7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 温州科技高级中学 张明 复数的几何意义（一） 探究 任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应. 2 复数z=a+bi 有序实数对(a,b) 唯一确定 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 可用下图表示他们彼此的关系: 因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应. 3 复数的几何意义（二） 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数. 4 可用下图表示他们彼此的关系： 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 Z(a,b) a o b y x z=a+bi 平面向量 5 反思： 在上一节，我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，就要研究其中 的数之间的运算，下面就来讨论复数集中的运算问题。 我们规定，复数的加法法则如下： 设=a十bi，=c十di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的和（a十bi)十(c十di)=(a十c）十（b-十d）i 1、很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.特别地，当都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和。 2、可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加。 思考 复数的加法满足交换律、结合律吗？ 容易得到，对任意∈C，有 （ 复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。——数学家华罗庚 证明复数的加法满足交换律、结合律就是退，退到复数及复数加法的定义中去，根据复数及加法的定义来证明。 探究 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设分别与复数a十bi，c十di对应，则=（a，b)，=（c,d)．由平面向量的坐标运算法则，得=(a+c，b+d) 这说明两个向量与的和就是与复数（a十c）十（b十d)i对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行（图7.2-1），这就是复数加法的几何意义. 反思：1、两个复数的差还是复数。 2、两个复数相减类似于两个多项式相减。 思考 我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？ 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足（c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x，y∈R）叫做复数a十bi（a，b∈R）减去复数c十di（c,d∈R）的差，记作(a+bi)一（c十di). 根据复数相等的含义， c+x=a，d+y=b 因此 x=a-c ,y=b-d 所以 x+yi=（a-c）+（b-d）i 即 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？ y x O 复数减法的几何意义： 复数的加法几何意义同构于向量加法几何意义。复数减法的几何意义同构于向量减法的几何意义。注意“同构”一词。 减去一个向量就是加上这个向量的相反向量。我们把向量的减法转换为向量的加法，而加法遵循三角形法则或平行四边形法则。我们不用对减法再另起炉灶，因为加减会混淆不清。 例1 计算 解： 例2 在复平面内,复数6+5i与-3+4i对应的向量分别是 与 ,其中O是原点,求向量 , 对应的复数. 此题只能是学考容易题。会做通过学考。 此题只能是最多高考容易题。因为复数繁难性，所以高考不是考很多。如果考可能考请证明复数的加减乘除满足交换律、结合律、分配律。 例3根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点（），（）之间的距离. 分析：由于复平面内的点，对应的复数分别为=，=i，由复数减法的几何意义知，复数对应的向量为，从而点 之间的距离为 解：因为复平面内的点 对应的复数分别为 i，所以点之间的距离为 | (1).|z－(1+2i)| (2).|z+(1+2i)| 例4.已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 点A到点(1,2)的距离 点A到点(-1, -2)的距离 (3).|z－1| 点A到点(1,0)的距离 (4).|z+2i| 点A到点(0, -2)的距离 例5. 满足条件 的复数 在复平 面上对应的轨迹是( ) A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.其它 C 例6.（多选）已知复数z满足z+|z|=2+i，则（AD） A.z=+i B.+i C.z的虚部为i D.的虚部为-1 解：两边同时取共轭，得+=2-i 因为=,两式相减得2bi=2i,故b=1 设z=a+i,则a+i+=2+i 得=2-a 解得a= 。其几何意义是圆心（0,1）半径是5的圆。 作业：P80习题7.2第1、2题。 课堂小结： 1.知识结构： (1)代数运算：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；； (2)几何意义：对应向量的加减法，满足平行四边形/三角形法则； (3)模的应用：表示两点间距离，轨迹问题转化为几何图形。 2.核心思想：数形结合——通过复平面将代数运算与几何图形关联，简化问题分析。 $