21.3.3 正方形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3 正方形 人教版(2024)八年级下册 第二十一章 四边形 学习目标 1 掌握正方形的性质以及正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系 2 能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证 知识回顾 矩形的特殊性质有哪些？ 四个角都是直角 对角线相等 轴对称图形，有两条对称轴. 菱形的特殊性质有哪些？ 四条边都相等 两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 轴对称图形，有两条对称轴. 除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系？ 探索新知 正方形 一个角是直角 一组邻边相等 正方形 平行四边形 一个角是直角 矩形 平行四边形 一组邻边相等 菱形 有一组邻边相等的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 一组邻边 正方形 矩形 相等 正方形 一个角是 菱形 直角 正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质 性质 边 对边平行且相等 四条边都相等 角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 猜想：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 2.正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. 数学语言： 在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 对角线互相垂直的矩形是正方形. 通过以上证明，我们得到正方形的判定： 思考2 矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？ 矩形：对边相等且平行 正方形：四边相等且对边平行 矩形添加邻边相等能否得到正方形？ 针对练习 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 B 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 D 正方形的性质 边 对角线 对边平行 四个角都是直角 角 四边相等 相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 A B D C O 对称性 轴对称图形，有四条对称轴 例1 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 解：BE＝DF，且BE⊥DF．理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝90°， ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°． ∴∠BCE＝∠DCF．又CE＝CF， ∴△BCE≌DCF． ∴BE＝DF． 　　正方形既是矩形，又是菱形，是特殊的平行四边形．那么它都有哪些性质？ 　　（3）具有菱形的性质： 　　边：四条边相等． 　　对角线：对角线互相垂直． 　　边：四条边相等． 　　角：四个角都是直角． 　　对角线：对角线相等，且互相垂直平分． 你能给出证明吗？ 2. 如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D， B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB， CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形 AECF 是菱形， ∴AC ⊥ EF，OA = OC，OE = OF． ∵DE=BF，∴OE + DE=OF + BF，即 DO=BO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 又 AC ⊥ BD，∴四边形 ABCD 是菱形． ∵∠ADO=45°，∴∠ADC=2∠ADO=90°． ∴四边形 ABCD 是正方形． 3.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF，过点F作FM⊥BC，垂足为M． （1）求证：BE=CM； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠BEA=90°． ∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°， ∴∠BAE=∠FEM． 在△ABE与△EMF中， ∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF， ∴△ABE≌△EMF(AAS)，∴AB=EM． ∴BC=EM，∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM． 4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求： （1）∠BAD，∠ABC 的度数； （2）AB，AC 的长. 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CA 平分∠BCD，AD∥BC . ∴∠BCD = 2∠ACD = 60°. ∴∠BAD = ∠BCD = 60°. 又AD∥BC，∴∠ABC = 180°－∠BAD = 120°. 【选自教材第79页 习题21.3 第4题】 （2）设 AC 与 BD 交于点 O . 由（1）知∠BAD = 60°，AB = AD， ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB = BD = 6. 在Rt△ABO 中，AB = 6，BO = BD = 3， ∴AO = = = 3 ，∴AC = 2AO = 6 . 4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求： （1）∠BAD，∠ABC 的度数； （2）AB，AC 的长. 【选自教材第79页 习题21.3 第4题】 已知：在菱形ABCD中，AC,BD是两条对角线，且 AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是菱形， A B D C O ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD. ∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD， ∴△AOB ，△BOC是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD是正方形. ∴∠ABC=90〫, 归纳 对角线相等的菱形是正方形. 通过以上证明，我们得到正方形的一个判定： 数学语言： 在菱形ABCD中， ∵ AC=BD, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF． 1 2 3 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF． 1 2 3 证明：(1)∵ ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°. 在△ABF与△ADE中，AD=AB, ∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF, ∴ △ABF≌△ADE(SAS). ∴ AE=AF ,∠1=∠3. (2)∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠2=90°即 EA⊥FA. 5．如图，在正方形ABCD中，点P在AB边上，AE⊥DP于点E，CF⊥DP于点F，若AE＝4，CF＝7，则EF＝________． 3 23 返回 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°.∵AE⊥DP，CF⊥DP，∴∠AED＝∠DFC＝90°. ∵∠ADE＋∠CDF＝∠CDF＋∠DCF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF.∴△ADE≌△DCF(AAS)．∴AE＝DF＝4，DE＝CF＝7.∴EF＝DE－DF＝7－4＝3. 24 $