8.1成对数据的统计相关性课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦成对数据的统计相关性，涵盖变量相关关系、散点图、样本相关系数等核心知识。通过课前微思考区分函数关系与相关关系，微训练判断相关类型，搭建学习支架衔接课堂典例，助力学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察变量关系，微思考对比函数与相关关系培养抽象能力，以数学思维分析数据，课堂典例绘制散点图、计算相关系数提升直观想象与运算能力，结合恩格尔系数等实际情境用数学语言解释现实问题。学生能提升核心素养，教师可获得系统教学资源与分层训练支持。

8.1　成对数据的统计相关性 目 标 素 养 1.了解变量的相关关系,会画散点图. 2.根据散点图能判断两个变量是否具有相关关系. 3.了解样本相关系数的概念及公式,会判断成对样本数据的线性相关程度的强弱. 4.通过学习,提升数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.变量的相关关系 两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为　相关关系　.  微思考 两个变量间的关系有几类? 提示:两个变量间的关系分为三类:第一类是确定性的函数关系,如正方形边长与面积的关系;第二类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的,这种关系就是相关关系,如某名同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系;第三类是不相关,即两变量没有任何关系. 微训练1 下列变量之间的关系是相关关系的是(　　) A.正方体的棱长与体积 B.光照时间与果树产量 C.匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D.中国羽毛球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩 答案:B 解析:A,C中的两个变量是函数关系,D中的两个变量无相关关系. 2.散点图、线性相关 (1)散点图 每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成统计图,我们把这样的统计图叫做 散点图 . 注:点不连成线.  (2)正相关与负相关 从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量　正相关　;当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势,则称这两个变量　负相关　.  (3)线性相关 一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量　线性相关　.  微训练2 对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断(　　) A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关 答案:C 　(1)　　　　　(2) 解析:由题图可知,图(1)中的数据y随着x的增大而呈现减小的趋势,因此变量x与变量y负相关;图(2)中的数据v随着u的增大而呈现增加的趋势,因此变量u与变量v正相关. 3.样本相关系数 (1)一般地,如果变量x和y正相关,那么关于均值平移后的大多数散点将分布在　第一　象限、　第三　象限,对应的成对数据同号的居多;如果变量x和y　负相关　,那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限,对应的成对数据异号的居多.  (2)样本相关系数 (3)样本相关系数与正相关和负相关的关系 当r>0时,称成对样本数据　正相关　.这时,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常也　变小　;当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常也　变大　.  当r<0时,称成对样本数据　负相关　.这时,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常会　变大　;当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常会　变小　.  (4)样本相关系数r的取值范围为[-1,1].样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度:当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越　强　;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越　弱　.  微训练3 (1)在研究两个变量y与x的相关关系时,分别选择了四组不同的数据,这四组不同的数据得到的样本相关系数r分别为0.25,0.50,0.98,0.80,则其中相关程度最强的样本相关系数是(　　) A.0.25 B.0.50 C.0.98 D.0.80 答案:C 解析:线性相关关系的判断中,样本相关系数为r, |r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强; |r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.故选C. (2)对两个变量x,y进行线性相关检验,得样本相关系数r1=0.785 9,对两个变量u,v进行线性相关检验,得样本相关系数r2=-0.956 8,则下列判断正确的是(　　) A.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量x与y的线性相关程度较强 B.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量x与y的线性相关程度较强 C.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量u与v的线性相关程度较强 D.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量u与v的线性相关程度较强 答案:C 解析:由样本相关系数r1=0.785 9>0知变量x与y正相关,由样本相关系数r2=-0.956 8<0知变量u与v负相关,又|r1|<|r2|,故变量u与v的线性相关程度较强. 课堂·重难突破 一 变量的相关关系 典例剖析 1.(多选题)下列关系中,属于相关关系的是(　　) A.正方形的边长与面积 B.农作物的产量与施肥量 C.出租车费与行驶的里程 D.降雪量与交通事故的发生率 答案:BD 解析:A中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;B中,农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;C为确定的函数关系;D中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系. 规律总结 函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种不确定的关系.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系,具有一定的随机性. 学以致用 1.下列两个变量间的关系不是函数关系的是(　　) A.球的半径与体积 B.角的度数与它的正切值 C.单产为常数时,土地面积与粮食总产量 D.作文水平与课外阅读量 答案:D 解析:因为A项V=πR3,B项y=tan α,C项y=ax(a>0,且a为常数),所以这三项均是函数关系.D项中的两个变量是相关关系. 二 散点图的应用 典例剖析 2.5名学生的化学和物理成绩(单位:分)如下表: 画出散点图,并判断它们是否具有线性相关关系. 学生 A B C D E 化学成绩 80 75 70 65 60 物理成绩 70 66 68 64 62 解:以x轴表示化学成绩,y轴表示物理成绩,得相应的散点图如图所示. 由散点图可知,各点落在一条直线附近,故两个变量线性相关. 规律总结 两个随机变量是否具有相关关系的判断方法 (1)散点图法:通过画散点图,观察点的分布是否存在一定规律,直观地判断. (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断. (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断. 学以致用 2.下列图形中两个变量具有线性相关关系的是(　　) 答案:C 解析:A是一种函数关系;B也是一种函数关系;C中从散点图可看出所有点看上去都在某条直线附近波动,具有相关关系,而且两个变量线性相关;D中的散点杂乱无章,看不出两个变量具有相关关系. 三 利用样本相关系数判断相关性 典例剖析 3.为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人群中随机抽出8人,他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值(单位:mmol/L)、空腹血糖GLU指标值(单位:mmol/L)如表所示. 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 GLU指标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量y与x,z与x的样本相关系数,分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度. 可以看出TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值都是正线性相关,且相关程度很强. 互动探究 (变问法)请问变量y与x,z与x,谁的相关程度更强? 解:∵变量y与x的样本相关系数r≈0.95,变量z与x的样本相关系数r'≈0.99, 又|r'|>|r|, ∴变量z与x的相关程度更强. 规律总结 样本相关系数大小对相关程度强弱的影响: |r|≤1,|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;|r|越接近0,成对样本数据的线性相关程度越弱. 学以致用 3.在一组成对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若这组成对样本数据的样本相关系数为-1,则所有的样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)满足的方程可以是(　　) A.y=- x+1 B.y=x-1 C.y=x+1 D.y=-x2 答案:A 解析:∵这组成对样本数据的样本相关系数为-1, ∴这一组成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)线性相关,且是负相关.故选A. 随堂训练 1.下列各图中,两个变量具有较强正相关关系的散点图是(　　) 答案:B 解析:A中两个变量是函数关系,B中两个变量具有较强的正相关关系,C中两个变量具有较强的负相关关系,D中两个变量不具有任何关系. 2.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和,即居民可用于自由支配的收入.某地区2017年至2023年恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图如图所示. 给出三种说法: ①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系; ②一个地区的恩格尔系数越小,说明这个地区越富裕; ③若家庭收入越少,则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小. 其中说法正确的是(　　) A.① B.② C.①② D.②③ 答案:C 解析:由题中折线图可知,恩格尔系数在逐年下降,居民人均可支配收入在逐年增加, 故两者之间存在负相关关系,说法①正确; 恩格尔系数越小,居民人均可支配收入越多,说明这个地区越富裕,说法②正确; 家庭收入越少,人们为解决温饱问题,收入的大部分用来购买食品,说法③错误. 3.试从各散点图中点的分布状况,直观上判断两个量之间有线性相关关系的是(　　) 答案:C 解析:在A中,点的分布毫无规律,横轴、纵轴表示的两个量之间的相关程度很小. 在C中,点的分布基本上集中在一个带状区域内,横轴、纵轴表示的两个变量之间有线性相关关系. 在BD中,点的分布基本上集中在由某条曲线两侧组成的带状区域内,因此横轴、纵轴表示的两个变量也有相关关系,但不是线性相关关系. 4.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)都在直线2x+y-1=0上,则这组样本数据的样本相关系数r为　　　　　. 答案:-1 解析:因为直线2x+y-1=0的斜率k=-2,且所有样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)都在直线2x+y-1=0上,所以说明这组样本的数据完全负相关,则样本相关系数达到最小值-1. 5.某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念,2020年初至2024年初,该地区绿化面积y(单位:平方千米)的数据如下表: 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号x 1 2 3 4 5 绿化面积y 2.8 3.5 4.3 4.7 5.2 (1)请根据上表提供的数据,画出散点图; (2)判断绿化面积y与年份代号x是否线性相关,并用样本相关系数r说明. 解:(1)根据表中数据,画出散点图如下: (2)由散点图知,这些点都集中在一条直线附近,由此可判断绿化面积y与年份代号x具有线性相关关系. 由于|r|≈0.99很接近1,因此绿化面积y与年份代号x具有很强的线性相关关系,且是正相关关系. $