江苏省南通市2026年中考数学模拟预测卷

江苏省南通市2026年中考数学模拟预测卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共0分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.计算(-2)+(-3)的结果等于() A.5 B.1 C.-5 D.-1 2.2025年10月1日，我国自主研发的智能机器人参与的“科技与运动”主题徒步活动在上海举行，活动 全程约15公里，在此过程中采用双足步态的人形机器人要完成约180000次精密关节运动.将数据180000 用科学记数法表示应为() A.0.18×106 B.0.18×105 C.1.8×106 D.1.8×105 3.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是() 4.估计√19-2的值在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 5.算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七 客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7 位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少 位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为() A6) B.0D CD- D. 6.如图，//，直线分别交、于、，∠ =50°， E 平分L,则上 的度数为() G A B A.65° B.70° C.75 D.80° H 第1页，共8页 7.如图，在平面直角坐标系中，△顶点坐标分别为(0,0)，(2,1)，(1,2)，以原点为位似中心，将△ 按相似比1：2放大，则顶点在第三象限的对应点的坐标为() A.（-4,-2) B.（-2,-1) C.(-1,-2) D.（-2,-4) B 0 8.如图，在△ 中，=16，=12， =10,∠的平分线与交于点，在线段 上取一 点，以点为圆心， 长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，连接，则△ 的周长为() A.12 B.14 C.16 D.18 C D K N A E 9.如图，用4个全等的△， △，△ ,△ 和2个全等的△，△ 务 成如图所示的矩形 ,则一的值为() A号 B c号 D.号 E 10.如图，在平面直角坐标系 中，点，分别在函数=(>0)，=-(<0)的图象上，// 轴，点是轴上一点，线段与轴正半轴交于点若△ 的面积为8，一=景则的值为() A.2 B.4 C.-2 D.-4 第2页，共8页 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.因式分解3-4=· 12.九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.”大致意思是： 有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1 小桶共盛斛米.（注：斛是古代一种容量单位） 13.已知直线=2-1与双曲线=3的交点为(，)，那么代数式22一2的值为. 14.如图，直线，为⊙的两条直径，点在⊙上，连接，点为的中点，若∠=50°，则 =. E 15.如图，直线=？+2与坐标轴分别交于，两点，在直线的上方有一点(，+1)，若△=8， 则点的坐标为。 B 16.在菱形 中，∠=60°， =4,为菱形内部一点，且=2，连接，点为中点，连接， 取中点，连接，则的最大值为· 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 1计算：13-01-(-2+2x(-V5:2)化简：号÷(+6+9)， 第3页，共8页 18.(本小题10分) 有一种卡牌游戏，其游戏规则如下： 规则 ①先将六张卡牌分别标上数字1,2,3,4,5,6，再分为甲、乙两个牌组，标有数字1,3,5的卡 牌在甲牌组，剩余卡牌在乙牌组： ②两位选手各抽取一个牌组进行游戏，整场游戏共三轮，每位选手每一轮都从自己的牌组中选取一张 牌和对方比大小，数字大的获胜，已经选取过的牌不再放回牌组： ③在三轮游戏中，获胜两轮及以上者，赢得整场游戏 两位同学玩游戏时，抽到了甲牌组，抽到了乙牌组.为了在第一轮中获得胜利，选取了标有数字6 的卡牌 (1)在第一轮中选取标有数字 的卡牌，才有可能赢得整场游戏： 甲牌组 乙牌组 (2)在(1)的条件下，求赢得整场游戏的概率. 19.(本小题10分) 【阅读材料】 小飞的作法： 老师的问题： (1)以点为圆心， 长为半径作弧： 已知：在△ 中，∠=90°.求作：矩形 (2)以点为圆心， 长为半径作弧： (3)两弧交于点，连接 、 四边形 就是所求作的矩 形 B 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形 是矩形 第4页，共8页 20.(本小题10分) 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对、两款设备的满意度评分中各随机抽取 20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意<70，比较满意70≤< 80,满意80≤<90，非常满意≥90)，下面给出了部分信息： 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： 83,85,85,87,87,89: 抽取的对款设备的评分数据： 68,69,76,78,81,84,85,86,87,87,87,89,95,97,98,98,98,98,99,100 抽取的对，款设备的评分统计表： 抽取的对A款设备 设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比 的评分扇形统计图 88 96 45% 比较满意 a%2 88 87 98 满意 0%大不满意 根据以上信息，解答下列问题： 非常满意 (1)填空： (2)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由. 21.(本小题10分) 缅怀革命先烈，传承红色基因清明节期间，某数学兴趣小组前往苏州烈士陵园开展实践活动，对纪念碑的 高度进行测量，相关测量数据记录如下： 第5页，共8页 活动主 测量纪念碑的高度 题 A 实物图 和测量 示意图 B 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑的最高点的仰角，另一名同学在他的正后方16 测量步 的点处用相同的测角仪测得点的仰角（测角仪的高度为1.5），且图中所有的点，，， 骤 都在同一平面内，上，上，上，垂足分别为，，· 测量数 在点处测得点的仰角为42°，在点处测得点的仰角为30° 据 参考数 42°≈0.67， 42°≈0.74， 42°≈0.90，V3≈1.73. 据 根据以上信息，求该纪念碑的高度（结果精确到0.1）. 22.(本小题10分) 如图，在△中，∠=90°，以点为圆心， 为半径的圆交的延长线于点，与⊙相切于 点，连接 (1)求证： /1 (2)若=6， 的长为，求的长 B 第6页，共8页 23.(本小题12分) 12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和 父亲的聊天记录， 爸爸区间测速是啥原塑 小明 区间测速是高速测速方法之一，当车辆经过区间测速起点、终点 时，电脑自动记录车辆的行驶时间，并计算车辆在该路段的平均 速度。 区间测速限速是啥意恩 父亲 小明 区间测速限速分两种：最低限速和最高限速，最低限速是指通过 该路段平均速度的最小值，最高限速是指通过该路段平均速度的 最大值，低于最低限速和高于最高限速都是违法行为， 明白了！ 小明时 父亲 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长20，最低限速是60/h,最高限速是120 /h.设汽车通过该路段的平均 速度是 /h,时间为h. (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）： (2)甲车通过该路段时，以 /h的速度行驶8，余下的路程以原速的1.5倍的速度行驶通过该路段的时 间为h,求的值. 24.(本小题13分) 在平面直角坐标系 中，已知抛物线=2-3(>0) (1)求抛物线的对称轴： (2)已知抛物线上两点，的横坐标分别为，2，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交 于点· ①若=1，=2，求的长； ②当取1,2时， 的长分别为1”2，若存在<1<2<号，使得1=2，求的取值范围。 第7页，共8页 25.(本小题13分) 问题情境： 为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每个学习小组一些三角形纸片，让同学们 在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出有意义的数学问题或结论. A D B D D B B C B G 图1 图2 图3 (1)初步探究：希望小组手中的 纸片如图1，其中>，小组的同学在边上取了一点使> 沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段 ’与平行，且折痕与边交于点，得到’，然 后展平，该小组的赵虎同学观察思考后说四边形 ’是个特殊的四边形.你认为赵虎同学说的对吗？若 对，请说出名称并证明，若不对请说明理由， (2)深入探究：在图1的基础上，希望小组的同学继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点·落在 射线'上，且折痕与边交于点，然后展平.连接’交边于点，连接’· ①张亮同学观察后说，若=2，则1·，如图2，请判断张亮同学的说法是否正确，并说明理 由； ②刘明同学观察后说，当△ 纸片的∠=90°，=10，=8，其他条件不变，仍按照上述过程折 叠，如图3，若△是以‘为腰的等腰三角形时，可以求出’的长，你认为刘明同学说的对吗？ 若对，请直接写出·的长，若不对请说明理由， 第8页，共8页 江苏省南通市2026年中考数学模拟预测卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.计算的结果等于(    ) A. B. C. D. 2.年月日，我国自主研发的智能机器人参与的“科技与运动”主题徒步活动在上海举行，活动全程约公里，在此过程中采用双足步态的人形机器人要完成约次精密关节运动将数据用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 3.如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 4.估计的值在(    ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 5.算法统宗是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住位客人则多出位客人，一个房间住位客人则多出个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为(    ) A. B. C. D. 6.如图，，直线分别交、于、，，平分，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，将按相似比：放大，则顶点在第三象限的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，的平分线与交于点，在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，连接，则的周长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，用个全等的，，，和个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数，的图象上，轴，点是轴上一点，线段与轴正半轴交于点若的面积为，，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.因式分解      ． 12.九章算术中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米，依据该条件，大桶加小桶共盛          斛米．注：斛是古代一种容量单位 13.已知直线与双曲线的交点为，那么代数式的值为          ． 14.如图，直线，为的两条直径，点在上，连接，点为的中点，若，则        15.如图，直线与坐标轴分别交于，两点，在直线的上方有一点，若，则点的坐标为        ． 16.在菱形中，，，为菱形内部一点，且，连接，点为中点，连接，取中点，连接，则的最大值为          ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：； 化简：． 18.本小题10分 有一种卡牌游戏，其游戏规则如下： 规则 先将六张卡牌分别标上数字，，，，，，再分为甲、乙两个牌组，标有数字，，的卡牌在甲牌组，剩余卡牌在乙牌组； 两位选手各抽取一个牌组进行游戏，整场游戏共三轮，每位选手每一轮都从自己的牌组中选取一张牌和对方比大小，数字大的获胜，已经选取过的牌不再放回牌组； 在三轮游戏中，获胜两轮及以上者，赢得整场游戏． ，两位同学玩游戏时，抽到了甲牌组，抽到了乙牌组为了在第一轮中获得胜利，选取了标有数字的卡牌． 在第一轮中选取标有数字______的卡牌，才有可能赢得整场游戏； 在的条件下，求赢得整场游戏的概率． 19.本小题分 【阅读材料】    老师的问题： 已知：在中，求作：矩形． 小飞的作法： 以点为圆心，长为半径作弧； 以点为圆心，长为半径作弧； 两弧交于点，连接、． 四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】  请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 20.本小题分 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对、两款设备的满意度评分中各随机抽取份，并对数据进行整理、描述和分析评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息： 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： ，，，，，； 抽取的对款设备的评分数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，款设备的评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： 填空： ______， ______， ______； 根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由． 21.本小题10分 缅怀革命先烈，传承红色基因清明节期间，某数学兴趣小组前往苏州烈士陵园开展实践活动，对纪念碑的高度进行测量，相关测量数据记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑的最高点的仰角，另一名同学在他的正后方的点处用相同的测角仪测得点的仰角测角仪的高度为，且图中所有的点，，，，，都在同一平面内，，，，垂足分别为，，． 测量数据 在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，求该纪念碑的高度结果精确到． 22.本小题分 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，与相切于点，连接． 求证：； 若，的长为，求的长． 23.本小题2分 月日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长最低限速是，最高限速是设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 直接写出与的函数关系式及的范围不违反交通法规； 甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶通过该路段的时间为，求的值． 24.本小题13分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 求抛物线的对称轴； 已知抛物线上两点，的横坐标分别为，，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点． 若，，求的长； 当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求的取值范围． 25.本小题3分 问题情境： 为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每个学习小组一些三角形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出有意义的数学问题或结论． 初步探究：希望小组手中的纸片如图，其中，小组的同学在边上取了一点使，沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平，该小组的赵虎同学观察思考后说四边形是个特殊的四边形．你认为赵虎同学说的对吗？若对，请说出名称并证明，若不对请说明理由． 深入探究：在图的基础上，希望小组的同学继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． 张亮同学观察后说，若，则，如图，请判断张亮同学的说法是否正确，并说明理由； 刘明同学观察后说，当纸片的，，，其他条件不变，仍按照上述过程折叠，如图，若是以为腰的等腰三角形时，可以求出的长，你认为刘明同学说的对吗？若对，请直接写出的长，若不对请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 1、 选择题： 1.计算的结果等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：原式． 故选：． 根据有理数的加法的运算法则进行计算． 本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 2.年月日，我国自主研发的智能机器人参与的“科技与运动”主题徒步活动在上海举行，活动全程约公里，在此过程中采用双足步态的人形机器人要完成约次精密关节运动将数据用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据科学记数法可知： ， 故选：． 根据科学记数法书写规范解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握该知识点是关键． 3.如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是， 故选：． 根据从正面看到的图形，即可解答． 本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 4.估计的值在(    ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B  【解析】解：， ， ， ． 故选：． 利用无理数的估算解答． 本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算． 5.算法统宗是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住位客人则多出位客人，一个房间住位客人则多出个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：一个房间住位客人则多出位客人， ； 一个房间住位客人则多出个房间， ． 根据题意可列出方程组． 故选：． 根据“一个房间住位客人则多出位客人，一个房间住位客人则多出个房间”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6.如图，，直线分别交、于、，，平分，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，， 两直线平行，同位角相等． ， ． 平分， ， 故选：． 根据平行线的性质得出，利用邻补角定义求出，再根据角平分线定义求出的度数，即可求解． 本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 7.如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，将按相似比：放大，则顶点在第三象限的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点    ∽，  ：：，  ，  ，，  ，，  ∽，  ，  ，    故选：． 如图，过点作轴于点，过点作轴于点利用相似三角形的性质求出，即可． 本题考查位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 8.如图，在中，，，，的平分线与交于点，在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，连接，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由作图可知，，设，交于点，则：，    平分，  ，  在和中，  ，  ≌，  ，，  垂直平分，，  ，  的周长为；  故选：． 根据作图可知，证明≌，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 本题考查尺规作图作垂线，掌握全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质是解题的关键． 9.如图，用个全等的，，，和个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：用个全等的，，，和个全等的，拼成如图所示的矩形， 设，，，， 四边形是矩形， ，，， 由勾股定理可得，，， ． 故选：． 根据全等三角形的性质得出，，，，进而利用矩形的性质解答即可． 此题考查矩形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出，，，解答． 10.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数，的图象上，轴，点是轴上一点，线段与轴正半轴交于点若的面积为，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图，过点、点分别作轴，轴，垂足分别为、，  点，分别在函数，的图象上，  由反比例函数系数的几何意义可知，  ，，  又，而，  ，  ，  ，  ，  ，  故选：． 由反比例函数系数的几何意义可得，，根据三角形的面积公式可得，进而求出，再求出和即可． 本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提． 二、填空题： 11.因式分解      ． 【答案】  【解析】解：原式， 故答案为： 原式提取，再利用平方差公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12.九章算术中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米，依据该条件，大桶加小桶共盛          斛米．注：斛是古代一种容量单位 【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 直接利用个大桶加上个小桶可以盛米斛，个大桶加上个小桶可以盛米斛，分别得出等式组成方程组求出答案． 【解答】 解：设个大桶可以盛米斛，个小桶可以盛米斛， 则， 故， 则． 答：大桶加小桶共盛斛米． 故答案为． 13.已知直线与双曲线的交点为，那么代数式的值为          ． 【答案】  【解析】本题考查了一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，代数式求值，由题意可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ，， ， 故答案为：． 14.如图，直线，为的两条直径，点在上，连接，点为的中点，若，则        【答案】  【解析】解：连接，，如图， 点  为的中点， ， ， ， ， ， ， 则的度数为， 故答案为：． 连接，，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得，再根据同弧所对圆周角相等求解即可． 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是相关知识的熟练掌握 15.如图，直线与坐标轴分别交于，两点，在直线的上方有一点，若，则点的坐标为        ． 【答案】  【解析】解：直线与坐标轴分别交于，两点 ，， 如图所示，过点作轴，交于点， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 先求出点、的坐标，过点作轴，交于点，求出点的坐标，再根据列出关于的方程式求出的值，即可作答． 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 16.在菱形中，，，为菱形内部一点，且，连接，点为中点，连接，取中点，连接，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】解：如图所示：连接交于点，连接，取的中点，连接和， 在菱形中， 为中点， 为中点， ， 当、、、共线时，也为， 为中点、为中点， ， 在菱形中且， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将和的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当时最大． 本题难点在于辅助线的添加，要根据菱形的性质和题目条件中的中点构造中位线，然后借助三角形的三边关系可判断出当、、三点共线时最大． 三、解答题： 17.按要求完成下列计算： 计算：； 化简：． 【答案】   【解析】解： ； ． 先根据绝对值的性质，零指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可； 先算括号里面的，再算除法即可． 本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，熟知以上知识是解题的关键． 18.有一种卡牌游戏，其游戏规则如下： 规则 先将六张卡牌分别标上数字，，，，，，再分为甲、乙两个牌组，标有数字，，的卡牌在甲牌组，剩余卡牌在乙牌组； 两位选手各抽取一个牌组进行游戏，整场游戏共三轮，每位选手每一轮都从自己的牌组中选取一张牌和对方比大小，数字大的获胜，已经选取过的牌不再放回牌组； 在三轮游戏中，获胜两轮及以上者，赢得整场游戏． ，两位同学玩游戏时，抽到了甲牌组，抽到了乙牌组为了在第一轮中获得胜利，选取了标有数字的卡牌． 在第一轮中选取标有数字______的卡牌，才有可能赢得整场游戏； 在的条件下，求赢得整场游戏的概率． 【答案】   【解析】解：在第一轮中选取标有最小数字的卡牌，在后面两轮争取胜利，才有可能赢得整场游戏； 故答案为：． 画树状图： 第二轮共有种等可能的结果，则对应的第三轮为，；，；，；，， 所以赢两轮的结果数为， 所以赢得整场游戏的概率． 选取了标有数字的卡牌，只有把大数留在后面才有可能赢得整场游戏； 画树状图展示所有第二轮共有种等可能的结果，再写出对应的第三轮为，；，；，；，，接着找出赢两轮的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 19.【阅读材料】    老师的问题： 已知：在中，求作：矩形． 小飞的作法： 以点为圆心，长为半径作弧； 以点为圆心，长为半径作弧； 两弧交于点，连接、． 四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】  请根据材料中的信息，证明四边形是矩形． 【答案】证明：连接，  在和中，  ，  ≌        ，，  四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，  ，  四边形是矩形有一个角是的平行四边形是矩形．  【解析】连接，根据全等三角形的判定和性质定理得到求得根据平行线的判定定理得到推出四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论． 本题是四边形的综合题，考查了作图复杂作图，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20.某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对、两款设备的满意度评分中各随机抽取份，并对数据进行整理、描述和分析评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息： 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： ，，，，，； 抽取的对款设备的评分数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，款设备的评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： 填空： ______， ______， ______； 根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由． 【答案】，，；   款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由见详解答案不唯一．  【解析】解：款设备的“满意”的百分比是， 则， ， 把款设备的评分数据从小到大排列，“非常满意”的有人 故排在中间的两个数是按从小到大排列在“满意”的最后两个数，即，， 故中位数， 在款设备的评分数据中，“非常满意”所占百分比． 故答案为：，，； 款自动洗车设备更受消费者欢迎答案不唯一，理由如下： 两者的平均数相同，但款自动洗车设备的评分数据的中位数比款高， 款自动洗车设备更受消费者欢迎． 先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，再根据中位数求得，用“非常满意”人数除以样本容量可得； 根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论． 本题考查了扇形统计图，中位数，众数，灵活掌握数据分析是关键． 21.缅怀革命先烈，传承红色基因清明节期间，某数学兴趣小组前往苏州烈士陵园开展实践活动，对纪念碑的高度进行测量，相关测量数据记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑的最高点的仰角，另一名同学在他的正后方的点处用相同的测角仪测得点的仰角测角仪的高度为，且图中所有的点，，，，，都在同一平面内，，，，垂足分别为，，． 测量数据 在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，求该纪念碑的高度结果精确到． 【答案】．  【解析】解：如图，延长交于点， 由题意可知：，，，，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 答：该纪念碑的高度为． 延长交于点，分别解和，求出，，再根据线段的和差关系进行求解即可． 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握解直角三角形的应用仰角俯角问题是解题的关键． 22.如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，与相切于点，连接． 求证：； 若，的长为，求的长． 【答案】见解析；  ．  【解析】证明：连接． 与相切于点， ， ， 在和中，， ≌， ， ， 又， ， ； 设， 由题意可得：，， ， ， ， ． 连接，证明≌，得出，，再利用圆周角定理，得出，据此即可得证； 根据弧长公式计算求得，在中，利用正切函数的定义，即可得出答案． 本题考查了切线的判定定理，弧长公式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23.月日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长最低限速是，最高限速是设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 直接写出与的函数关系式及的范围不违反交通法规； 甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶通过该路段的时间为，求的值． 【答案】；   的值为．  【解析】解：由题意可得， ， 当时，， 当时，， 即与的函数关系式为； 由题意得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 又，， 甲车通过该路段的平均速度符合题目要求． 的值可以为． 答：的值为． 根据题意和题目中的数据，可以写出与的函数关系式及的范围； 根据题意，可以列出相应的分式方程，然后求解即即可． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 24.在平面直角坐标系中，已知抛物线． 求抛物线的对称轴； 已知抛物线上两点，的横坐标分别为，，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点． 若，，求的长； 当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求的取值范围． 【答案】直线  ；的取值范围为或  【解析】解：对称轴为直线； 若，，则抛物线为， 此时，，， 故； 由题意知点，点， ， 故． 令，其图象如图所示，对称轴为直线， 存在，使得， 表明其图象上在上述自变量范围内有两个相同的函数值， 则当时，随的增大而增大，不符合题意； 当时，即时，符合题意； 当时，即时，符合题意， 综上，的取值范围为或． 由对称轴方程可直接代入计算； 当，时，可直接得到解析式为，从而可计算得到的值； 由题意得令，画出其图象，根据题意可得在内有两个相同的函数值，再分类讨论列不等式组即可得答案． 本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的增减性质，深刻掌握二次函数的增减性质以及分类讨论画出图形分析题意是解题关键． 25.问题情境： 为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每个学习小组一些三角形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出有意义的数学问题或结论． 初步探究：希望小组手中的纸片如图，其中，小组的同学在边上取了一点使，沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平，该小组的赵虎同学观察思考后说四边形是个特殊的四边形．你认为赵虎同学说的对吗？若对，请说出名称并证明，若不对请说明理由． 深入探究：在图的基础上，希望小组的同学继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． 张亮同学观察后说，若，则，如图，请判断张亮同学的说法是否正确，并说明理由； 刘明同学观察后说，当纸片的，，，其他条件不变，仍按照上述过程折叠，如图，若是以为腰的等腰三角形时，可以求出的长，你认为刘明同学说的对吗？若对，请直接写出的长，若不对请说明理由． 【答案】(1)解：四边形是菱形， 证明：∵沿过点的直线折叠该纸片，折痕与边交于点，得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；   (2)解：说法正确，理由如下： 由（）知：四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 设与交于点，如图， 当时， 在直角三角形中，，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴ 综上所述，的长为或．   【解析】  利用折叠的性质得到，则，，，利用平行线的性质，菱形的判定定理解答即可；   利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，，利用三角形的内角和定理和直角三角形的性质解答即可； 设与交于点，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，利用直角三角形的性质，勾股定理和折叠的性质得到，，，设，则，，再利用的代数式表示出线段，，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；当时，，利用类似的方法解答即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $