别为86分、89分、93分，小敏能参加决赛吗？请说明理由． (3)经过初赛，进入决赛的学生有3名女生和2名男生，现从这5名学生中随机抽取2名学生担任该校的宣传传统文化小标兵，请用列表或画树状图的方法求这2名学生恰好是一名男生一名女生的概率． 押题猜想四 三角形、四边形的判定与性质 试题前瞻·能力先查 限时：20min 如图，在矩形中，为边的中点． (1)求证：； (2)若，求边的长度． 【改编题】如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，，则的长为_____． 分析有理·押题有据 宿迁中考高频考查三角形与四边形综合题型，聚焦特殊三角形、平行四边形及矩形菱形正方形的性质与判定。常结合全等、勾股定理进行线段和角度计算，几何推理步骤要求严谨，多在填空、解答题出现，侧重模型识别与辅助线运用。 终极猜想·精练通关 25．（2026·江苏镇江·一模）如图，在中，，，，，点是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 26．（2026·江苏泰州·一模）如图，中，是边上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（2026·江苏无锡·二模）如图，在平行四边形中，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 28．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，垂足为点E． (1)过点A作，垂足为点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求证：四边形是菱形． 29．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 30．（2026·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 31．（2026·湖南株洲·一模）如图，菱形中，点P是对角线上一点，连接并延长交于点F，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 32．（2025·江苏苏州·一模）如图，菱形中，为对角线，是边延长线上一点，连接． (1)在线段上求作点，使得（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)在（1）的作图条件下，当时，求线段的长度． 押题猜想五 几何图形中的尺规作图综合 试题前瞻·能力先查 限时：30min 【改编题】如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 分析有理·押题有据 尺规作图是中考必考题型，常考查作角平分线、垂直平分线、垂线与等腰三角形等基础作图。多结合几何性质、全等判定综合设问，要求保留作图痕迹，依据作图原理推理计算边长角度，注重规范作图步骤与几何逻辑综合应用。 终极猜想·精练通关 33．（2026·江苏南通·一模）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，可以通过平行四边形巧妙地构造菱形．下面作法就是其中一种． 作法：在平行四边形中，作平分交于点，过点作的垂线，垂足为，交线段于点，连接． (1)根据以上作法，用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：四边形为菱形． 34．（2025·江苏南通·模拟预测）如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上． (1)的周长为 ； (2)如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)请在图中画出的角平分线．（仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） 35．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，点P是的边上的一定点， (1)请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．在图 1中作一个，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切，切点为F； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的的劣弧与、所围成图形的周长_______． 36．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，把矩形折叠，使得点B与边上的点P重合，为折痕，点M，N分别在边，上． (1)请用尺规在图中作出过点M，D，P的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若直线与过M，D，P三点的相切，求的半径． 37．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，是它的一条对角线， (1)请借助无刻度的直尺和圆规画出矩形，使点、在上（点在点的左下方）（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在（1）的条件下，过点作于点，若，．求的长． 38．（2025·江苏扬州·三模）尺规作图：（保留作图痕迹即可） (1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可） (2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可） (3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明） 39．（2025·江苏盐城·三模）已知，如图中，于点 (1)如图①，若是边上一点，将绕点H顺时针旋转，得到，连接．求证： (2)如图②，，利用直尺和圆规，分别在上作点使．(要求∶保留作图痕迹，并写出简要作法．) 40．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，、相交于点O． (1)证明：； (2)请你利用无刻度直尺和圆规作，交于H（不写作法，保留作图痕迹），若，，求线段的长． 押题猜想六 反比例函数的图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：30min 【改编题】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【改编题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． (1)求的值； (2)当时，自变量的取值范围为__________； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 分析有理·押题有据 反比例函数是宿迁中考重点内容，常以选择、填空及中档解答题考查。侧重图象象限分布、增减性、k 的几何意义，结合矩形、三角形求面积。常与一次函数综合求交点、比较函数值大小，含参数题型频出，注重数形结合与几何面积转化应用。 终极猜想·精练通关 41．（2026·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式： (2)已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值． 42．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标． 43．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 44．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标． 45．（2025·江苏连云港·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1) ， (2)当时，的取值范围是 (3)过点作轴于点，连接，过点作于点，求线段的长． 46．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 押题猜想七 二次函数的图象与性质综合 试题前瞻·能力先查 限时：40min 已知二次函数（为常数）． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 【改编题】已知抛物线：． (1)当时，判断点是否在该抛物线上； (2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； (3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 分析有理·押题有据 二次函数是宿迁中考重难点与压轴常客，考查解析式求法、图象开口、对称轴与顶点性质。常结合增减性、最值、与坐标轴交点命题，还会联动一次函数、几何图形考面积和存在性问题。含参数范围、图象平移变换高频出现，侧重数形结合与综合推理应用。 终极猜想·精练通关 47．（2026·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线：经过点． (1)用含有的式子表示； (2)若，点在上，且点的纵坐标为．请说明是否在上？ (3)直线交于点M，N，若线段的中点为直线与的唯一公共点，求的值． 48．（2026·江苏泰州·一模）已知抛物线：． (1)当时，判断点是否在该抛物线上； (2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； (3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 49．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 50．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数的图象经过点和． (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)下列结论：①；②无论a取何值，该函数图象与x轴总有公共点；③当时，y的最小值为4；④无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号是________； (3)直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 52．（2025·江苏宿迁·三模）已知：二次函数的图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，且． (1)求二次函数表达式； (2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； (3)设是二次函数位于第一象限图象上一点，作于点，轴于点．当最大时，求点的坐标． 押题猜想八 二次函数中的倍角关系、面积关系 试题前瞻·能力先查 限时：40min 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 分析有理·押题有据 二次函数压轴常考倍角与面积综合题型，依托抛物线图象构建几何关系。重点考查等角、二倍角构造转化，割补法求图形面积、面积定值与最值问题。常结合动点、直线相交设问，融合数形结合、相似转化，是宿迁中考压轴高频考点。 终极猜想·精练通关 53．（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 54．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 56．（2025·江苏苏州·一模）已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 57．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 58．（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 押题猜想九 二次函数的实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：40min 为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 【改编题】综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 分析有理·押题有据 二次函数实际应用是宿迁中考必考解答题，多以销售利润、拱桥隧道、投篮运动为背景。考查建立函数解析式，求最值、取值范围及实际方案问题。结合生活情境，利用顶点求最大利润或高度，注重建模能力与实际意义取舍解集。 终极猜想·精练通关 59．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 60．（2025·江苏盐城·一模）如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）． (1)轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ； (2)若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ (3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 61．（2025·江苏宿迁·二模）项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美——数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片．某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），与水平塔架的投影相交于点，在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为． 数学公式备用：若、在抛物线上，则线段与抛物线围成“弓形”的面积为：． 数学建模：以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，点的坐标为． 探究问题： (1)桥塔的高度 ； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若此时测得 ①求水平塔架的长度； ②设“弓形”的面积为，四边形的面积为，记，请直接写出值． 62．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额元，求关于的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 63．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 64．（2025·江苏宿迁·一模）用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第n个图形中含有正方体木块s个． (1)填表： n 1 2 3 4 … s (2)已知s是n的二次函数，求这个二次函数的表达式． (3)第10个图形中的正方体木块有多少个？ (4)是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 押题猜想十 解直角三角形及其应用 试题前瞻·能力先查 限时：40min 某校数学兴趣小组准备测量学校图书馆的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，D在同一水平线上，一小组成员从教学楼顶部A测得图书馆的顶部E的俯角为，另一小组成员沿方向从教学楼底部B点向图书馆走15米到达C点，在C点测得教学楼顶部A的仰角为、图书馆顶部E的仰角为，求图书馆的高度．（参考数据：，） 如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为___________． 分析有理·押题有据 解直角三角形是宿迁中考高频解答考点，以仰角俯角、坡度坡角、航海测距为命题背景。重点考查构造直角三角形、运用三角函数求值，常双直角三角形联动求解边长高度。注重实际场景建模、近似计算及结果取舍，解题套路固定、步骤规范性要求高。 终极猜想·精练通关 65．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，从水平地面上的点B处沿坡度为的山坡走了到达坡顶，沿方向前进到达点C处，测得E的仰角为；在点A处测得E的仰角为，点A、B、C、D、E在同一水平面内，且． (1)求点A到的距离； (2)求点A到建筑物的水平距离； (3)求建筑物的高度． 66．（2026·山东淄博·一模）如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． (1)求的长； (2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 67．（2026·江苏南京·一模）如图，小明去池塘钓鱼，斜坡长为，其与水平线的夹角为，钓竿长为，其与水平线的夹角为．由于当天的风向，测得钓线与钓竿的夹角为．（参考数据：，，，，，） (1)求点到水平面的距离； (2)求的长． 68．（2026·江苏无锡·一模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（）为，C处的俯角（）为，其中P，D，Q在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机D的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置D离地面的距离（结果保留根号）； (2)处的小汽车到桥梁入口B的距离的长（结果保留根号）． 参考数据：，，． 69．（2026·山东滨州·一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． (1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． (2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 70．（2026·江苏徐州·一模）如图，一艘渔船自东向西以每小时12海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：码头A在灯塔B北偏西方向．15点时渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处．时，渔船航行至灯塔B东北方向的灯塔处，受冷空气影响，今天18点到夜间码头A附近海域将出现浓雾．若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头．（参考数据：） 押题猜想十一 圆的切线判定与性质应用 试题前瞻·能力先查 限时：40min 如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 分析有理·押题有据 圆的切线是宿迁中考几何核心考点，常出现在中档解答题。重点考查切线的判定两种常用方法、切线垂直半径的性质，多结合圆周角、等腰三角形、勾股定理综合设问。常搭配线段求值、角度证明，题型经典稳定，注重几何推理逻辑和辅助线规范做法。 终极猜想·精练通关 71．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 72．（2025·江苏苏州·一模）如图，C，D为线段上两点，且，过点D作的垂线，与以为直径的交于点E，作射线． (1)求证：为的切线； (2)F为上一点，弦与直径交于点G，当F为中点时，求的长． 73．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在中，，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点，，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 74．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，以为直径的圆O交于点D，交于点E，过点D作，垂足为F． (1)求证：为的切线； (2)若过A点且与平行的直线交的延长线于G点，连接．当是等边三角形时，求的度数． 75．（2025·江苏扬州·三模）如图，在中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 76．（2025·江苏无锡·二模）如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 押题猜想十二 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥面积） 试题前瞻·能力先查 限时：40min 【改编题】如图，为的直径，C为上的一点，是过点C的直线，，垂足为E，与相交于点F，连接，恰好平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，．求阴影部分的面积． 【改编题】如图，为的直径，点C是上一点，D是的中点，连接，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 分析有理·押题有据 与圆相关计算是宿迁中考常考题型，集中考查弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积公式运用。命题常结合圆、正多边形、阴影部分面积割补求解，还会涉及扇形围成圆锥的半径、母线转换关系。题型多为选择填空，侧重公式熟记与图形转化、整体割补的计算能力。 终极猜想·精练通关 77．（2025·江苏盐城·一模）如图，，以为直径作，交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中由弧与弦围成的阴影部分面积． 78．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于点和点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求弦和围成的阴影弓形部分面积． 79．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，四点在上，为的直径，于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弦与弧围成的弓形的面积． 80．（2025·江苏泰州·三模）如图，四边形是的内接四边形，弦非直径，点在弦上（不与端点重合），延长、交于点． (1)给出三个信息：①；②；③．请你从这三个信息中选择两个信息作条件，剩余一个信息作结论，构成一个命题，判断命题是否正确，并说明理由． 你选择的条件是________，_________，结论是________（只填序号）； (2)在（1）的条件下，若的度数为，，． ①求的正弦值； ②求图中阴影部分的面积． 81．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求涂色部分的面积． 82．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，点P是的直径延长线上一点，，绕点P按逆时针方向旋转，点O旋转到点C，连接交于点D，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 押题猜想十三 几何图形的平移、翻折、对称问题 试题前瞻·能力先查 限时：50min 【改编题】如图，在菱形中，，，M是边的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接，则的最小值为_______． 如图，在中，，，．将绕的中点逆时针旋转得到，当经过点时，的长为_____． 分析有理·押题有据 图形平移、翻折、对称是宿迁中考填空与解答高频考点，翻折为考查重点。命题常结合三角形、四边形，利用全等、边长角度不变性求解线段和角度。多融入动点、最值情境，考查数形转化与几何推理，侧重掌握变换前后等量关系与辅助线构造技巧。 终极猜想·精练通关 83．（2025·江苏宿迁·二模）实践与探究： (1)如图（甲），正方形纸片的边长为2，沿对角线剪开，然后固定纸片．把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；（与不重合） ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图（乙），菱形纸片的边长为2，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 84．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为______． 85．（2025·江苏南京·三模）如图，正方形的边上有一点，将沿翻折，使得点落在点处，射线，相交于点，若，，则 ______． 86．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接．若分别为的中点，则线段长的最小值为___________． 87．（2025·江苏泰州·三模）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______． 88．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，，，是边上一点，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点，则的最大值是________． 押题猜想十四 几何图形中的最值问题 试题前瞻·能力先查 限时：50min 如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 如图，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作矩形．若矩形的面积是24，连接，则的最大值为_______． 分析有理·押题有据 几何最值是宿迁中考填空压轴与解答高频考点，常结合三角形、四边形、圆及轴对称命题。重点考查将军饮马、点到直线距离、直径最长等模型，涉及线段最值、周长及面积最值。多融合翻折、平移变换，需构造辅助线利用几何性质转化求解，侧重模型识别与数形推理能力。 终极猜想·精练通关 89．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处．当的长度取得最大值时，折痕的长度为_____．（结果保留根号） 90．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 91．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 92．（2026·江苏扬州·一模）如图，在四边形中，且为锐角，，当长取得最大时，则的值为__________． 93．（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 94．（2025·江苏苏州·一模）如图，矩形中，与相交于点E，，将沿折叠，点A的对应点为F，连接交于点G，且，在边上有一点H，使得的值最小，此时_______． 押题猜想十五 新情境类材料阅读与新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：50min 【新定义】平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 【新情境】项目背景：扬州某物流园区引入智能分拣系统，该系统通过摄像头识别货物轮廓，并借助直角坐标系确定货物形状“最小包围矩形”（即目标矩形）的尺寸．该系统中目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于坐标轴，货物形状近似图形的所有点都在矩形内部或边上，且矩形面积最小．设目标矩形的竖直边长与水平边长的比为k，称k为目标矩形的形态比． 例如：某货物形状近似图形为圆形，识别后如图1，则其目标矩形形态比为． (1)如图2，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为线段，端点坐标为，，则其目标矩形的形态比 ． (2)如图3，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为抛物线，其表达式为，该抛物线经过点，且其目标矩形的形态比，水平边长为8个单位．求该抛物线的表达式，并求出目标矩形的面积． (3)如图4，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为反比例函数的一支．过曲线上两点、分别作坐标轴的平行线，围成目标矩形．设该目标矩形的面积为S． 求证：该目标矩形形态比； 若，是否存在目标矩形，使其同时满足面积且形态比？若存在，请直接求出满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由． 分析有理·押题有据 新定义与材料阅读是宿迁中考压轴常考题型，多以陌生概念、自定义规则、实际新情境为载体。融合代数运算、函数性质与几何推理，考查现场理解、迁移建模能力。题型灵活新颖，侧重提炼信息、套用新定义规律，综合考查数学抽象、逻辑推理与知识迁移应用素养。 终极猜想·精练通关 95．（2025·江苏宿迁·二模）对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为． (1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______； ①；②；③． (2)已知函数与函数互为“融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围． 96．（2025·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 97．（2026·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． (1)如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； (2)如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 98．（2026·江苏无锡·一模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． (1)求证：函数图像上总存在“等值点”； (2)设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； (3)将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 99．（2026·江苏镇江·一模）【问题背景】蒙住被测试者的眼睛，由于人的左右腿发力不一致，导致左右脚步幅有细微的差距，从而会无意识转圈． (1)【活动思考一】已知被测试者的左脚每步走0.600米，右脚每步走0.601米，他两脚间距米（如图1），那么他左右脚交替行走（即步数一致）的足迹可近似为两个同心圆（如图2），求小圆的半径．    (2)【活动思考二】当两脚步幅相差很小时，人无意识转的圈会很大，我们将左右脚交替行走的足迹近似为一个圆．有一位旅行者从沙漠景区的营地出发，沿正北方向前进，已知他左右脚交替一次共走1.256米，当左右脚交替行走各5000次后，他拿出指南针，测得自己的位置是北偏西，他决定在原地等待救援．一辆救援车从营地出发，速度为60千米/小时，它最快用多长时间可到达旅行者所在的位置?（） 100．（2026·吉林长春·一模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是2，点是上的一个动点，点是平面内一点，，求证：线段的最大值为7． (1)【问题解决】经过分析，如图2，小明将延长交于点，并猜想此时最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．证明：如图2，在上任意取一点（点不与点重合），连接； 证明过程缺失 则， 则此时，最大，最大值为 (2)【问题延伸】如图3，在中，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，则线段的最小值是___________． (3)【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点，沿修建小路，并在中点处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊最短为___________米．（结果保留根号） 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 实数、方程与不等式等计算题 2 押题猜想二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 4 押题猜想三 统计与概率问题 6 押题猜想四 三角形、四边形的判定与性质 12 押题猜想五 几何图形中的尺规作图综合 16 押题猜想六 反比例函数的图象与性质 20 押题猜想七 二次函数的图象与性质综合 25 押题猜想八 二次函数中的倍角关系、面积关系 28 押题猜想九 二次函数的实际应用 33 押题猜想十 解直角三角形及其应用 37 押题猜想十一 圆的切线判定与性质应用 41 押题猜想十二 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥面积） 43 押题猜想十三 几何图形的平移、翻折、对称问题 46 押题猜想十四 几何图形中的最值问题 48 押题猜想十五 新情境类材料阅读与新定义问题 50 押题猜想一 实数、方程与不等式等计算题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】计算与解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据解不等式组的基本步骤求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式得； 解不等式得， 故不等式组的解集为． 【改编题】先化简，再求值：，其中x满足方程． 【答案】 【分析】首先根据分式的性质以及运算法则进行化简，再解方程，验证解是否使原式有意义，再代入化简求值即可． 【详解】解：原式 ， 解方程，可得， 当时，原式中的分母，分式无意义，舍去； 当时，原式． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分选择、填空和解答题中均会考查，一般以实数的计算、方程不等式、三角函数的计算题为主，在函数类、几何类的题目中也会考查代数这一块的计算能力；分值占比较大，但是整体难度不大，一般是必拿分的题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏南通·一模）解决下列问题： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)； (2)无解 【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项化简； （2）先确定最简公分母，通过去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后，再进行检验． 【详解】（1）解： ； （2） 经检验：是增根，原分式方程无解． 2．（2026·江苏苏州·一模）先化简、再求值：，其中． 【答案】； 【分析】原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 3．（2026·江苏泰州·一模）按要求完成下列计算： (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别计算即可； （2）根据解分式方程的方法解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的根为． 4．（2026·江苏徐州·一模）解方程或解不等式组． (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（）利用公式法解一元二次方程即可； （）先解两个不等式，然后即可求得解集． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴，； （2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 5．（2026·江苏无锡·二模）解方程（不等式） (1)； (2)． 【答案】(1) (2)不等式组的解集为 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，按步骤配方后开方即可得到结果； （2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】（1）解：解方程 移项得 配方得 即 开方得 解得． （2）解：解不等式组 解第一个不等式 移项得 系数化为1得 解第二个不等式 去分母得 去括号得 移项合并得 系数化为1得 所以不等式组的解集为． 6．（2026·山东青岛·一模）化简与解不等式组 (1)化简：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出结果； （2）分别求出每个不等式的解集，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 7．（2026·江苏南通·一模）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 检验：当时，． 原分式方程的解为． 8．（2026·江苏泰州·一模）计算及解分式方程： (1)计算：； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 去分母得：， 解得：， 经检验，当时，， 是原方程的解． 押题猜想二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 试题前瞻·能力先查 限时：15min 已知：关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若两实数根、满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【详解】（1）解： 对于方程， 其中，， ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； （2）解： ∵、是方程的两个实数根 ∴， ∵ ∴ 整理得 因式分解得 解得或 又∵由（1）知 ∴不符合题意，舍去 ∴ 【改编题】已知，是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值为______________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，是二次函数图象上的两点，可知、是一元二次方程的两个解，根据一元二次方程根与系数的关系，可知，把代入二次函数的解析式，可得函数值． 【详解】解：，是二次函数图象上的两点， 、是一元二次方程的两个解， 整理可得：， 根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ， ． 故答案为：4． 分析有理·押题有据 宿迁中考此知识点为高频必考，常以选填和中档解答题呈现。重点考查判别式判定根的情况、含参数取值范围求解，结合韦达定理整体代入求代数式值。命题常隐含二次项系数不为零、判别式非负前提，融合方程与代数式化简，侧重基础推理与易错条件把控。 终极猜想·精练通关 9．（2025·江苏扬州·二模）已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)2015 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键； （1）证明方程的判别式大于0即可； （2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，原方程为， ∵、是此方程的两个根， ∴， ∴ ∴ ． 10．（2025·江苏盐城·一模）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ， 解得：； （2）解：∵， ∴ ． 11．（2025·江苏淮安·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程恰有一个根等于，求k的值； (2)求证：不论k取何值，方程总有实数根． 【答案】(1)k的值为 (2)见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键． （1）把代入方程，从而可得答案； （2）证明即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入方程得， ， 解得：， 所以k的值为． （2）证明：因为 ， 又因为， 所以不论k取何值，方程总有实数根． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求下列代数式的值：①，②； (2)已知，求p的值． 【答案】(1)①；② (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （1）①变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解；②由变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解； （2）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， ∴①， ② ； （2）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 13．（2025·江苏南通·一模）若，，，则的值是____． 【答案】 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及代数式求值，由题意得到与为方程的两根，利用根与系数的关系求出与的值，原式变形后代入计算即可求出值．熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：实数，且、满足，， 与为方程的两根， ，， ， 故答案为：． 14．（2025·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】4049 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：4049． 15．（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，且，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， 则，， ∴ 故答案为：． 16．（2025·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴ ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 押题猜想三 统计与概率问题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试．现从八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生的成绩是：66，75，77，80，82，84，84，86，96，100， 九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，86，86， 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 83 b 众数 c 86 方差           根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：= ， ， ； (2)求九年级抽取的学生成绩扇形统计图中，D组所对应的扇形圆心角的度数； (3)该校八年级有1200人、九年级有650人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有多少人． 【答案】(1) (2) (3)435人 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，方差，掌握众数、中位数、平均数，方差定义和优秀率的意义是解题的关键． （1）根据九年级组有 4 个数据和、组的百分数可得的值，根据中位数和众数的定义可得、的值； （2）用乘组所占百分比即可； （3）用总人数乘以样本中组的百分比即可． 【详解】（1）解：∵， ， D组人数， 把九年级测试成绩从高到低排序，D组人数3人，则组由高到低排序后，第2和第3两数的平均数就是九年级测试成绩的中位数， ∵组由高到低排序为：86，86，83，81， ∴九年级测试成绩的中位数， ∵八年级测试成绩中84出现2次，出现次数最多， ∴八年级测试成绩的众数为； 故答案为：； （2）解：， 即九年级抽取的学生成绩扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角的度数为； （3）解：（人）． 答：估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于 90 分的共有 435 人． 某商场为某品牌冰箱举办有奖促销活动，采取盒中摸球抽奖方式，规定：顾客每购买1台该品牌冰箱可获得1次抽奖机会，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.3，中三等奖的概率为0.6．商场设计一个用2种颜色小球抽奖方案如下：在一个盒子中放入2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到2个红球的顾客中一等奖，摸到2个白球的顾客中二等奖，摸到1红1白两个球的顾客中三等奖．商场设计的方案符合规定吗？为什么？（用列表或树状图说明） 【答案】商场设计的方案符合规定，理由见解析． 【分析】画出树状图，得出摸出2个球的所有等可能结果，分别计算出中一、二、三等奖的概率，再和规定的概率比较，判断方案是否符合规定即可． 【详解】解：商场设计的方案符合规定，理由如下： 记2个红球分别为红1，红2，3个白球分别为白1，白2，白3，画树状图如下： 由树状图知，共有20种等可能的结果，其中摸到2个红球的结果有2种， 因此，中一等奖的概率， 摸到2个白球的结果有6种， 因此，中二等奖的概率 ， 摸到1个红球1个白球的结果有12种， 因此，中三等奖的概率 ， 三个奖项的概率与题目规定的概率完全一致， 因此商场设计的方案符合规定． 分析有理·押题有据 统计与概率是宿迁中考必考基础题型，统计侧重条形、扇形统计图综合计算，考查平均数、中位数、众数及样本估计总体。概率多以列表或树状图求随机事件概率，常结合生活情境命题，注重数据整理分析与概率模型构建，题型基础稳定，侧重读图能力和规范解题步骤。 终极猜想·精练通关 17．（2026·江苏南通·一模）“身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． (1)随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； (2)估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； (3)基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 【答案】(1)130， (2)360人 (3)适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动（合理即可，答案不唯一） 【分析】（1）条形统计图中各组数据相加可得学生总数；用360度乘以“球类”活动所占百分比可得对应的圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）合理即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：， 即随机抽查了130名学生； 扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角为：； （2）解：， 答：估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数为360人； （3）解：根据学生最喜欢的体育活动类型以及每天参加综合体育运动时间达2小时的人数不到一半的情况，建议学校可以适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动． 18．（2026·江苏连云港·一模）2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，_____，请补全条形统计图； (2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 【答案】(1)，，图见解析 (2)人 (3)见解析 【分析】（1）根据中位数、众数定义求解即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 【详解】（1）解：班不了解人数为人，比较了解人数为人，了解共人，故非常了解共人， 将成绩按从小到大排序，可知中位数位于第、之间， 故， 由B班成绩，可得， 补全条形图如下： （2）解：人， 故成绩为“了解”的学生人数约为人； （3）解：从平均数看，，两班学生测试成绩的平均水平一样； 从中位数看，班学生测试成绩的中位数低于班学生测试成绩的中位数，说明班的整体水平好一些； 从众数看，班学生测试成绩的众数低于班学生测试成绩的众数，说明班学生测试成绩的高分集中趋势高一些； 从方差看，班学生测试成绩的方差低于班学生测试成绩的方差，说明班学生测试成绩的波动小一些． 19．（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）． (1)根据图中所提供的信息，填空：2025年比2025年增加了__________公顷，在2025年，2025年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年； (2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率； (3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图． 【答案】(1)3；2025 (2) (3)见解析 【分析】（1）用2025年的绿地面积减去2025年的绿地面积可得第一空的答案；求出2025年和2025年这两年的绿地面积的增加量，比较即可得到第二空的答案； （2）设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，再根据2025年和2027年这两年的绿地面积建立方程求解即可； （3）根据（2）所求求出2026年的绿地面积，再画图即可． 【详解】（1）解：公顷， ∴2025年比2025年增加了3公顷； ∵公顷，公顷，且， ∴在2025年，2025年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是2025年； （2）解：设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年（）绿地面积的年平均增长率为； （3）解：公顷， 画图如下： 20．（2026·江苏南京·模拟预测）阅读涵养心灵．某区2025年9月就“初中生每天阅读时间”对七年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为，调查问卷设置了四个时间选项：A．；B．；C．；D．），并根据调查结果制作了如图（1）所示的条形统计图．2025年9月该区出台系列激励措施，力推学生阅读习惯养成．为了检测这些措施的效果，2025年12月该地区又对七年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图（2）所示的扇形统计图． 请根据提供的信息，解答下列问题． (1)2025年9月份抽样调查的样本容量为______，该地区七年级学生“每天阅读时间不少于小时”的人数约为______人； (2)关于这两次调查，下列说法正确的是（   ） A．9月份阅读时间的众数是320人 B．12月份阅读时间的中位数落在C组 C．9月份和12月份阅读时间的平均数相同 D．12月份调查中阅读时间在B组的人数一定少于80人 (3)估算该地区2025年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率．（精确到） 【答案】(1)， (2)B (3) 【分析】（1）把条形统计图各组人数相加可得样本容量；用该地区七年级学生总人数乘以样本中“每天阅读时间不少于小时”的人数所占比例即可得出该地区七年级学生“每天阅读时间不少于小时”的人数； （2）根据众数、中位数、平均数的定义逐项分析即可得出结果； （3）先分别求出12月份和月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比即可解答． 【详解】（1）解：2025年9月份抽样调查的样本容量为； 该地区七年级学生“每天阅读时间不少于小时”的人数约为（人）； （2）解：A、众数是指出现次数最多的数据值，即时间段，不是人数，故A选项错误； B、∵，，∴12月份阅读时间的中位数落在C组，故B选项正确； C、月是具体人数，可以计算平均数，但月是百分比，无具体时间中点值，且未提供每组的时间中点，无法计算确切平均数，故C选项错误； D、月调查样本容量未知，故无法确定12月份调查中阅读时间在B组的人数，故D选项错误； （3）解：12月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比为， 9月份“每天阅读时间不少于1小时”的占比为， 故该地区2025年12月份“每天阅读时间不少于1小时”的七年级学生人数相对于9月份的增长率为． 21．（2026·江苏泰州·模拟预测）在一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再随机摸出1个球，用列表法或树状图法求两次摸到不同颜色球的概率； (2)若在袋中再加入n个白球，使得从袋中随机摸出1个球是红球的概率为，求n的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意，列树状图求概率即可； （2）由题可知，从袋中随机摸出1个球是红球的概率，再求即可． 【详解】（1）解：列树状图如下， 答：两次摸到不同颜色球的概率； （2）解：在袋中再加入n个白球后， 从袋中随机摸出1个球是红球的概率， 解得， 时，，则是方程的解， 答：n的值为． 22．（2026·江苏连云港·一模）为落实“健康第一”的教育理念，老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成四组：A．篮球，B．羽毛球，C．乒乓球，D．跳绳． (1)明天小明同学恰好被分到球类运动项目的概率是_____； (2)小明和小虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的计算，解题思路为先确定所有等可能结果的总数，再找出符合要求的结果数，利用概率公式计算得到结果． （1）直接分类数出结果计算概率， （2）通过画树状图列举所有等可能结果，再计算两人同组的概率． 【详解】（1）解：一共有4种等可能的分组结果，其中属于球类运动项目的结果有3种． 因此小明恰好被分到球类运动项目的概率为． （2）解：画树状图如图， ∴所有等可能的结果共有16种，其中小明和小虎被分到同一组的结果有4种． 因此他俩明天被分到同一组的概率为． 23．（2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人． (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)80，16， (2)50 (3)恰好抽到2名男生的概率为． 【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的百分比即可； （2）用总人数1000乘以“不了解”的人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人）， （人）， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：80，16，； （2）解：根据题意得： （人）， 答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为50人； （3）解：由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名男生的结果有2种， ∴恰好抽到2名男生的概率为． 24．（2026·辽宁抚顺·一模）为传承中华优秀传统文化，某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，，并绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ，请将条形统计图补充完整； (2)若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛．小敏这三轮的成绩分别为86分、89分、93分，小敏能参加决赛吗？请说明理由． (3)经过初赛，进入决赛的学生有3名女生和2名男生，现从这5名学生中随机抽取2名学生担任该校的宣传传统文化小标兵，请用列表或画树状图的方法求这2名学生恰好是一名男生一名女生的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)小敏能参加决赛，理由见解析 (3) 【分析】（1）先用组的人数除以组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算组人数所占的百分比，最后用乘以组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以B组所占百分比，即可求出B组的人数，即可补充条形统计图； （2）将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答； （3）画出树状图，根据概率公式求解即可； 【详解】（1）解：参加此次竞赛总人数：（人）， A组所占百分比：， A组所在扇形的圆心角度数， B组人数：（人）， 条形统计图如图所示： ； （2）解：小敏最后得分：， ∴小敏能参加决赛； （3）解：画树状图如下： ∴一共有20种等可能的结果，其中这2名学生恰好是一男一女的情况有12种情况， ∴这2名学生恰好是一男一女的概率为． 押题猜想四 三角形、四边形的判定与性质 试题前瞻·能力先查 限时：20min 如图，在矩形中，为边的中点． (1)求证：； (2)若，求边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明即可； （2）易得为等腰直角三角形，求出的长，再利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：∵矩形，为边的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴. 【改编题】如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，，则的长为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，，证出四边形是平行四边形，再结合即可得证． （）由（）知四边形 是矩形，得到，由角平分线的性质得到，结合平行线的性质得到，求出长，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴； ∵， ∴ 四边形是平行四边形； ∵，即， ∴ 平行四边形是矩形． （2）解：如图， ∵，， 在 中，， 由（）知四边形 是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 分析有理·押题有据 宿迁中考高频考查三角形与四边形综合题型，聚焦特殊三角形、平行四边形及矩形菱形正方形的性质与判定。常结合全等、勾股定理进行线段和角度计算，几何推理步骤要求严谨，多在填空、解答题出现，侧重模型识别与辅助线运用。 终极猜想·精练通关 25．（2026·江苏镇江·一模）如图，在中，，，，，点是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）利用平行线的性质得到内错角相等，结合是中点和对顶角相等，用判定． （2）先算出直角的面积；再利用（1）中全等三角形面积相等，通过割补法，将四边形的面积转化为与面积相等，直接得到结果． 【详解】（1）（1）证明： ， ． 点是的中点， ． 在和中， ． （2），，， ， 由（1）知， ． 观察图形可知： ． ． 26．（2026·江苏泰州·一模）如图，中，是边上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的判定以及三角形的外角性质证明即可； （2）过点作于点，由三线合一得到，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：过点作于点， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 27．（2026·江苏无锡·二模）如图，在平行四边形中，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，， 即可得， 结合，根据“”即可证明； （2）根据平行四边形的性质得， 根据全等得， 即可解答 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中： ， ∴； （2）解：∵、交于， 四边形是平行四边形， ∴， 由（1）中全等三角形对应边相等，得， ∵， ∴， ∴． 28．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，垂足为点E． (1)过点A作，垂足为点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）过作的垂线即可. （2）由证明，进一步可得结论. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）证明：∵在中，，，， 而， ∴， ∴是菱形. 29．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段的中点以及三角形中位线定理，得出，，，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，，将四边形的周长转化为，即可得解． 【详解】（1）解：点、、分别是、、的中点， ，，，、是的中位线， ，， ，， ． （2）解：由（1）可知，，， ，， 四边形的周长． 30．（2026·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定以及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质与判定定理是解答本题的关键． （1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，结合矩形对边平行的性质，利用“角边角”（）判定定理证明； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，将的周长转化为，结合已知条件求出的长度，最后在中利用勾股定理计算对角线的长． 【详解】（1）证明：由作法得垂直平分， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形为矩形， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中， ． 31．（2026·湖南株洲·一模）如图，菱形中，点P是对角线上一点，连接并延长交于点F，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得出，，结合，证明，得出，再证明，得出，根据平行线的性质得出，等量代换，即可得证； （2）连接，过点作于点，先证明，是等边三角形，再证明，则，进而根据三线合一，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ∵ ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴，是等边三角形， ∴， 在中， ∵， ∴重合， ∴是直角三角形， ∴ 又∵ ∴ ∵是等边三角形， ∴ 32．（2025·江苏苏州·一模）如图，菱形中，为对角线，是边延长线上一点，连接． (1)在线段上求作点，使得（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)在（1）的作图条件下，当时，求线段的长度． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）作，根据即可得到； （2）过点作于点．先证明是等边三角形，得到，，再根据勾股定理求出，即可求出与的长，接着证明，得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：过点作于点． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 押题猜想五 几何图形中的尺规作图综合 试题前瞻·能力先查 限时：30min 【改编题】如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，与相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与的交点即为点； （2）作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； （3）在中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得，长，从而可得，长，设，在中，利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求； （2）解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； 点在的角平分线上，，， ， 为半径， 是的切线，切点为； （3）解：中，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 即的半径长为． 如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点E； （2）作等边三角形，，交于O，以O为圆心，为半径画圆，交于，点即为所求； （3）找出两个临界位置，①当点分别与点重合时，此时点重合；②当点重合时，此时与相切，根据矩形的性质，然后解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为等边三角形，点E即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； 理由如下：在等边三角形，，矩形中，有 ， ∴， ∴． （3）解：①当点分别与点重合时，此时点重合，如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）知， ∴； ②当点重合时，此时与相切，连接并延长交于点， ∴， ∵矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是． 分析有理·押题有据 尺规作图是中考必考题型，常考查作角平分线、垂直平分线、垂线与等腰三角形等基础作图。多结合几何性质、全等判定综合设问，要求保留作图痕迹，依据作图原理推理计算边长角度，注重规范作图步骤与几何逻辑综合应用。 终极猜想·精练通关 33．（2026·江苏南通·一模）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，可以通过平行四边形巧妙地构造菱形．下面作法就是其中一种． 作法：在平行四边形中，作平分交于点，过点作的垂线，垂足为，交线段于点，连接． (1)根据以上作法，用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：四边形为菱形． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图—作角平分线和垂线的方法和步骤，即可作出图形； （2）根据平行四边形的性质得出 ，结合角平分线的性质得出，则，通过证明，得出，已知垂直平分，则，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是菱形． 34．（2025·江苏南通·模拟预测）如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上． (1)的周长为 ； (2)如图，点D、P分别是与竖格线和横格线的交点，画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)请在图中画出的角平分线．（仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图，勾股定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用勾股定理求解即可； （2）由题意可得，点D所在的竖格线为的垂直平分线，再根据对称性作图即可； （3）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：由图可得，的周长 ， 故答案为：； （2）解：如图，点Q即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 35．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，点P是的边上的一定点， (1)请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．在图 1中作一个，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切，切点为F； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的的劣弧与、所围成图形的周长_______． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）过点作的垂线，交于点，在上取，作的角平分线，交于点，以为圆心，长为半径即可作，由作法可得，则，，满足条件； （2）连接，由（1）可得是等腰直角三角形，得到，，设，利用勾股定理得出，进而求出，再利用弧长公式求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ，， 所作的的劣弧与、所围成图形的周长． 【点睛】本题考查了复杂作图——作垂线和角平分线，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等知识，根据题意正确作图是解题关键． 36．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，把矩形折叠，使得点B与边上的点P重合，为折痕，点M，N分别在边，上． (1)请用尺规在图中作出过点M，D，P的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若直线与过M，D，P三点的相切，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结，作的垂直平分线，与交于点O，再以点O为圆心，为半径画圆即可； （2）过O作交于E 、交于F ，连接 ，根据切线性质，正方形性质及翻折，可得，从而求解． 【详解】（1）解：在矩形中，由， 则的外接圆是以斜边为直径的圆，作图如下图1： ①分别以A，B为圆心，大于的长度为半径，上下画弧，两弧上下各交于一点，连接这两个点，与交于点O， ②以点O为圆心，为半径画圆， 则圆O即为所作图形． （2）解：过作交于、交于，连接，如图（2）所示： 则四边形是矩形， 是的切线， ， 四边形是矩形，， ， ， 由题意，把矩形折叠，为折痕， 垂直平分， ， 在和中 ， ，， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆相切的性质、折叠性质、圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题关键． 37．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，是它的一条对角线， (1)请借助无刻度的直尺和圆规画出矩形，使点、在上（点在点的左下方）（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在（1）的条件下，过点作于点，若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）连接交于O，以O为圆心，为半径画弧，交于E、F，连接、、、即可； （2）根据矩形的性质得出，，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图知：， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴ 38．（2025·江苏扬州·三模）尺规作图：（保留作图痕迹即可） (1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可） (2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可） (3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，，则四边形为所求； （2）以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、，则四边形为所求； （3）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形为所求． 证明如下：∵是的垂直平分线， ∴，， 设与的交点为O， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）如图，菱形即为所求． 证明如下：由作图可得， ∴四边形是菱形． （3）解：如图， ①作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得； ②以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E； ③作，作直线，分别交于点、． ∴点、即为所求． 证明如下：设与交于点G， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， 由作图可知， ∴，， 由作图可知， ∴， ∴， ∴． 39．（2025·江苏盐城·三模）已知，如图中，于点 (1)如图①，若是边上一点，将绕点H顺时针旋转，得到，连接．求证： (2)如图②，，利用直尺和圆规，分别在上作点使．(要求∶保留作图痕迹，并写出简要作法．) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）只需要证明，即可证明 （2）以H为圆心，的长为半径画弧，交于G，作交于B，过点H作交于A，则点A和点B即为所求． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）解：如图所示，以H为圆心，的长为半径画弧，交于G，作交于B，过点H作交于A，则点A和点B即为所求； 由作图方法可得， 同理可证明，则，则． 40．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，、相交于点O． (1)证明：； (2)请你利用无刻度直尺和圆规作，交于H（不写作法，保留作图痕迹），若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，由作图可得，，平分，得到，利用平行四边形的性质和菱形的判定证明四边形是菱形，再利用菱形的性质即可证明； （2）利用尺规作，交于H，由（1）得四边形是菱形，利用勾股定理求出菱形的边长，利用面积公式求出菱形的面积，由可得是菱形的高，再利用等面积法即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由作图可得，，平分， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是菱形， ． （2）解：如图所示，图形即为所求： 由（1）得，四边形是菱形， ，， ，，， ， ， 是菱形的高， ． 押题猜想六 反比例函数的图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：30min 【改编题】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 【改编题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． (1)求的值； (2)当时，自变量的取值范围为__________； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象和性质，函数和不等式的关系，函数和三角形面积计算相结合等知识点． （1）把点的横坐标代入正比例函数的表达式得到的值，进而将点的坐标代入反比例函数，得到的值． （2）根据函数图象以及点的坐标，通过比较对应函数值的大小，即可得到对应的取值范围． （3）连接，，根据点关于原点对称，得到，进而得到，通过计算面积的面积得到的值，进而得到直线的表达式． 【详解】（1）解：把代入得，， ， 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由（1）可知，反比例函数表达式为， 正比例函数与反比例函数的交于点，点， 点关于原点对称， 点， 根据函数图象可知，当反比例函数在正比例函数的上方时，， 当时，的取值范围为：或； （3）解：如图，连接，， 由（2）可知，点，点关于原点对称， ， ， ， ，即， ， ， 直线是由直线向上平移个单位得到的， 直线的表达式为． 分析有理·押题有据 反比例函数是宿迁中考重点内容，常以选择、填空及中档解答题考查。侧重图象象限分布、增减性、k 的几何意义，结合矩形、三角形求面积。常与一次函数综合求交点、比较函数值大小，含参数题型频出，注重数形结合与几何面积转化应用。 终极猜想·精练通关 41．（2026·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式： (2)已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，再求得，然后运用待定系数法求解即可； （2）连接，，，再证明可得，即，然后代入（1）所得的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：等腰直角三角形的顶点，， ，轴， ， 又∵点是的中点，设点， ， ， 反比例函数的图象经过点， ，解得：， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图：连接，，， ， ∴， 是等腰直角三角形，点是的中点， ，，， ，即 将点绕点逆时针旋转， ，即， ， ， 恰好落在的图象上， ， 42．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 【分析】（1）由及为等边三角形，可得点的坐标为，将点代入反比例函数，求出，从而得到反比例函数表达式； （2）先求出直线的解析式，再联立反比例函数解析式求出点的坐标． 【详解】（1）解：作轴于点， 为等边三角形，， ，， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：延长与反比例函数的图象在第三象限交于点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 与反比例函数联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， 点的坐标为． 43．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 44．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)点的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式等知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，交于点，利用平行线分线段成比例定理求得，求得点的纵坐标为4，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：作轴于点，交于点， ∵点， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点的纵坐标为4， ∴，解得， ∴点的坐标为． 45．（2025·江苏连云港·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1) ， (2)当时，的取值范围是 (3)过点作轴于点，连接，过点作于点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，勾股定理，待定系数法等知识， 数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）根据反比例函数和一次函数图象交点的横坐标和图象的位置关系即可得到答案； （3）求出点到的距离，，根据即可得到． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：，； （2）由（1）知，， ， ， 当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方 ∴当时，的取值范围是或； （3）轴，， ， ， 点到的距离， ，， ， ， ， ． 46．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 【答案】(1) (2)点或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键． （1）把点代入，得到，于是得到结论； （2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论； （3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在的函数图象上， ， 函数的关系式为； （2）解：设点，则点， ， 则， 解得：或或（舍去）， 即点或； （3）解：设点，点， ， 则， 即， 因为上式恒成立， 则， 解得：． 押题猜想七 二次函数的图象与性质综合 试题前瞻·能力先查 限时：40min 已知二次函数（为常数）． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 【答案】(1) (2)①，②的值为或． 【分析】（1）直接利用对称轴公式进行计算即可； （2）①求出时的的值，即可得出结果；②根据题意，易得点在二次函数的图象上，待定系数法求出函数解析式，再分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线． （2）解：①如图1，当时， 则二次函数的图象经过点， ∴， ∴当时，． ②如图2，∵，且二次函数图象的对称轴为直线， ∴点在二次函数的图象上， ∴，解得． ∴． （Ⅰ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得（舍去）或． （Ⅱ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得或（舍去）． 综上：的值为或． 【改编题】已知抛物线：． (1)当时，判断点是否在该抛物线上； (2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； (3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 【答案】(1)点不在该抛物线上 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式求出y的值，进而判断即可； （2）求出顶点的纵坐标，根据二次函数的性质得到m的值，进而将二次函数化为顶点式作答即可； （3）由可知，进而根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴点不在该抛物线上； （2）解：顶点的纵坐标为， ∵， ∴当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，此时， ∴顶点坐标为； （3）解：， ∵对于任意实数，都有， 恒成立， ， ， ． 分析有理·押题有据 二次函数是宿迁中考重难点与压轴常客，考查解析式求法、图象开口、对称轴与顶点性质。常结合增减性、最值、与坐标轴交点命题，还会联动一次函数、几何图形考面积和存在性问题。含参数范围、图象平移变换高频出现，侧重数形结合与综合推理应用。 终极猜想·精练通关 47．（2026·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线：经过点． (1)用含有的式子表示； (2)若，点在上，且点的纵坐标为．请说明是否在上？ (3)直线交于点M，N，若线段的中点为直线与的唯一公共点，求的值． 【答案】(1) (2)不在，说明见解析 (3) 【分析】（1）把点代入中，即可得出结果； （2）先求出点坐标，结合（1）中的结果，把点的横坐标代入进行判断即可； （3）联立直线和，求出交点坐标，进而求出点坐标，代入，得到关于的等式，联立直线和抛物线的解析式，得到对应的一元二次方程，根据直线和只有一个交点，得到，结合第一个等式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：经过点， ∴， ∴； （2）解：点不在上，理由如下： 当时，则， 当时，解得， ∴或， 由（1）知：， ∴：， ∴当时，； 当时，； ∴抛物线经过和，点不在抛物线上； （3）解：联立， 解得或， ∴， ∵为线段的中点， ∴， 把代入，得： ， 整理，得，， ∴ 联立，得， 整理，得， ∵线段的中点为直线与的唯一公共点， ∴， 整理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．（2026·江苏泰州·一模）已知抛物线：． (1)当时，判断点是否在该抛物线上； (2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； (3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 【答案】(1)点不在该抛物线上 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式求出y的值，进而判断即可； （2）求出顶点的纵坐标，根据二次函数的性质得到m的值，进而将二次函数化为顶点式作答即可； （3）由可知，进而根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴点不在该抛物线上； （2）解：顶点的纵坐标为， ∵， ∴当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，此时， ∴顶点坐标为； （3）解：， ∵对于任意实数，都有， 恒成立， ， ， ． 49．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，整理，即可作答． （2）结合，且函数的图象经过的定点，故整理，令，解得，再把代入进行计算，即可作答． （3）先求出线段的解析式为，依题意，得，再分别把，代入， 得，，则或，再解得的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ 即该函数的图象与轴有公共点； （2）解： ∵该函数的图象经过的定点 即 ∴ ∴把代入， 得 ∴该函数的图象经过的定点为． （3）解：设线段的解析式为， 把点，分别代入 得 解得 ∴线段的解析式为， ∵该函数的图象与线段没有公共点， ∴ 整理得 把代入， 得， 把代入， 得， 则或 解得，即；或解得，即 综上：或 50．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 51．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数的图象经过点和． (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)下列结论：①；②无论a取何值，该函数图象与x轴总有公共点；③当时，y的最小值为4；④无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号是________； (3)直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①； (3)时，没有公共点；或1时，1个公共点；或且时，2个公共点． 【分析】（1）根据该函数的图象经过原点，以及经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据二次函数的图象与性质，以及二次函数与轴的交点情况，逐个分析求解，即可解题； （3）联立与有：，整理得到，再结合一元二次方程根的判别式，分情况讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：该函数的图象经过原点，以及经过点和， ， 解得， ； （2）解：①由题知，则有，故，①正确； ②当时，，， ， . 当时，有， 即存在该函数图象与x轴无交点的情况，故②错误； ③当时，二次函数开口向下，y没有最小值，故③错误； ④ 整理得：， ∵， ∴, ， ∴时，方程有两个相等的实数根，故④错误． 综上所述，所有正确结论的序号是①； 故答案为：①； （3）解：联立与有：， 整理得， 当时，没有公共点； ，， ， 即， ， ， ， 则①或②， 解①得，该不等式组无解，解②得， 时，没有公共点； 当时，有1个公共点； 即， 解得或1， 或1时，1个公共点； 当时，有2个公共点； 即， 则③或④， 解③得，，解④得， 或且时，2个公共点． 综上所述，时，没有公共点； 或1时，1个公共点； 或且时，2个公共点． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，二次函数与的交点情况，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 52．（2025·江苏宿迁·三模）已知：二次函数的图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，且． (1)求二次函数表达式； (2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； (3)设是二次函数位于第一象限图象上一点，作于点，轴于点．当最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，，然后结合列不等式求解即可； （3）先求得，再求出直线解析式为，设，则，进而得到所以、；如图：过G作于I，再根据等腰三角形的性质、矩形的判定与性质可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵函数图象与轴交于两点（A在左侧）， ∴， 将、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线上有两点、， ∴， ∵ ∴ 解得：； （3）解：令， 解得：或， ∴． 设直线解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵，， ∴， ∴， 如图：过P作轴于D，交于E． ∵， ∴， ∴， 设，则． 所以，则， 如图：过G作于I， ∵， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， 令， ∴抛物线的对称轴为：， ∵抛物线开口方向向下，， ∴当时，取最大值， ∴点P的横坐标为，代入得，． 押题猜想八 二次函数中的倍角关系、面积关系 试题前瞻·能力先查 限时：40min 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可； （3）设点，求出，从而得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式可得， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线 设点，则点，点， ，， ∵， ∴， ， ， ，即， 解得：，（舍去），，（舍去）， ， （3）解：设点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴， 当时，， ， ， ∴当时，． 如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为3，此时；②存在， 【分析】本题是一道函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质，二元一次方程组的解法，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数相关知识是解题的关键． （1）根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）①本题要通过求的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求的面积的最大值以及对应的P的坐标．的面积无法直接表示出，可用和的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出的长，可通过相似三角形和求出，然后根据二次函数最值即可求出所求的值； ②根据题意易得，然后根据相似比例求出的值，进而求出P的坐标和解析式，再与二次函数解析式联立求出Q的坐标． 【详解】（1）解：， ， 将代入， 解这个方程组，得， ∴此抛物线的解析式：； （2）①设，则 ， ， ， ， ∴当时，面积的最大值为3，此时； ②存在，．理由如下： ， ， ， ， ， 解析式为， 联立 解得（不合题意，舍去），， ． 分析有理·押题有据 二次函数压轴常考倍角与面积综合题型，依托抛物线图象构建几何关系。重点考查等角、二倍角构造转化，割补法求图形面积、面积定值与最值问题。常结合动点、直线相交设问，融合数形结合、相似转化，是宿迁中考压轴高频考点。 终极猜想·精练通关 53．（2025·江苏淮安·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可； （3）设点，求出，从而得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式可得， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线 设点，则点，点， ，， ∵， ∴， ， ， ，即， 解得：，（舍去），，（舍去）， ， （3）解：设点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴， 当时，， ， ， ∴当时，． 54．（2025·江苏徐州·三模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为3，此时；②存在， 【分析】本题是一道函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质，二元一次方程组的解法，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数相关知识是解题的关键． （1）根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）①本题要通过求的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求的面积的最大值以及对应的P的坐标．的面积无法直接表示出，可用和的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出的长，可通过相似三角形和求出，然后根据二次函数最值即可求出所求的值； ②根据题意易得，然后根据相似比例求出的值，进而求出P的坐标和解析式，再与二次函数解析式联立求出Q的坐标． 【详解】（1）解：， ， 将代入， 解这个方程组，得， ∴此抛物线的解析式：； （2）①设，则 ， ， ， ， ∴当时，面积的最大值为3，此时； ②存在，．理由如下： ， ， ， ， ， 解析式为， 联立 解得（不合题意，舍去），， ． 55．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①存在，；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①假设能相等，求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立后求出交点坐标，进而代入抛物线进行判断即可；②求出点坐标，进而求出直线的解析式，作轴，交的延长线于点，作轴，交于点，设设，则：，求出，证明，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）①存在，理由如下： 假设存在， ∵， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，，代入，得： ，解得：， ∴； 同法可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴两条直线的交点坐标为， 对于，当时，， 故两条直线的交点在抛物线上， ∴存在，； ②令，解得：， ∴， 同①法可得：直线的解析式为直线， 作轴，交的延长线于点，作轴，交于点， 则：， ∵， ∴当时，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是同高三角形， ∴， ∴当时，的值最大，为． 56．（2025·江苏苏州·一模）已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键． （1）令，则，解得，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得到，得到，即可得到答案； ②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到的面积． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ； （2）解：①抛物线的对称轴为直线， ，， 抛物线解析式为， 故答案为：； ②抛物线解析式为， ， 令，则， 解得或， 点在点左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， ，，，， ， 的面积， 的面积． 57．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 58．（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①或；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再根据对称轴公式求解对称轴即可； （2）①先求出直线，设（），表示出，，再由正弦得到，据此解方程即可； ②可得四边形是矩形，连接，分两种情况讨论求解：当落在上时，符合题意；当矩形的对角线的中点落在直线上，符合题意． 【详解】（1）解：由题意得，将点，代入， 则 解得 ∴抛物线表达式为， ∴对称轴为直线； （2）解：①∵抛物线对称轴为直线，且抛物线交x轴于点和点B， ∴， 设直线， 则代入点得，， 解得， ∴直线 设（）， ∵轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N ∴，， ∴， ∵， 则， ∴ ∴ 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去） 综上：点P的横坐标为或； ②由题意得，， ∴四边形是矩形， 连接，当落在上时，如图： 此时四边形在直线与l之间的部分是，符合题意， 将点代入， 则 解得或（舍去）； 当矩形的对角线的中点落在直线上，中点记为点， ∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的中点， ∴此时四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半， ∵， ∴设直线， 代入点得，， 解得， ∴直线， ∵，， ∴，即， 将点代入， 则， 解得或（舍去）， 综上：点P的横坐标为或． 押题猜想九 二次函数的实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：40min 为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本之和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成． 规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为（元），每套纪念品的售价为元（且为整数）． (1)分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本； (2)求当为何值时，每天的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元 (2)当时，每天的利润最大，最大利润为1000元 【分析】（1）设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每个纪念品成本元，每个纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个纪念品成本25元，每个纪念品的成本35元； （2）解：由题意得，， ，对称轴为直线，且为整数， 当时，最大 答：当时，每天的利润最大，最大利润为1000元． 【改编题】综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：描点画图如答图所示： 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意得，对于，令， 则 解得， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）解：在中，令 则 解得（舍去）， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)， 则，即， ∴ 解得． 分析有理·押题有据 二次函数实际应用是宿迁中考必考解答题，多以销售利润、拱桥隧道、投篮运动为背景。考查建立函数解析式，求最值、取值范围及实际方案问题。结合生活情境，利用顶点求最大利润或高度，注重建模能力与实际意义取舍解集。 终极猜想·精练通关 59．（2025·江苏南京·模拟预测）为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 【答案】(1) (2)当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）当时，；当时，设，再利用待定系数法求解即可； （2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，根据A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍建立不等式组求出m的取值范围为，再分和两种情况，分别求出w关于m的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，设， 把代入中得：，解得， ∴； 综上所述，； （2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材台， 由题意得，， 解得； 当时，则， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为； 当时，则 ， ∵，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∵， ∴当，时，w有最小值， 答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 60．（2025·江苏盐城·一模）如图 1 ，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是抛物线 的一部分）． (1)轨道初段的总长为 ；小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的函数关系式为 ； (2)若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，如果直线与抛物线有且只有一个交点，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？ (3)在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)线段与抛物线能光滑连接 (3)存在，这节轨道的起点与点A之间的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）由图2可以得出轨道初段的总长，再用待定系数法求出v与t的函数解析式； （2）设出抛物线的顶点式，再把点代入解析式求解即可；求出解析式，再联立直线和抛物线所组成的方程组，根据判别式得出结论； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离． 【详解】（1）解：由图2可知，轨道初段的总长为； 设， 则， 解得， ∴， 故答案为：40；； （2）解：由题意，Q为顶点，设， 则， 把代入解析式得：， 解得（舍去）， ∴； 设直线表达式：，代入，有， 即， 联立， 得， ∵， ∴直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，故线段与抛物线光滑连接； （3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：， 当时，， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 61．（2025·江苏宿迁·二模）项目化研究： 项目主题：泗阳大桥的抛物线之美——数据测量与计算 项目背景：如图1，泗阳大桥采用A型塔斜拉桥结构，主塔呈抛物线造型，兼具力学稳定性与美学价值．作为京杭大运河上的重要工程，大桥融合了传统运河文化与现代建筑艺术，橙红色塔身与碧水相映成趣，成为“水韵泗阳”的靓丽名片．某数学学习小组决定利用一次综合实践活动，结合自己所学知识，通过测量来探究大桥主塔高度． 数据测量与收集：如图2，桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），与水平塔架的投影相交于点，在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为． 数学公式备用：若、在抛物线上，则线段与抛物线围成“弓形”的面积为：． 数学建模：以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，点的坐标为． 探究问题： (1)桥塔的高度 ； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若此时测得 ①求水平塔架的长度； ②设“弓形”的面积为，四边形的面积为，记，请直接写出值． 【答案】(1) (2)抛物线的函数表达式 (3)①；② 【分析】本题平行投影的应用，二次函数的实际应用； （1）根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求解即可； （2）先求出，，再设抛物线的函数表达式，代入，，计算即可； （3）①根据同一时刻的实物长度和投影长度的比值相等求出，再令时，求出，，得到； ②由题意可得“弓形”的面积为，四边形的面积为，代入计算求值，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点的距离（在一定范围内，我们将桥面看作是水平面），在同一时刻测得高的测绘仪的投影长度为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵桥塔底部宽，在某一时刻测得塔顶在桥面上的投影到中点， ∴，， 设抛物线的函数表达式，代入，，可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式； （3）解：①由题意可得， ∵， ∴， 当时，解得， ∴，， ∴； ②由题意可得“弓形”的面积为， 四边形的面积为， ∴． 62．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额元，求关于的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 【答案】信息整理：，8；探究任务1：当时，；当时，；探究任务2：当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； 信息整理：根据问题背景，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售，即可得出钢笔单价； 探究任务1：当， 时，根据总额等于钢笔与笔记本的购买金额，分别列出函数关系式； 探究任务2：根据一次函数的性质，得出的最小值为700元，即可求解． 【详解】信息整理： 当时，钢笔单价为：，     当时，钢笔单价为：8    探究任务： ①当时，           当时，，当时，， 当时，．          ②当时， ，          ，            当时，的最小值为700元， 当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元． 63．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 【答案】（1），，，；（2）；（3）水面的宽度为 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式． （1）分别把，，，代入求值即可； （2）把代入求出即可； （3）建立适当坐标系，用待定系数法求出函数解析式，再把代入解析式求出即可． 【详解】解：（1），，为常数，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，，； （2）点在二次函数，，为常数，的图象上， ， ， ， 故答案为：； （3）以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 此时，， 设拱桥所在抛物线的解析式为， 把点坐标代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为， 当拱顶到水面的距离为时，此时， 即， 解得， 水面的宽度为． 64．（2025·江苏宿迁·一模）用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第n个图形中含有正方体木块s个． (1)填表： n 1 2 3 4 … s (2)已知s是n的二次函数，求这个二次函数的表达式． (3)第10个图形中的正方体木块有多少个？ (4)是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1；6；15；28 (2) (3)第10个图形中的正方体木块有190个 (4)存在，它是第30个图形 【分析】（1）由图形可知：第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个；第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个；第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个…由此规律得出第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个，进一步代入求得答案即可； （2）把代入函数解析式即可得到结论； （3）把代入函数解析式，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个； 第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个； 第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个； 第4个叠放的图形中，小正方体木块个数应是个； （2）解：第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个， 二次函数的表达式为； （3）解：当时，， 答：第10个图形中的正方体木块有190个； （4）解：当时，即， 解得：（舍去），， 存在，它是第30个图形． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键． 押题猜想十 解直角三角形及其应用 试题前瞻·能力先查 限时：40min 某校数学兴趣小组准备测量学校图书馆的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，D在同一水平线上，一小组成员从教学楼顶部A测得图书馆的顶部E的俯角为，另一小组成员沿方向从教学楼底部B点向图书馆走15米到达C点，在C点测得教学楼顶部A的仰角为、图书馆顶部E的仰角为，求图书馆的高度．（参考数据：，） 【答案】图书馆的高度为米 【分析】过点作于点，由题意可得，，米，从而可得，四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得米，设米，则米，米，解直角三角形得出米，从而可得米，再解直角三角形得出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 由题意可得：，，米， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴米， 设米，则米，米， ∵，， ∴米， ∴米， ∵，， ∴， 解得：， ∴图书馆的高度为米． 如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把△ADE沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，求正切值等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F作，分别交于点N，M，证明四边形是矩形和，设，利用相似三角形的性质得出，再利用勾股定理求出x的值，进而求解即可． 【详解】解：过点F作，分别交于点N，M， ∵四边形为正方形， ∴， ∵E是边的中点，把沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 分析有理·押题有据 解直角三角形是宿迁中考高频解答考点，以仰角俯角、坡度坡角、航海测距为命题背景。重点考查构造直角三角形、运用三角函数求值，常双直角三角形联动求解边长高度。注重实际场景建模、近似计算及结果取舍，解题套路固定、步骤规范性要求高。 终极猜想·精练通关 65．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，从水平地面上的点B处沿坡度为的山坡走了到达坡顶，沿方向前进到达点C处，测得E的仰角为；在点A处测得E的仰角为，点A、B、C、D、E在同一水平面内，且． (1)求点A到的距离； (2)求点A到建筑物的水平距离； (3)求建筑物的高度． 【答案】(1)点A到的距离为 (2)点A到建筑物的水平距离为． (3)建筑物的高度为． 【分析】（1）如图，过作于，设，再进一步求解即可． （2）过作于，结合（1）可得：四边形为矩形，求解，设，可得，利用，进一步求解即可． （3）由（2）得：，可得． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴点A到的距离为． （2）解：过作于，结合（1）可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点A到建筑物的水平距离为． （3）解：由（2）得：， ∴， ∴建筑物的高度为． 66．（2026·山东淄博·一模）如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． (1)求的长； (2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，证明矩形，然后选择适当的直角三角形求解即可； （2）延长、交于点，在中，求得，再解，求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，交于点， 在中， ， ， ， ， ， 又， 得平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， 在中， ， ， ； （2）解：延长、交于点， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 答：出水管的长为． 67．（2026·江苏南京·一模）如图，小明去池塘钓鱼，斜坡长为，其与水平线的夹角为，钓竿长为，其与水平线的夹角为．由于当天的风向，测得钓线与钓竿的夹角为．（参考数据：，，，，，） (1)求点到水平面的距离； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）在含角的直角三角形中，直接利用正弦函数求点到水平面的距离； （2）通过延长线段、作垂线构造直角三角形，结合三角函数关系设未知数，列方程求解BC的长． 【详解】（1）解：过点作水平面于点， 在中， ∵ （m）， 故点到水平面的距离为． （2）解：延长BO交水平面于点，过点作于点， ∵钓竿与水平线的夹角为，则， 在中， （m）， （m）， 在中， 设，则，． 在中， 解得， （m）， 答：BC的长为． 68．（2026·江苏无锡·一模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（）为，C处的俯角（）为，其中P，D，Q在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机D的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置D离地面的距离（结果保留根号）； (2)处的小汽车到桥梁入口B的距离的长（结果保留根号）． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，设，在中设出未知数，根据得到各边的值，在中，根据三角函数关系计算出结果即可； （2）由（1）中的结果，在中，根据三角函数关系计算出结果即可． 【详解】（1）解：过点作，设 ， 在中， 在中， ， 解得， ； （2）解： ∵在中， ， ∴． 69．（2026·山东滨州·一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． (1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． (2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，延长交于点，设的半径为，由可得，；根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长； （2）延长，交于点，易证明四边形是矩形，则，在和中，利用三角函数计算出和即可． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为， 由题意可知，， ，， ， 弓形高，， ，， 在中，， ， 解得， ， 即圆心 到的距离为． （2）解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在中，， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ． 即的长度约为． 70．（2026·江苏徐州·一模）如图，一艘渔船自东向西以每小时12海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：码头A在灯塔B北偏西方向．15点时渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处．时，渔船航行至灯塔B东北方向的灯塔处，受冷空气影响，今天18点到夜间码头A附近海域将出现浓雾．若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头．（参考数据：） 【答案】渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】过点作于点，设，根据题意得出，解，由建立方程，即可求解；求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点． 15点时渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处．时渔船航行至灯塔B东北方向的灯塔处， （海里）， 设．由题意可知，，，， ，， ． 在中，， 解得， 在中，，， ， ， （小时）（分钟）， 从，经过133分钟是，在之前能到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 押题猜想十一 圆的切线判定与性质应用 试题前瞻·能力先查 限时：40min 如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于点E，根据圆的切线的性质，以及等角的余角相等，证明，得到，则是的半径，即可得证； （2）由勾股定理可得，利用相似三角形的性质，分别求出，，即可得解． 【详解】（1）证明：过点O作于点E， 于点D， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是的半径， ， 是的切线； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的半径． 如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接．证明，由题意知，推出，即，即可证明； （2）由题意知：，，设，则，由（1）知，利用勾股定理半径，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵是的高， ∴． ∴． ∴． ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由题意知：，， 设，则， 由（1）知， ∴在中，， 即， 解得． ∴． ∴的面积． 分析有理·押题有据 圆的切线是宿迁中考几何核心考点，常出现在中档解答题。重点考查切线的判定两种常用方法、切线垂直半径的性质，多结合圆周角、等腰三角形、勾股定理综合设问。常搭配线段求值、角度证明，题型经典稳定，注重几何推理逻辑和辅助线规范做法。 终极猜想·精练通关 71．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，利用直角三角形的性质得到，根据等腰三角形等边对等角得到，结合等量代换得到，即，即可证明结论； （2）根据证明，结合，推出，求出，，即可得到，半径为，由是的垂线，证明，求出，连接，根据圆周角定理得，证明，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂线，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，直径． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 72．（2025·江苏苏州·一模）如图，C，D为线段上两点，且，过点D作的垂线，与以为直径的交于点E，作射线． (1)求证：为的切线； (2)F为上一点，弦与直径交于点G，当F为中点时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为， 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，则，根据线段的和差关系求出的长，进而可求出的长，解直角三角形求出的长，进而证明，推出则可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，由相似三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ，且， ， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）解；连接，则， 为的中点， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， 解得， 的长为， 73．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在中，，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点，，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，，可得，由直角三角形的两个锐角互余，等量代换，可得，从而可得，即可证得结论； （2）由，，可得，，从而可得，连接，则，由可得，根据勾股定理可得，从而可得的半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数，勾股定理． 74．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，以为直径的圆O交于点D，交于点E，过点D作，垂足为F． (1)求证：为的切线； (2)若过A点且与平行的直线交的延长线于G点，连接．当是等边三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等： （1）连接，根据题意可得是的中位线，从而得到，即可求证； （2）证明是的垂直平分线，可得，进而得到是等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ． 是等腰三角形， ， 又， ∴是的中位线， ． ， ， ∴是的切线． （2）解：∵是的直径， ． 是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ． 又， ． 是等边三角形． ． 75．（2025·江苏扬州·三模）如图，在中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 76．（2025·江苏无锡·二模）如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据等腰三角形性质和外角的性质得出，根据切线的性质得出，即可证得，根据平行线的性质得出，即可证得； （2）连接，根据圆周角定理得出，求出，利用写出比例，列出方程即可求解． 本题考查了圆切线的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）连接， ∵切于是的半径， （2）∵为所对圆周角， ∴， ∴． 连接， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ∴设则 ， ∴， ， ， ， ． 押题猜想十二 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥面积） 试题前瞻·能力先查 限时：40min 【改编题】如图，为的直径，C为上的一点，是过点C的直线，，垂足为E，与相交于点F，连接，恰好平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，．求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角可得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）连接、，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据余弦定义求出，证明是等边三角形，得出，过F作于H，根据三线合一求出，根据勾股定理求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接 ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径 直线是的切线； （2）解：连接、， 为的直径， ， ，， ， ， ，且平分， ， 又， 是等边三角形， ， 过F作于H， ， ， ． 【改编题】如图，为的直径，点C是上一点，D是的中点，连接，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，D是的中点，得，结合，得，再由切线的性质即可证明； （2）连接，易得是等边三角形，再由阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点F，连接， ∵D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵切于D， ∴． ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴，， ∴的面积． ∴扇形的面积， ∴阴影部分的面积． 分析有理·押题有据 与圆相关计算是宿迁中考常考题型，集中考查弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积公式运用。命题常结合圆、正多边形、阴影部分面积割补求解，还会涉及扇形围成圆锥的半径、母线转换关系。题型多为选择填空，侧重公式熟记与图形转化、整体割补的计算能力。 终极猜想·精练通关 77．（2025·江苏盐城·一模）如图，，以为直径作，交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中由弧与弦围成的阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角的性质，得到，从而得出，再结合，得到，即可证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，推出，证明，得到，求出的半径为4，进而得出，过点作于点，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数，求出，即可得到阴影部分面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为4， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的判定方法，勾股定理，特殊锐角三角函数值，相似三角形的判定和性质以及扇形面积的计算，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的判定方法，根据勾股定理，特殊锐角三角函数值，相似三角形的判定和性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 78．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于点和点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求弦和围成的阴影弓形部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线，角平分线的性质，勾股定理的应用，扇形面积公式． 通过做辅助线得到相关角度并由是解决本题的关键． （1）通过作辅助线，利用角分线的性质：“角分线上的点到角的两边距离相等”，可得，再根据圆的切线的性质即可证明． （2）根据并设出未知数，由勾股定理可求解的长度，再根据的余弦值可求解对应角度，再由的正弦值可求解的长度，由可求解阴影面积． 【详解】（1）证明：如图，过作于，如图， 是的角平分线， ， 为圆心，为半径，即， 是的切线． （2）作于点，如图， 的半径为6， 设， 则， 在中，， 由勾股定理： 解得：（舍去），， ， ， ， ，即， 答：阴影部分面积为． 79．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，四点在上，为的直径，于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弦与弧围成的弓形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，进而由平行线的性质即可求证； （）连接，过点作，由直角三角形的性质和圆周角定理可得，，可得，即得，进而可得，，最后根据计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接，过点作， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 80．（2025·江苏泰州·三模）如图，四边形是的内接四边形，弦非直径，点在弦上（不与端点重合），延长、交于点． (1)给出三个信息：①；②；③．请你从这三个信息中选择两个信息作条件，剩余一个信息作结论，构成一个命题，判断命题是否正确，并说明理由． 你选择的条件是________，_________，结论是________（只填序号）； (2)在（1）的条件下，若的度数为，，． ①求的正弦值； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)或或 (2)①；② 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，扇形的面积，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的性质得出，三个条件中等价于，等价于，再利用角度的和差即可判断； （2）①连接，，，利用的度数为，得出，可得，利用勾股定理得出，再利用三角函数定义即可求解；②由（1）可得，得出，利用是等腰直角三角形，得出，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：第一种情况：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 第二种情况：， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 第三种情况：， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； 故答案为：或或； （2）解：①如图，连接，，， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 81．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求涂色部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，推出，得到，即可得到结论； （2）根据题意得到，推出，， 则，，，根据勾股定理得到，求出，得到涂色部分的面积为． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：在中，， ． 由（1）可知， ． ． 设， 则，，， 在中，， ， ， ． ∴涂色部分的面积为． 82．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，点P是的直径延长线上一点，，绕点P按逆时针方向旋转，点O旋转到点C，连接交于点D，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算． （1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下： 如图，连接， 根据题意得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积． 押题猜想十三 几何图形的平移、翻折、对称问题 试题前瞻·能力先查 限时：50min 【改编题】如图，在菱形中，，，M是边的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】连接，过点作交的延长线于点，可得，然后解，求出，利用勾股定理求出，再由，当点落在上时，取得最小值． 【详解】解：连接，过点作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，， ∴ ∵ ∴，， ∵M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形沿翻折 ∴， ∵， ∴当点落在上时，取得最小值， ∴的最小值为． 如图，在中，，，．将绕的中点逆时针旋转得到，当经过点时，的长为_____． 【答案】 【分析】连接，可证明，推出；求出，，则可得到，，由勾股定理得，解直角三角形得到，证明，得到，即，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为的中点， ∴， 由旋转的性质可得，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 分析有理·押题有据 图形平移、翻折、对称是宿迁中考填空与解答高频考点，翻折为考查重点。命题常结合三角形、四边形，利用全等、边长角度不变性求解线段和角度。多融入动点、最值情境，考查数形转化与几何推理，侧重掌握变换前后等量关系与辅助线构造技巧。 终极猜想·精练通关 83．（2025·江苏宿迁·二模）实践与探究： (1)如图（甲），正方形纸片的边长为2，沿对角线剪开，然后固定纸片．把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；（与不重合） ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图（乙），菱形纸片的边长为2，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 【答案】(1)①四边形是平行四边形；②的最小值为 (2) 【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； ②作点关于的对称点，连接，，当共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且共线，在直角中，利用勾股定理即可求解． （2）同理可得是等边三角形，且共线，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是平行四边形．理由如下： ∵纸片沿剪痕的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值为． （2）解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等边三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点，是解题的关键． 84．（2025·江苏宿迁·二模）如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由，可得，如图，连接，，由平移的性质可知，，，，可知在直线上运动，四边形是平行四边形，则，如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，，则，，，，由，可知当三点共线时，最小为， ，由，可知，即三点共线，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，连接，， 由平移的性质可知，，，， ∴在直线上运动，四边形是平行四边形， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． 85．（2025·江苏南京·三模）如图，正方形的边上有一点，将沿翻折，使得点落在点处，射线，相交于点，若，，则 ______． 【答案】 【分析】作于点，于点，由正方形的性质，折叠的性质，证明，得到，，由，得，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，于点，则， 四边形是正方形，点在边上，，， ，， 将沿翻折，点落在点处， ，，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 86．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接．若分别为的中点，则线段长的最小值为___________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了勾股定理、中位线、三角形的三边关系，首先根据勾股定理求出，取的中点，连接，以构造中位线，根据中位线的性质求出的长度，在中利用三角形的两边之差小于第三边得到，当三点共线，且点在点之间时，线段长最小，最小值即为． 【详解】解：由旋转的性质得， 在中，由勾股定理得． 如图，取的中点，连接 为的中点，为的中点， ， 同理可得， 根据三角形的三边关系可知， 当三点共线，且点在点之间时，线段长最小， 最小值为． 故答案为：． 87．（2025·江苏泰州·三模）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______． 【答案】或 【分析】通过连接辅助线，利用旋转性质和全等三角形的判定，确定点的运动轨迹，再分情况结合等腰直角三角形、勾股定理求解长． 【详解】解：连接、，取的中点，作直线． ∵将点绕点逆时针旋转得对应点， ∴，，为等边三角形． ∵，，， ∴． ∵是中点，，， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴，点在直线上运动． 情况一：点在的延长线上． ∵，是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 情况二：点在线段上． 同理，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握旋转性质和全等三角形判定是解题的关键． 88．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，，，是边上一点，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点，则的最大值是________． 【答案】/ 【分析】根据题意先证明，得到，结合勾股定理可得，设，，，则可得关于x、y的方程，考虑到方程有解，则可利用一元二次方程根的判别式和二次函数与不等式的关系求解. 【详解】解：根据题意可得：，且点D向左运动不能和点B重合，否则射线与射线不相交， ∵，， ∴， ∴， 即， 在中，， 即（*）； 在中，，， 故设，，，则，， 则； 代入（*）式可得：， ∴， 设，则上式即为， 可变形为， 显然上述方程有解，故，且， 即， 解得：； ∴k的最大值为，即的最大值是； 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、30度角的直角三角形的性质、一元二次方程根的判别式和二次函数与不等式的关系等知识，熟练掌握相关知识的综合应用是解题的关键. 押题猜想十四 几何图形中的最值问题 试题前瞻·能力先查 限时：50min 如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】先求出，，则可判断点在的外接圆上，设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 点在的外接圆上， 设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． 【点睛】本题以半圆为载体，融合圆周角定理、动点轨迹、最值问题，通过确定的轨迹圆，利用“点到圆的最短距离为圆心距减半径”求解，体现转化化归、数形结合的核心数学思想． 如图，点A坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作矩形．若矩形的面积是24，连接，则的最大值为_______． 【答案】/ 【分析】作轴交直线于点F，证明，求出，取的中点M，连接，求出，根据求出最值即可． 【详解】解：作轴交直线于点F， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点M，连接， 则， ， 故， 当且仅当O、M、D三点共线时取等号， ∴的最大值为． 分析有理·押题有据 几何最值是宿迁中考填空压轴与解答高频考点，常结合三角形、四边形、圆及轴对称命题。重点考查将军饮马、点到直线距离、直径最长等模型，涉及线段最值、周长及面积最值。多融合翻折、平移变换，需构造辅助线利用几何性质转化求解，侧重模型识别与数形推理能力。 终极猜想·精练通关 89．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处．当的长度取得最大值时，折痕的长度为_____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】利用翻折的性质以及垂线段最短得出，当时，的值最大，此时，过点作交于点，过点作交的延长线于点，交于点，利用锐角三角函数以及勾股定理进行求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得， ∵点在边上， ∴当时，的值最小，即的值最小， ∴此时的值最大， 如图所示，此时，过点作交于点，过点作交的延长线于点，交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设，则，， 根据翻折的性质可得，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴由勾股定理得． 90．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 【答案】1 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质证明 ，从而得出 ，确定点的运动轨迹，利用垂线段最短，结合三角函数求解的最小值． 【详解】解：连接， 由旋转的性质可知， 四边形是正方形 ，， 在和 中 ， 当时，的长度最小，如图： 四边形是正方形 ∴ ∵，， ∴ 在中，，是的中点， 由勾股定理得， ∴在中， ∴线段长的最小值为1． 91．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 【答案】4 【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为， 92．（2026·江苏扬州·一模）如图，在四边形中，且为锐角，，当长取得最大时，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，等腰梯形的性质和判定，平行线的性质，二次函数的最值；先证明梯形和梯形是等腰梯形得到，，再利用平行线的性质得出，得出，设，，可得出与的函数关系，最后利用二次函数的最值，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过D作，交延长线于E，过B作，交延长线于F， ∵，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，即当时，长取得最大． 故答案为：． 93．（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】作于点P，取线段的中点K，连接，作，再根据菱形的性质可得 ，然后根据折叠的性质可得，接下来说明，可得，即可得当点H，F，K共线时，的值最小值为线段的长度，再结合正切的定义，由勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点D作于点P，取线段的中点K，连接，过点K作于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点H，F，K共线时，的值最小，即为线段的长度． ∵， ∴设，则， 由勾股定理，得， 解得， ∴， 即的最小值为． 94．（2025·江苏苏州·一模）如图，矩形中，与相交于点E，，将沿折叠，点A的对应点为F，连接交于点G，且，在边上有一点H，使得的值最小，此时_______． 【答案】 【分析】首先证明，从而得到，，，再证明△ADF为等边三角形得到△CDF≌△BAF从而求出FC的长，E点关于AD的对称点E´，连接B E´与AD交于H，求出BH的长即可得到答案. 【详解】解：设BD与AF交于M，AB=a，则AD= ∵四边形ADCD是矩形 ∴∠DAB=90°， ∴，∠ABD=60° ∴△ABE，△CDE都是等边三角形 ∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a ∵将△ABD沿BD折叠，A的对应点为F ∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA= ∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2 ∴， ∴ ∵在矩形ABCD中，BC∥AB ∴ ∴即 ∴ ∴，， ∵∠GBM+ABM=90°=∠BAM+∠ABM ∴∠BAM=∠GBM=30° ∴ ∴ 又∵∠ADF=90°-∠BAM=60° ∴△ADF为等边三角形 ∴FD=FA，∠ADF=60° ∴∠CDF=30° ∴△CDF≌△BAF ∴FC=BF= 如图作E点关于AD的对称点E´，连接B E´与AD交于H，连接EH，此时EH+BH的值最小 ∴EN= E´N ∵∠BAD=END=90°，E为BD的中点 ∴AB∥EE´ ∴EN为三角形ABD的中位线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 押题猜想十五 新情境类材料阅读与新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：50min 【新定义】平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②或 (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义分类讨论，求解即可； （2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将代入，可得x分别为，点P的坐标为或； （3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式． 【详解】（1）解：①由题意得， 过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”， ∴矩形的长为，矩形的宽为， ∴矩形的周长为，矩形的面积为； ②∵，点， 当时，， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时不存在n值， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴或6． （2）解：①， ∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12， ∵点在直线上， 分别将代入，可得x分别为0，1； 结合图象可知：； ②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，则边长为6， 分别将代入，可得x分别为，3； ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点，，的“最佳三点矩形”面积为12时，， ∴矩形的宽为， ∵或， 如图， 设抛物线的解析式为，经过点， ∴ ，解得 ， ∴， 同理抛物线经过点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式或． 【新情境】项目背景：扬州某物流园区引入智能分拣系统，该系统通过摄像头识别货物轮廓，并借助直角坐标系确定货物形状“最小包围矩形”（即目标矩形）的尺寸．该系统中目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于坐标轴，货物形状近似图形的所有点都在矩形内部或边上，且矩形面积最小．设目标矩形的竖直边长与水平边长的比为k，称k为目标矩形的形态比． 例如：某货物形状近似图形为圆形，识别后如图1，则其目标矩形形态比为． (1)如图2，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为线段，端点坐标为，，则其目标矩形的形态比 ． (2)如图3，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为抛物线，其表达式为，该抛物线经过点，且其目标矩形的形态比，水平边长为8个单位．求该抛物线的表达式，并求出目标矩形的面积． (3)如图4，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为反比例函数的一支．过曲线上两点、分别作坐标轴的平行线，围成目标矩形．设该目标矩形的面积为S． 求证：该目标矩形形态比； 若，是否存在目标矩形，使其同时满足面积且形态比？若存在，请直接求出满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)见解析，存在；， 【分析】（1）根据目标矩形的形态比的定义即可求解； （2）由目标矩形定义可得点是抛物线的顶点，即可求解； （3）根据目标矩形的形态比的定义即可求解； 由目标矩形的面积且形态比，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：将代入，得， ∴抛物线解析式为， ∵，， ∴， ∴结合目标矩形定义可得，点是抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴， 解得， ∴抛物线表达式为：， 矩形面积． （3）① 证明：∵、，， ∴， ， ∴， ∴． ② 存在． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 把代入，得， ∵， ∴， 联立， 由得， 把代入得，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去） ∴， ∴，． 分析有理·押题有据 新定义与材料阅读是宿迁中考压轴常考题型，多以陌生概念、自定义规则、实际新情境为载体。融合代数运算、函数性质与几何推理，考查现场理解、迁移建模能力。题型灵活新颖，侧重提炼信息、套用新定义规律，综合考查数学抽象、逻辑推理与知识迁移应用素养。 终极猜想·精练通关 95．（2025·江苏宿迁·二模）对于函数与函数作如下定义：若函数与函数只有一个公共点，则称函数与函数互为“融创函数”，唯一的公共点记为． (1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是______； ①；②；③． (2)已知函数与函数互为“融创函数”． ①求公共点的坐标； ②若将函数向左平移个单位得到函数．则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为______（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)①  ② (3) 【分析】（1）根据“融创函数”定义判断即可； （2）①联立，令，求解即可；②先求出平移后函数，联立，设交点A，B，再根据函数图象，取整数点即可； （3）根据“融创函数”定义，则方程由两个相等的实数根，利用根的判别式得到即，由当，恒有，则点在函数顶点的右侧，得到，解得，即可由求出结果． 【详解】（1）解：一次函数的图象在一、三、四象限， 直线与直线不平行，故有唯一点； 反比例函数的图象在一、三象限， 关于直线与反比例函数的图象有两个交点； 二次函数图象开口向上，顶点是原点，与直线有一个交点， 与一次函数互为“融创函数”的是①③． 故答案为：①③； （2）解：①∵函数P：与函数互为“融创函数”， 则联立， 消去y得；， 则，解得， 故函数，令 解得   ∴R的坐标为； ②将函数向左平移个单位得到函数． 联立函数与函数， 则，即， 解得：或， 当，则；当，则； 如图： 设，点D为函数的顶点，点C为函数的顶点， 函数与函数， ， 当时，，当时，， 则函数与函数所围成封闭图形内（包括边界）整点有：共4个； （3）解：函数与函数互为“融创函数”， 令，整理得： 则，即， 当，恒有， 点在函数顶点的右侧，即， 解得， 由， ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与几何变换，函数与一元二次方程，二次好速度性质，熟练掌握函数与方程组的关系、二次函数的性质是解题的关键． 96．（2025·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)、，（答案不唯一） (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【详解】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 97．（2026·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． (1)如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； (2)如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 【答案】(1)①是，不是；② (2) 【分析】（1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内；②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可． 【详解】（1）解：由题意得： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴小于半径， ∴在的内部，符合关联三角形的定义， 即是的关联三角形； 如图所示，过A作直线轴，过作于点B，过作于点C，过A作轴于点D， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴在的外部，不符合关联三角形的定义， ∴不是的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴，， ∵， ∴点Q的横坐标为0，纵坐标为， ∴Q点坐标为， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴； （2）解：根据题意得：P点坐标为， 如图，过点A作轴，过P，Q作，垂足分别为点E，F， 同理（1）得， ∴，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 解得：； 98．（2026·江苏无锡·一模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． (1)求证：函数图像上总存在“等值点”； (2)设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； (3)将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为，，或 【分析】（1）将二次函数配方成顶点式，然后得到对称轴为直线，即可证明； （2）由（1）可设，，，根据求出，然后将代入求解即可； （3）首先求出函数的表达式为，然后求出图像和图像的交点坐标，然后根据题意分4种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴由二次函数的图像可得，图像为轴对称图形，对称轴为直线 ∴当时，两个函数值相等， ∴函数图像上总存在“等值点”； （2）解：由（1）可设，， ∵ ∴ ∴ ∴ 将代入得， 解得； （3）解：∵二次函数的顶点坐标为 ∴关于经过且平行于轴的直线对称的点的坐标为 ∴翻折后新函数的表达式为 联立函数和函数得， 解得， 将代入得， 将代入得， ∴图像和图像的交点坐标为和 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 综上所述，当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，的值为，，或． 99．（2026·江苏镇江·一模）【问题背景】蒙住被测试者的眼睛，由于人的左右腿发力不一致，导致左右脚步幅有细微的差距，从而会无意识转圈． (1)【活动思考一】已知被测试者的左脚每步走0.600米，右脚每步走0.601米，他两脚间距米（如图1），那么他左右脚交替行走（即步数一致）的足迹可近似为两个同心圆（如图2），求小圆的半径．    (2)【活动思考二】当两脚步幅相差很小时，人无意识转的圈会很大，我们将左右脚交替行走的足迹近似为一个圆．有一位旅行者从沙漠景区的营地出发，沿正北方向前进，已知他左右脚交替一次共走1.256米，当左右脚交替行走各5000次后，他拿出指南针，测得自己的位置是北偏西，他决定在原地等待救援．一辆救援车从营地出发，速度为60千米/小时，它最快用多长时间可到达旅行者所在的位置?（） 【答案】(1)小圆半径等于米 (2)救援车最快用小时可到达旅行者所在的位置 【分析】（1）设小圆半径为米，则大圆半径为米，根据左右脚步数一致计算即可得出结果； （2）设该旅行者足迹近似为，点为营地，射线方向为正北方向，点为该旅行者等待救援地，此时位置为北偏西，则，为等边三角形，求出该旅行者所走路程的长，结合弧长公式求出千米，则救援车救援的最短路程为线段的长6千米，由此即可得出结果． 【详解】（1）解：设小圆半径为米，则大圆半径为米， 由左右脚步数一致可得：， 解得， ∴小圆半径等于米； （2）解：如图，设该旅行者足迹近似为，点为营地，射线方向为正北方向，点为该旅行者等待救援地， ∵走完后，位置为北偏西， ∴该旅行者转了的圆弧， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 该旅行者所走路程长：（千米）， ∴， ∴千米， 故救援车救援的最短路程为线段的长6千米， ∵（小时）， ∴救援车最快用小时可到达旅行者所在的位置． 100．（2026·吉林长春·一模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是2，点是上的一个动点，点是平面内一点，，求证：线段的最大值为7． (1)【问题解决】经过分析，如图2，小明将延长交于点，并猜想此时最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．证明：如图2，在上任意取一点（点不与点重合），连接； 证明过程缺失 则， 则此时，最大，最大值为 (2)【问题延伸】如图3，在中，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，则线段的最小值是___________． (3)【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点，沿修建小路，并在中点处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊最短为___________米．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角形三边的关系证明线段的最大值； （2）通过构造圆，利用点与圆的位置关系求线段的最小值； （3）构造圆，结合中位线定理和勾股定理求仿古长廊最短长度． 【详解】（1）证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合），连接、， 在中，， ， ， 则， 则此时，最大，最大值为； （2）解：如图3， ， ∴， ∴点F在以为直径的圆上，以为直径作，连接交于F， 由点圆关系得此时最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 即线段的最小值是； （3）解：如图4，取、中点、，连接，以为直径作，连接交于点，作于，连接、， ∵点F为中点， ∴、分别为和的中位线， ∴， ∴， ∵为半圆直径， ∴， ∴， ∴F在以为直径的圆上，即在上，由点圆关系得，为的最小值， ∵、为、中点， ∴为中位线， ∴米，， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴（米）， ∵， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， 即最短为米． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $