期中培优：利用导数证明不等式恒成立问题、利用导数研究恒成立求参数问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期中培优：利用导数证明不等式恒成立问题、利用导数研究恒成立求参数问题复习讲义 期中培优：利用导数证明不等式恒成立问题、利用导数研究恒成立求参数问题 复习讲义 考点目录 利用导数证明不等式恒成立问题 利用导数研究恒成立求参数问题 考点一 利用导数证明不等式恒成立问题 【知识点解析】 一、解题核心原理 将不等式变形为（或）的形式，通过导数研究函数的单调性、极值/最值，证明在定义域内的最小值≥0（或最大值≤0），本质是不等式函数化，函数最值定符号，最值满足则不等式恒成立。 二、通用解题思路 1. 构造函数，明确定义域：移项整理不等式（通常左-右），令变形后的代数式，明确的定义域（由原不等式解析式决定，如对数、分式限制）； 1. 求导化简，分析单调性：求并化简（因式分解、通分等），找到的零点/变号点，划分定义域区间，判断在各区间的单调性； 1. 求函数最值，定核心符号：根据单调性，求在定义域内的最值（极值点处/定义域端点处，含无穷区间时需求极限）； 1. 证最值符合要求，下结论：证明（或），即可推出原不等式在定义域内恒成立。 补充技巧：若一次求导无法判断符号，可多次求导（二阶导分析一阶导单调性）；含定义域边界时，可通过洛必达法则求端点极限。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·山东淄博·月考）已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上递减； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）由得：， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； （3）令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 例2．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数； (3)证明： 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）将函数零点问题转化为直线与函数的交点问题，通过导数研究的单调性与极值，分类讨论的取值，确定的零点个数； （3）令，则，构造函数，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，则可得单调性，即可得其最小值，即可得证. 【详解】（1），则， 又，所以在处的切线方程为. （2）讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点， 当时，与有1个交点， 当 时，与有2个交点， 综上：当时，无零点；当时，个零点；当时， 个零点. （3）令，， 则， 由可知，令，. 因为，在上单调递增，则在上单调递增， 且，， 可知在上存在唯一零点，， 当，则，即；当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，，， 可得，即，所以. 例3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； (2)当时，证明：对任意的，. 【答案】(1)（i）在上单调递增；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由在时恒成立，得的单调性；（ii）问题转化为存在，使得成立，令，利用导数求最值即可. （2）令，通过导数研究函数单调性证明在时恒成立即可. 【详解】（1）（i）当时，， 则，             ，，，所以，             所以在上单调递增.             （ii）存在，使得成立，即存在，使得成立，             令，，         由（i）可得，所以， 令，， 所以在上单调递增，             ，所以，所以在上单调递增， 存在，使得成立，即， 综上：. （2）证明：当时，令， .             令，， 令，. 令，在时恒成立，             在上单调递减，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，             ，即对任意的，. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若，且恒成立，求实数的取值范围； (3)证明： 【答案】(1)递增区间为，递减区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，再根据导函数的正负求得的单调区间； （2）分离参数后可构造函数，根据导数研究所构造的函数的最值即可求解； （3）由（2）知，取，累加法可证. 【详解】（1）因为函数， 所以函数的定义域为，. 当时，. 因为，所以当时，；当时，. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，且恒成立得 ，整理得，即. 构造函数，则， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以，即实数a的取值范围为. （3）由（2）知时，，即，当且仅当时等号成立， 取，则，所以， 所以，，，. 上述n个式子相加得 ，从而得证. 变式2．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 变式3．（25-26高二下·天津津南·月考）已知函数． (1)设是函数的极值点，求a的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数为0的性质代入求解，并验证该点是极值点，得到的取值； （2）代入后化简原不等式，将问题转化为证明时恒成立，通过构造函数求下确界完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为是的极值点，所以，即，解得， 验证：当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 即是的极值点，故. （2）当时，，原不等式为 ，即只需证明. 构造函数， ，当时，，故， 因此在上单调递增，所以 即，原不等式得证. 考点二 利用导数研究恒成立求参数问题 【知识点解析】 一、解题核心原理 将恒成立不等式转化为参数与函数最值的不等关系（如、），通过导数求目标函数的最值，进而确定参数的取值范围；核心是分离参数（优先）或分类讨论，将参数问题转化为函数最值问题，本质是恒成立的最值等价性：参数范围由函数最值唯一确定。 二、通用解题思路 方法1：分离参数法（计算更简洁，优先使用） 1. 分离参数，构造无参函数：将不等式变形为///的形式，使参数与变量完全分离，得到唯一的无参目标函数； 2. 求导分析，求的最值：按导数研究函数的步骤，求、分析的单调性，求出其在定义域内的最大值/最小值（含极限情况）； 3. 结合恒成立，定参数范围：根据分离后的形式直接推导： · 恒成立 ⇒ ； · 恒成立 ⇒ ； （严格不等号时，最值为极限则取等，实际取值范围不变）。 方法2：分类讨论法（分离参数困难时用，如含参在分母/根号内） 1. 构造含参函数，明确定义域：令不等式移项后的含参代数式，确定定义域； 1. 求导化简，按参数分类：求，根据参数的位置（如一次项/二次项系数）确定分类标准（如系数正负、零点大小），逐一讨论参数取值范围； 1. 分情况判单调性，求最值：每类参数范围内，分析的单调性，求其最值/； 1. 结合恒成立条件，筛选参数范围：要求（或≤0）恒成立，筛选出使最值满足符号要求的参数范围，最终取各有效范围的并集。 3、 注意事项 1. 定义域为前提：所有函数分析、最值求解均在原不等式的定义域内进行，忽略则会导致最值错误； 2. 恒成立的最值等价性：证明不等式恒成立是“求最值证符号”，求参数是“由符号求最值反推参数范围”，二者本质都是研究函数最值； 3. 分离参数的注意事项：变形时需注意不等号方向（如乘除负数需变号），避免参数分离错误； 4. 分类讨论的原则：按“参数影响导数符号→导数影响函数单调性→单调性影响函数最值”的逻辑分类，做到不重、不漏、最简； 5. 极限情况处理：定义域为开区间/无穷区间时，需用洛必达法则或单调性趋势求端点处的函数极限，作为最值参考。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【详解】（1）的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. （3），. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 例2．（25-26高二下·四川遂宁·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若时，证明； (3)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由不等式的性质可得，再构造函数并利用导数证明不等式成立即可. （3）利用同构思想变形不等式，利用函数单调性得，再分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）若，则，， 求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数定义域为， 当，时，，则对任意成立， 令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，，因此， 所以. （3）不等式， 令函数，而函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 不等式，则，即， 令函数，求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 则，即，所以的取值范围为. 例3．（2026·河北沧州·二模）已知函数． (1)若，，求的最小值； (2)若，当时，求a的取值范围； 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）求导，利用导数确定函数单调性，进而求出最小值； （2）把恒成立问题转化为端点分析，利用单调性判断趋势； 【详解】（1）当，时，，求导得 ， 令，均在上单调递增， 在上单调递增，且， 当时，，，故单调递减； 当时，，，故单调递增， 在处取得极小值，也是最小值， ． （2）由得，代入函数得：， 注意到，需保证时， 求导得， 在处，， 令，求导得，则在时单调递增， 且， 当时，，即， 令，则， 故在上单调递增， 时，，单调递增，， 满足条件； 当时，，即，由连续性可知，存在， 当时，，单调递减， 故存在，不满足条件； 综上，的取值范围为． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·重庆·月考）已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中 （i）若讨论函数的单调性； （ii）对，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）答案见解析；（ii）． 【分析】（1）求导得解析式，分析当时，各部分的范围，分析即可得证 （2）（i）求导得解析式，记，利用导数可得的单调性，分别讨论、和三种情况，根据边界值的正负，可得的正负，分析即可得的单调性. （ii）由（i）得的单调性，讨论可得与的大小关系，分析即可得答案. 【详解】（1）证明：当时，，则， 当时，，，等号不同时成立， 所以在上恒成立，则在上单调递增. （2）（i）由题意得， 则， 记，则， 因为，，所以， 则在上恒成立，所以递减， 又 当时，， 所以在上恒成立，则在上单调递减； 当时，，则存在唯一，使得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，， 所以在上恒成立，则在上单调递增； 综上，当时，单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减；当时，单调递增； （ii）由（i）得，当时，在上恒成立，则在上单调递减； 所以恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，则，不符合题意， 综上的取值范围是. 变式2．（25-26高二下·河北石家庄·月考）已知函数，． (1)若是函数的极值点，求函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过对函数求导并结合极值点确定函数的解析式，即可求解函数单调区间；（2）利用函数最值与不等式证明的方法，构造新函数，通过求的最小值，若最小值大于则不等式成立；（3）构造新函数，通过求新函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）由，有，可得. 当时，， 由于函数在上单调递增，且， 可得当时；当时，． 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：当时，，不等式可化为. ①当时，，可得不等式恒成立； ②当时，令，有， 设，在时，， 则在单调递增，， 即不等式恒成立； 同理令，当时，，恒成立， 所以，则， 可得函数在上单调递增，可得，可得， 由①②知，当时，不等式成立. （3）当时，恒成立可化为， 令，有， 令， ①当时，，函数单调递增，且，可得， 可得函数单调递增，又由，可得. ②当时，，由，令，可得 （i）当时，，函数单调递增， 又由，可得， 可得函数单调递增，又由，可得. （ⅱ）当时，，可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 又由，可得当时，，可得函数单调递减，又由，可得当时，，不合题意. 综上知，若当时，恒成立，则实数的取值范围为. 变式3．（25-26高二下·湖北·期中）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若，当恒成立时，求的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. (3) 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的极值； （2）求导得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）解法一：令，利用导数求得，所求不等式等价于，恒成立，参变量分离得，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出实数的取值范围； 解法二：，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， ， 当时，，此时在区间上单调递减， 当时，，此时在区间上单调递增． 所以函数有极小值，无极大值. （2）函数的定义域为，， ①当时，解得， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增； ②当时，恒成立，在区间上单调递增； ③当时，解得：或，此时， 时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增； ④当时，， 时，，在区间上单调递增， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增. 综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （3）等价于，即恒成立. 解法一：因为， 所以对任意的恒成立， 令，，时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 又因为，，且当时，，故， 所以，恒成立转化为，恒成立， 分离参数得，令，， 当时，，在上单调递减， 所以，所以，故实数的取值范围是； 解法二：令，， ，时恒成立即为恒成立， ， 当时，在时，，在上单调递减， 在时，，在上单调递增， ，解得； 当时，，与恒成立矛盾. 综上所述：的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：利用导数证明不等式恒成立问题、利用导数研究恒成立求参数问题复习讲义 期中培优：利用导数证明不等式恒成立问题、利用导数研究恒成立求参数问题 复习讲义 考点目录 利用导数证明不等式恒成立问题 利用导数研究恒成立求参数问题 考点一 利用导数证明不等式恒成立问题 【知识点解析】 一、解题核心原理 将不等式变形为（或）的形式，通过导数研究函数的单调性、极值/最值，证明在定义域内的最小值≥0（或最大值≤0），本质是不等式函数化，函数最值定符号，最值满足则不等式恒成立。 二、通用解题思路 1. 构造函数，明确定义域：移项整理不等式（通常左-右），令变形后的代数式，明确的定义域（由原不等式解析式决定，如对数、分式限制）； 1. 求导化简，分析单调性：求并化简（因式分解、通分等），找到的零点/变号点，划分定义域区间，判断在各区间的单调性； 1. 求函数最值，定核心符号：根据单调性，求在定义域内的最值（极值点处/定义域端点处，含无穷区间时需求极限）； 1. 证最值符合要求，下结论：证明（或），即可推出原不等式在定义域内恒成立。 补充技巧：若一次求导无法判断符号，可多次求导（二阶导分析一阶导单调性）；含定义域边界时，可通过洛必达法则求端点极限。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·山东淄博·月考）已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 例2．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数； (3)证明： 例3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； (2)当时，证明：对任意的，. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若，且恒成立，求实数的取值范围； (3)证明： 变式2．（2026·福建厦门·二模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 变式3．（25-26高二下·天津津南·月考）已知函数． (1)设是函数的极值点，求a的值； (2)当时，证明：． 考点二 利用导数研究恒成立求参数问题 【知识点解析】 一、解题核心原理 将恒成立不等式转化为参数与函数最值的不等关系（如、），通过导数求目标函数的最值，进而确定参数的取值范围；核心是分离参数（优先）或分类讨论，将参数问题转化为函数最值问题，本质是恒成立的最值等价性：参数范围由函数最值唯一确定。 二、通用解题思路 方法1：分离参数法（计算更简洁，优先使用） 1. 分离参数，构造无参函数：将不等式变形为///的形式，使参数与变量完全分离，得到唯一的无参目标函数； 2. 求导分析，求的最值：按导数研究函数的步骤，求、分析的单调性，求出其在定义域内的最大值/最小值（含极限情况）； 3. 结合恒成立，定参数范围：根据分离后的形式直接推导： · 恒成立 ⇒ ； · 恒成立 ⇒ ； （严格不等号时，最值为极限则取等，实际取值范围不变）。 方法2：分类讨论法（分离参数困难时用，如含参在分母/根号内） 1. 构造含参函数，明确定义域：令不等式移项后的含参代数式，确定定义域； 1. 求导化简，按参数分类：求，根据参数的位置（如一次项/二次项系数）确定分类标准（如系数正负、零点大小），逐一讨论参数取值范围； 1. 分情况判单调性，求最值：每类参数范围内，分析的单调性，求其最值/； 1. 结合恒成立条件，筛选参数范围：要求（或≤0）恒成立，筛选出使最值满足符号要求的参数范围，最终取各有效范围的并集。 3、 注意事项 1. 定义域为前提：所有函数分析、最值求解均在原不等式的定义域内进行，忽略则会导致最值错误； 2. 恒成立的最值等价性：证明不等式恒成立是“求最值证符号”，求参数是“由符号求最值反推参数范围”，二者本质都是研究函数最值； 3. 分离参数的注意事项：变形时需注意不等号方向（如乘除负数需变号），避免参数分离错误； 4. 分类讨论的原则：按“参数影响导数符号→导数影响函数单调性→单调性影响函数最值”的逻辑分类，做到不重、不漏、最简； 5. 极限情况处理：定义域为开区间/无穷区间时，需用洛必达法则或单调性趋势求端点处的函数极限，作为最值参考。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 例2．（25-26高二下·四川遂宁·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若时，证明； (3)若，恒成立，求的取值范围. 例3．（2026·河北沧州·二模）已知函数． (1)若，，求的最小值； (2)若，当时，求a的取值范围； 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·重庆·月考）已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中 （i）若讨论函数的单调性； （ii）对，求的取值范围． 变式2．（25-26高二下·河北石家庄·月考）已知函数，． (1)若是函数的极值点，求函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高二下·湖北·期中）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若，当恒成立时，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $