随机变量及其分布列探究-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

随机变量及其 ■河南省洛阳市第十 随机变量深刻表达随机现象，便于研究 概率分布及数宇特征。离散型随机变量及其 分布是高考热点，通常以求解具体分布列（如 二项分布、超几何分布等)为命题角度，进而 综合考查统计或其他数学知识，尤其新高考 后突出考查解决实际问题的能力，解法灵活。 同学们对分布列类型熟练掌握和准确计算是 此类题型得分的关键。下面分六种类型探讨 随机变量及其分布列。 类型一、二项分布型 例1(2025年新高考全国1卷)有5 个相同的球，分别标有数宇1,2,3,4,5，从中 有放回地随机取3次，每次取1个球，记X 为这5个球中至少被取出1次的球的个数， 则X的数学期望E(X)= 解法1：（古典概型法）依题意知，X的可 能取值为1,2,3，总选取数为53=125。 若X=1,则3次抽取同一个球，有5种 方式故P(X=1)=5。 若X=2,则恰好两种不同的球被取出 (即一种球出现2次，另一种球出现1次)，先 选取出现2次的球，有5种方式，再选取出现 1次的球，有4种方式，其中选取出现1次球 的位置有3种可能，可能情况有5×4×3=60 (种).故P(X=2)=器是 若X=3,则三种不同的球被取出，可能情 况有5X4X3=60(种).故P(X=0)-号 E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+ 61 3×P(X=3)= 251 解法2：（随机变量法）依题意，假设随机 知植数要岗黄名护背中学生款理化 分布列探究 高级中学 秦文春 变量为X:,其中i=1,2,3,4,5。 1,球i至少被取出1次， 令X:= 0,球i没被取出。 则X=∑X:。 由题意可知，所有E(X:)相等，于是 E(X)=E(2X,)=2E(X:)=5E(X:)。 由题意可知，球i在单次抽取中未被取 出的概率为5。 4 由于抽取独立，3次均未取出球i的概率 P(X:=0)= 因此，球i至少被取出1次的概率 p(X:=10=1-125-12 64 61 则E(X:)=125 61 故E(X)=5E(X,)=5×6-91 125251 ,点评：本题考查概率、二项分布及数字特 征，解法2需要准确理解二项分布，二项分布 B(,p)的概率、期望与方差可利用公式 P(X=k)=Cp(1-p)”-(k=0,1,2,…, n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得。 类型二、超几何分布型 例2(2024年江西十校联考)有5双 鞋于，分别标记上数宇1,2,3,4,5，从中取出 3只鞋于。 (1)求取出的3只鞋于都没有成对的概率： (2)记取出的3只鞋于的最大数宇为X, 求X的分布列和数学期望E(X)。 解析：(1)取出的3只鞋于都没有成对， 只需指定3双鞋于，每双鞋于各取1只。 5 知识篇新高考名师护航 中学生数理化高二数学新2026年4月 因此取出的3只鞋于都没有成对的概率 p=C×2802 Cio 1203 (2)由题意可知，随机变量X的可能取 值为2,3,4,5。 P(X=2) CC:+CC: Cio 30 P(X=3)= ec+cc-是r Cio CC+CC站 3 P(X=4)= Ci。 10 P(X=5)= CC+C Cio =159 所以随机变量X的分布列如表1所示。 表1 X 2 3 4 2 3 30 15 10 15 所以E(X)=2× 30 +3× 15 +4×10 点评：随机变量X服从超几何分布 H(N,M,n),则其概率与期望可利用公式 P(X=k)= Chcs's (k =m,m+1. C min{n,M},且n=max{0,n-N+M},n≤ N,M≤N,n,M,N∈N),E(X)=M可以 N 直接求得。 类型三、正态分布型 例3(2024年新高考全国I卷)（多 选题)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶 叶种植区多措并举推动茶叶出口。为了解推 动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种 植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样 本均值x=2.1,样本方差s2=0.01。已知该 种植区以往的亩收入X服从正态分布 N(1.8,0.1),假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N(x,s2),则()。注：若随 机变量Z服从正态分布N(μ，o),则P(Z< u十6)≈0.8413。 A.P(X>2)>0.2 6 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 解析：依题意知，x=2.1,s2=0.01。 所以Y~N(2.1,0.01),故P(Y>2)= P(Y>2.1一0.1)=P(Y2.1+0.1)≈ 0.8413>0.5。所以C正确，D错误。 因为XN(1.8,0.01),所以P(X>2) =P(X>1.8+2×0.1)。 因为P(X1.8+0.1)≈0.8413，所以 P(X>1.8+0.1)=1-0.8413=0.1587< 0.2,则P(X2)=P(X1.8+2×0.1) P(X>1.8十0.1)<0.2。故B正确，A错误。 因此，选BC。 点评：对于正态分布N(4,o),由x=严 是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a,有 P(X<u-a)=P(X>h+a);(2)P(X< xo)=1-P(X≥xo)；(3)P(a<X<b)= P(X<b)-P(X≤a)。 类型四、竞技比赛型 例4(2022年高考全国甲卷)甲、乙 两所学校进行体育比赛，比赛共设三个项目， 每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平 局。三个项目比赛结束后，总得分高的学校 获得冠军。已知甲学校在三个项目中获胜的 概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结 果相互独立。 (1)求甲学校获得冠军的概率： (2)用X表示乙学校的总得分，求X的 分布列与期望。 解析：(1)记甲学校在三个项目中获胜依 次为事件A,B,C,所以甲学校获得冠军的概 P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+ P(ABC)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8 +0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.6。 (2)依题意可知，X的可能取值为0,10， 20,30。 P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16: P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5× 0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44: P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5× 0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34: P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06。 则X的分布列如表2所示。 表2 X 0 10 20 30 0.160.440.340.06 因此E(X)=0×0.16+10×0.44+ 20×0.34+30×0.06=13。 ,点评：赛事类（分配类）的分布列是近几 年全国卷考试的热点，注重考查实际情境下 的数据分析能力，强化跨模块综合与决策应 用，可能会涉及数列、函数或导数知识。 类型五、递推数列型 例5(2023年新高考全国I卷)甲、 乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如 下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换 为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每 次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命 中率均为0.8。由抽签确定第1次投篮的人 选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0,5。 (1)求第2次投篮的人是乙的概率。 (2)求第i次投篮的人是甲的概率。 (3)已知：若随机变量X:服从两点分布， 且P(X:=1)=1-P(X:=0)=q:,i=1, 2,…n,则E(空X:)=之9：。记前n次（即从 第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y, 求E(Y)。 解析：(1)由题意得，第2次投篮的人是 乙的概率P=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6。 (2)由题意设P。为第n次投篮的人是 甲，P1=0.5。 则Pm+1=0.6P。十0.2(1一Pm)=0.4P. +0.2.变形得P1}-(P,） (口.-号是首项为日公比为号的等比数 列，即P.--×() 做P.+×（层）。 第：次投篮的人是甲的概率为P,=号十 知识篇新高考名师护航 高二数学2026年4月 中学生教理化 ×（）》∈N). 3)由(2)得P,=号+后×（层）。 由题意得甲第i次投篮次数Y:服从两 点分布，且P(Y,=1)=1一P(Y:=0)=P:。 因此E(Y)=E(Y)=之P。 i=1 当n≥1时，则： EY)-空P,=后×（得）+号 =1 1-(号门” -号 3 D-(号门+号∈N ,点评：概率的递推关系多为概率与数列 问题的交汇，首先明确事件关系，其次建立递 推关系，最后利用数列知识求解。 类型六、其他型分布列 例6(2025年高考北京卷)有一道选 择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽 取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答 对，用频率估计概率。 (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对 该题目的概率。 (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X 为做对的人数，求恰有1人做对的概率和X 的数学期望。 (3)若甲校学生掌握这个知识点，则有 100%的概率做对该题目：若乙校学生掌握这 个知识点，则有85%的概率做对该题目。未 掌握该知识点的学生都是从四个选项里面随 机选择一个。设甲校学生掌握该知识点的概 率为P1,乙校学生掌握该知识点的概率为 P2,试比较P1与P,的大小（结论不要求 证明)。 解析：(1)用频率估计概率，从甲校随机 抽吹1人，做对题目的餐率为0一台。 (2)设A为“从甲校抽取1人，做对题 目”，则P(A)=0.8,P(A)=0.2。 设B为“从乙校抽取1人，做对题目”， 中学生数理化离数学年月 知识篇新高考名师护航 则P(B)=0.75,P(B)=0.25 设C为“恰有1人做对”，故P(C)= P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A). P(B)=0.35。X的可能取值为0,1,2。 P(X=0)=P(AB)=0.05: P(X=1)=0.35; P(X=2)=0.8×0.75=0.6。 故X的分布列如表3所示。 表3 0 1 P 0.050.350.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55。 (3)设D为“甲校掌握该知识的学生”。 已知甲校学生掌握这个知识点，则有 100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的 学生都是从四个选项里随机选择一个，故： P(D)+}1-P(D)]=0.8,即P,+ }×1-P)=0,8,解得P,= 同理0.85P,十4×1-P2)=0.75,解 得P:=骨故P<P。 点评：本题考查概率、事件独立性、随机 变量分布列等知识。第三问有一定创新性， 要理解“未学握知识，点的学生做对”的情况。 例7(2018年高考全国I卷理科数 学)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作 检验，若检验出不合格品，则更换为合格品。 检验时，先从这箱产品中任取20件作检验， 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品 作检验。设每件产品为不合格品的概率都为 p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相 互独立。 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的 概率为f(p),求f(p)的最大值点p。 (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰 有2件不合格品，以(1)中确定的p。作为p 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若 有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件 8 不合格品支付25元的赔偿费用。 ()若不对该箱余下的产品作检验，这一 箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X, 求E(X)。 ()以检验费用与赔偿费用和的期望值 为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品 作检验？ 解析：(1)20件产品中恰有2件不合格 品的概率f(p)=Cp(1一p)1“。 因此f'(p)=C[2p(1-p)8-18p(1 -p)1]=2C0p(1-p)1”(1-10p)。 令f'(p)=0,得p=0.1。 当p∈(0,0.1)时，f'(p)>0: 当p∈(0.1,1)时，f'(p)<0。 所以f(p)的最大值点p。=0.1。 (2)由(1)知，p=0.1。 (i)令Y表示余下的180件产品中的不 合格品件数，依题意知Y~B(180,0.1),X= 20×2+25Y,即X=40+25Y。 所以E(X)=E(40+25Y)=40+ 25E(Y)=40+25×180×0.1=490。 ()如果对余下的产品作检验，那么这一 箱产品所需要的检验费为400元。 由于E(X)>400,故应该对余下的产品 作检验。 ,点评：概率与函数的综合问题多利用随 机变量的概率、数字特征的计算公式构造函 数。求解时可借助函数的性质或导数知识， 注意实际问题中变量自身范围的限制。 随机变量及其分布列出题灵活，更倾向 于考查同学们解决实际问题的能力。求解离 散型随机变量的分布列注意判断随机变量的 所有可能取值，总结取值对应概率的求解方 法，提升随机变量处理能力，最后利用分布列 的性质检验所求的分布列或某事件的概率是 否正确。 注：本文为2025年度河南省基础教育教 学研究项目课题“‘三新’背景下艺术生数学 教学适配性优化与综合素养提升研究”（课题 编号：JCJYC2503030010)的研究成果。 (责任编辑徐利杰)