利用导数求参数的取值范围方法初探-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

解题篇经典题突破方法 高二数学2026年4月 中学生数理化 利用导数求参数的取值范围方法初探 ■北京实验学校 刘丙勋（正高级教师） 利用导数求参数的取值范围是高考数学 所以a≥1。 的高频考点，集中考查函数、导数、不等式的 例2已知函数f(x)=x3一ax-1。 综合应用。其核心是将问题转化为函数最 (1)若f(x)在区间(1，十∞)上为增函 值、零点分布或不等式恒成立、能成立问题， 数，求a的取值范围： 通过求导分析单调性、极值，进而建立关于参 (2)若f(x)的单调递减区间为（一1,1）， 数的不等式（组）求解。解题的关键在于熟练 求a的值。 运用参变分离与分类讨论两大方法，并严谨 解析：(1)因为f'(x)=3x2一a,且f(x) 处理端点与临界情况。此类题型能有效区分 在区间(1，十∞)上为增函数，所以f'(x)≥0 学生的逻辑思维、转化与化归能力，是体现高 在(1，十∞)上恒成立，即3x2一a≥0在(1， 考选拔功能的关键所在。现将此类问题的常 +c∞)上恒成立，也即a≤3x2在(1，+∞)上 见方法探究如下。 恒成立，则a≤3。 一、利用单调性求参数的取值范围 经检验，当a=3时，符合题意。 例1已知函数f(x)=(2x+1)· 故a的取值范围是（一∞，3]。 ln(-x)-ax(a∈R),若f(x)在区间[-1， (2)由题意知a>0。 0)上单调递减，求a的取值范围。 因为f(x)=x3一a.x一1，所以f'(x)= 3x2-a。 解析：f'(x)=21n(-x)+2x十1 x 由'(x)<0,得-√<x<√。故 21n(-x)+1+2-a. x fx)的单洞递减区间为(-√侣√会) 设g(x)=21n(-x)+1+2-a,x∈ 又f(x)的单调递减区间为（一1,1），故 [-1,0)。 因为f(x)在区间[一1,0)上单调递减 =-1且=1 一3 所以当x∈[一1,0)时，g(x)≤0恒成立。 解得a=3。 当x∈[-1,0)时，g'(x)=2-1 方法点拨：若f(x)在区间I上单调递 x r? <0, 增，则f'(x)≥0在区间I上恒成立。若 故g(x)在[一1,0)上单调递减，g(x)的最大 f(x)在区间I上单调递减，则f'(x)≤0在 值为g(-1)=1-a≤0，即a≥1。 区间I上恒成立。求解时注意验证导数恒为 经检验，当a=1时，符合题意。 零的情况。 27 中学生表理化解题皱学经鼻案破方法 二、利用极值求参数的取值范围 故当x=n时，函数fx承得极大值。 例3已知函数f(x)=e(x+ax+ 1),若f(x)在（一1,1）上恰有一个极小值点， 令na 1>1,解得0a。 求实数a的取值范围。 解析：由f(x)=e（x十ax+1),得 所以a的取值范国是(Q,) f'(x)=e[x2+(a+2)x+a+1]。 方法点拔：根据极值点求参数的取值范 令f'(x)=0,得x1=-a-1,x=-1。 围，首先要考虑导函数的零点是否在函数的 ①若x1≤x2,则a≥0，f'(x)≥0在 定义域内，然后验证导函数的零点是不是变 (-1,1)上恒成立。 号零点，若满足，则是极值点，否则，不是极值 因此，f(x)在（一1,1）上单调递增，无极 点。导数为零的点不一定是极值点。解题时 值，不符合题意。 还要注意参数本身对导数值的影响。 ②若x1>x2,则a<0,f'(x)与f(x)的 三、利用公切线求参数的取值范围 变化情况如表1所示。 例5设函数f(x)=e1,g(x)= 表1 lnx十b,若总存在两条直线和曲线y=f(x) 0,一1》 -1 与y=g(x)都相切，求b的取值范围。 解析：因为f'(x)=e1,所以f(x)= '(x) 0 0 el在(m,em1)处的切线方程为y=em-lx十 f(x) 极大值 极小值 (1-m)em-1 故f(x)在（一∞，-1），（一a一1，十∞） 因为g'(r)=,所以g()=nx+6 上分别单调递增，在（一1，一a一1）上单调 1 递减。 在点(n,lnn十b)处的切线方程为y= 若f(x)在（一1,1）上有且只有一个极小 lnn+b-1。 值点，则一1<-a-1<1,即-2<a<0。 综上，a的取值范围是（一2,0）。 由题意得 例4已知函数f(x)=x-ae,a∈ (1-m)em-1=lnn+b-1。 R,若函数f(x)在区间(1，+∞)内存在极 则(m-1)em-1一m+b=0。 值，求a的取值范围。 令h(x)=(x-1)e-1一x+b,则h'(.x) 解析：①当a≤0时，f'(x)=一ae+ =xe-1-1。 1>0,函数f(x)在区间（一∞，十∞）上单调 令9(x)=xe1-1,则p'(x)=(x+1)· 递增，故f(x)在区间(1，+∞)上无极值。 el。 所以a≤0不符合题意。 当x<-1时，p'(x)<0； ②当a>0时，令f'(x)=-ae十1=0， 当x>-1时，9'(x)>0。 解得x=na 1 所以函数P(x)在（一∞，一1）上单调递 减，在（一1，十∞）上单调递增。 当x1n时/(2)>0，西数f)在 故函数h'(x)在（一∞，一1）上单调递 减，在（一1，十∞）上单调递增。 区间(n)上单调递塔： 易知h'(1)=0。 当x≤0时，h'(x)<0,h(x)单调递减； 当x>1n时，f'(x)<0,函数f(x)在 当0<x<1时，h'(x)<h'(1)=0,h(x)单调 递减；当x>1时，h'(x)>0,h(x)单调递增。 区间（加合+e一）上单调递减。 所以h(x)mim=h(1)=b一1。 28 解樱数攀典驱赛整方清中学生款理化 若总存在两条直线和曲线y=f(x)与 x 1 y=g(x)都相切，则曲线y=h(x)与x轴有 In x 一mx十m≤2在[e,e门上能成立。 两个不同的交点，即h(1)=b一1<0，解得 令g(x)=1nx 一nx十m(ex≤e2),则 b1。 1 易知h(b-1)=(b-2)e-+1>- e 1>0。由切线不等式e2>x+1,知e26>3 9'(x)=lnx-1 (In z)2 -m= (-) b(b<1)。 故h(3-b)=(2-b)e2-+2b-3>(2 4一m,e≤x≤e,则p'(x)的值域为 68-0+20-3=(6-2》+>0. [m-m] 17 所以b的取值范围为（一∞，1）。 ①当-m≥0，即m≤0时，p'(x)≥0，故 方法点拨：求解公切线问题时，先分别设 p(x)在[e,e]上单调递增。 出两个切点，再表达两个切线方程，利用公切 线的斜率相等且截距也相等建立方程组，然 g(x)=g(e)=c-me十m<,解得 后解出切点坐标，最后求出公切线方程。涉 1 及公切线的条数问题还需要判断方程解的个 e-1>0。与m≤0相矛盾，不符合题意。 数。同时注意“在某个点的切线”与“过某个 点的切线”的区别。 }-m≤0，即m≥时gx)≤0. ②当 四、不等式能成立，求参数的取值范围 p(x)在[e,e]上单调递减。 例6已知函数f(x)=xe。 (1)求函数f(x)的单调区间： gx)a=g(e)号-em十m≤分，解 2 (2)当x∈[-2,2]时，求使得不等式 1 得m≥ f(x)≤2a+1能成立的实数a的取值范围。 2… 解析：(1)f'(x)=x2e+2xe。 ③当0<m<子时，存在唯一的，∈(e, 令f'(x)=x2e+2xe>0,即x(.x+2)· e),满足9'(x)=0。 e>0。 判断出f(x)在区间（一∞，一2），(0， 当x∈(e,x)时，p'(x)<0: 十∞)上分别单调递增，在区间（一2,0）上单 当x∈(xo,e)时，p'(x)>0。 调递减。 故p(x)在(e,xo)上单调递减，在(x。, (2)由(1)知，f(x)在区间(-2,0)上单 e)上单调递增。 调递减，在区间(0,2)上单调递增，故f(x)m 9（x)mn=p(x。) =f(0)=0。 In ro 当x∈[一2,2]时，不等式f(x)≤2a十1 1 能成立，需2a+1≥f(x)mim,即2a+1≥0，解 得a≥-。 例7已知函数f(x)=ln工，若关于 与0<m<4相矛盾，不符合题意。 综上所述，实数m的取值范围为 x的不等式7十m≤mr+2在[e,c]上 1 1 能成立，求实数m的取值范围。 [g+) 解析：依题意得，十m≤mx十子，即 方法点拔：根据能成立求解参数的取值 范围时，需要分离变量，构造新函数，直接把 29 中学生表理化解题皱学经鼻案破方法 问题转化为函数的最值问题，从而求出参数 的取值范围。但压轴题中很少碰到分离参数 当x∈(n)时h'x>0 后构造的新函数能直接求出最值的情况，进 当x∈(n。。十)时e)0 行求解时若参变分离不易求解，就要考虑利 用分类讨论法和放缩法。 故k(x)=a(n。)=(c-a)… 五、不等式恒成立，求参数的取值范围 -ma+1n1=-1-ma十1n 1 例8已知函数f(x)=ax2-lnx ae -e x,若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取 若f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立， 值范围。 1 则-1一ma十lna一e≤o(a>e)恒成立，即存 解析：由f(x)≥0恒成立，得ax≥lnx 1 +x在(0，+∞)上恒成立。 在实数a,使得-1一ma+ln。—。≤0成立。 变形得a≥+在0，+)上恒成立 则ma≥1n11,m≥-n(ae a-e a 1 In x 令g(x)= xF(x>0). 十 (aze). a 则冬’x)二1+”21 2 令F(a)= ln(a-e_1,则： x 1-21nx=二x+1-2lnx a 2x --In(a-e) a-e 1 F'(a)= 令h(x)=-2lnx-x+1(x>0)。 a 易知h(x)=-21nx-x+1在(0， a +ln(a-e2+ 十∞)上单调递减，且h(1)=0。 a'(a-e) a 当x∈(0,1)时，h(x)>0,g'(x)>0; =二a+(a-eln(a-e)+a-e a'(a-e) 当x∈(1，+∞)时，h(x)<0,g'(x)< (ae)ln(a一e)-e 0。 a(a-e) 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1， 当e<a<2e时，F'(a)<0; 十∞)上单调递减，g(x)mx=g(1)=1,即 当a>2e时，F'(a)>0。 a≥1。 实数a的取值范围为[1，+∞)。 则F(a)mn=F(2e)=-1 例9设函数f(x)=e+1一ma,g(x) 故m≥一 ，实数m的取位范围是 =ae一x(m,a为实数)，若存在实数a,使得 ∫(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，求实数m 的取值范围。 方法点拨：不等式恒成立时求参数的取 解析：令h(x)=f(x)-g(x)=e1 值范围，可转化为最值问题，分离参数得a≥ ma-ae+x=(e-a)e-ma+x. f(x)恒成立转化为a≥f(x)x即可，a 则h'(x)=(e-a)e+1。 f(x)恒成立转化为a≤f(x)mia即可，也可移 若e一a≥0，可得h'(x)>0,函数h(x) 项讨论最值f(x)mm≥0或f(x)mx≤0恒成 为增函数，当x→十∞时，h(x)·十∞，不满 立。当最值或极值不好求时，需要构造新的 足h(x)≤0对任意x∈R恒成立。 等式进行分析，要考虑利用分类讨论法，注意 1 若e-a<0,由h'(x)=0,得e= 区分恒成立和存在性问题。 ae (责任编辑徐利杰) 1 则x=ln la-e? 30