精品解析：河北省承德市承德县第一中学2026届高三下学期一模数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知， 又，所以. 2. 若复数满足,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果. 【详解】因为, 所以, 则, 故选:B. 3. 已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以，， 所以，， 又因为与的夹角的余弦值为， 所以，解得 或（因，舍）. 4. 已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项中函数的奇偶性、函数值符号、单调性，结合图象分析可得答案. 【详解】对于A选项，当 时，，与题中函数图象不符，故A错误； 对于B选项，， 所以函数为 上的增函数，与题中函数图象不符，故B错误； 对于C选项，设，该函数的定义域为 ， ，故函数为偶函数，与题干中函数图象不符，故C错误； 对于D选项，设，该函数的定义域为 ， ，所以函数为奇函数， 当时，，， 由，可得；由，可得或， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 与题中函数图象相符，故D正确. 5. 已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使 ，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求A、B两点坐标，根据 得到点P的轨迹方程，根据点P在圆上，利用两圆的位置关系求解即可. 【详解】不妨设，，因为 ，所以点在以为直径的圆上， 又因为，中点坐标为，所以点在圆上， 又因为在圆上仅存在一点，使 ， 且两圆半径相等，所以两圆外切，因此，解得或（舍）. 6. 记，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令和，再结合二项式定理求解即可. 【详解】令，由， 得， 则， . 7. 已知把函数（ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的解析式，再求出的零点，再根据范围求得的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以， 解得. 8. 已知集合且，若M中任意元素均在曲线的下方，则符合条件的整数a的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合，用表示，并由M中任意元素均在曲线的下方，得到关于的不等式，分离参数，利用二次函数的值域求得的取值范围，从而得到符合条件的整数a的最大值. 【详解】因为，所以 且， 所以， 所以. 所以. 由题意可知，即，化简得， 则恒成立，则. 故符合条件的整数的最大值是0. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的（ ） A. 若，则曲线的焦距为4 B. 若，则曲线表示双曲线，且其渐近线方程为 C. 若曲线表示椭圆，则 D. 是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，若，则曲线的方程为， 表示焦点在轴上的椭圆，其焦距为 ，故A正确； 对于B，若，则曲线的方程为， 表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故B正确； 对于C，法一：排除法当时，曲线的方程为，表示圆， 法二：若曲线表示椭圆则解得且，故C错误； 对于D，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 又因为，， 所以 是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件，故D正确． 10. 已知数列满足 ，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列中存在最小项 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，利用构造法可得，从而数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式利用分组求和法得，可判断ABC；利用数列的单调性判断D. 【详解】当时，可得，又因为 ，所以 ，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确； 由B选项分析可得，所以， 所以 ， 故C正确； 由C选项分析可得，所以， 所以恒成立， 所以数列为单调递减数列，所以数列中不存在最小项，故D错误． 11. 已知在直角中，，，AD为边BC上的中线，将 沿边AD翻折至 ，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 存在某个位置使得平面平面 D. 三棱锥的外接球的体积最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合翻折的特点，由三角形的性质判断A；由三棱锥的体积公式判断B；假设存在某个位置使得平面平面 ，根据面面垂直的性质定理判断C；根据三角形外接圆的性质及三棱锥外接球的性质，判断D. 【详解】A，因为，所以 ， 又为斜边上的中线，所以 ，所以 . 将 沿边AD翻折， 的形状不变，所以，所以，故A正确. B，如图，过点作 的延长线于点，连接 ，， 由对A的分析可知 ，，故， 当平面 时，三棱锥的体积最大，此时，， 故，故B正确. C，假设存在某个位置使得平面平面 ， 分别取，的中点，，连接，，， 由已知条件可知，又 平面，平面平面， 所以 平面 ，又平面 ，所以. 在中，， 所以易知中，，，所以，所以. 又，所以． 易知在旋转过程中能成立，所以假设成立，所以C正确. D，由题可知，，所以的外接圆的半径为，是定值． 易知 是边长为1的等边三角形，所以其外接圆的半径为，是定值. 因为在翻折的过程中， 是固定不动的， 所以在旋转过程中， 所在平面始终不过三棱锥外接球的球心， 当的外接圆正好是三棱锥外接球的大圆时，三棱锥的外接球的半径最小，为1， 此时三棱锥的外接球的体积最小，为，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， 由题可知恒成立，故， 当时，，当且仅当时等号成立，故． 13. 将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有________种． 【答案】60 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理结合分组分配先计算出所有的放法，再排除不满足题目要求的即可求出答案； 【详解】由题知将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中， 将这6张不同的卡片，标号分别为， 将6张卡片均匀分成三组，然后放到三个不同的信封中，总的放法种数为． 不满足题目要求的情况如下：①其中有2个信封中的卡片标号相同， 则卡片的分组为，，，共1种，此时放法种数为. ②有1个信封中的卡片标号相同，则卡片的分组为，，； ，，；，，； ，，，共4种，此时放法种数为． 所以若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法种数为． 14. 设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 【答案】392 【解析】 【分析】由题可得，，令，解得，，利用分组求和即可求解. 【详解】由得，即，又， 所以，同理得， 由得，令，则，且， 所以，所以， 所以， 则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响． 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （1）根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值 的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； （2）若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望． 附：，其中 ． 【答案】（1） 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 认为该校学生喜欢军事与性别无关． （2） 0 1 2 3 数学期望． 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算进行判断； （2）因为的可能取值为0，1，2，3，且，列出分布列求期望. 【小问1详解】 由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为， 且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事， 因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名， 完善后的列联表如下： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关． ， 根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即该校学生喜欢军事与性别无关． 【小问2详解】 学生答对任意一题的概率为， 的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望． 16. 已知三棱锥P-ABC中，， ，D为AC中点，M为BD中点，平面 平面ABC，点P到平面ABC的距离为2． （1）证明： ； （2）若 ，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为 ，为中点，所以， 又因为平面 平面，平面平面 ，平面， 所以 平面，又 平面，所以 ． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一得到中线和底边垂直，利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，利用线面垂直的定义得到线线垂直. （2）由点到平面的距离为2和 得到 平面，利用空间向量法求解，求出平面 的法向量和平面 的法向量，设平面 与平面 的夹角为，利用向量的数量积求出，从而得到平面 与平面 夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 M为BD中点，在等腰中，， 因为点到平面的距离为2， ，所以 平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面 的法向量为，则， 即，令 ，则， 设平面 的法向量为，则， 即，令 ，则， 设平面 与平面 的夹角为，则， 故平面 与平面 夹角的余弦值为． 17. 已知内角所对的边分别为，且满足 ，，面积，动点在边上，不重合且． （1）求角； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件边角互化，得到关系，代入面积公式求解； （2）设，将 表示出来，化简求最值. 【小问1详解】 由 ，， 得， 即， 即， 所以， 故，因为 ，所以， 故在中，， 因为，所以． 【小问2详解】 不妨设点靠近点，， 设， 则在 中，， 在中，， ， 设，则，故， 因为函数在上单调递减， 所以时，，故的最小值为2． 18. 已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若点是椭圆上任意一点，求的内切圆半径的最大值； （3）过点分别作直线与椭圆交于、两点，作直线与椭圆交于、两点，其中点、位于第一象限，直线过点且与轴垂直，直线 、与直线分别交于点、，证明：点为中点． 【答案】（1） （2） （3）证明：易知直线、均不与轴重合， 设直线的方程为，直线的方程为， 设点、、、， 联立，消去并整理可得， 则， 由韦达定理可得，， 同理可得，， 直线 的方程为， 令，得 同理可得， 则 ， 所以点为的中点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出椭圆的方程； （2）设的内切圆半径为，设的面积为，求得，可知当取最大值时，取最大值，求出的最大值，即可得出的最大值； （3）设直线的方程为，直线的方程为，设点、、、，将直线与椭圆方程联立，列出韦达定理，同理可得出、，求出直线 的方程，令，可得出点的纵坐标，同理得出点的纵坐标，计算出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意可知，解得 ， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设的内切圆半径为，设的面积为， 因为点是椭圆上任意一点，所以结合椭圆的定义可得， 又，所以的面积， 易知当位于短轴的端点时，最大，， 所以，解得，即的最大值为． 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 【答案】（1） （2）当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）2． 【解析】 【分析】（1）当时，求出，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）由（2）知时不符合题意，当 时，存在，使，满足令，则，令，利用导数研究该函数的最值即可求解． 【小问1详解】 当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， 令，则， 若 ，则 ，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时， ，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． 【小问3详解】 由（2）知时不符合题意； 当 时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且， ，当时， ，故存在，使，又，故， 则当时， ，，单调递减；当时， ，，单调递增；当时， ，，单调递减；当时， ，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得 则， 令，则， 令，则， 当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，，， ， 故在内存在唯一零点，即，且当时， ，，则单调递减；当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足,则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 4. 已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使 ，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 记，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知把函数（ ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合且，若M中任意元素均在曲线的下方，则符合条件的整数a的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的（ ） A. 若，则曲线的焦距为4 B. 若，则曲线表示双曲线，且其渐近线方程为 C. 若曲线表示椭圆，则 D. 是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件 10. 已知数列满足 ，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列中存在最小项 11. 已知在直角中，，，AD为边BC上的中线，将 沿边AD翻折至 ，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 存在某个位置使得平面平面 D. 三棱锥的外接球的体积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 13. 将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有________种． 14. 设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响． 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （1）根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值 的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； （2）若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望． 附：，其中． 16. 已知三棱锥P-ABC中，， ，D为AC中点，M为BD中点，平面 平面ABC，点P到平面ABC的距离为2． （1）证明： ； （2）若 ，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值． 17. 已知内角所对的边分别为，且满足 ，，面积，动点在边上，不重合且． （1）求角； （2）求的最小值． 18. 已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若点是椭圆上任意一点，求的内切圆半径的最大值； （3）过点分别作直线与椭圆交于、两点，作直线与椭圆交于、 两点，其中点、位于第一象限，直线过点且与轴垂直，直线 、与直线分别交于点、，证明：点为中点． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $