基于全概率公式的概率递推问题的求解策略-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

基于全概率公式的概 ■福建省永春第 在高中概率学习中，概率递推问题因涉及 多阶段状态转移、逻辑链条复杂，成为同学们 普遍反映的难点题型。这类问题常以小球移 动、比赛博弈、细胞分裂等实际场景为载体，核 心特征是某一阶段的概率依赖于前一阶段的 状态，无法直接计算目标概率。全概率公式作 为分解复杂事件的核心工具，能将多阶段间题 转化为有序的递推关系，为解题提供清晰路 径。本文结合典型题型，优化解题方法，深入 探析全概率公式在概率递推问题中的应用逻 辑与实操技巧，帮助同学们突破解题瓶颈。 一、基于全概率公式的概率递推问题 全概率公式的基本形式为：设事件A,, A2,…,A,是样本空间2的一个划分（即A1, A2,…,A,两两互斥，且A1UA2U…UA。 2),且对任意i∈{1,2，…，n},有P(A)>0, 则对任意事件B,B二2，有P(B)=P(A:)· P(BA:)。其核心思想是“化整为零”，将复 杂事件的概率，分解为各个互斥前提条件下 的条件概率加权和，权重为前提条件发生的 概率。 概率递椎问题的本质是“状态依赖”，即 后一阶段的概率由前一阶段的状态决定，状 态之间的转移遵循特定概率规律。全概率公 式的核心作用是：以“前一阶段的所有可能状 态”作为样本空间的划分，建立当前状态概率 与前一阶段状态概率的递推关系。 二、基于全概率公式的概率递推问题的 四步解法 结合全概率公式的原理和概率递推问题 的特征，可总结出系统的四步解题方法。第 一步是定义状态变量，根据问题的实际情境， 定义合适的状态变量P,,明确其含义，通常 P。表示“经过n个阶段后，事件处于某一特 定状态的概率”。第二步是划分样本空间，即 确定状态转移路径，分析第n十1阶段状态的 所有可能来源，也就是第n阶段的所有可能 状态，这些状态构成样本空间的一个划分，需 解题篇创新题追根溯源 高二数学2026年4月 中学生教理化 率递推问题的求解策略 中学 张隆亿 确保各状态两两互斥且覆盖所有可能情况。 第三步是利用全概率公式建立递推关系，对 第n十1阶段的目标状态概率，根据全概率公 式，将其表示为第n阶段各状态概率与对应 状态转移条件概率的乘积之和，从而得到递 推关系式。第四步是求解递推关系式，根据 递推关系式的类型（如等差型、等比型、线性 递推型)，结合初始条件，求解通项公式，进而 得到目标阶段的概率，常用的求解方法包括 构造等比数列、累加求和、数学归纳法等。 三、典型例题解析 (一)小球移动类递推问题 例1如图1，一个三 角形被分成9个房间，称有 公共边的2个房间为相邻 房间，一个小球每次从一个 房间等概率地移动到相邻 房间，则小球从房间C出 图1 发，20次移动后到达房间H的概率为一。 分析：解题的关键是通过列举分析得出 小球从房间C出发，经过偶数次移动后一定 在房间C,F,H之一。先定义状态变量，设 p。为小球从房间C出发经过n次移动后到 达房间H的概率，n为偶数。再划分样本空 间，小球经过n一2次移动后必在C,F,H三 个房间之一，因此第n一2阶段的状态构成样 本空间的划分。然后建立递推关系，根据全 概率公式，小球从C或F经过2次移动到H 的条件概率为合，从H经过2次移动到H 2 1 的条件概率为3，故p,=6(1一p。:）+ 3力。。最后求解递推关系，初始条件为力： 日将递推关系式变形为力，一言-名· (o一专）：构造等比数列{一》，计算 可得所求概率。 解：设小球从房间C经过n次移动后到达 41 解题篇创新题追根溯源 中学生数理化离数学202年月 房间H的概率为p,由题意可知n为偶数。 小球在房间C,2次移动的路径有：C A→C,C>B>C,C>D>C,C>B>F,C→ D→H。小球在房间F,2次移动的路径有： F→E→F,F→B→F,F→G·F,F→B→C, F-,G,H。小球在房间H,2次移动的路径 有：H→IH,H>GH,H→D→H,H DC,H-GF。 所以小球从房间C出发，经过偶数次移 动后一定在房间C,F,H之一，且当小球经 过n次移动后到达房间H时，第n一2次移 动后必在房间C,F,H之一。 小球从房间C或F经过2次移动后到 达房间H的概率均为分×号-合 .11 小球从房间H经过2次移动后到达房 间H的概率为+了×+×名-号。 所以p.=日(1-P)+号p: P:+石(n=26,k≥2，k∈N),则p.-号 1 因为p:=6,p:一3 6,所以数列 P一号}是以一合为首项，3为公比的等比 数列，p-=一×（日，则p g-(合)门]m∈N) 所以。名×-（合）门-品 (二)比赛胜负类递推问题 例22025年多哈世界乒乓球锦标赛， 中国队组合王楚钦、孙颖莎以3：1战胜日本 队组合吉村真晴、大藤沙月，连续第三次夺得 世乒赛混双冠军。假设2026年的一次乒兵球 比赛中，S组合与D组合相遇。每局比赛必须 决出胜负，已知每局比赛D组合获胜的概率 为行，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达 到净胜3局者获得比赛胜利并结束比赛（净胜 42 n局指的是一方比另一方多胜m局)。若比 赛局数不限，求D组合获得比赛胜利的概率。 分析：设事件A表示“比赛局数不限，D 组合获得比赛胜利”。设比赛过程中，D组合 与S组合累计所赢局数的差为Y。先定义状 态变量，P(Y=n)表示Y=n时，最终D组合 获得比赛胜利的概率，其中n∈{一3，一2，一1， 0,1,2,3}。再划分样本空间，局数差为n时， 下一局D组合获胜或失败，两种情况构成样 本空间的划分。然后建立递推关系，当前局数 差为”时，下一局D组合获胜的概率为行同 数差变为n十1，失败的概率为号，局数差变为 ”-1,因此递推关系为P(Y=)=P(Y=n +1)+4P(Y=n-1D,整理得P(Y=n+1) 5 P(Y=n)=4[P(Y=n)-P(Y=n-1)]。最 后求解递推关系，可知{P(Y=n十1)一P(Y= n)}是等比数列，结合初始条件P(Y=一2) P(Y=一3)=P(Y=一2)，运用累加法，计算可 得D组合最终获胜的概率。 解：设事件A表示“比赛局数不限，D组 合获得比赛胜利”。设比赛过程中，D组合与 S组合累计所赢局数的差为Y,P(Y=n)表 示Y=n时最终D组合获得比赛胜利的概 率，其中n∈{-3，-2，-1,0,1,2,3}。 由题意知，P(Y=3)=1,P(Y=一3)= 0,P(Y=0)=P(A),每局比赛D组合获胜 的概率为号，S组合获胜的概率为专· 4 由全概率公式得，P(Y=n)=吉P(Y n+1)+5P(Y=n-1),即P(Y=n+1) P(Y=n)=4[P(Y=n)-P(Y=n-1)]。 则(P(Y=n十1)一P(Y=n)}构成了以 P(Y=-2)-P(Y=-3)=P(Y=一2)为首 项，4为公比的等比数列。 由递推关系得，P(Y=3)一P(Y=2)= 4P(Y=-2),P(Y=2)-P(Y=1)= 4P(Y=-2),P(Y=1)-P(Y=0)=43P(Y =-2),P(Y=0)-P(Y=-1)=4P(Y= -2),P(Y=-1)一P(Y=一2)=4P(Y= 一2)，P(Y=一2)一P(Y=-3)=P(Y=一2)。 以上式于累加得，P(Y=3)一P(Y= -3)=(1+4+4+43+4+45)P(Y=-2) =1365P(Y=-2)=1,解得P(Y=-2) 1 1365。 所以P(A)=P(Y=0)-P(Y=一3) =(1+4+16)P(Y=-2)=1365=65° 211 故若比赛局数不限，D组合获得比赛胜 利的慌率为品： (三)细胞分裂类递推问题 例3一种特殊的单细胞生物在一个 生命周期后有p(0<p<1)的概率分裂为两 个新细胞，1一p的概率分裂为一个新细胞， 随后自身消亡。新细胞按相同的方式分裂， 并且每个细胞的分裂情况相互独立，如此繁 衍下去。某实验人员开始观察一个该种单细 胞生物经过n(n≥2，n∈N")个生命周期的 分裂情况，将第k(k=1,2,…,n)个生命周期 后的活细胞总数记为随机变量X。。已知在 Xe=m(1≤k<n,1≤n≤2，k,n∈N”)的 条件下，X+1的期望称为条件期望E(X+1 X。=m),其定义为E(X+1|Xs=m)= i·P(X+1=iX=m),试求条件期望 E(Xk+1|Xs=m)和Xm的期望E(Xm)。 分析：先求出在X。=m的条件下，X+ 的可能取值，再求出对应的条件概率，然后求 出E(X+1X=m)。求解E(X)=公i· P(X,=i)的关键是求出P(Xn=i)。先定 义状态变量经过个生命周期后活细胞总数 为i的概率P(X,=i)。再划分样本空间，由 于单细胞生物分裂有两种情况，所以第n一1 个生命周期后的活细胞总数1,2，…，2”-1为 样本空间的划分。然后根据全概率公式得 1 P(X,=i)=>P(X-=j)P(X.=ilX.- i=】 =j)。最后求解递推关系E(Xm)=(1十p)· E(Xm-1),结合初始条件E(X,)=1十p,利 用等比数列通项公式求得E(X,)。 解：在Xk=m的条件下，Xk+1的可能取 数攀愿跨探膏中学生款理化 解题篇创新题追根溯源 值为m,m十1，m十2，…，2n。 则P(X+1=i|Xk=m)=0,i=1,2,…, m-1,2m+1,2m+2,…,2+1。 P(X+=iX=m)Ci (1- p)m-p-m,i=m,n+1,…,2n。 2k+1 因此E(X+1X。=m)=∑i·P(X+1 =iX4=m)=2i·C"(1-p)2-p-m= mC (1-p)p+i C.(1-B)"p =m(1-p+p)"+3m·C(1-b)p =m十mp2C(1-p)-p1=m十mp(1 =1 -p+p)m-1=m(1+p)。 由全概率公式得P(X.=i)= P(X。-1=j)P(X。=i|X。-1=j),i=1,2, i= 3,…,n。 则E(X.)=i·p(X.=i)=[i· I ∑P(X。-1=j)P(X。=i|X。-1=)]= g[PX.1=)1·P(X.=iX=j门 -分[P(X.4=)E(X,X.1=jD]=1+ j=1 p)2j·P(X。-1=j)=(1+p)E(X。-)。 i=1 故数列{E(X.)}是以E(X,)为首项，(1 +p)为公比的等比数列。又E(X:)=1·(1 一p)+2p=1+p,所以E(Xm)=(1+p)”。 (四)乒乓球加分赛类递推问题 例4乒兵球比赛规则规定：在双方打 成10平后，领先两分者获胜。在某校组织的 乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了 10平。已知下一球乙同学得分的概率为号， 且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分， 则他在下一球得分的概率为3，若乙同学在 本球中未得分，则他在下一球得分的概率为 子，求乙同学最终获胜的概率。 分析：设事件C为“乙赢了本球”，事件 M为“乙赢了上一球”，设事件D:(i=一1， 43 中学生表理化解题皱学新车贸酒 0,1)为“当乙同学分数与甲同学分数之差为i 时，最终乙同学获胜”。分i=1,i=一1，i=0 三种情况讨论。先定义状态变量P(D1), P(D,)表示当乙同学分数与甲同学分数之差 为1时，最终乙同学获胜的概率。再划分样 本空间，当分数差为1时，下一球乙得分或失 分，两种情况构成样本空间的划分。然后建 立递推关系，当分数差为1时，下一球乙得分 的概率为号，此时乙获胜，下一球乙失分的概 率为号，此时乙获胜的概率为P(D,M). 最后根据全概车公式得P(D,)=号+日。 1 P(D。|M)。同理可求i=一1和i=0的概 率表达式。从而解方程组求出P(D。M)的 解，即乙同学最终扶胜的概率。 解：设事件C为“乙赢了本球”，事件M 为“乙赢了上一球”。设事件D:(i=一1,0， 1)为“当乙同学分数与甲同学分数之差为i 时，最终乙同学获胜”。 当i=1时，乙肯定赢了上一球，此时 2 P(C)=3,若赢球则乙直接赢得比赛，若输 球则乙获胜的概率为P(D。|M),所以 P(D,)=号+P(D,1M).① 当i=一1时，乙肯定输了上一球，此时 1 P(C)=3,若输球则输掉比赛，若赢球则获 胜的概率为P(D。|M),所以P(D-1)= P(DM)。@ 当i=0时，若乙赢了上一球，此时P(C) -号，若靠球则获胜的概率为P(D,),若输 球则获胜的概率为P(D1),所以P(D。M) -P(D,+PD:@ 若乙输了上一球，此时P(C)-子，同理可 得PD,IM)=专PD)+号PD,.@ 又初始状态为i=0,且P(C)=号，故乙 44 同学最终获胜的概率等价于P(D。|M)。 联立D②③④式，解得P(D,M)=名。 所以乙同学最终获鞋的概率为会。 四、解题误区与注意事项 在解决概率递推问题时，常见的解题误 区有以下几类：一是状态定义模糊，未明确状 态变量的含义，导致后续状态转移分析混乱； 二是样本空间划分不全，遗漏部分可能的前 序状态，导致递推关系不准确；三是条件概率 计算错误，混淆“状态转移概率”与“初始概 率”，未能准确计算P(B|A:):四是递推求解 方法不当，面对非线性递推关系时，未能合理 构造等差或等比数列，导致无法求解通项。 为避免这些误区，解题时需注意以下几 点：状态定义需简洁明了，尽量选择能反映事 件核心特征的状态变量；确保样本空间划分 的完备性与互斥性，划分的各前序状态必须 覆盖所有可能情况，且两两互斥；准确分析状 态转移概率，明确不同前序状态下转移到目 标状态的条件概率，避免主观臆断：灵活运用 递推求解技巧，根据递推关系式的类型，选择 构造数列、累加求和等合适的方法，必要时可 结合初始条件验证结果的合理性。 五、结语 全概率公式为高中概率递推问题提供了清 晰的解题框架，其核心在于通过状态定义与样 本空间划分，将复杂的多阶段概率问题转化为 有序的递推关系。本文结合典型题目，总结“状 态定义→划分样本→建立递推求解通项”四 步解法，适用于多阶段随机事件的概率计算问 题。在学习过程中，同学们应深刻理解全概率 公式的本质，熟练掌握状态分析与递推构建的 技巧，不断提升逻辑推理和数学建模能力，为解 决复杂的概率问题奠定基础。 注：本文系教育部福建师范大学基础教 育课程研究中心2025年开放课题“基于 UbD模式的高中数学大单元教学实践研究” (课题批准号：KCA2025401)的阶段性研究 成果。 (责任编辑赵待)