借助向量法，破解空间角-《中学生数理化》高考数学2026年4月刊

借助向量法， ■山东省菏泽市第 立体几何模块中涉及空间角的大小及其 应用问题，是高考命题的一个基本点，其中包 括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、 平面与平面的夹角。特别地，借助向量法能 够正确突破空间角的求解，真正体现向量法 在研究空间角问题时的作用，成为代数思维 与应用的一个基本方向。 一、异面直线所成的角 已知异面直线1与12所成的角为0，其 方向向量分别是u,v,则cos0=cos(u,v) 、=“。需要注意的是：两异面直线所成■ 的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角 的范围为(0，π)，所以公式中要加绝对值。 例1如图1，在平面四边 形ABCD中，CB=CD=2√5， tan∠CDB=√2，O为对角线BD 的中点，F为BC的中点，E为线 段AD上一点，且BE⊥AO,CO 图1 =AB,AB⊥BD。 (1)求AE的长； (2)在平面四边形ABCD中，以BD为 轴将△BCD向上折起，如图2， 当平面CBD⊥平面ABD时，求 异面直线OF与BE所成角的 余弦值。 解析：(1)因为CB=CD= 图2 2√3，O为BD的中点，所以 CO⊥BD. 因为tan∠CDB=√/2，所以sin∠CDB Mvvvv∽ 采用待定系数法，将对应的参数代入分析求 解，若能求出满足条件的参数值，即为所求； 若不能求出满足条件的参数值，则参数不 在。当涉及存在型的探究性问题时，往往是 采用先猜后证法。 其实，立体几何中的空间距离及其应用 朝斑新须碧酒酒中学生表理化 破解空间角 三中学 李秀真 -品-9os∠CDB=0-9,解得c0 CO√6 =2√2，DO=2,故BD=2DO=4,AB=CO =2√2，则AD=AB十BD2=2√6，AO= /AB+BO2=2V5。 因为AB⊥BD,BE⊥AO,所以∠ABE +∠EB0-,∠AOB+∠EB0-,所以 ∠ABE=∠AOB,所以sin∠ABE= sin∠AOB=AB=6 1),sZABE3·且 n∠BAD-C- 3 =sin∠ABE,故 ∠ABE=∠BAD. 在等腰三角形ABE中，由正弦定理得 sin∠AEB-sin乙ABE,即sn AB AE 2√2 sin2∠ABE AE 2√2 sin∠ABE·则AE=2cos∠ABE=6. (2)当平面CBD⊥平面ABD时，因为 CO⊥BD,平面CBD∩平面ABD=BD, COC平面CBD,所以CO⊥平面ABD。 又AB⊥BD,故以B为坐标原点，BA, BD所在直线分别为x轴，y轴，过点B垂直 于平面ABD的直线为之轴， 建立如图3所示的空间直角坐 标系Bxy之。 由(1)知，AE=W6= AD,故E为AD的中点，易 1 图3 得O(0,2,0),F(0,1,√2)，B(0,0,0),E(2, M 问题，可以依据不同的距离性质转化为点点 之间的距离问题，或从代数思维切入，以向量 法来运算：或从几何思维切入，以几何法来推 理。无论从哪种方法切入，都能很好地解决 空间距离及其应用问题。 (责任编辑王福华) 21 中学生表理化智数学创新婴餐膏 2,0),所以OF=(0,-1,√2)，BE=(2,2,0)。 设异面直线OF与BE所成角为0，则 cos 0-I cos (OF,BE)BE OFBE 1-2L=② √5×√6 3 点评：利用向量法求解异面直线所成角 的一般步骤为：(1)建系，选择三条两两垂直 的直线建立空间直角坐标系；(2)找方向向 量，确定异面直线上两个点的坐标，用坐标表 示两异面直线的方向向量；(3)计算，利用向 量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两 异而直线所成角的范国是(0，]，即两异西 直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦 值的绝对值。 二、直线与平面所成的角 如图4，直线AB与平 面a相交于点B,设直线 AB与平面&所成的角为0， 直线AB的方向向量为u, 图4 平面a的法向量为n,则 u·n sin0=cos〈u,n〉= ulnT。 需要注意的 是：直线与平面所成角的范围为0,2」 ,而两 向量夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝 对值。 例2如图5，在圆柱OQ 中，其对应的轴截面为四边形 ABCD,其侧面积为6√3π，点P 在其下底面圆周上，且△OPB 是等边三角形，对应边长为√3。 图5 (1)若G是DP的中点，求 证：AG⊥BD: (2)若满足DG=2GP,求GB与平面 ABCD所成角的正弦值。 解析：(1)设圆柱OQ的底面半径为r,高 为h。因为△OPB是边长为√3的等边三角 形，所以∠ABP=60°，r=√3。因为圆柱OQ 的侧面积为63π，所以2πrh一6√3π，解得 h=3。 22 在下底面圆O中，∠APB=90°，∠ABP =60°，所以AP=BP·tan60°=3。 因为DA⊥平面APB,所以DA⊥BP, DA⊥AP。因为∠APB=90°，所以AP⊥ BP。又AP∩AD=A,且AP,ADC平面 APD,所以BP⊥平面APD。因为AGC平 面APD,所以BP⊥AG。 在△DAP中，因为AD=AP=3,G是 DP的中点，所以DP⊥AG。又BP∩DP= P,且BP,DPC平面BPD,所以AG⊥平面 BPD。因为BDC平面BPD,所以AG⊥ BD。 (2)在下底面圆O内，过O作Ox⊥AB, 连接OQ。以O为坐标原点，Ox,OB,OQ的 方向分别为x轴，y轴，之轴的 正方向，建立如图6所示的空 间直角坐标系Oxyz,则B(0, 5.0).D0,-8,3).r(3 x 2o. 图6 因为DG=2GP,设G点坐标为(xo,y, ),所以(。十，。-3)=2（名-， √3 一y,-0),可得x=1,y。=0,,=1,所 以G(1,0,1),故GB=(一1,3，-1). 易知n=(1,0,0)是平面ABCD的一个 法向量，设GB与平面ABCD所成的角为O, 则sin0=cos(G元，n1=1Gi·n=5 1GB1|n15 所以GB与平面ABCD所成角的正弦 价为汽 点评：利用向量法求解直线与平面所成 角的一般步骤为：(1)建坐标系，根据图形与 已知条件，构建适当的空间直角坐标系； (2)求法向量，设直线AB与平面α所成的角 为日，求出平面a的法向量n与直线的方向向 量A店：(3)用公式，c0s(A弦，n)=A京.n； 1ABIn (4)得结论，利用sin0=cos(AB,n)及直线 与平面所成角的范围，即可得出：直线与平面所 成的角。需特别注意的是：直线与平面所成的 角的正弦值等于向量夹角的余弦值的绝对值。 三、平面与平面的夹角 (1)平面与平面的夹角。 如图7，在平面α与平面B相交 所形成的四个二面角中，将不 大于90°的二面角称为两个平 面的夹角。在实际应用中，若 图7 这两个平面的法向量分别是 n1和n2,则这两个平面的夹角即为n1和n2 的夹角或其补角。设平面α与B的夹角为0， 则cos0=|cos〈n:,n2〉| n1n,。(2)二面角。二面 n1·n2 角a-l-B为0或π一0，设二面角 图8 的大小为9，则|cos9|=|cos0 -如图8图9所示 需特别注意二面角与两个平面 的夹角的区别与联系，二面角 图9 的范围为[0，π]，两个平面的夹 角的范用为[0，] 例3如图10所示，四 棱柱ABCD-A1B1C1D1的底 面ABCD是边长为2的正方 形，侧面ADD1A1⊥底面 ABCD,AA1=2,∠A1AD= 图10 不E是BC的中点。 (1)求证：D1B∥平面C1DE; (2)求二面角E-DC1-C的余弦值。 解析：(1)如图11，连接 DC并交DC1于点F,连接 EF。由四棱柱ABCD AB:C1D:可知，四边形 DCC1D1是平行四边形，所 图11 以F是线段DC的中点。 因为E是线段BC的中点，所以EF∥D:B。 又因为EF二平面C,DE,DB士平面 C1DE,所以D1B∥平面C1DE。 (2)如图11，过A,作A,O⊥AD于点 解器数单新题樱器晋中学生教理化 0,则A0=AA,·cos∠A1A0=V2X2 2 1,所以O是AD的中点，且A1O=1。因为 A,O⊥AD,侧面ADD1A1⊥底面ABCD, A,OC平面ADD1A1,平面ADD:A1∩平面 ABCD=AD,所以A1O⊥平面ABCD。 同理可证AB⊥平面ADD1A,。 以O为坐标原点，过O与AB平行的直 线为x轴，OD,OA1所在直线分别为y轴，之 轴，建立如图11所示的空间直角坐标系 Oxy≈，则D(0,1,0),C1(2,2,1),C(2,1,0), E(2,0,0),所以DC=(2,1,1),DC=(2,0, 0),DE=(2,-1,0)。 设平面DCC:的一个法向量为n1=(x:, DC1·n1=2x1+y1+1=0, y1),则 Dd·n1=2x1=0, 令y= 1,得1=一1，所以n1=(0,1,-1)。 设平面DEC1的一个法向量为n2=(x2, DC·n2=2x2十y2+2=0, y2,22),则 令x2= DE·n2=2x2-y2=0, 1,得y2=2,2=-4,所以n2=(1,2,-4)。 n1·n2 所以1cos(n,n:〉|=n,n= 6 上2，即三面角EDCC的余 √2×/21 弦值为。 ,点评：利用向量法求解二面角的平面角 (或平面与平面的夹角)的关键步骤在于寻找 两个关系向量：(1)找法向量；(2)找与棱垂直 的方向向量。注意利用两平面的法向量的夹 角来确定相应的二面角大小时，要根据实际 图形来分析与判断。如果题千是夹角，则一 定是锐角或直角。 其实，利用向量法求解空间角的关键在 于根据具体问题的场景及其题设条件，借助 相应的空间直角坐标系的构建，利用点的坐 标、空间向量的坐标等，结合对应的运算公式 来分析与求解。向量法可以巧妙地将空间想 象化为代数运算，从而降低问题难度，优化解 题过程，提高思维品质，提升解题效益。 (责任编辑王福华) 23