2025-2026学年浙教版 八年级数学下册 特殊四边形之折叠、最值、动态问题 专练

**基本信息** 聚焦特殊四边形折叠、最值、动态三大核心问题，通过选择、填空、解答题三阶分层设计，构建从图形性质应用到综合变换推理的知识巩固路径，培养几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一图形折叠（矩形、菱形）、静态最值|选择题聚焦折叠后线段计算、单点最值基础模型| |综合应用|多步折叠（平行四边形）、动态最值（动点轨迹）|填空题结合折叠与等腰三角形、动点路径分析| |拓展探究|折叠与坐标系综合、动态问题存在性|解答题融合图形变换与函数思想，如折叠后点坐标计算、平行四边形存在性证明|

特殊四边形之折叠、最值、动态问题 专练 一、特殊四边形之折叠问题 一、选择题 1.如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连结AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点若，则OE的长      A. B. 2 C. D. 【答案】C  【解析】设，由已知易证≌，，，在中由勾股定理可求解． 2.如图，在菱形ABCD中，，E是AB边上一点，将沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的点F处，则的度数是      A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，，， 将沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处， ，， ， ， ， ， ， 故选： 由四边形ABCD是菱形，得，，，根据将沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处，可得，，即得，，故， 本题考查菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，求出 3.如图，已知正方形ABCD的对角线长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为      A. B. C. 8 D. 6 【答案】C  【解析】【分析】 此题考查折叠问题，正方形的性质，属于中档题. 设正方形的边长为x，根据正方形的性质和勾股定理求解x值，进而可求解阴影部分的面积. 【解答】 解：根据折叠的性质，可知阴影部分的周长=正方形的周长. 设正方形的边长为x，则，解得， 所以阴影部分的周长为 故选 4.如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连结EC，过点B作，垂足为若，，则线段AE的长为      A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设，， ， ， 沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处， ，，， 在中，， ①， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， 化简变形得：②， 把②代入①得： ， 解得或舍去， ， 故选： 设，，在中，可得①，由，有，即得，而，知，可得，即②，把②代入①可解得 本题考查矩形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理及三角函数列方程解决问题． 二、填空题（本大题共3小题，共9.0分） 5.如图，将▱ABCD纸片折叠折痕是，使得点A落在BC上，记做图1；展平后再将▱ABCD折叠折痕是，使得点D落在BC上，记做图2；展平后继续折叠▱ABCD，使AD落在直线BC上，记做图3；重新展平，记做图若，，则图4中线段GH的长度是          . 【答案】3  【解析】连结EH，延长EH交BC于如图，易证≌，，，是的中位线， 6.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把沿EF折叠，点B落在处．若恰为等腰三角形，则的长为          . 【答案】16或  【解析】ⅰ如图1所示，当时，过点作，则  由题意，得，，，  ，， ⅱ如图2所示，当时，则易知点F在BC上且不与点C，B重合 ⅲ当时，，，点E，C在的垂直平分线上，垂直平分，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，的长为16或 7.如图，已知矩形ABCD的两条边，，点E是对角线AC，BD的交点，点P是边AD上一个动点，将沿PE折叠，使点D落在点处，当与矩形一条边垂直时，PD的长是          . 【答案】或5  三、解答题 8.已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，现将纸片折叠，折痕为点E，F是折痕与矩形的边的交点，点P为点D的对应点，再将纸片还原． 若点P落在矩形OBCD的边OB上， ①如图1，当点E与点O重合时，求点F的坐标； ②如图2，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标． 若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，DC上，求OP的最小值直接写出结果即可 【答案】【小题1】 解：①≌点F的坐标为  ②折痕为EF，点P为点D的对应点，，四边形OBCD是矩形，，，≌，四边形DEPF是平行四边形．，▱DEPF是菱形，设，，，解得，，点F的坐标为 【小题2】 当点F与点C重合，点P落在OC上时，OP取最小值，   9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，D为对角线OB的中点，点E在x轴上运动，连结DE，把沿DE翻折，点O的对应点为点F，连结 当点F在第四象限时如图，求证： 当点F落在矩形的某条边上时，求EF的长． 是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】【小题1】 证明：由已知易得，，，又，即有，， 【小题2】 解：①易知直线直线OF，当点F在边OC上时，轴，点E为，；  ②当点F在边AO上时，，这与点E在x轴上矛盾，舍去．③当点F在边AB上时，点F在点B处，如图1，设，则在中，有，解得，④当点F在边BC上时，点F与点C或点B重合，易知此时EF为2或综上，或 【小题3】 解：由题意，易知若存在这样的平行四边形，则有①▱DFEB，②▱DEFB，③▱①若为▱DFEB，则由，知▱DFEB为菱形，，又，，即O，F，B共线，点F在直线OB上，这与题设矛盾，舍去．②若为▱DEFB，如图2，则，，点E为③若为▱DFBE，如图3，则，点E在x轴上，，点C为，当E在C点左边时，如图3，则E为；当E在C点右边时，如图4，则E为点E为或综上，当点E为或或或时，存在以D，E，F，B为顶点的平行四边形．   10.将平行四边形纸片ABCD按图1所示的方式折叠，使顶点A，B同时落在线段HF上的点M处，顶点C，D同时落在线段HF上的点N处，其中AD长为6，AE长为 求证：四边形EFGH为矩形． 探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度． 若，连结AF，当时如图，求的值． 【答案】【小题1】 证明：如图1，由折叠可得，，，，同理可得，四边形EFGH为矩形． 【小题2】 不会， 【小题3】 解：连结CH，如图由题意：，，，，，同理：，，，，设，则，，，，， ，   11.如图，长方形纸片ABCD中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片余下部分不再使用； 第二步：如图2，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分； 第三步：如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片． 求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值． 【答案】解：如图1为第三步剪拼之后的四边形的示意图．，三角形中位线定理，四边形是平行四边形，其周长为为定值，四边形的周长取决于MN的大小． 如图2是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD于点P，Q，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，根据垂线段最短，得到MN的最小值为4；MN的最大值等于矩形对角线的长度，即四边形的周长为，四边形周长的最小值为20，最大值为   二、 特殊四边形之最值问题 一、选择题 1.如图，在矩形ABCD中，，，动点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为      A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设中AB边上的高是，动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上．如图，作A关于直线l的对称点E，连结AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离． 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点不与点A，B重合，于点E，于点若，，则EF的最小值为      A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C  3.如图，在边长是5的菱形ABCD中，于点E，，点F是AC上一动点，则的最小值是      A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C  二、填空题 4.如图，在正方形ABCD中，，对角线AC上有一动点E，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，连结GH，则GH的最小值是          . 【答案】  【解析】连结CG，证得≌，，当时，GH取得最小值．， 5.如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是          . 【答案】  【解析】解：如图，过点P作于E， 四边形ABCD是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点M，点P，点E共线且时，有最小值为ME，如图， ， ， ， ， 的最小值为 故答案为： 6.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则的最小值为          . 【答案】  【解析】连接AE交BD于点F， 四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD对称． ，此时最小． 正方形ABCD的边长为4，， 点E在BC上且， 故的最小值为 三、解答题 7.如图，在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，，，在BC上取一点F，使得，取OA的中点E，G为BD上的一个动点，连结GE，GF，求的最大值． 【答案】解：在菱形ABCD中，，，，，作点E关于BD的对称点，连结，在中，，则当点G，F，三点共线时，取最大值，如图，取BC的中点H，连结，E为OA的中点，是HC的中点，  是OC的中点，，，取最大值为   8.如图，在长方形纸片ABCD中，，，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD的点G处，折痕分别交边AD，BC于点E， 求证：是等腰三角形 求面积的最大值． 【答案】【小题1】 证明：在长方形ABCD中，，，根据折叠的性质有，，，是等腰三角形． 【小题2】 解：在长方形ABCD中，，，的面积为，的面积的大小取决于GE的大小．根据折叠的性质有，，，即随着G点往A点移动，可知DE在逐渐增大，当点G与点A重合时，DE最大，此时GE也最大，的面积也最大．如图，由折叠的性质可知，，，在中，，，解得，，，即的面积最大值为   9.如图，边长为1的正方形ABCD中，E，F为对角线BD上的动点． 证明： ①求的最小值；②求的最小值． 【答案】【小题1】 解：证明：，，，≌，，同理可得 【小题2】 ①当A，C，E在同一直线上是最短的．； ②如图，以AB为边作等边三角形ABM，M落在正方形ABCD外，连结CM交BD于点E，在CM上取点N，使，过M作与CB的延长线交于点，，，≌，，，，是等边三角形，，此时，的值最小，且，，，，即的最小值为   10.如图，已知在▱ABCD中，，，AC平分，E为AB的中点，F是AC上一动点，求的最小值． 【答案】解：连结BD，如图，在▱ABCD中，，平分，，，，四边形ABCD是菱形，与BD互相垂直平分，点B，D关于AC对称．  连结ED，则ED就是所求的取最小值时的线段，为AB的中点，，， ，的最小值为   11.在矩形ABCD中，， 将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点F处如图，设DF与BC相交于点G，求证： 将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点落在CD边上如图，点A的对应点为，连结交EF于点当时，求EF，OF的长． 点M在线段AB上，点N在线段BC上如图，若按MN折叠后，点B落在矩形ABCD的AD边上的点H处，求AH的最大值和最小值． 【答案】【小题1】 证明：四边形ABCD是矩形，，，由折叠得，， 【小题2】 如图1，连结BE，，，，，，，，，由折叠得点与点B关于直线EF对称，垂直平分，，易知，，，，，解得，，，，，解得易得，，，的长是，OF的长是 【小题3】 如图2，当点N与点C重合时，AH的值最小，点H与点B关于直线MC对称，垂直平分BH，，，；如图3，当点M与点A重合时，AH的值最大，，且，，，的最大值为6，最小值为 三、特殊四边形之动态问题 一、选择题 1.如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，F为EC上的一个动点，P为DF的中点，连结当PB的最小值为时，AD的值为      A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B  2.如图，菱形ABCD的边，，P是AB上一点，，Q是CD上的一个动点．若将梯形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点是点，则当的长最小时，CQ的长为      A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】C  【解析】如图所示，由题意，可知为等边三角形．过C作，则连结DH，要使的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点应落在CH上，且对称轴PQ应满足因为，易知，所以 3.如图，在平行四边形ABCD中，，，E，F是对角线BD上的动点，且，M，N分别是边AD，BC上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形 其中正确的个数是      A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线．根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可． 【解答】 解：连接AC，MN，BD，它们交于点O， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， 只要，那么四边形MENF就是平行四边形， 点E，F是BD上的动点， 存在无数个平行四边形MENF，故①正确； 只要，，则四边形MENF是矩形， 点E，F是BD上的动点， 存在无数个矩形MENF，故②正确； 只要，，则四边形MENF是菱形， 点E，F是BD上的动点， 存在无数个菱形MENF，故③正确； 只要，，，则四边形MENF是正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故④错误； 故选： 4.如图1，点P为矩形ABCD边上的一个动点，点P从A出发沿着矩形的四条边运动，最后回到设点P运动的路程长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则矩形ABCD的对角线BD的长是      A. B. C. 8 D. 10 【答案】B  二、填空题 5.如图，在矩形ABCD中，，，正方形的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，E为DC上一个动点．当点D与点关于AE对称时，DE的长为          . 【答案】或  【解析】连结，，延长交DC于点设，在中，，解得或在中，设，①当时，，解得②当时，，解得或 6.如图，在矩形ABCD中，，，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且，则BM的值为          . 【答案】1或6  三、解答题（本大题共4小题，共32.0分） 7.如图，点O是正方形ABCD的对称中心，E，F分别在线段AB，CD上，且EF经过点O，，，动点G，H分别在线段AD，BC上．若EF与GH的交点P在点O，F之间不与点O，F重合，且设，求x的取值范围． 【答案】解：①假设点P与点O重合，如图1所示．过点A作交CD于点N，则，过点O作交AD于点，交BC于点，则，过点A作交BC于点M，则，，延长CD至点Q，使，连结，，，≌，，，，，，≌，设，则，，，解得，，，；②当点H与点C重合时，如图2所示．由①知，，的取值范围为   8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为，点D，E分别在边BC和AB上，，，P是线段DE上一动点，于点F，连结OP， 求直线DE的函数表达式． 当OP平分时，延长OP交AB于点求证：四边形PFEG是平行四边形． 若是等腰三角形，求点P的横坐标． 【答案】【小题1】 解：四边形OABC是矩形，点，，点易证≌，，，点可得直线DE的函数表达式为 【小题2】 证明：延长DE交x轴于点M，点，，易证≌，，，，，，解得点可得直线PO的函数表达式为点，，，，，，即四边形PFEG是平行四边形． 【小题3】 解：过点E作于点N，则，四边形AFNE是矩形，点P在线段DE上，设点，，，，，，，是等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，解得，不合题意，舍去；②当时，解得，不合题意，舍去；③当时，解得，此时点P与点E重合，不合题意，舍去  综上所述，若是等腰三角形，则点P的横坐标为5或女或   9.如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点 如图1，当点E在边CD上时，求证： 如图2，在的条件下，连结BE交AC于点若，求PF的长． 如图3，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 【答案】【小题1】 证明：方法一：如图1，连结PD，四边形ABCD是正方形，，易证≌，，，，，，，，方法二：过点P作AD的平行线，构造一线三等角的方法证明全等也可以． 【小题2】 解：如图2中，过点P作于点L，过点F作于点Q，于点，， 第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $   特殊四边形之折叠、最值、动态问题 专练 一、特殊四边形之折叠问题 一、选择题 1.如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连结AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点若，则OE的长      A. B. 2 C. D. 2.如图，在菱形ABCD中，，E是AB边上一点，将沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的点F处，则的度数是      A. B. C. D. 3.如图，已知正方形ABCD的对角线长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为      A. B. C. 8 D. 6 4.如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连结EC，过点B作，垂足为若，，则线段AE的长为      A. B. C. D. 二、填空题 5.如图，将▱ABCD纸片折叠折痕是，使得点A落在BC上，记做图1；展平后再将▱ABCD折叠折痕是，使得点D落在BC上，记做图2；展平后继续折叠▱ABCD，使AD落在直线BC上，记做图3；重新展平，记做图若，，则图4中线段GH的长度是          . 6.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把沿EF折叠，点B落在处．若恰为等腰三角形，则的长为          . 7.如图，已知矩形ABCD的两条边，，点E是对角线AC，BD的交点，点P是边AD上一个动点，将沿PE折叠，使点D落在点处，当与矩形一条边垂直时，PD的长是          . 三、解答题 8.已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，现将纸片折叠，折痕为点E，F是折痕与矩形的边的交点，点P为点D的对应点，再将纸片还原． 若点P落在矩形OBCD的边OB上， ①如图1，当点E与点O重合时，求点F的坐标； ②如图2，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G，若，求点F的坐标． 若点P落在矩形OBCD的内部，且点E，F分别在边OD，DC上，求OP的最小值直接写出结果即可 9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，D为对角线OB的中点，点E在x轴上运动，连结DE，把沿DE翻折，点O的对应点为点F，连结 当点F在第四象限时如图，求证： 当点F落在矩形的某条边上时，求EF的长． 是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由． 10.将平行四边形纸片ABCD按图1所示的方式折叠，使顶点A，B同时落在线段HF上的点M处，顶点C，D同时落在线段HF上的点N处，其中AD长为6，AE长为 求证：四边形EFGH为矩形． 探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度． 若，连结AF，当时如图，求的值． 11.如图，长方形纸片ABCD中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片余下部分不再使用； 第二步：如图2，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分； 第三步：如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片． 求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值． 二、 特殊四边形之最值问题 一、选择题 1.如图，在矩形ABCD中，，，动点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为      A. B. C. D. 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点不与点A，B重合，于点E，于点若，，则EF的最小值为      A. 3 B. 2 C. D. 3.如图，在边长是5的菱形ABCD中，于点E，，点F是AC上一动点，则的最小值是      A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 4.如图，在正方形ABCD中，，对角线AC上有一动点E，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，连结GH，则GH的最小值是          . 5.如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是          . 6.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则的最小值为          . 三、解答题 7.如图，在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，，，在BC上取一点F，使得，取OA的中点E，G为BD上的一个动点，连结GE，GF，求的最大值． 8.如图，在长方形纸片ABCD中，，，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD的点G处，折痕分别交边AD，BC于点E， 求证：是等腰三角形 求面积的最大值． 9.如图，边长为1的正方形ABCD中，E，F为对角线BD上的动点． 证明： ①求的最小值；②求的最小值． 10.如图，已知在▱ABCD中，，，AC平分，E为AB的中点，F是AC上一动点，求的最小值． 11.在矩形ABCD中，， 将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点F处如图，设DF与BC相交于点G，求证： 将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点落在CD边上如图，点A的对应点为，连结交EF于点当时，求EF，OF的长． 点M在线段AB上，点N在线段BC上如图，若按MN折叠后，点B落在矩形ABCD的AD边上的点H处，求AH的最大值和最小值． 三、特殊四边形之动态问题 一、选择题 1.如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，F为EC上的一个动点，P为DF的中点，连结当PB的最小值为时，AD的值为      A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.如图，菱形ABCD的边，，P是AB上一点，，Q是CD上的一个动点．若将梯形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点是点，则当的长最小时，CQ的长为      A. 5 B. C. 7 D. 8 3.如图，在平行四边形ABCD中，，，E，F是对角线BD上的动点，且，M，N分别是边AD，BC上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形 其中正确的个数是      A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.如图1，点P为矩形ABCD边上的一个动点，点P从A出发沿着矩形的四条边运动，最后回到设点P运动的路程长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则矩形ABCD的对角线BD的长是      A. B. C. 8 D. 10 二、填空题 5.如图，在矩形ABCD中，，，正方形的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，E为DC上一个动点．当点D与点关于AE对称时，DE的长为          . 6.如图，在矩形ABCD中，，，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且，则BM的值为          . 三、解答题 7.如图，点O是正方形ABCD的对称中心，E，F分别在线段AB，CD上，且EF经过点O，，，动点G，H分别在线段AD，BC上．若EF与GH的交点P在点O，F之间不与点O，F重合，且设，求x的取值范围． 8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴和y轴上，点B的坐标为，点D，E分别在边BC和AB上，，，P是线段DE上一动点，于点F，连结OP， 求直线DE的函数表达式． 当OP平分时，延长OP交AB于点求证：四边形PFEG是平行四边形． 若是等腰三角形，求点P的横坐标． 9.如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点 如图1，当点E在边CD上时，求证： 如图2，在的条件下，连结BE交AC于点若，求PF的长． 如图3，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 10.如图，已知和是两个边长都为1 cm的等边三角形，且B，D，C，E都在同一直线上，连结AD及 求证：四边形ADFC是平行四边形． 若，沿着BE的方向以每秒1 cm的速度运动，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，▱ADFC是菱形？请说明你的理由； ②▱ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由． 第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $