8.3列联表与独立性检验课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.3　列联表与独立性检验 目 标 素 养 1.通过实例,了解分类变量、2×2列联表的统计意义. 2.通过实例,了解独立性检验及其应用. 3.通过学习,提升数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.分类变量与列联表 (1)分类变量 用来区别不同的现象或性质的随机变量称为　分类变量　.分类变量的取值可以用实数表示.  (2)列联表 按研究问题的需要,将数据分类统计,并做成表格加以保存.我们将下表这种形式的数据统计表称为　2×2列联表　. 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.  注:运用古典概型和条件 概率的思路,用2×2列联 表去研究所关心对象的 全体. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 2.独立性检验 (1)利用随机变量χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为　χ2独立性检验　,读作“　卡方独立性检验　”,简称独立性检验. (2)独立性检验公式 (3)基于小概率值α的检验规则 当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α; 当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立. (4)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 微思考 独立性检验的基本思想与反证法的思想有何相似之处? 提示: 反证法 假设检验 要证明结论A 要确认“两个变量有关系” 在A不成立的前提下进行推理 假设该结论不成立,即假设结论“两个变量没有关系”成立,在该假设下计算χ2 推出矛盾,意味着结论A成立 由观测数据计算得到的χ2很大,则在一定可信程度上说明假设不合理 没有找到矛盾,不能对A下任何结论,即反证不成立 根据随机变量χ2的含义,可以通过χ2的大小来判断“两个变量有关系”这一结论成立有多大把握 微训练 下面是一个2×2列联表: 则表中a,b处的值分别为(　　) A.94,96 B.52,50 C.52,54 D.54,52 答案:C 解析:a=73-21=52,b=100-46=54. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a 21 73 X=1 2 25 27 合计 b 46 100 (5)应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节: ①提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释; ②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较; ③根据检验规则得出推断结论; ④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律. 注意,上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整. 课堂·重难突破 一 列联表与等高堆积条形图的应用 典例剖析 1.为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系,分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查,结果如下: 单位:人 组别 阳性、阴性数 合计 阳性数 阴性数 铅中毒病人 29 7 36 对照组 9 28 37 合计 38 35 73 试画出列联表的等高堆积条形图,分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别,铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否存在差异? 解:等高堆积条形图如图所示: 其中两个白色条的高度分别代表 铅中毒病人和对照组样本中尿棕色 素为阳性的概率. 由图可以直观地看出铅中毒病人 与对照组相比,尿棕色素为阳性的频率差异明显,根据频率稳定于概率的原理,知铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在差异. 规律总结 判断两个分类变量是否有差异的两种常用方法 (1)利用数形结合思想,借助等高堆积条形图来判断两个分类变量是否存在差异. (2)一般地,在等高堆积条形图中, 相差越大,两个分类变量存在差异的可能性就越大. 学以致用 1.某学校对高三学生是否爱好某项运动作了调查发现:426名男生中有332人爱好该项运动,594名女生中有213人爱好该项运动.作出等高堆积条形图,利用图形判断爱好该项运动与性别是否有关系. 解:作列联表如下: 单位:人 是否爱好该项运动 性别 合计 男生 女生 爱好 332 213 545 不爱好 94 381 475 合计 426 594 1 020 在爱好的学生中,男生约占61%,在不爱好的学生中,男生约占20%. 相应的等高堆积条形图如图所示: 图中阴影部分表示爱好与不爱好的学生中男生的比例,从图中可以看出爱好的学生中男生占的比例比不爱好的学生中男生占的比例高,可以认为爱好该项运动与性别有关. 二 独立性检验 典例剖析 2.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表: 单位:件 机床 产品质量 合计 一级品 二级品 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析甲机床的产品质量与乙机床的产品质量是否有差异. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 (2)零假设为H0:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量之间无差异. 根据列联表中的数据, 依据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异,此推断犯错误的概率不大于0.01. 互动探究 (变问法)依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析甲机床的产品质量与乙机床的产品质量是否有差异. 解:零假设为H0:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量之间无差异. 根据列联表中的数据,经计算得到 所以根据小概率值α=0.001的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立, 因此可以认为H0成立,即甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异. 规律总结 1.利用χ2进行独立性检验的步骤 (1)零假设:即先假设两变量没有关系. (2)列表:列出2×2列联表. (3)求值:求出χ2. (4)判断:与临界值比较,作出判断. 2.独立性检验的必要性 列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,它具有随机性,因此只能利用列联表的数据和等高堆积条形图粗略判断两个分类变量是否有关系.而χ2给出了不同样本容量的数据的统一评判标准.利用它能精确判断两个分类变量是否有关系. 学以致用 2.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示: 单位:人 学生 是否喜欢甜品 合计 喜欢甜品 不喜欢甜品 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 根据表中数据,根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面是否有差异. 解:零假设为H0:南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面无差异.根据列联表中的数据,经计算,得 根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异,此推断犯错误的概率不大于0.05. 三 独立性检验的综合应用 典例剖析 3.某生物疫苗研究所加紧对某种疫苗进行研究,将某一型号的疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验,得到统计数据如下: 单位:只 是否注射疫苗 是否感染病毒 合计 未感染病毒 感染病毒 未注射疫苗 20 x m 注射疫苗 30 y n 合计 50 50 100 现从所有感染病毒的小白鼠中随机抽取一只,抽到注射疫苗的小白鼠的概率为 . (1)完成下面的2×2列联表: 单位:只 是否注 射疫苗 是否感染病毒 合计 未感染病毒 感染病毒 未注射疫苗 20     注射疫苗 30     合计 50 50 100 (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析注射疫苗是否对预防该病毒有效. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 解:(1)所有感染病毒的小白鼠共有50只,其中注射疫苗的有y只,所以P= ,所以y=10,x=50-10=40,m=40+20=60, n=30+10=40, 所以2×2列联表为 单位:只 是否注射疫苗 是否感染病毒 合计 未感染病毒 感染病毒 未注射疫苗 20 40 60 注射疫苗 30 10 40 合计 50 50 100 (2)零假设为H0:注射疫苗对预防该病毒无效. 根据列联表中的数据, 根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为注射疫苗对预防该病毒有效,此推断犯错误的概率不大于0.01. 规律总结 独立性检验综合应用的方法策略 (1)独立性检验是判断两个分类变量是否相互独立的一种检验方法,主要依据是先计算χ2的值,再与临界值进行比较从而作出判断. (2)统计的特征之一是通过样本的部分数据来推测总体全部数据的特征,因此统计推断可能犯错误,即从数据上体现的只是统计关系而不是因果关系. 学以致用 3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查,得到2×2列联表如下表所示: 单位:人 性别 是否喜爱打篮球 合计 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 男生   6   女生 10     合计     48 已知在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程); (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验分析喜爱打篮球与性别是否有关,说明你的理由; (3)现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为X,求X的分布列与均值. 解:(1)列联表补充如下: 　　　　　　　　　　　　　　 单位:人 (2)零假设为H0:喜爱打篮球与性别无关联. 根据列联表中的数据,经计算得到 根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为喜爱打篮球与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.05. (3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2. 其概率分别为 随堂训练 1.(多选题)在研究肥胖与高血压的关系时,通过收集、整理、分析数据得到“高血压与肥胖有关”的结论,并且依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,推断这个结论是成立的,下列说法中错误的是(　　) A.在100个肥胖的人中至少有99人患有高血压 B.肥胖的人至少有99%的概率患有高血压 C.在100个高血压患者中一定有肥胖的人 D.在100个高血压患者中可能没有肥胖的人 答案:ABC 2.通过对χ2的统计量的研究得到了若干个临界值,当χ2<2.706时,我们认为(　　) A.X与Y有差异,犯错误的概率不超过0.05 B.X与Y有差异,犯错误的概率不超过0.01 C.依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验,没有充分理由认为X与Y有差异 D.不能确定 答案:C 解析:χ2<2.706=x0.1,根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验没有充分理由认为X与Y有差异. 3.(多选题)下面是某地区男、女学生喜欢物理情况的等高堆积条形图,阴影部分表示喜欢物理的百分比.下列说法错误的是(　　) A.性别与喜欢物理无关 B.女生喜欢物理的百分比为80% C.男生喜欢物理比女生喜欢物理 的可能性大些 D.男生不喜欢物理的百分比为60% 答案:ABD 解析:由题图知女生中喜欢物理的百分比为20%,男生不喜欢物理的百分比为40%,故A,B,D错误,C正确.男生比女生喜欢物理的可能性大些. 4.对某小学的学生进行是否吃零食的调查中,得到如下表数据: 单位:人 性别 零食 合计 吃零食 不吃零食 男生 27 34 61 女生 12 29 41 合计 39 63 102 根据上述数据分析,我们得出的χ2约为　　　.(精确到0.001)  答案:2.334 5.学校举行运动会,为了搞好接待工作,组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动,其余人不喜爱运动. (1)根据以上数据完成以下2×2列联表: 单位:名 性别 是否喜爱运动 合计 喜爱运动 不喜爱运动 男 10   16 女 6   14 合计     30 (2)依据小概率值α=0.1的独立性检验,分析性别与喜爱运动是否有关联? 解:(1) 单位:名 性别 是否喜爱运动 合计 喜爱运动 不喜爱运动 男 10 6 16 女 6 8 14 合计 16 14 30 (2)零假设为H0:性别与喜爱运动无关联, 根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为性别与喜爱运动无关. $