精品解析：广东梅州市曾宪梓中学等六校2025-2026学年高一第二学期中段考测试数学试题

2025-2026学年高一第二学期中段考试 数学试题 2026.5 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设为单位向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 11. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. 若，则 C. D. 的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 若，，则______. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数，m为实数． （1）当m为何值时，z是纯虚数; （2）若，求的值; （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上的值域. 17. 在中，内角的对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，， . （1）求证平面； （2）若平面，求的值； （3）作出平面与平面的交线，并说明理由. 19. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的长； （3）若，点在上，直线上一点满足.在点和点的变化过程中，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一第二学期中段考试 数学试题 2026.5 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法，结合复数的意义求解即得. 【详解】， 所以复数的虚部是1. 故选：B 2. 如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】画出原图可计算面积. 【详解】由已知可知，的原图如下： 其中， 所以. 故选：D 3. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则， 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为. 故选：B 4. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的几何性质结合向量的线性运算即可得解. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 所以. 5. 设为单位向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形图象平移变换逐项求出解析式判断. 【详解】对于A，的图象向左平移个单位，得，A不是； 对于B，的图象向右平移个单位，得，B是； 对于C，的图象向左平移个单位，得，C不是； 对于D，的图象向左平移个单位，得，D不是. 故选：B 7. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 8. 设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由球的体积公式求得球的半径，再通过正四面体体积确定棱长和半径的关系，即可求解. 【详解】球的体积公式为， 由题意内切球体积， 代入得：  ，整理得：  设正四面体棱长为，高为 如图为正四面体，为的中心， 根据正弦定理知的外接圆半径， 所以， 设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为， 则根据等体积法得： ． 故 对两边立方得：  将​代入上式，得：  因此该正四面体的棱长为. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的性质逐一分析选项即可 【详解】A项，由图可知振幅，所以周期，，A正确； B项，由A项可得，代入点得，所以. 又因为，所以取,得，B错误； C项，由B项可得，当时，，是最小值，所以是对称轴，C正确； D项，当时，，而，所以不是对称中心，D错误. 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 又，、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 11. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. 若，则 C. D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用投影向量的定义可判断A选项；建立平面直角坐标系，利用三角恒等变换结合平面向量的线性运算可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知， 所以，在方向上的投影向量为，A对； 对于B选项，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，设点，其中， 由可得， 所以，，所以，， 所以，， ，则，所以，， 所以，，B对； 对于C选项，，所以， ，C错； 对于D选项，，其中，、， ，， 所以，， 因为，则， 所以，故当时，取最小值为，D对. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】已知，且，可知， 即，展开整理得，解得. 13. 若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设求出，利用拆角变换，将化成，利用和角公式计算即得. 【详解】由，可得， 则， 于是， . 故答案为：. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合面积关系可得，进而求的面积. 【详解】如图所示， 由题意可知：， 因为， 则， 即，解得， 所以的面积为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数，m为实数． （1）当m为何值时，z是纯虚数; （2）若，求的值; （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解； （2）根据复数的模长公式运算求解； （3）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 若z是纯虚数，则，解得， 所以当时，z是纯虚数. 【小问2详解】 若，则， 所以. 【小问3详解】 因为复数，对应的点为， 若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则，解得， 故实数m的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）求的单调递减区间； （3）求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再令计算即可得； （2）借助正弦型函数性质计算即可得； （3）结合范围可得的范围，再利用正弦函数性质即可得解. 【小问1详解】 ， 则； 【小问2详解】 令， 解得， 故的单调递减区间为； 【小问3详解】 当时，， 则，故， 即在区间上的值域为. 17. 在中，内角的对边分别为，，. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据求角B即可； （2）根据两角和差公式求，再由正弦定理求出边，进而可得面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则，可得， 且，所以； 则，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 则， 又因为，则， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，， . （1）求证平面； （2）若平面，求的值； （3）作出平面与平面的交线，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用中点构造中位线平行即可证明. （2）运用线面平行的性质定理，得到线线平行，利用平面三角相似，得到相似比进而求解. （3）运用线面平行的性质定理，可知交线的位置且与已知线的平行关系. 【小问1详解】 如图延长，连接并延长与交于点，连接 因为且是的中点， 所以，且， 所以 所以为中点， 在中，分别是的中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 【小问2详解】 连接，交于点，连接 因为平面，平面，而平面平面， 故, 所以 所以 在梯形中，因为， 所以 又 所以 所以 【小问3详解】 过点在平面中作直线，如图 理由如下 因为，平面，平面， 所以平面 又因为平面，平面平面 所以 所以 19. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的长； （3）若，点在上，直线上一点满足.在点和点的变化过程中，求的最小值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦二倍角公式结合正弦定理边化角，和辅助角公式即可求解； （2）通过平方，结合向量数量积的运算律即可求解； （3）以为原点，所在直线为轴建系，设中点为，的中点为，由，通过平方，由向量数量积运算律和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，， 即， 故​， 代入已知等式得： ， 即 由正弦定理边化角得​， 因为为三角形内角，， 得： ， 即， 即， 因为， 所以， 故 【小问2详解】 因为， 由，得，  得： 两边平方得： ，  代入， 得： ； 【小问3详解】 条件，变形得， 即， 如图，以为原点，所在直线为轴建系， 则， ， 因为，，得 ， 设，设中点为，的中点为， 则，则， 则， 平方可得：， 即， 又，代入上式化简可得： ， 所以 对二次函数 ，对称轴​， 最小值为： ， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $