精品解析：山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷

2025级高一（下）期中测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量、满足，，且与的夹角为．设为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（ ） A. 当时，截面为五边形 B. 当时，截面只能是六边形 C. 当时，截面的面积最大 D. 当时，截面只能是五边形 8. 在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在三角形中，，，若三角形有两解，则c的可能取值为（ ） A. B. 1.1 C. D. 1.01 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若复数z满足，则 C. 若，为实数，则的最小值为1 D. 若复数，则z是方程的一个根 11. 在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（ ） A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值10 B. 当时，的最小值为 C. 当时，直线与直线为异面直线 D. 当时，平面 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________. 13. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 14. 在中，三个内角对边分别为的角平分线交于点，记内切圆半径为，外接圆半径为，则的取值范围为_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 正四棱锥中，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点. （1）求四棱锥的表面积 （2）求四面体的体积. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 如图，直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点． （1）证明：//平面； （2）设，求异面直线与所成角的大小． 18. 如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求角； （2）若BC的长为，求的取值范围． （3）若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，且与的夹角. ①求； ②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小. 20. 设的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则________． 21. 四棱锥的底面ABCD为平行四边形，过顶点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点M，N，T．若N为棱PC的中点，则当四棱锥的体积与四棱锥的体积之比最小时，________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一（下）期中测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】因为，则，故的虚部为. 2. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的定义计算即可. 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 3. 已知，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，将两侧同时平方，可得，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】因为， 所以，则， 则， 因为，所以，即向量的夹角为. 4. 一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥体侧面展开扇形弧长与底面周长关系求扇形圆心角，应用余弦定理求蚂蚁爬行的最短路径长. 【详解】将圆锥沿过点母线展开，由，若扇形圆心角为，则， 所得扇形圆心角， 由余弦定理得蚂蚁爬行的最短路径长为. 故选：B 5. 已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得的外接圆半径为，再由，求得球的半径，即可求解球的表面积． 【详解】因为，， 所以的外接圆半径为． 设球半径为，则， 所以， ． 故选：D． 6. 已知向量、满足，，且与的夹角为．设为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知且与不共线，结合平面向量数量积的运算性质以及平面向量共线的基本定理可求得实数的取值范围. 【详解】因为向量、满足，，且与的夹角为， 则，且与不共线， 因为向量与的夹角为锐角， 则， 即，即，解得， 若向量与共线，则存在，使得， 所以，整理得，解得， 故当向量与不共线时， 因为向量与的夹角为锐角， 故实数的取值范围是. 7. 在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（ ） A. 当时，截面为五边形 B. 当时，截面只能是六边形 C. 当时，截面的面积最大 D. 当时，截面只能是五边形 【答案】D 【解析】 【分析】易知当时，截面为正六边形，可判断A错误，当与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误，比较时五边形截面的面积与正六边形截面面积大小可判断C错误，作出图形可判断D正确. 【详解】对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示： 由正方体性质可得，即可得为正六边形， 因此当时，截面为六边形，即A错误； 对于B，如下图： 当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误； 对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示： 不妨取正方体的棱长为3，易知， 可知为等腰三角形，其底边上的高为， 因此其面积为； 又，可知四变形为等腰梯形； 其高为，因此其面积为； 此时五边形面积为 当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为； 显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误； 对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动， 此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确. 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，， 在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为. 取，所以， 所以. 同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上. 如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时， 易知，所以，即的最大值为. . 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在三角形中，，，若三角形有两解，则c的可能取值为（ ） A. B. 1.1 C. D. 1.01 【答案】BD 【解析】 【详解】根据正弦定理可得：，所以， 因为，三角形有两解，则，所以， 所以选项B，D满足条件. 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若复数z满足，则 C. 若，为实数，则的最小值为1 D. 若复数，则z是方程的一个根 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，设，所以， 若，则，所以或，当时，，B错误； 对于C，，则， 即，所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又为实数，所以对应的点在实轴上，到实轴的距离为， 所以的最小值为，C正确； 对于D，，D错误； 11. 在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（ ） A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值10 B. 当时，的最小值为 C. 当时，直线与直线为异面直线 D. 当时，平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意知点到平面的距离恒为，为定值，则三棱锥的体积为定值，判断选项A，由知，点在线段上，将矩形和矩形沿展开为矩形，则，即可判断选项B，由，当时，动点运动到点处时，则，即直线与直线共面，判断选项C，由得动点在线段上，由面面平行的判定定理得平面与平面平行，平面，即可判断选项D. 【详解】由为长方体，动点在平面内，点到平面的距离恒为，，，故选项A正确； 当时，点在线段上，将矩形和矩形沿展开为矩形，则，故选项B正确； 当时，由得，由，故点在上，当时，动点运动到点处时， 由，即，则此时的直线与直线共面，故选项C错误； 当时，由得动点在线段上，连接，，，，，，，平面，平面，则平面，同理平面，，则平面平面，平面,故平面 ，选项D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】设向量与的夹角为， 由题意可得， 则，又，则. 13. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由斜二测画法原理可得平面图形是直角梯形，进而可求；直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积即可． 【详解】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图： 其中，，，， 过作交于，则为的中点， 在中，，， 所以， 将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台， 其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 故此圆台体积为． 故答案为：；． 14. 在中，三个内角对边分别为的角平分线交于点，记内切圆半径为，外接圆半径为，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式得到，进而得到，，进而得到，令，则， ，再结合函数单调性即可求解. 【详解】 由三角形面积公式可得：， 又， 可得：， 即，又，， 所以，又， 所以，所以，即， 即为直角三角形，所以， 又的面积为， 所以，又， 所以， 所以， 所以， 令，则， 则是方程的两根， 所以， 所以 所以，即，所以， 所以， 则 即 的解析式可知其在单调递增，值域为 所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 正四棱锥中，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点. （1）求四棱锥的表面积 （2）求四面体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，因为，所以，然后计算出四个侧面三角形的面积，计算表面积即可； （2）由于为上靠近的三等分点，所以，由体积公式求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 所以， 因为，所以， 所以， ， 所以四棱锥的表面积为； 【小问2详解】 因为， 所以， 又为上靠近的三等分点，所以， 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得到，再结合，化简求解即可； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，即可求解. 【小问1详解】 由得：， 边化角得：， 在中，， 故， 代入上式得：， 展开化简得：， 因为，， 两边同除以得：​， 又， 因此：； 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入， 得： 由，代入，， 得， 即， 因为，故， 故的周长为​. 17. 如图，直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点． （1）证明：//平面； （2）设，求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）证明：连结AC1，交A1C于点O，连结OD， 因为D是AB的中点，所以//， 因为平面 ，OD⊂平面， 所以//平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连结，与交于点O，证明//，根据线面平行的判定定理即可证； （2）结合（1）易知即为异面直线与所成角，先证CD⊥平面，然后根据直角三角形的性质结合余弦定理计算即可 【详解】（1）略 （2）结合（1）易知即为异面直线与所成角， 因为，D为AB的中点，所以CD⊥AB， 又因为该三棱柱是直三棱柱，所以平面 ， 即CD⊥平面 ， , ． 18. 如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求角； （2）若BC的长为，求的取值范围． （3）若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简求值； （2）用正弦定理边化角，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）设，在和中用正弦定理，结合，代入角度关系化简，再利用三角恒等变换，将等式转化为关于的方程，求解. 【小问1详解】 在中，由条件及正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，，故有， 或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； 【小问2详解】 由正弦定理有：， 故，，即， ，， ，，， 的取值范围是. 【小问3详解】 设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，且与的夹角. ①求； ②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小. 【答案】（1） （2）①②最小值为， 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解； （2）①分别得出，，，然后列方程求解即可； ②得出，再结合正弦定理、余弦定理得出的最小值以及何时取最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， ， 所以； 【小问2详解】 ①因为，， ，， ， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去，因为）， 则； ②依题意设，， 因为为AB中点，则， 同理， 则， 在中，，依据余弦定理得， 所以 在中，，由正弦定理， 设，则，， ，， 所以，当时，取最小值，此时取最小值， . 【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出，再结合正弦定理、余弦定理得出的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解. 20. 设的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则________． 【答案】##0.75 【解析】 【详解】如图所示，过点A作交BC于点D. 由 可知，且. 取AB的中点E，则有，从而， ， 由有 (负值舍去)． 21. 四棱锥的底面ABCD为平行四边形，过顶点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点M，N，T．若N为棱PC的中点，则当四棱锥的体积与四棱锥的体积之比最小时，________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由共面且为中点，得约束关系，表示出两个四棱锥的体积比，再用基本不等式求最小值. 【详解】解：如图所示，设，，其中 由于 故有， 又由于N为棱PC的中点，所以， 所以，， ，， 故有 从而 当且仅当时取等号． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $