四川遂宁市卓同教育集团2026届高三下学期模拟测试（四）数学试题

**基本信息** 聚焦数学眼光、思维与语言，通过共享电动车投放统计、圆锥侧面轨迹等真实情境与复杂问题，考查空间观念、数据意识及逻辑推理，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、立体几何、三角函数、双曲线离心率|基础巩固，梯度合理| |多选题|3/18|扇形面积、终边角集合、函数单调性|多选项设计，区分思维层次| |填空题|3/15|共轭复数、切线问题、半球面内汤圆相切|创新情境，考查空间想象| |解答题|5/77|等差等比数列、统计回归、函数单调性与最值、复数轨迹、圆锥轨迹与空间夹角|综合应用，如统计题结合回归与独立性检验，圆锥题融合轨迹与空间夹角，体现模型观念与逻辑推理|

卓同教育集团高2023级测试四数学试题(B) 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知集合A={2x-<5},B={x-3x-4≤0，则AnB=（) A.{x-1≤x≤3}B.{-1≤x<3}C.{xl≤x≤3} D.{xl≤x<3} 2.已知a,B,Y是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，且∩y=m,B∩y=n, 则0B是“mn”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知sina+cos () sina-2cosa =4,则sin2a+ 4 A.-5 B.-V2 c.② D. 2W2 5 10 3 4已知图+r=4经过双面线c:若芳-1(a>0b>0)的焦点，且双曲线c的 虚轴长等于该圆的半径，则双曲线C的离心率为() A.2 B.2W2 c.25 3 3 5.己知等比数列{an}的公比q≠1，前n项和为Sn,且S3,S。,S成等差数列，若 4+4=4,则4=（) A.2 B.4 C.-2 D.-4 6.已知@网-网=3，ad-35,点C(4,2),0为坐标原点，则ca+ci的 /3 最小值是() A写 B.2W5 C.5 D.45 3 7.已知函数f(x)=ena-x(a>1),若f(x)≥0恒成立，则实数a的值为() A.e B.Ve C.e2 D.c &.已知函数fx)=2-1,g()=[fx-f(xt∈R),若关于x的方程 g(x)=3-有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是() A.-2,2) B.(N3,2) C.(←2，-V5) D.(2,+∞) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.(2025·湖北黄冈一模)下列说法正确的是() A.sin 2cos3<0 B.若圆心角为的扇形的面积为3 ，则扇形的弧长为元 C.终边落在直线x+y=0上的角的集合是{la=±匹+m,kEZ 4 D.函数y=tan(2x-马的定义域为xx≠+匹，k∈Z 6 32 强化训练（八）数学试题 10.(2026广东汕头模拟预测)已知f(x)=x-3x+3x,则下列说法不正确的是() A.∫(x)在定义域内单调递增 B.f(x)的对称中心为(1,0) C.己知，3为方程x2+4x+b=0的两个根，x≠x2且f(5)+f(5)>2,则a的取值范围为(-2，+o) D.若m+2训-fm-=2,则13俗装小值为m号n到 13 1.(2026云南模拟预测)已知抛物线C:y=二的焦点为P,准线为1，过点F的直线m与抛物线交 4 于P(,),2(x2,)两点.点O为坐标原点，且x>0,M(1,0),则() A.过点M且与C有且仅有一个公共点的直线恰有3条 B.满足△PMF为直角三角形的点P有且仅有2个 c.若直线m的倾斜角为若则P=Q网 D.若P②=16，则△OP2的面积为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设、为共轭复数，若5-43，三∈R,则 13.一条直线与函数y=nx和y=e的图象分别相切于点P(5,乃)和点Q(x2,y2),则(：-1)(+1)的值 为 14.如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为 半径均为的球).三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与碗口 等高，则互= 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知{a}是等差数列，拓}是等比数列，且41=b=3,4+44=2b,44=b3: (1)求{a}和{bn}的通项公式：(2)求数列a-18}的前n项和W 16某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的 投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x(单位：千辆)与年使用人次y(单位：千次) 的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示. y 2401 210f 180 150 x 1 2 4 6 > 120 90 y611213466101 196 60 30H 012345678x (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型y=a+blg或指数函数模型 y=c·d"(c>0,d>0)对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次 y的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程： 第1页共2页 (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进 行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中 保养过的共享电动车占比20%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值 =0.001的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 ∑xy 100.54 il 未报废 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 合计 60 100 参考数据：1 =1gy,v= 参考公式：对于一组数据(5，乃)，(x,乃)，(x,yn), 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： xy- n ad-be a=y-bx.X-(arbe+d(ate)(brd 其中 n=a+b+c+d. P(x2≥k) 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17.(15分)已知函数f(x)=nx-ax-2(a≠0) (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若函数f(x)有最大值M,且M>a-4,求实数a的取值范围. 强化训练（八）数学试题 18.(17分)复数=x+1(a,b∈R)与复平面上的点P(x,y)一一对应： ()复数=+yi(,∈R),2=x+i(x,y∈R),若2-=r(r>0),复平面上 动点P(化y)的轨迹为C:若2=九。(2ER),复平面上动点P(:y)的轨迹为C:判断并证明C1、 C,的曲线类型. (2)复数5=i、三2=-1、3-3=4、5=x+i（x,y∈R)满足2-3=4(3-22）(u∈R)且 ?-=5-,复平面上动点P(x,y)的轨迹为曲线C ()求C的标准方程，并判断曲线类型： (i)平面上过Q(2,1)的动直线I交曲线C于A、B两点，R是线段AB上一点且满足AgRB=AR·QB, 证明：点R恒在某条定直线上. 19.(17分)如图，己知圆锥PO的底面直径AB=2,其中O为底面圆心，母 R 线PA=3,动点M从A点出发，在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A点，其 轨迹为L. (1)求L长度的最小值： ②若点Q在圆0上，且PM=，2P0(0是A0所对的圆心角，0≤0≤2π) 3-c0s0 证明：存在非零向量n,使得AM⊥n恒成立； 第2页共2页 卓同教育集团高2023级测试四数学试题答案 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 1．【答案】B【详解】由不等式，得，解得，所以由集合，因为，所以不等式转化为，解得，即， 故. 2．【答案】A【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，所以“”是“”的充分条件；由，，若，则或与相交，所以“”是“”的不必要条件．则“”是“”的充分不必要条件. 3．【答案】B【详解】由，得，解得，所以. 4．【答案】C【详解】圆的半径为.由题意，对双曲线C，有，，即，所以.所以双曲线的离心率. 5．【答案】A【详解】由等比数列的前项和公式，可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即，所以，解得或（舍去），由，可得，所以.故选：A. 6．【答案】C【详解】，，则，，两点在以为圆心，为半径的圆上， 设，由可取， ，， 则当时，取得最小值，.故选：C. 7．【答案】A【详解】函数的定义域为， ，显然单调递增且有唯一零点，令有， ∵当时，单调递减；当时，单调递增， 的极小值也是最小值为，而由题知恒成立， ，即有，令时，，单调递减；时，单调递增，的极小值也是最小值为， ，又.故选：A. 8．【答案】B【详解】由题意，作出函数的大致图象，如图． 令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根； 当时，关于的方程无实数根； 当或时，关于的方程只有1个实数根． 因为关于的方程有3个不同实数根，所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内． 当为方程的根时，，且方程的另一根为． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 当为方程的根时，有，则或． 当时，方程的另一个根为，不符合题意；当时，方程的另一个根为，不符合题意． 所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内． 令，则即解得． 综上所述，实数的取值范围是．故选：B. 二、多选题 9．【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得，解得，因此扇形的弧长为，B正确； 对于C，终边落在射线上的角集合为， 终边落在射线上的角集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的定义域为，D正确.故选：ABD 10．【答案】BC【详解】选项A，由题意的定义域为，因为恒成立，当且仅当时，所以在定义域内单调递增，A说法正确； 选项B，设的对称中心为，由对称中心的定义可知对恒成立，代入整理得， 令，解得，所以的对称中心为，B说法错误； 选项C，由且可得，令，则，由函数的平移变换易知在上单调递增，且关于中心对称， 所以，即，所以，即， 又因为为方程的两个根，所以，当时不等式显然不成立，解得，C说法错误； 选项D，因为关于中心对称，所， 由题意，所以，又因为单调递增，所以，整理得，所以当时， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，D正确；故选：BC 11．【答案】ACD【详解】   已知抛物线，即，焦点，准线，焦半径，. 选项A，设过点与的切线为，联立得，得或.过点的垂直直线与抛物线C仅有一个交点. 综上，过点且与有且仅有一个公共点的直线为切线，，直线，共3条，故A正确. 选项B，已知点在上，即，且.若为直角三角形，则直角可能在处.若，则， 即，因为，故，解得，有1个正实根.若，则， 解得，，故，有1个正解. 若，则，解得，有一个正解. 所以满足为直角三角形的点有3个，故B错误； 选项C，直线的倾斜角为，则，直线的方程为. 联立抛物线，已知，则，. 已知焦半径：，， 所以. 又因为，所以，故， 所以.所以，即，故C正确. 选项D，设直线的方程为，联立抛物线得， 则，解得. 所以原点到直线距离：，面积，故D正确.故选：ACD. 12．【答案】 【详解】设，则，所以，则，可得，因为，且，所以，故，故，则. 13【答案】-2【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得，所以，因此．故答案为：． 14．【答案】【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以， 又因为三颗汤圆两两相切，所以，设等边三角形的中心为，因为汤圆与碗口等高，所以，在中，，在中，，即，即，所以，所以. 四、解答题 15．【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设公差为，公比为，，故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为，则， 由，解得，当时，，则， 当时，，则 ，综上：. 16.【答案】(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， (2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则．因为，，，， 所以. 把代入，得，所以，所以， 则，故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关．由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 17．【答案】（1）答案见解析；（2） 【详解】（1）的定义域为，由可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）知，当时，在上单调递增，无最大值， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得最大值，即， 因此有，得，设，则，所以在内单调递增，又，所以，得，故实数的取值范围是． 18．【答案】(1)是圆，证明见解析；是直线，证明见解析(2)（i），曲线为椭圆；（ii）证明见解析 【详解】（1）是圆心为，半径为的圆；证明：因为，所以，所以，所以，表示圆心为，半径为的圆；是经过和的一条直线； 证明：因为，所以，所以， 当时，，即，表示经过且斜率为的一条直线， 当时，，表示轴，所以是经过和的一条直线. （2）（i）设在复平面内对应的点为， 由（1）可知，表示直线，表示的垂直平分线， 所以为的垂直平分线与直线的交点，因为，所以，因为，所以，因为，所以在以为圆心，半径为的圆上， 如下图所示，由上可知，， 所以的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，所以，所以的标准方程为，曲线为椭圆； （ⅱ）设，不妨假设， 由题意可知，直线的斜率存在，设，联立，可得，所以，且， 因为， ， 所以， 化简可得，所以，所以，且，所以，化简可得，所以在定直线上.    19．【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）如图， 沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形， 其中为的中点，与在圆锥中是同一点． 因为轨迹在圆锥的侧面上，所以，在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线．又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短，所以，轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段．由于，所以的长度为，又，所以．所以，在等腰三角形中，，即的长度为． （2）如图，在底面圆中，过点作交圆于点， 由于平面，平面，故，，则，两两垂直，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，于是，设，则， 于是，则， 于是，于是令，则； （3）解法1：由（2）可知，是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由于， 则，即，令， 于是平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，于是， 即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为； 解法2  ： 由（2）可知，平面的法向量，由于在底面圆周上运动， 则平面即平面的法向量可以是底面上任意方向的向量， 如图，在平面内，设，过点作，则， 设平面与平面所成的角为，则，易知，则， 综上，，即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． 答案第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级测试（四）数学试题答案 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2026·内蒙古包头·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.75【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由不等式，得，解得，所以由集合， 因为，所以不等式转化为， 解得，即， 故. 2．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】由，，若，由面面平行的性质知：， 所以“”是“”的充分条件； 由，，若，则或与相交， 所以“”是“”的不必要条件．则“”是“”的充分不必要条件. 3．（2026·陕西榆林·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【详解】由，得，解得， 所以. 4．（2026·云南·模拟预测）已知圆经过双曲线C：的焦点，且双曲线C的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C【难度】0.82【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意确定的值，可求双曲线的离心率. 【详解】圆的半径为.由题意，对双曲线C，有，，即，所以.所以双曲线的离心率. 5．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【详解】由等比数列的前项和公式，可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即，所以，解得或（舍去），由，可得，所以.故选：A. 6．（2026高三上·广东中山·专题练习）已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】坐标计算向量的模、数量积的运算律 【详解】，，则， ，两点在以为圆心，为半径的圆上， 设，由可取， ， ， 则当时，取得最小值，.故选：C. 7．（2026高三上·广东中山·专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【详解】函数的定义域为， ，显然单调递增且有唯一零点，令有， ∵当时，单调递减；当时，单调递增， 的极小值也是最小值为，而由题知恒成立， ，即有， 令时，，单调递减；时，单调递增，的极小值也是最小值为， ，又.故选：A. 8．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【详解】由题意，作出函数的大致图象，如图． 令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根； 当时，关于的方程无实数根； 当或时，关于的方程只有1个实数根． 因为关于的方程有3个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在内， 另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内． 当为方程的根时，，且方程的另一根为． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 当为方程的根时，有，则或． 当时，方程的另一个根为，不符合题意；当时，方程的另一个根为，不符合题意． 所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内． 令，则即解得． 综上所述，实数的取值范围是．故选：B. 二、多选题 9．（2025·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（　　） A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 【答案】ABD【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、弧长的有关计算、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、求正切（型）函数的定义域 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得，解得，因此扇形的弧长为，B正确； 对于C，终边落在射线上的角集合为， 终边落在射线上的角集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的定义域为，D正确.故选：ABD 10．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．已知为方程的两个根，且，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】BC【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数对称性的应用 【详解】选项A，由题意的定义域为，因为恒成立，当且仅当时，所以在定义域内单调递增，A说法正确； 选项B，设的对称中心为，由对称中心的定义可知对恒成立， 代入整理得， 令，解得，所以的对称中心为，B说法错误； 选项C，由且可得，令，则， 由函数的平移变换易知在上单调递增，且关于中心对称， 所以，即，所以，即， 又因为为方程的两个根，所以，当时不等式显然不成立，解得，C说法错误； 选项D，因为关于中心对称，所以， 由题意，所以， 又因为单调递增，所以，整理得，所以当时， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，D正确；故选：BC 11．（2026·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点.点为坐标原点，且，则（    ） A．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 B．满足为直角三角形的点有且仅有2个 C．若直线的倾斜角为，则 D．若，则的面积为4 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线定义的理解 【分析】由抛物线性质可知，焦点，准线，焦半径，，对选项进行逐一判断：选项A，过点且与有且仅有一个公共点的直线包含切线两条和直线一条，共3条；选项B，若是直角三角形，则直角位置可能位于三点处，根据向量点积为0，结合判断，共有3种情况；选项C，由倾斜角为得出直线的斜率，从而得出的方程为，联立抛物线得到，根据已知焦半径：，，结合韦达定理构造的关系，得出的值；选项D，设直线的方程为，联立抛物线得，由得出，由点到直线距离公式得出，再根据面积公式计算求解. 【详解】    已知抛物线，即，焦点，准线，焦半径，. 选项A，设过点与的切线为，联立得，得或.过点的垂直直线与抛物线C仅有一个交点. 综上，过点且与有且仅有一个公共点的直线为切线，，直线，共3条，故A正确. 选项B，已知点在上，即，且.若为直角三角形，则直角可能在处. 若，则， 即，因为，故，解得，有1个正实根. 若，则， 解得，，故，有1个正解. 若，则，解得，有一个正解. 所以满足为直角三角形的点有3个，故B错误； 选项C，直线的倾斜角为，则，直线的方程为. 联立抛物线， 已知，则，. 已知焦半径：，， 所以，. 又因为，所以，故， 所以.所以，即，故C正确. 选项D，设直线的方程为，联立抛物线得， 则，解得. 所以原点到直线距离：，面积，故D正确.故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·陕西西安·模拟预测）设、为共轭复数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.7【详解】设，则，所以，则，可得，因为，且，所以，故，故，则. 13．（2026高三上·广东中山·专题练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 【答案】-2【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此．故答案为：． 14．（2026·浙江·二模）如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 【答案】【难度】0.32【知识点】正棱锥及其有关计算、组合体的切接问题 【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以， 又因为三颗汤圆两两相切，所以，设等边三角形的中心为， 因为汤圆与碗口等高，所以，在中，，在中，， 即，即，所以，所以. 四、解答题 15．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、错位相减法求和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】（1）设公差为，公比为，，故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为，则， 由，解得，当时，，则， 当时，，则 ， 综上：. 16.（25-26高二上·吉林长春·期末）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100      62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， (2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【难度】0.65 【知识点】非线性回归、独立性检验解决实际问题 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则．因为，，，， 所以. 把代入，得，所以，所以， 则，故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 17．（2026高三上·广东中山·专题练习）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【详解】（1）的定义域为，由可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）知，当时，在上单调递增，无最大值， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得最大值，即， 因此有，得， 设，则，所以在内单调递增， 又，所以，得，故实数的取值范围是． 18．（24-25高二上山东青岛期中）复数（）与复平面上的点一一对应： (1)复数（，），（，），若（），复平面上动点的轨迹为；若（），复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型. (2)复数、、、（，）满足（）且，复平面上动点的轨迹为曲线. （ⅰ）求的标准方程，并判断曲线类型； （ⅱ）平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上. 【答案】(1)是圆，证明见解析；是直线，证明见解析 (2)（i），曲线为椭圆；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定直线、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【详解】（1）是圆心为，半径为的圆； 证明：因为，所以， 所以，所以，表示圆心为，半径为的圆； 是经过和的一条直线； 证明：因为，所以，所以， 当时，，即，表示经过且斜率为的一条直线， 当时，，表示轴，所以是经过和的一条直线. （2）（i）设在复平面内对应的点为， 由（1）可知，表示直线，表示的垂直平分线， 所以为的垂直平分线与直线的交点， 因为，所以，因为，所以， 因为，所以在以为圆心，半径为的圆上， 如下图所示，    由上可知，， 所以的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，所以，所以的标准方程为，曲线为椭圆； （ⅱ）设，不妨假设， 由题意可知，直线的斜率存在，设， 联立，可得， 所以，且， 因为， ， 所以， 化简可得， 所以，所以，且， 所以，化简可得，所以在定直线上.    19．（2026年广东深圳二模）如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． (1)求长度的最小值； (2)若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； (3)在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【难度】0.36 【知识点】弧长的有关计算、数量积的运算律、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【详解】（1）如图， 沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形， 其中为的中点，与在圆锥中是同一点． 因为轨迹在圆锥的侧面上，所以，在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线． 又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短， 所以，轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段． 由于，所以的长度为，又，所以． 所以，在等腰三角形中，，即的长度为． （2）如图，在底面圆中，过点作交圆于点， 由于平面，平面，故，，则，两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 于是，设， 则， 于是，则， 于是，于是令，则； （3）解法1：由（2）可知，是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由于， 则，即，令， 于是平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，于是， 即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为； 解法2  ： 由（2）可知，平面的法向量，由于在底面圆周上运动， 则平面即平面的法向量可以是底面上任意方向的向量， 如图，在平面内，设，过点作，则， 设平面与平面所成的角为，则，易知，则， 综上，，即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级测试四数学试题（A) 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知圆经过双曲线C：的焦点，且双曲线C的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 5．已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 6．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．（2025·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（　　） A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 10．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．已知为方程的两个根，且，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 11．（2026·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点.点为坐标原点，且，则（    ） A．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 B．满足为直角三角形的点有且仅有2个 C．若直线的倾斜角为，则 D．若，则的面积为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设、为共轭复数，若，，则 . 13．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 14．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 16.某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 参考数据：．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．（15分）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围． 18．（17分）复数（）与复平面上的点一一对应： (1)复数（，），（，），若（），复平面上动点的轨迹为；若（），复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型. (2)复数、、、（，）满足（）且，复平面上动点的轨迹为曲线. （ⅰ）求的标准方程，并判断曲线类型； （ⅱ）平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上. 19．（17分）如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． (1)求长度的最小值； (2)若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； (3)在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围． 强化训练（八）数学试题第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级测试四数学试题(B) 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知圆经过双曲线C：的焦点，且双曲线C的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 5．已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 6．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．（2025·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（　　） A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 10．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．已知为方程的两个根，且，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 11．（2026·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点.点为坐标原点，且，则（    ） A．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 B．满足为直角三角形的点有且仅有2个 C．若直线的倾斜角为，则 D．若，则的面积为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设、为共轭复数，若，，则 . 13．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 14．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 16.某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 参考数据：．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．（15分）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围． 18．（17分）复数（）与复平面上的点一一对应： (1)复数（，），（，），若（），复平面上动点的轨迹为；若（），复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型. (2)复数、、、（，）满足（）且，复平面上动点的轨迹为曲线. （ⅰ）求的标准方程，并判断曲线类型； （ⅱ）平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上. 19．（17分）如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． (1)求长度的最小值； (2)若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； 强化训练（八）数学试题第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 卓同教育集团高2023级测试（四）试题 ( 准考证号： 姓 名： _______ __ 班 级： _________ _ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 )数学答题卡 ( 一、 单项 选择题 （每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 多项选择 题 （每小题 6 分，共 18 分 ， 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 ． ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分 ） 12 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题 （共7 7 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤 ） 1 5 ．（1 3 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 . （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓同教育集团高2023级测试（四）数学试题 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知圆经过双曲线C：的焦点，且双曲线C的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 5．已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 6．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．（2025·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（　　） A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 10．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．已知为方程的两个根，且，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 11．（2026·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点.点为坐标原点，且，则（    ） A．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 B．满足为直角三角形的点有且仅有2个 C．若直线的倾斜角为，则 D．若，则的面积为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设、为共轭复数，若，，则 . 13．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 14．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 16.（15分）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．（15分）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围． 18．（17分）复数（）与复平面上的点一一对应： (1)复数（，），（，），若（），复平面上动点的轨迹为；若（），复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型. (2)复数、、、（，）满足（）且，复平面上动点的轨迹为曲线. （ⅰ）求的标准方程，并判断曲线类型； （ⅱ）平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上. 19．（17分）如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． (1)求长度的最小值； (2)若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； (3)在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围． 测试（四）数学试题第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $卓同教育集团高2023级测试四数学试题(A) 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知集合A={2x-<5},B={x-3x-4≤0，则AnB=（) A.{x-1≤x≤3}B.{-1≤x<3}C.{xl≤x≤3} D.{xl≤x<3} 2.已知a,B,Y是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，且∩y=m,B∩y=n, 则0B是“mn”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知sina+cos () sina-2cosa =4,则sin2a+ 4 A.-5 2 B. c.② D. 2W2 5 10 3 4.已知图+r=4经过双面线c:若芳-1(a>0b>0)的焦点，且双曲线c的 虚轴长等于该圆的半径，则双曲线C的离心率为() A.2 B.2W2 c.25 3 3 5.己知等比数列{an}的公比q≠1，前n项和为Sn,且S3,S。,S成等差数列，若 4+4=4,则4=（) A.2 B.4 C.-2 D.-4 6.已知@网-网=3，ad-35,点C(4,2),0为坐标原点，则ca+ci的 /3 最小值是() A写 B.2W5 C.5 D.45 3 7.已知函数f(x)=ena-x(a>1),若f(x)≥0恒成立，则实数a的值为() A.e B.Ve C.e2 D.c 8.已知函数fx)=|2-,g()=[Uf()-f(xt∈R),若关于x的方程 g(x)=3-有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是() A.（-2,2) B.(N3,2) C.(←2，-V5) D.(2,+∞) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.(2025·湖北黄冈一模)下列说法正确的是() A.sin 2cos3<0 B.若圆心角为的扇形的面积为3 ，则扇形的弧长为元 C.终边落在直线x+y=0上的角的集合是{la=±匹+m,kEZ 4 D.函数y=tan(2x-马的定义域为xx≠+匹，k∈Z 6 32 强化训练（八）数学试题 10.(2026广东汕头模拟预测)已知f(x)=x-3x+3x,则下列说法不正确的是() A.∫(x)在定义域内单调递增 B.f(x)的对称中心为(1,0) C.己知，3为方程x2+4x+b=0的两个根，x≠x2且f(5)+f(5)>2,则a的取值范围为(-2，+o) D.若m+2训-fm-=2,则13俗装小值为m号n到 13 1.(2026云南模拟预测)已知抛物线C:y=二的焦点为P,准线为1，过点F的直线m与抛物线交 4 于P(,),2(x2,)两点.点O为坐标原点，且x>0,M(1,0),则() A.过点M且与C有且仅有一个公共点的直线恰有3条 B.满足△PMF为直角三角形的点P有且仅有2个 c.若直线m的倾斜角为若则P=Q网 D.若P②=16，则△OP2的面积为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设、为共轭复数，若5-43，三∈R,则 13.一条直线与函数y=nx和y=e的图象分别相切于点P(5,乃)和点Q(x2,y2),则(：-1)(+1)的值 为 14.如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为 半径均为的球).三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与碗口 等高，则互= 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知{a}是等差数列，拓}是等比数列，且41=b=3,4+44=2b,44=b3: (1)求{a}和{bn}的通项公式：(2)求数列a-18}的前n项和W 16某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的 投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x(单位：千辆)与年使用人次y(单位：千次) 的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示. y 2401 210f 180 150 x 1 2 4 6 > 120 90 y611213466101 196 60 30H 012345678x (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型y=a+blg或指数函数模型 y=c·d"(c>0,d>0)对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次 y的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程： 第1页共2页 (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进 行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中 保养过的共享电动车占比20%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值 =0.001的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 ∑xy 100.54 il 未报废 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 合计 60 100 参考数据：1 =1gy,v= 参考公式：对于一组数据(5，乃)，(x,乃)，(x,yn), 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： xy- n ad-be a=y-bx.X-(arbe+d(ate)(brd 其中 n=a+b+c+d. P(x2≥k) 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17.(15分)已知函数f(x)=nx-ax-2(a≠0) (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若函数f(x)有最大值M,且M>a-4,求实数a的取值范围. 强化训练（八）数学试题 18.(17分)复数=x+1(a,b∈R)与复平面上的点P(x,y)一一对应： ()复数=+yi(,∈R),2=x+i(x,y∈R),若2-=r(r>0),复平面上 动点P(化y)的轨迹为C:若2=九。(2ER),复平面上动点P(:y)的轨迹为C:判断并证明C1、 C,的曲线类型. (2)复数5=i、三2=-1、F3-=4、5=x+i(x,y∈R)满足2-=(33-23）(u∈R)且 ?-=5-,复平面上动点P(x,y)的轨迹为曲线C ()求C的标准方程，并判断曲线类型： (i)平面上过Q(2,1)的动直线I交曲线C于A、B两点，R是线段AB上一点且满足AgRB=AR·QB, 证明：点R恒在某条定直线上. 19.(17分)如图，己知圆锥PO的底面直径AB=2,其中O为底面圆心，母 R 线PA=3,动点M从A点出发，在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A点，其 轨迹为L. (1)求L长度的最小值： ②若点Q在圆0上，且PM=，2P2(6是0所对的圆心角，0≤8≤2元) 3-c0sθ 证明：存在非零向量n,使得AM⊥n恒成立； (3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为a,求平面MPO与 心夹角余弦值的取值范围. 第2页共2页卓同教育集团高2023级测试四数学试题答案 命题：郑才志 审题：苏友国 时间：120分钟 总分：150分 [2x-1<5 1.【答案】B【详解】由不等式2x-1<5,得 2x-1>-5'解得-2<x<3,所以由集合 A={x2x-1<5}={x-2<x<3},因为x2-3x-4=(x-4)(x+1),所以不等式x2-3x-4≤0转 化为(x-4)(x+1)≤0，解得-1≤x≤4，即B={x-1≤x≤4， 故AnB={-2<x<3}n{x-1≤x≤4={x-1≤x<3}, 2.【答案】A【详解】由x∩y=m,B∩y=n,若WB,由面面平行 y 的性质知：ml/n,所以xl/B”是“lln的充分条件；由x∩y=m,B∩y=n,若mln,则alp 或a与阝相交，所以“B”是“ln”的不必要条件.则B”是“/n”的充分不必要条件. 3.【答案】B【详解】由 sma+cosg=4,得ana+14,解得tana=3,所以 sina-2cos a tang-2 sinco222sinceosa+cos'a-sin'a v2 2tag+1 42 2 sin'a+cos2a 2 tan g+1 V22×3+1-32√2 232+1 10 4.【答案】C【详解】圆x2+y2=4的半径为r=2.由题意，对双曲线C,有c=2,2b=2,即b=1, 所以a=2-6=V4=5.所以双曲线的离心率e=S-2=2y3 a 33 5.【答案A详解由等比数列的前1项和公式，可得S=a0-,8,=41g,=马1g 1-9 1-q 1-q 因为9，$，，成等差数列，可得2×40-g)-马1-g)+41-g) 1-q1-q1-q 整理得21-q)=(1-4)+1-q),即2q=q+q，,即2g=1+g,所以2g-q3-1=0, 解得g=号该9-1《合去，自44=%+4-0+对%4-4，可得a=8,所以 1 4=49=8× 2.故选：A. 答案 第1页 6.【答案】C【详解】：AB=DB-OA=pB-2D1.0B+DM=18-20A.0B=18, :OA.OB=0,则OA1OB,OA=OB=3,∴A,B两点在以0为圆心，3为半径的圆上， 设A(3cos8,3sin8),由OA⊥OB可取B(-3sin0,3cos8), +号丽=0cosa-43m9-2+-3sn0-43cm0-2习 3 =(2cos0-sin0-4,cos0+2sin0-2), ai+可-(eco0m0-4+(eaw0+2m0-2-5-20cm0 则当c0s6=1时， a可以得技小道25-0-5，目a+-5:C 3 min 7.【答案】A【详解】函数f(x)=ena-(a>l)的定义域为R, :f'(x)=elna-a,显然单调递增且有唯一零点，令f'(x)=0有x=n Ina 当x∈(-o,x)时，f(x)<0,f(x)单调递减：当x∈(，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， :f(x)的极小值也是最小值为f(),而由题知∫(x)≥0恒成立， f=f代)20，即有a-血（品>0品sc,令 @%ag'@2aELc时，g@<0,ga单调随减：ae(c+ g'(a)>0,g(a)单调递增，g(a)的极小值也是最小值为g(e),∴g(a)≥g(e)=e,又 a≤ea=e.故选：A Ina y=fx) 8.【答案】B【详解】由题意，作出函数f(x)的大致图象，如图. 令m=f(x),由图可知，当m∈(0,1)时，关于x的方程=f(x)有 y-m 2个不同的实数根： 当m∈(-o,0)时，关于x的方程m=f(x)无实数根： 当=0或m∈[1，+o)时，关于x的方程m=f(x)只有1个实数根， 因为关于x的方程g(x)=3-t有3个不同实数根，所以关于m的方程2-tmm+t2-3=0的一 个根在(0,1)内，另一个根在1，+∞)内，或一个根为0，另一个根在(0,1)内. 共6页 当m=0为方程m2-m+t2-3=0的根时，t=±5，且方程的另一根为m=t. 当t=√3时，方程的另一个根为m=√5，不符合题意： 当t=-√5时，方程的另一个根为m=-√3，不符合题意. 当m=1为方程m2-m+t2-3=0的根时，有t2-t-2=0,则t=-1或t=2. 当t=-1时，方程的另一个根为m=-2,不符合题意；当t=2时，方程的另一个根为m=1, 不符合题意. 所以关于m的方程2-t1+t2-3=0的一个根在(0,1）内，另一个根在(Q1,+o)内. 「△>0， t2-4(t-3)>0, 令hm=m2-mm+t2-3,则h(0)>0,即t2-3>0, 解得√3<t<2. h(1)<0, 1-t+t2-3<0, 综上所述，实数t的取值范围是(W3,2).故选：B. 二、多选题 9.【答案】ABD 【详解】对于A,由<2<3<元，得sin2>0,cos3<0,则sin2cos3<0,A正确； 2 对干B,设扇形中径为，由圆心角为行的局形衡面积为交得交解得3，因 此扇形的弧长为了=元，B正确： 对于C,终边落在射线y=-x(x≥0上的角集合为8={a=-元+2kk∈Z乃， 4 终边落在射线y=-x(x≤O)上的角集合为 =(ala-=(ala-- 因此终边落在直线x+y=0上的角的集合是8U8=a。-一牙ke☑，C错误： 对于D,由2x-5+2+kk2,得X≠2+2，k∈Z, 32 因此函数Eam2x爱的定义域为}keZ,D正确故选：AD 10.【答案BC详解】选项A,由题意f(x)的定义域为R,因为f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)≥0 恒成立，当且仅当x=1时∫'(x)=0,所以∫(x)在定义域内单调递增，A说法正确： 答案 第2页 选项B,设f(x)的对称中心为(c,d),由对称中心的定义可知f(c+x)+f(c-x)=2d对x∈R 恒成立，代入f(x)=x-3x+3x整理得(6c-6)x2+(2c-6c2+6c)=2d, 令”+2以解得日所以f的对称中心为.B说法等误 「6c-6=0 选项C,由x≠x且(：)+f(s)>2可得f()-1+f(x)-1>0,令g(x)=f(x)-1,则 g(5)+g(x)>0,由函数的平移变换易知g(x)在R上单调递增，且关于(1,0)中心对称， 所以g(x)+g(x2)=-g(2-x)+g(x)>0,即g(x)>g(2-),所以x3>2-,即x+x>2, 又因为为方程am2+4r+b=0的两个根，所以x+5=4>2,当a>0时不等式显然不 a 成立，解得-2<a<0,C说法错误； 选项D,因为f(x)关于(1,1)中心对称，所f(3m+2m)=2-f(2-(3+2n)=2-f(2-3-2n), 由题意f(3+2n)+f(3m-4wm)=2,所以f(3m-4m)=f(2-3-2n),又因为f(x)单调 1 所以3m-4m=2-3m-2,整理得(2-(21-3)=1，所以当m>),n>2F 1+1-(2m-3)+2m)(2r3y(2m-1p2V2r3)21手2， 2m-12n-3(2m-1)2-3） 当且仅当2n-3=2-1,即m=1n=2时取等号，所以，1 的最小值为2，D正确： 2-12n-3 故选：BC 11.【答案】ACD【详解】 已知抛物线Cy-年，即r=4,焦点P(0,)准线：y=-1, O M 焦半径PF=y+1,2F=为+1. -1 O 选项A,设过点ML0与Cy-善的初线为)yk-),联立 得x2-4x+4k=0,△=16k2-16k=16k(k-1)=0得k=0或k=1.过点M(1,0)的垂直直线 x=1与抛物线C仅有一个交点， 综上，过点M且与C有且仅有一个公共点的直线为切线y=0,y=x-1,直线x=1,共3条， 故A正确 共6页 选项B,已知点P,)在C上，即P怎，手且>0若△P你为直角三角形，则直角可 即x(x+12x-1O=0,因为>0，故+12x-16=0,解得x=21+2-V2-1,有 1个F实根齐4即-如，则双厅--小手小手+1-0 解得x=2±2√2，>0，故x=2+2√2，有1个正解 若∠0，为版-5-山写(-1-1+等-0，解得×2，有-个正解 所以满足△PMF为直角三角形的点P有3个，故B错误： 选项C,直线m的领斜角为名则k=m。5,直线m的方程为y=5x+1. 63 3 x+1, 联立抛物线 3 x2-4v3 3 x-4=0,已知P(5),2(x,2),则 y= 4 +3= 4 3,55=4,+写=(5+5户-255=40 3 已知焦半径：P-男+1=1.1Q=为+1=三+1， 4 4 O-5a3-9p网e9.+-55 Γ31 4 又因为写>05<0，所以-5>0，枚-飞=+5广-585 -05mm=40-号P30g数cE0 选项D,设直线m的方程为y=c+1,联立抛物线得x2-4x-4=0, 则Pg=Vx-x广+-y=V1+及Vx+5)了-4=41+）=16，解得k=3 以原欢到h线能：中面积8号gd-16分4核D猫微意Am 12.【答案】2W5【详解】设马=a+bi(a,beR),则2=三=a-i,所以 三-5=(a+)-(a-i)=2i,则5-=43=26，可得b=25,因为 三-q4hi(a+d-B+2abi,且三eR,所以b=0,故a=0,故5=bi, 2 a-bi (a-bi)(a+bi)a+b a+b 则=l=23. 答案 第3页 13【容案】2【详解】因为f)=血x,8(=e,所以f"(x)=8)=e, 则y-n在点P)地的切线方程为-ax一.y号--1， y=e*在点(x,)处的切线方程为：y-e2=e2(x-x),即y=ex+e(1-x): [1=e 由已知 ,由=e得x=e9,故n-l=lne-l=-x-1, hx-1=e(1-x) 故名-11-)，解得5-所以（传-1）=-1=2 x2+1 名+】书+1？因此 (x-1(x+1)= 2 x+1 (x+1)=-2.故答案为：-2. 14.【答案】1+【详解】设半球面的球心为0，三颗汤圆的球心分别为Q,0,0, 3 因为汤圆与碗的内壁相切，所以O0=00,=O0,=1-5, 又因为三颗汤圆两两相切，所以QO,=Q○=O,O=2;,设等边三 角形QO,Q的中心为O,因为汤圆与碗口等高，所以OO=5,在 s000中，00，=25. .03 5,在Rta000中，002+00=0g, 3 即5+ 23)2 5--八，即5--5广，所以可， 3 35=1-5 所以5-1+② 四、解答题 「3m2-33 15.【答案】(1)a.=3n,bn=3” 2,ns6 (②R=3-3n+180,>6 2 【详解】(1)设公差为d,公比为q(q≠0)，a2+a4=2b2,故2a+4d=2b9,6+4d=6g, [6+4d=6g 3 0么.故33+2d·联36+203女·解得19-3或702（舍去7 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3.3-1=3; 共6页 (2)令c.=a.-18=3n-18,设数列c,}的前n项和为x,则7，=n-15+3n-l18）_3n-3n 2 2 由cn=0，解得n=6,当n≤6时，cn≤0，则Wn=-C1-C3--Cn=-I=- 3m2-33m 2 当n>6时，cn>0,则Wn=-9-c2--c6+c,++cn=-T+(Ta-T6)=Tn-2T。 ∫3n2-33 ,n≤6 _3n-33-2×3×6-33×6_3加-33n+180 综上：Wn= 2 2 2 2 3m2-33+180 ,n>6 16.【答案】(1)y=c~d适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型，)=3.47x1025x (2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【详解】(1)由散点图判断，y=cd适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型. 由y=cd,两边同时取常用对数得lgy=lg(c·dx）=lgc+xlgd. 设lgy=v,则v=lgc+gd.因为x=4,下=1.54， 2=140,∑y=5012, ∑y-7w 所以lgd= 50.12-7×4×1.547 =0.25 2x 140-7×4 28 把(4,1.54代入下=lgc+gd,得lgc=0.54,所以f=0.54+0.25x,所以1g=0.54+0.25x, 则)=10°54+035r=3.47×1005,故y关于x的回归方程为)=3.47×10°25x (2)设零假设H。:是否报废与是否保养无关.由题意，报废电动车中保养过的共20×20%=4 台，未保养的电动车共20-4=16台，补充2×2列联表如下： 保 未保 合 养 养 计 报废 16 20 未报废 56 24 80 合计 60 40 100 答案 第4页 nad-be 100×(4×24-16×56) 则x2= =16.667>10.828, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 60×40×80×20 根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H,不成立，即认为是否报废与保养有关， 17.【答案】(1)答案见解析：(2)(0,1) 【详解】(1)f(r)的定义域为(0，+o),由f(x)=lnx-ax-2(a≠0)可得f(x)=是-a, 当a<0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增； 当a>0时，令f()=0,得x=a 所以当(0日时，了0，单调造婚：当e合时，了(0，单测递 减，综上所述：当a<0时，f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，fy在6日月上单调送路，在合+小上单调造减 (2)由(1)知，当a<0时，在(0，+0)上单调递增，无最大值， 当a>0时，四在0分)上单遥增，在合+上单调适减： 所以当后时.取得爱人价即=日)。a合2日-=-a3, a 因此有-la-3>a-4,得la+a-1<0,设g(a=la+a-1,则g(@=1+1>0,所以g(a) 在(0，+w)内单调递增，又8(1)=0，所以g(@<g(1),得0<a<1,故实数a的取值范围是(0,1). 18.【答案】1)G是圆，证明见解析；S,是直线，证明见解析②()？+亡-1，曲线为椭 43 圆；(ii)证明见解析 【详解】(1)C是圆心为(，%)，半径为r的圆：证明：因为-=r(r>0),所以 x-)+(y-%)月=，所以Vx-)+(y-为2=r,所以(x-广+(y-%广=户，表示圆 心为(，%)，半径为r的圆；C,是经过(0,0)和(，)的一条直线： 证明：因为=(eR),所以x+i=6+⅓)，所以= y=% 共6页 当6≠0时，名 y=出，即y=也x,表示经过(0,0)且斜率为的一条直线， Xn 当=0时，x=0,表示y轴，所以C是经过(0,0)和(，%)的一条直线 (2)(i)设1，-2,3在复平面内对应的点为Z1,Z2,Z3, 由(1)可知，？-32=4(3一)表示直线Z,Z3,-=5-表示Z,23的垂直平分线， 所以P为ZZ3的垂直平分线与直线ZZ3的交点，因为1=i,所以Z(0,1),因为32=-i,所 以Z2(0,-1),因为53-5=4，所以23在以Z2为圆心，半径为4的圆上， 如下图所示，由上可知， Z IPZ+PZ=PZ3l+PZal=IZZal=4>2=2Zl, 所以P的轨迹是以Z(0,1),Z2(0,-1)为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以2a=4,2c=2,所以2=4，b2=4-1=3,所以C的标准方程为 4+子1，曲线为椭圆： y2 x2 (i)设A(s,y),B(,),R(m,m),不妨假设<<x2<2, y=k(x-2)+1 由题意可知，直线AB的斜率存在，设AB:y=k(x-2)+1,联立 4r+3=12,可得 6k(2k-1) (4+3k2)x2-6k(2k-1)x+3(4k2-4k-3)=0,所以 x+x,=4+3k2 342-4-3)'且 X1X2= 4+3k2 △=[-6k(2k-1]-44+3k2x34k2-4k-30台2-<k<2+√「， 因为Ag=V1+R2-=V1+(2-),RB到=V1+2·k-叫=V1+k(:-m), |AR=V1+k2.m-=V1+R(m-x),2B=V1+k.2-x=V1+k(2-x), 所以AgRB到=AR·B→(2-x)(s-m)=(-x)(2-5), 化简可得(+2)(：+x)-2553-4m=0,所以 答案 第5页 (+2)(6k(2k-1)-6(4k2-4-3)-4(4+3k2)=0,所以 B 6-nt=r-9,=0号所以6测号89，化简可 m-2 得8m+3n-12=0,所以R在定直线8.x+3y-12=0上 19.【答案】(1)33(2)证明见解析(3) 2W34 0 17 【详解】(1)如图， 沿圆锥PO的母线PA,将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形PA4', 其中B为AA的中点，A'与A在圆锥中是同一点. 因为轨迹L在圆锥的侧面上，所以，在侧面展开图中，轨迹L是扇形 B PAA'上连接A与A两点的曲线.又L是最短路径，而平面上连接两 点之中，线段最短，所以，轨迹L是侧面展开图扇形PAA'上连接A与 B A两点的线段，即线段AA'.由于AB=2,所以AA的长度为2π，又PA=3,所以 ∠APA= 子ad,所以。在等极三角形PA中，=35，即1的长度为3w5。 (2)如图，在底面圆O中，过点O作OE⊥AB交圆O于点E, 由于PO⊥平面ABE,OA,OEC平面ABE,故PO⊥OE,PO⊥OA,则OA,OE,OP两两垂 直，如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OE所在直线为y 轴，OP所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系，于是A1,0,0),P(0,0,2②)，(cos0,sim6,0), M(x.y,=),M=(xy=-22),P=(cos0,sin0,-/2, 2c0s8 X= 3-cose 2sine 2sin02√2-2√2cos6 于是{y= ,则M 2c0S0 3-c0s8 3-cos0'3-c0s0 3-c0s0 2W2-22cos0 Z= 3-c0sθ 3(cos6-1) 2sine 2v2a-cose) 于是AM= 3-c0s8 3-cos 0' 3-cosθ ,于是令i=(2W2,0,3),则AM.i=0: 共6页 (3)解法1：由(2)可知，i=(22,0,3)是平面α的一个法向量， 设平面wMP0的法向量为n1=(,1,三1)， 由于02=(0,0,2W2),0M= 2cose 2sine 22-2v2cose 3-cos0 3-cos0 3-c0sθ nOP=0 2W2=0 则 即 4·OM=01 2cos0 2sine 令x=-sin8,乃=cos8,9=0, 3-c0s 5+3cos61=0 于是平面MPO的一个法向量为4=(-sin6,cos8,0), i-2 设平面a与平面MPO所成角为&，于是cos 225n0s[0.234 0, V17x1 17 即平面α与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为 2W34 0, 17 解法2：由(2)可知，平面α的法向量i=2√2,0,3)，由于9在底面圆周上运动， 则平面POM即平面POO的法向量可以是底面上任意方向的向量， 如图，在平面PAB内，设PB∩L=F,过点O作ON⊥AF,则ONi, P0与平面u所成的角为8，则△NoAs0≤，易知tam∠人 25，则 cos∠NOA= 2W34 17 综上，cos8∈0， 2W34 即平面α与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为0， 2W34 17 17 答案 第6页 共6页