考点02 一元二次方程的解法4考点6题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

考点02 一元二次方程的解法 考点一：直接开平方法 适用：形如 、 口诀：左边平方，右边非负，直接开方，正负两个。 例题：解方程 考点二：配方法 步骤：① 二次项系数化为1；② 移常数项到右边；③ 两边加一次项系数一半的平方；④ 写成完全平方，再开方求解。 例题：用配方法解方程 考点三：公式法 求根公式： 判别式： ：两个不相等实数根；：两个相等实数根；：无实数根 例题：用公式法解方程 考点四：因式分解法 适用：能分解成两个一次因式乘积 形式： 则根： 常用：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘。 例题：用因式分解法解方程 题型一：直接开平方法求解 易错点1：忽略右边非负条件，当时，仍强行开方，导致错误（无实数根）； 易错点2：开平方漏写正负号，如，只写，漏掉； 易错点3：整体平方开方后，未对括号内的式子完整求解，如，开方后只算，忽略负根。 【例1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【变式1-2】（2025九年级·广西·专题练习）解方程： 【变式1-3】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）解方程：． 题型二：因式分解法求解 易错点1：因式分解不彻底，如，只分解为是正确的，易误分解为后两边同除以，约掉根； 易错点2：十字相乘法分解时，常数项分解错误，导致因式分解后与原方程不符； 易错点3：分解后忘记令每个因式等于0，直接写出根，步骤不规范且易出错； 易错点4：混淆平方差、完全平方公式，如，易误分解为，正确为。 【例2】（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 【变式2-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【变式2-2】（2026·重庆·模拟预测）解下列方程： (1)； (2)． 【变式2-3】（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 题型三：配方法求解 易错点1：二次项系数不为1时，未先化为1就直接配方，导致常数项加错； 易错点2：配方时，只给左边加一次项系数一半的平方，右边忘记加，等式不成立； 易错点3：计算一次项系数一半的平方时出错（如一次项系数为-4，一半为-2，平方为4，易误算为-4）。 【例3-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）解方程：． 【例3-2】（25-26九年级上·广东惠州·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ∴⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤____________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【例3-3】（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【变式3-1】（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）用配方法解方程 (1)； (2)． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北保定·期末）下列是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程． 小明步骤： ①由，得； ②两边同时除以，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理，得；…… 请根据以上信息，完成下列问题． (1)小明的推导过程中，从第_________步开始出现错误．（填序号） (2)请写出正确且完整的推导过程． 题型四：公式法求解 易错点1：代错系数符号，尤其是为负数时，忘记求根公式中的（如，易误写为）； 易错点2：计算判别式时，符号出错（如，易忽略负号）； 易错点3：时，仍代入求根公式求解，忽略无实数根的情况； 易错点4：化简根式时出错（如，易误化简为，正确为）。 【例4-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 【例4-2】（2026·陕西西安·二模）解下列方程：（用公式法）； 【变式4-1】（2026·安徽合肥·一模）解方程：． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 【变式4-3】（2026·安徽芜湖·一模）解方程：． 题型五：分类讨论解含绝对值的一元二次方程 解方程 或 这类带绝对值的一元二次方程，关键：先找绝对值内部式子的零点，分区间去绝对值，再解方程，最后验根。 解题步骤 令绝对值内代数式 = 0，求出分界点； 按分界点划分定义域区间，分类讨论去绝对值符号； 在每个区间内解普通一元二次方程； 检验解是否在当前讨论区间内，不在则舍去。 不验根：求出解后不看是否在当前区间，直接全留； 漏分区间，直接去掉绝对值； 把 当成 ，忽略负数情况。 【例5】解方程： 【变式5-1】解方程： 【变式5-2】（25-26九年级上·湖南·月考）阅读题例，解答下题： 例：解方程 解： 当，即时 解得：（不合题设，舍去）， （2）当，即时 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 题型六：用换元法解一元二次方程 适用题型 方程含重复整体结构： 如 、 等。 核心思路 把重复出现的复杂代数式设为新元 ，将高次/复杂方程降为一元二次方程，解出 后再回代求 。 解题步骤 观察方程，设重复部分为 ； 换元，化为普通一元二次方程； 解出 的值； 回代，解关于 的方程； 分式/根式方程必须验根。 忘记回代：只求出 ，不再求； 换元后没看清取值范围（如 ，负的 直接舍去）； 分式换元后不验增根； 设元错误，没找准重复整体。 【例6】解方程： 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【变式6-3】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数a，b满足，试求的值． 1．（24-25九年级上·山西朔州·月考）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26九年级上·海南·期中）解下列方程: (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26九年级下·内蒙古·开学考试）按要求解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)；（用配方法） (3)；（用公式法） (4)；（用因式分解法） 6．（25-26九年级上·云南昭通·期末）（1）解一元二次方程：． （2）下面是某同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程右侧提取公因式得：第一步 移项，得：第二步 方程两边同时除以，得：第三步 移项，得：第四步 系数化为1，得第五步 回答下列问题： ①这位同学的解法从第___________步开始出现错误； ②此方程正确的解应该是___________． 7．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：______，______，______， (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 8．（25-26九年级下·安徽六安·月考）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位．我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空： ， ， ． (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． (3)在复数范围内解方程：． 9．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 10．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 11．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 12．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料，解答问题： 换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题： (1)解方程：； (2)已知实数，满足，求的值； (3)解方程：； (4)解方程：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 一元二次方程的解法 考点一：直接开平方法 适用：形如 、 口诀：左边平方，右边非负，直接开方，正负两个。 例题：解方程 解：直接开方得， 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 ； 综上，方程的解为 。 考点二：配方法 步骤：① 二次项系数化为1；② 移常数项到右边；③ 两边加一次项系数一半的平方；④ 写成完全平方，再开方求解。 例题：用配方法解方程 解：① 二次项系数化为1：； ② 移常数项：； ③ 配方（加一次项系数一半的平方，即 ）： ，即 ； ④ 开方求解：，解得 。 考点三：公式法 求根公式： 判别式： ：两个不相等实数根；：两个相等实数根；：无实数根 例题：用公式法解方程 解：由方程可知，； 第一步，计算判别式：，方程有两个不相等实数根； 第二步，代入求根公式：； 综上，方程的解为 。 考点四：因式分解法 适用：能分解成两个一次因式乘积 形式： 则根： 常用：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘。 例题：用因式分解法解方程 解：十字相乘法分解因式，将常数项6分解为-2和-3，满足 （一次项系数）； 原式化为 ； 则 或 ； 解得 。 题型一：直接开平方法求解 易错点1：忽略右边非负条件，当时，仍强行开方，导致错误（无实数根）； 易错点2：开平方漏写正负号，如，只写，漏掉； 易错点3：整体平方开方后，未对括号内的式子完整求解，如，开方后只算，忽略负根。 【例1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 解得． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项得， 直接开平方得， ，． 【变式1-2】（2025九年级·广西·专题练习）解方程： 【答案】，． 【详解】解：， ， ， ∴，． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：方程可化为， 由此得或， 解得 题型二：因式分解法求解 易错点1：因式分解不彻底，如，只分解为是正确的，易误分解为后两边同除以，约掉根； 易错点2：十字相乘法分解时，常数项分解错误，导致因式分解后与原方程不符； 易错点3：分解后忘记令每个因式等于0，直接写出根，步骤不规范且易出错； 易错点4：混淆平方差、完全平方公式，如，易误分解为，正确为。 【例2】（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 【变式2-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 【变式2-2】（2026·重庆·模拟预测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式2-3】（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 题型三：配方法求解 易错点1：二次项系数不为1时，未先化为1就直接配方，导致常数项加错； 易错点2：配方时，只给左边加一次项系数一半的平方，右边忘记加，等式不成立； 易错点3：计算一次项系数一半的平方时出错（如一次项系数为-4，一半为-2，平方为4，易误算为-4）。 【例3-1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ∴， 【例3-2】（25-26九年级上·广东惠州·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ② ③ 或④ ∴⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤____________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②； （2）解： 或 ∴． 【例3-3】（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②； （2）解：， 配方得，即， 开方得或， ∴． 【变式3-1】（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 解得，． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）用配方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， ∴，； （2）解： ，． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北保定·期末）下列是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程． 小明步骤： ①由，得； ②两边同时除以，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理，得；…… 请根据以上信息，完成下列问题． (1)小明的推导过程中，从第_________步开始出现错误．（填序号） (2)请写出正确且完整的推导过程． 【详解】（1）解：在第③步中，配方时应在等式两边同时加上，而不是同时加上，故从第③步开始出现错误．但步骤④本身也存在由步骤③推导至此的逻辑错误，但根源在步骤③． 故答案为：③． （2）解：由，移项得， 两边同时除以，得， 配方时，在等式两边同时加上，得， 整理，得． 当时， ， 即． 题型四：公式法求解 易错点1：代错系数符号，尤其是为负数时，忘记求根公式中的（如，易误写为）； 易错点2：计算判别式时，符号出错（如，易忽略负号）； 易错点3：时，仍代入求根公式求解，忽略无实数根的情况； 易错点4：化简根式时出错（如，易误化简为，正确为）。 【例4-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 【答案】， 【详解】解： 【例4-2】（2026·陕西西安·二模）解下列方程：（用公式法）； 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【变式4-1】（2026·安徽合肥·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解：方程可化为， ，，， ， ， 解得：，． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：，，， ， ， ， ． 【变式4-3】（2026·安徽芜湖·一模）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 由， ∵， ∴， ∴． 题型五：分类讨论解含绝对值的一元二次方程 解方程 或 这类带绝对值的一元二次方程，关键：先找绝对值内部式子的零点，分区间去绝对值，再解方程，最后验根。 解题步骤 令绝对值内代数式 = 0，求出分界点； 按分界点划分定义域区间，分类讨论去绝对值符号； 在每个区间内解普通一元二次方程； 检验解是否在当前讨论区间内，不在则舍去。 不验根：求出解后不看是否在当前区间，直接全留； 漏分区间，直接去掉绝对值； 把 当成 ，忽略负数情况。 【例5】解方程： 解：零点：，分 、 两种情况讨论： ① 当 时， 方程变为： 解得 或 ∵ ，舍去 ，保留 ② 当 时， 方程变为： 解得 或 ∵ ，舍去 ，保留 综上：方程根为 【变式5-1】解方程： 解：根据绝对值定义，分两种情况： 或 ① 解得 ② ，无实数根 ∴ 实数根： 【变式5-2】（25-26九年级上·湖南·月考）阅读题例，解答下题： 例：解方程 解： 当，即时 解得：（不合题设，舍去）， （2）当，即时 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 【答案】或 【详解】解：当，即时， ， ， ， 解得，； 当，即时， ， ， 解得不合题设，舍去，不合题设，舍去． 综上所述，原方程的解是或 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； 原方程的根是，． （2）当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的解是，． 题型六：用换元法解一元二次方程 适用题型 方程含重复整体结构： 如 、 等。 核心思路 把重复出现的复杂代数式设为新元 ，将高次/复杂方程降为一元二次方程，解出 后再回代求 。 解题步骤 观察方程，设重复部分为 ； 换元，化为普通一元二次方程； 解出 的值； 回代，解关于 的方程； 分式/根式方程必须验根。 忘记回代：只求出 ，不再求； 换元后没看清取值范围（如 ，负的 直接舍去）； 分式换元后不验增根； 设元错误，没找准重复整体。 【例6】解方程： 解：设 ，原方程变为： 解得 回代： ① 解得 ② ，无实根 ∴ 方程实根： 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 【变式6-3】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）设， 原方程可转化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程的解为； （2）设， 原方程可转化为， 解得． ∵， ∴舍去， ∴． 1．（24-25九年级上·山西朔州·月考）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， 或， ∴． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4)或 【详解】（1）解：， 由， 可知， ∴， ∴； （2）解：， 整理，得， 由， 可知， ∴， ∴； （3）解：， 由， 可知， ∴， ∴； （4）解：， 整理，得， 因式分解，得， 即， ∴． 3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得，； （3）解：， ， 或， 解得，； （4）解：， ， ， 或， 解得，． 4．（25-26九年级上·海南·期中）解下列方程: (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： ， 即； （4）解： 或 解得． 5．（25-26九年级下·内蒙古·开学考试）按要求解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)；（用配方法） (3)；（用公式法） (4)；（用因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·云南昭通·期末）（1）解一元二次方程：． （2）下面是某同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程右侧提取公因式得：第一步 移项，得：第二步 方程两边同时除以，得：第三步 移项，得：第四步 系数化为1，得第五步 回答下列问题： ①这位同学的解法从第___________步开始出现错误； ②此方程正确的解应该是___________． 【答案】（1）； （2）①三；②， 【详解】（1）解：， ， ， 解得， 方程的解为； （2）解：①这位同学的解法从第三步开始出现错误， 因为当时，方程两边不能同时除以，否则会丢失这个根； ②， ， 移项得， 提取公因式得， 或， 解得，． 7．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： (1)填空：______，______，______， (2)在复数范围内解方程：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ； ； ； （2）解：， 两边同时开平方得：， 解得：，； （3）解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 8．（25-26九年级下·安徽六安·月考）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位．我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空： ， ， ． (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，1，0 (2)（答案不唯一，符合题意即可） (3)， 【详解】（1）解：，， ． （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 即， ∴一个以a，b的值为解的一元二次方程可为． （3）解：， ， ， ， ∴，． 9．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 10．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 11．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数，见解析 (3) 【详解】（1）解：根据题意可知的“友好方程”是：， 故答案为：； （2）解：， ， ， 解得； 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 故答案为：，互为倒数； 证明：解方程， 当时，． 解方程， 得， ∴ ． 故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； （3）解：关于的方程的两根为． ∵方程的两根是， ∴其“友好方程”的两根为2025． ，即， 将看作整体，则或， ∴． 12．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料，解答问题： 换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题： (1)解方程：； (2)已知实数，满足，求的值； (3)解方程：； (4)解方程：． 【答案】(1)， (2)15 (3)，，， (4)， 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 因式分解得， 解得或， ∴当时， 因式分解得，解得或， 当时，即， ∵， ∴方程无实数解， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程化为， 展开得， 因式分解得， 解得或， 因为，所以舍去， 故 （3）解：设，则，原方程化为， 因式分解得， 解得或， 当时，解得或， 当时，解得或， ∴，，，； （4）解：设，，则， 原方程化为， ∴，则， ∴或， ∴，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $