精品解析：江西赣州市兴国县2025-2026学年第二学期九年级数学模拟考试试卷

江西赣州市兴国县2025-2026学年第二学期九年级数学模拟考试试卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位．如图是一个线锤，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查判断几何体的三视图，根据简单几何体的三视图的特点判断即可，注意：可以看见的棱线为实线，看不见的棱线为虚线进行判断． 【详解】解：线锤的左视图为 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：、，该选项错误，不符合题意； 、，该选项错误，不符合题意； 、，该选项错误，不符合题意； 、，等式左右相等，该选项正确，符合题意． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D. 某中学有2000名学生，随机抽取200名学生进行身高调查，样本是所抽取的200名学生的身高 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率与统计的基础概念辨析，需要根据随机事件定义，调查方式的选择，统计图的特点，样本的定义逐一判断选项，选出错误说法． 【详解】解：对于选项A ∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，明天下雨的结果不确定，∴明天下雨是随机事件，A说法正确． 对于选项B ∵普查需要对所有考察对象进行全面调查，调查长江中现有鱼的种类，范围大，工作量大，无法完成全面普查，∴该调查适宜抽样调查，不适合普查，B说法不正确． 对于选项C ∵折线统计图可以清晰反映数据的变化趋势，题目需要展示气温的变化情况， ∴描述气温变化适宜采用折线统计图，C说法正确． 对于选项D ∵样本是总体中所抽取的研究对象的对应指标，本题总体是2000名学生的身高， ∴样本是所抽取的200名学生的身高，D说法正确． 5. 一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线，相交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 关于抛物线（是常数），下列说法正确的个数是（ ） ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先将抛物线配方为顶点式，再逐个判断每个说法的正误，用到二次函数对称轴、一元二次方程根的判别式、二次函数增减性、平行线间距离等初中知识点． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线对称轴为直线，即对称轴为轴，故①正确； ②∵抛物线与轴只有一个公共点 ∴一元二次方程的判别式， ∴， 解得，故②错误； ③∵抛物线开口向上，点离对称轴越远，对应纵坐标越大，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为 ∵ ∴，故③错误； ④∵顶点坐标为，满足， ∴所有顶点都在直线上， ∴直线平行于直线， 设与轴的交点分别为， 当时，；当时，， ∴，，则， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵经过原点，如图，过点作于点，则， ∴到的距离为，即抛物线的顶点到直线的距离都等于， ∴无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确； 综上，正确的说法是①和④，共2个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”寓意要想拥有珍贵品质或美好才华等是需要不断的努力、修炼、克服一定的困难才能达到的，已知梅花的花粉直径大约是米，数字用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 8. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 9. 如图，在△ABC中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交BC于点D，连接AD．若cm，cm，则△ACD的周长为________cm． 【答案】7 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明． 【详解】解：由作图可知， 在中， ， 的周长． 故答案为：7． 【点睛】本题考查作图基本作图，勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 10. 阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的台阶上依次标着照这个规律，从下到上第2026个台阶上的数字是__________． 【答案】6070 【解析】 【分析】先观察已知台阶上数字的变化，找出数字的排列规律，推导出第个台阶上数字的代数式，再代入计算即可． 【详解】解：观察已知数据可得 第个台阶上的数：， 第个台阶上的数：， 第个台阶上的数：， 第个台阶上的数：， ...； 由此可得规律，从下到上第个台阶上的数字为， 将代入得． 11. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有个，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，令方程两边均等于孩子的人数即可． 【详解】解：设梨有个， 由题意可得：， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，，点从点出发，沿折线移动，移动到点停止．当是等腰三角形时，点的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，坐标与图形，如图1所示，过点A作于C，根据菱形的性质和勾股定理求出点A和点D的坐标；如图2所示，当点P在上，且时，过点P作于H，利用三线合一定理和解直角三角形求出此时点P的坐标即可；当点P与点A重合时，，当点P与点D重合时，，据此可得答案． 【详解】解：如图1所示，过点A作于C， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当点P在上，且时，过点P作于H，则 ∴， ∴ 当点P与点A重合时，，当点P与点D重合时，， 综上所述，点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解决下列问题： （1）计算：； （2）如图，点E，F分别在的延长线上，平分．求证：． 【答案】（1）0 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先计算0次幂，特殊角三角函数值，立方根，再进行加减运算； （2）证明，即可得出． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 证明：， ， ， 又平分 在和中， ， ， 14. 先化简，再从中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为（或时，值为） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： ， 分式有意义要求分母不为：，，即 ， 因此只能从中选择 当时，原式 （或当时，原式）． 15. 兴国县地处江西省赣州市，是全国闻名的将军县、烈士县与苏区模范县，拥有深厚的红色文化底蕴．县域内每一寸土地均承载着革命历史记忆，是可供人们沉浸式体悟初心使命的红色旅游胜地．某班级组织开展“宣讲兴国红色景点”活动，卡片A、B、C、D分别印有兴国烈士陵园、长冈乡调查纪念馆、苏区干部好作风陈列馆、将军园，除卡片所印文字外，其余特征完全一致．现将四张卡片背面朝上充分洗匀后置于桌面，由小明与小红从中随机各抽取一张不同的卡片，据此确定本次活动各自的宣讲景点． （1）小明抽到的宣讲景点是“长冈乡调查纪念馆”的概率为__________； （2）请用画树状图法或列表法求这次宣讲景点为兴国烈士陵园和长冈乡调查纪念馆的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列出表格得到所有等可能性的结果，再得出这次宣讲景点为兴国烈士陵园和长冈乡调查纪念馆的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽取的概率相同， ∴小明抽取一张卡片，抽到印有“长冈乡调查纪念馆”的卡片的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小红 小明 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中这次宣讲景点为兴国烈士陵园和长冈乡调查纪念馆的结果有两种， ∴这次宣讲景点为兴国烈士陵园和长冈乡调查纪念馆的概率． 16. 如图，正六边形中，为上一点，连接．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图（1），连接，，过点作一条直线平分的面积； （2）在图（2）中作出将绕点O旋转得到的及旋转中心O． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据正六边形的特点连接，则得到的中点，再根据等底等高面积相等，作过的中点和点G的直线即为所求； （2）连接对角线，对角线的交点即为旋转中心，根据旋转的性质即可得到中心对称图形． 【小问1详解】 解：如图即为所求． 【小问2详解】 解：如图即为所求． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，请求出四边形的面积． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图象与性质是关键． （1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 点C的坐标为，且在反比例函数的图象 ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 设直线AC的解析式为把A、C两点坐标分别代入得 ，解得， 即直线的解析式为； 上式中，令，则， ∴点B的坐标为， ∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ， 解得：，则点， 由题意知，， 答：四边形的面积为10． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，过圆心O作弦BC的垂线，交过点C的切线 于点D，OD交⊙O于点E，连接AC，BD． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AC＝AO＝3，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，由题意可以证得△OCD≌△OBD，从而得到∠OBD＝∠OCD＝90°，最后得到所证结论成立； （2）由题意可以得到△BOD与扇形OBE的面积，求出两者之差即得阴影部分的面积． 【详解】（1）如图，连接OC， 由OD⊥BC，OC＝OB，可得∠COD＝∠BOD， 由OC＝OB，∠COD＝∠BOD，OD＝OD可得△OCD≌△OBD， 则可得∠OBD＝∠OCD＝90°， 则BD是⊙O的切线； （2）由图可知， 由AC＝AO＝3可得△OAC是等边三角形，OC＝3，∠AOC＝60°， 则∠COD＝∠BOD＝60°， 则CD＝tan60°·OC＝3， 则， 则 【点睛】本题考查切线的应用，熟练掌握切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、扇形面积与三角形面积的计算方法是解题关键． 19. 如图，小明房间的平面示意图是一个的矩形，靠墙放置一个的床（矩形）和一张宽的书桌，在距离墙为的点处有一扇房门，可以绕点在房间内自由转动，房门关闭时点与点重合，已知门宽． （1）求房门最大转角的度数； （2）设，若既要保证房门可以自由转动，又要保证床与书桌的距离不小于，求d的取值范围（结果保留整数）．（参考数据： ） 【答案】（1）房门最大转角的度数约为 ； （2） 【解析】 【分析】（1）当点P从点F处旋转落在墙上的点E处时，房门的转角最大，解直角三角形求出即可求解； （2）由题意得当点B在上时d最小，过点作于点，连接，在中，求出，此时 ，当床与书桌的距离为时，d最大，则 ，即可解答． 【小问1详解】 解：在 中，， ， ， 答：房门最大转角的度数约为 ； 【小问2详解】 解：如图，易知点P在上运动，当点B在上时d最小，过点作于点，连接， 在中，， 此时． 当床与书桌的距离为时，d最大，则， 故d的取值范围为 ． 20. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是全等的和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）求出，然后根据勾股定理和平方的非负性即可证出结论； （2）将代入方程中，可得，然后根据四边形的周长可得，从而求出c和a＋b的值，然后根据勾股定理即可求出，再根据完全平方公式即可求出ab，从而求出结论． 【详解】证明： 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根 解：当时，有，即， 四边形的周长是， ，即 ， ，即 【点睛】此题考查的是勾股定理的应用、一元二次方程根的情况和完全平方公式，掌握勾股定理、一元二次方程根的情况与△的关系和完全平方公式是解决此题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 现如今，AI产业发展迅速，功能多样．我们在选择AI软件时，可以根据具体需求如语言、场景、功能复杂度等进行权衡．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： c．甲、乙两款AI软件信息处理速度得分的平均数、中位数、众数及信息识别准确度得分的平均数、方差： 信息处理速度 信息识别准确度 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 m 5.6 乙 7.65 n 7 4.9 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为__________，的值为__________； （2）根据信息识别准确度得分统计图，估计800位用户更喜爱乙软件的人数； （3）经过调查发现用户对信息处理速度和信息识别准确度的关注度占比为2：8，现按照这个占比计算两款软件的综合得分（用平均分的数据），结合数据分析，哪款软件胜出？ （4）若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲AI软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了针对低分组用户定向提升准确度的方案，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的平均数将__________，方差将__________（填“增大”“减小”或“不变”）． 【答案】（1）；； （2）80人 （3）甲 （4）增大；减小 【解析】 【分析】（1）根据信息处理速度得分统计图中的数据进行计算即可； （2）根据信息识别准确度得分统计图，人中给乙打分更高的有名用户，即可得到答案； （3）根据加权平均数进行计算即可； （4）根据平均数和方差的计算方法和定义分析即可． 【小问1详解】 解：根据信息处理速度评分可知，甲软件信息处理速度得分的人数最多，有人，故； 根据中位数的定义，乙软件信息处理速度的中位数是第个数据的平均数，第个是分，第个是分， 故； 【小问2详解】 解：根据信息识别准确度得分统计图，人中给乙打分更高的有名用户， 故800位用户更喜爱乙软件的人数人； 【小问3详解】 解：甲：， 乙：， ， 故甲软件胜出； 【小问4详解】 解：低分组用户加分后，总分增加、数据个数不变，故平均数增大； 低分数据向平均数靠近，离散程度降低，方差减小． 22. 解决下列问题： （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，连接为延长线上一点，连接，且的延长线垂直于，垂足为点，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）只需要证明，即可得到结论，，然后利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）①只需要证明，即可得到； ②根据①中，求出，设，则，然后在，利用勾股定理求出，利用正弦定义求解即可； （3）由平移的性质可得，，结合，，可求出，再证明垂直平分，得到，根据，可设，利用勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 延长交于， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由平移的性质可得， ， ， ∵点为的中点， 垂直平分， ， ， ∴设， ， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， ． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）①；②或 （3）该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米 （4） 【解析】 【分析】（1）由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可； （2）①根据题意与联立求解即可判断； ②根据①中的二倍点直接写出解集即可； （3）先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断； （4）方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围． 【小问1详解】 解：由题可知二倍点在直线上， ①把代入，得，无解， ∴直线上不存在二倍点； ②把代入，得， 整理，得， 当时，时，， ∴双曲线上存在二倍点； ③把代入， 得整理得， 解得时，， ∴抛物线上存在二倍点； 【小问2详解】 ①解：由得， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴该函数的二倍点为； ②或； 【小问3详解】 该抛物线上存在二倍点， ∵无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米， ∴抛物线过点， 将代入，得， ， ， 令， 解得或（舍去）， 此时， ∴该抛物线上存在二倍点，为， 其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米． 【小问4详解】 方法一：由题可知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得． ∵抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， ∵对于任意的常数b恒有两个二倍点， ∴可设关于的方程无解， 解得，即a的取值范围为， 方法二：易知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得， ∵抛物线对于任意的常数b恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， 即，对任意的常数恒成立， ， 令，知是关于的二次函数， 且开口向上，知当时，w有最小值且， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西赣州市兴国县2025-2026学年第二学期九年级数学模拟考试试卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位．如图是一个线锤，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D. 某中学有2000名学生，随机抽取200名学生进行身高调查，样本是所抽取的200名学生的身高 5. 一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线，相交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于抛物线（是常数），下列说法正确的个数是（ ） ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”寓意要想拥有珍贵品质或美好才华等是需要不断的努力、修炼、克服一定的困难才能达到的，已知梅花的花粉直径大约是米，数字用科学记数法表示为__________． 8. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 9. 如图，在△ABC中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交BC于点D，连接AD．若cm，cm，则△ACD的周长为________cm． 10. 阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的台阶上依次标着照这个规律，从下到上第2026个台阶上的数字是__________． 11. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有个，则可列方程为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，，点从点出发，沿折线移动，移动到点停止．当是等腰三角形时，点的坐标为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解决下列问题： （1）计算：； （2）如图，点E，F分别在的延长线上，平分．求证：． 14. 先化简，再从中选一个合适的数代入求值． 15. 兴国县地处江西省赣州市，是全国闻名的将军县、烈士县与苏区模范县，拥有深厚的红色文化底蕴．县域内每一寸土地均承载着革命历史记忆，是可供人们沉浸式体悟初心使命的红色旅游胜地．某班级组织开展“宣讲兴国红色景点”活动，卡片A、B、C、D分别印有兴国烈士陵园、长冈乡调查纪念馆、苏区干部好作风陈列馆、将军园，除卡片所印文字外，其余特征完全一致．现将四张卡片背面朝上充分洗匀后置于桌面，由小明与小红从中随机各抽取一张不同的卡片，据此确定本次活动各自的宣讲景点． （1）小明抽到的宣讲景点是“长冈乡调查纪念馆”的概率为__________； （2）请用画树状图法或列表法求这次宣讲景点为兴国烈士陵园和长冈乡调查纪念馆的概率． 16. 如图，正六边形中，为上一点，连接．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图（1），连接，，过点作一条直线平分的面积； （2）在图（2）中作出将绕点O旋转得到的及旋转中心O． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，请求出四边形的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，过圆心O作弦BC的垂线，交过点C的切线 于点D，OD交⊙O于点E，连接AC，BD． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AC＝AO＝3，求阴影部分的面积． 19. 如图，小明房间的平面示意图是一个的矩形，靠墙放置一个的床（矩形）和一张宽的书桌，在距离墙为的点处有一扇房门，可以绕点在房间内自由转动，房门关闭时点与点重合，已知门宽． （1）求房门最大转角的度数； （2）设，若既要保证房门可以自由转动，又要保证床与书桌的距离不小于，求d的取值范围（结果保留整数）．（参考数据： ） 20. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是全等的和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （2）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是求的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 现如今，AI产业发展迅速，功能多样．我们在选择AI软件时，可以根据具体需求如语言、场景、功能复杂度等进行权衡．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： c．甲、乙两款AI软件信息处理速度得分的平均数、中位数、众数及信息识别准确度得分的平均数、方差： 信息处理速度 信息识别准确度 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 m 5.6 乙 7.65 n 7 4.9 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为__________，的值为__________； （2）根据信息识别准确度得分统计图，估计800位用户更喜爱乙软件的人数； （3）经过调查发现用户对信息处理速度和信息识别准确度的关注度占比为2：8，现按照这个占比计算两款软件的综合得分（用平均分的数据），结合数据分析，哪款软件胜出？ （4）若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲AI软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了针对低分组用户定向提升准确度的方案，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的平均数将__________，方差将__________（填“增大”“减小”或“不变”）． 22. 解决下列问题： （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且，与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，连接为延长线上一点，连接，且的延长线垂直于，垂足为点，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $