10.1.3 古典概型 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以问题式知识归纳为基础，通过基础辨析、综合计算、情境探究三层设计，实现古典概型从概念理解到模型应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|古典概型特点与公式应用|单选1-5直接考查定义，解答15构建样本空间，强化抽象能力| |进阶层|复杂情境与事件关系|多选9-10分析独立/互斥事件，解答17综合计算点数和，发展推理能力| |拓展层|实际问题与参数探究|多选11结合智力竞赛情境，解答19通过概率反求参数，提升应用意识|

10.1.3　古典概型 知识归纳与试题检测(学生版) 问题式教材知识归纳 【1】古典概型的特点 ①有限性：试验的样本空间的样本点只有_______； ②等可能性：每个样本点发生的可能性______． 【2】古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率______=______，其中和分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数． 基于教材的检测题 一、单选题 1．下列模型中，是古典概型的为（    ） A．从一部分零件中任意抽取一个，测其长度 B．种一粒种子，观察它是否能够发芽 C．抛掷一枚均匀的骰子，观察向上的面的点数 D．统计甲、乙两人射击的成绩，分析两人击中靶子的概率 2．某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（   ） A．0.6 B．0.3 C．0.1 D．0.05 3．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 4．一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 5．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 6．一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 7．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 8．从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲去云台山的概率为 B．甲、乙两人都去云台山的概率为 C．甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为 D．甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为 10．连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“m是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“m是奇数”与“”互为互斥事件 11．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ） A．甲仅随机选一个选项得5分的概率是. B．乙仅随机选两个选项得10分的概率是. C．丙随机选择选项得分的概率是. D．丁随机至少选择两个选项得分的概率是 三、填空题 12．书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 14．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为______． 四、解答题 15．先后抛掷两枚质地均匀的硬币． (1)写出该实验的样本空间． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 16．同时抛掷两枚相同的骰子（每个面上分别刻有1~6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准），试计算出现点数和为6或7的概率为多少？ 17．抛掷两枚均匀的骰子，求： (1)点数之和为5的概率； (2)出现两个4点的概率； (3)点数之和不小于9的概率． 18．从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 19．一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.3　古典概型 知识归纳与试题检测(详解版) 问题式教材知识归纳 【1】古典概型的特点 ①有限性：试验的样本空间的样本点只有_______； ②等可能性：每个样本点发生的可能性______． 【答案】 有限个 相等 【2】古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率______=______，其中和分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数． 【答案】 基于教材的检测题 一、单选题 1．下列模型中，是古典概型的为（    ） A．从一部分零件中任意抽取一个，测其长度 B．种一粒种子，观察它是否能够发芽 C．抛掷一枚均匀的骰子，观察向上的面的点数 D．统计甲、乙两人射击的成绩，分析两人击中靶子的概率 【答案】C 【分析】根据古典概型的定义进行判断. 【详解】选项A中，长度的值出现的可能性不一定相同，故不是古典概型，A错误； 选项B中，发芽与不发芽的可能性不一定相等，故不是古典概型，B错误； 选项D中，击中靶子与否的概率不一定相等，不满足等可能性，故不是古典概型，D错误； 选项C中出现的结果为1点至6点，结果是有限个，并且由于骰子均匀，因此每个点数向上的可能性相同，满足古典概型的两个特征，故是古典概型，C正确. 故选：C. 2．某社团现有成员5人，其中男生3人，女生2人，随机抽两人进行“纳新”推介，则抽取的两人都为女生的概率是（   ） A．0.6 B．0.3 C．0.1 D．0.05 【答案】C 【详解】男生编号，女生编号， 则随机抽两人有 ，共种， 其中抽取的两人都为女生有， 则抽取的两人都为女生的概率是. 3．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 4．一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法结合古典概率公式即可求解. 【详解】对2个红色球，2个绿色球依次编号为， 从袋中不放回地依次随机摸两个球， 共有共12种， 两个球颜色相同的情况共有4种， 则两个球颜色相同的概率. 故选：D 5．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 6．一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 7．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，随机掷2次的所有可能情况有{正面、正面}，{反面、正面}，{正面、反面}，{反面、反面}四种情况， 所以恰好出现2次正面向上的情况有{正面、正面}一种情况， 所以随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为. 8．从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先列出所有等可能的抽取情况，分别计算每种情况下和，再统计满足的情况数，最后用古典概型公式计算概率. 【详解】从中随机抽取三个不同的数，共有种等可能的情况： ①抽取，则，剩余数为，，此时； ②抽取，则，剩余数为，，此时； ③抽取，则，剩余数为，，此时； ④抽取，则，剩余数为，，此时； 在总共种等可能的情况中，满足的情况有种， 因此 【点睛】直接通过枚举法快速判断的条件，可简化计算. 二、多选题 9．甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲去云台山的概率为 B．甲、乙两人都去云台山的概率为 C．甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为 D．甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为 【答案】AC 【分析】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为，写出样本空间，计数后计算概率判断各选项． 【详解】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为， 依题意可知样本空间为： ， 共含有16个样本点. 甲去云台山的情况为， 样本点有4个，概率为，故A正确； 甲、乙两人都去云台山的情况为， 样本点有1个，概率为，故B错误； 甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为， 样本点有6个，概率为，故C正确； 甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为， 样本点有7个，概率为，故D错误. 故选：AC． 10．连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“m是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“m是奇数”与“”互为互斥事件 【答案】BD 【分析】利用列举法和古典概型概率公式可得A错误，B正确，再由互斥事件、对立事件的概念可知C错误，D正确. 【详解】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有： ， ， ， ， ， ，共36种； 对于A，事件“”所包含的基本事件为： ，共8个， 所以事件“”的概率为，即A错误， 对于B，事件“是奇数”的共有18个， 因此事件“是奇数”的概率为，可得B正确， 对于C，易知的所有取值为， 当时，可知事件“”与“”可以同时发生， 因此C错误， 对于D，若，则，此时是偶数， 因此“是奇数”与“”不可能同时发生， 互为互斥事件，可得D正确， 故选：BD. 11．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ） A．甲仅随机选一个选项得5分的概率是. B．乙仅随机选两个选项得10分的概率是. C．丙随机选择选项得分的概率是. D．丁随机至少选择两个选项得分的概率是 【答案】BC 【分析】写出每个选项中可能的选择情况，再计算满足选项的情况占可能情况的比例. 【详解】当至少选择一个选项，所有等可能的选择情况有15种，分别为A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD． 对于A：甲同学仅随机选一个选项有4种情况，能得5分的2种情况为选C或选D,则能得5分的概率是＝,故A错误； 对于B：乙同学仅随机选两个选项有6种情况，能得10分的1种情况仅为CD,则能得10分的概率,故B正确； 对于C：丙同学随机选择选项有15种情况（选一个选项有4种情况，选两个选项有6种情况，选三个选项有4种情况，选四个选项有1种情况），能得分的3种情况为C,D,CD,则能得分的概率是＝,故C正确； 对于D：丁同学随机至少选择两个选项有11种情况，能得分的1种情况为CD,则能得分的概率是,故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 【答案】/ 【详解】记6本不同的教辅书为，其中代表2本数学教辅书， 则从中任取2本的情况为：， 共15种， 其中没有取到数学教辅书的情况为：共6种， 所以没有取到数学教辅书的概率为：. 13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 【答案】/ 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间包含，，，，，，，，，共10个， 抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为，，，共4个， 所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率． 14．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为______． 【答案】/ 【分析】利用列举法结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】把第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为，记为. 则4张卡片中有放回的随机抽取2次所有情况为： ， ，共16种. 其中数字之和为5的有4种，则所求概率为. 故答案为： 四、解答题 15．先后抛掷两枚质地均匀的硬币． (1)写出该实验的样本空间． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 【答案】(1)（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） (2)2 【分析】（1）根据两枚硬币的可能情况，即可写出样本空间； （2）根据（1）样本空间中情况，即可写出答案. 【详解】（1）一共出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种不同的结果， 其样本空间为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） （2）因为“一枚正面，一枚反面”，包括（正，反），（反，正）． 所以出现“一枚正面，一枚反面”的情况有2种. 16．同时抛掷两枚相同的骰子（每个面上分别刻有1~6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准），试计算出现点数和为6或7的概率为多少？ 【答案】 【分析】解法一采用列表法，结合古典概型的概率公式和加法公式求解即可；解法二采用枚举法，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由于每个面向上的概率相等且试验结果有限可数，故该概型属于古典概型. 解法一： 由于“出现点数的和为6”与“出现点数的和为7”两个事件互斥，所以可利用互斥事件的和事件的概率加法公式.为了简单明了，可认为两只骰子是编号为1号、2号的不同的骰子，同时抛掷，如表所示，则可能出现的基本事件有36种. 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 设出现点数和为6的事件为事件，出现点数和为6的情况有，，，，，共5种. 设出现点数和为7的事件为事件，出现点数和为7的情况有，，，，，，共6种， 即出现点数和为6或7的概率为. 解法二： 将“出现点数和为6或7”看成单一的事件，则由于基本事件，，，…，共36种. 其中事件包含的事件有，，，，，，，，，，共11种. 故. 17．抛掷两枚均匀的骰子，求： (1)点数之和为5的概率； (2)出现两个4点的概率； (3)点数之和不小于9的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出样本空间，然后确定“点数之和为5”所包含的个数，进而求出概率. （2）先求出样本空间，然后确定“出现两个4点”所包含的个数，进而求出概率. （3）先求出样本空间，然后确定“点数之和不小于9”所包含的个数，进而求出概率. 【详解】（1）在抛掷两枚均匀的骰子的试验中，每枚骰子均可出现1点、2点……6点，共6种结果． 两枚骰子出现的点数可以用一对有序实数对来表示， 它与平面直角坐标系内的一个点对应，则样本空间为： ，共有36个样本点． （1）记“点数之和为5”为事件A， 从图中可以看到事件A包含的样本点共有4个，为， 所以. （2）记“出现两个4点”为事件，则事件包含的样本点只有1个，为．所以． （3）记“点数之和不小于9”为事件，则从图中可以看到事件包含的样本点有10个， 为，，，，，，，，，． 所以． 18．从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 19．一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $