分式的化简求值、分式的最值问题 专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

分式的化简求值、分式的最值问题专项训练 分式的化简求值、分式的最值问题专项训练 考点目录 分式的化简求值 分式的最值问题 考点一 分式的化简求值 例1．（2026·江西赣州·一模）先化简，再从中选一个合适的数代入求值． 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 例3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 例4．（25-26八年级下·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 变式1．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）先化简，再求值：，其中． 变式2．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 变式3．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中满足． 变式4．（2026·河北张家口·一模）先化简，再求值：，其中． 考点二 分式的最值问题 例1．（25-26八年级下·山东日照·期中）已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 例2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）阅读理解并解决问题 【阅读材料】当且时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． (1)【知识理解】已知函数与函数，则当______时，取得最小值为______； (2)【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 例3．（25-26八年级下·贵州·期中）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，求的最小值． (2)当时，求当x取何值时有最小值?最小值是多少? 变式1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 变式2．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 变式3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $分式的化简求值、分式的最值问题专项训练 分式的化简求值、分式的最值问题专项训练 考点目录 分式的化简求值 分式的最值问题 考点一 分式的化简求值 例1．（2026·江西赣州·一模）先化简，再从中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为（或时，值为） 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： ， 分式有意义要求分母不为：，，即 ， 因此只能从中选择 当时，原式 （或当时，原式）． 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；原式 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 例3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】将括号里的分式通分，再将每个分式因式分解，把除法转化为乘法，约分化简，最后代入数值计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 例4．（25-26八年级下·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式； 当时，原式． 变式1．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式 变式2．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 【答案】， 【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 变式3．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】先化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 变式4．（2026·河北张家口·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 考点二 分式的最值问题 例1．（25-26八年级下·山东日照·期中）已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时， 取最大值，最大值为 【分析】（1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得，根据例题，即可获得答案； （3）将代数式变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，代数式取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）解：∵， ∴， ∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， ∴此时代数式有最大值，最大值为， ∴当时，取最大值，最大值为． 例2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）阅读理解并解决问题 【阅读材料】当且时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． (1)【知识理解】已知函数与函数，则当______时，取得最小值为______； (2)【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 【答案】(1)， (2)故千米时，该汽车平均每千米的运输成本y最低，最低成本为元． 【分析】（1）根据题干的结论求解即可； （2）设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可得出，然后根据题干的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 当时，取得最小值为； （2）解：设该汽车平均每千米的运输成本为y元， 则 ， 故千米时，该汽车平均每千米的运输成本y最低， 最低成本为（元）． 例3．（25-26八年级下·贵州·期中）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，求的最小值． (2)当时，求当x取何值时有最小值?最小值是多少? 【答案】(1)2 (2)时有最小值，最小值是4 【分析】（1）直接利用求解； （2）将变形为，再利用求解． 【详解】（1）解：当时，， ，当且仅当即时取等号， 的最小值为2． （2）解：当时，， ， 当时取等号，此时， 开平方，得， 或（不符合题意，舍去）， 时，等号成立， ∴当时，有最小值，最小值是4． 变式1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 变式2．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元 (4) 【分析】（1）仿照示例，对分式进行变形，可得到结果； （2）对分式变形为，仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，列出人均费用，仿照示例的方法可得到结果； （4）先对式子变形，化为带分式形式，再求最小值，得到结果． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； （2）解： ； ∵分式的值为整数，为整数， ∴， ∴或； （3）解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为， ∵， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； （4）解：由题意得，， ∴， ， 当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4， ∴， ∴． 变式3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 【答案】(1)①③④ (2)①；② 【分析】本题考查了新定义的意义，整式、分式的化简求值以及二次函数的最值求法． （1）根据新定义的“对称式”的定义进行判断，作出选择； （2）已知，则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值． 【详解】（1）解：根据“对称式”的定义，式子①，③，④，属于对称式， 故答案为：①③④． （2）解：∵， ∴，， ①当，时，即，， ∴； ②当时，即， ， ∴对称式的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $