函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象课件-2027届高三数学一轮复习

函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象 ACD ABD A C D BCD AD ABC D 题型1　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象识别 【例1】(多选)(2024·烟台期中)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图4.4­2所示，则( ). 图4.4­2 A．f (x)＝2cos B．函数f (x)的图象关于直线x＝对称 C．函数f (x)的图象关于点对称 D．函数f (x)在上单调递增 【解析】由题图可知A＝2，且T＝－＝，所以T＝π，所以ω＝＝2，所以f ＝2sin ＝2，所以－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝＋，所以f (x)＝2sin ＝2cos ，故A正确；当x＝时，2x＋＝≠kπ，k∈Z，故B错误；当x＝－时，2x＋＝－，故C正确；当x∈时，2x＋∈⊆[π，2π]，故D正确． 确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ的常用方法 ①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点的坐标求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上). ②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最高点和最低点”为突破口．“最高点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)；“最低点”(即图象的“谷点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z). 【变式】(多选)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图4.4­3所示，则下列结论正确的有( ). 图4.4­3 A．f (x)的最小正周期为π B．f ＝f C．f (x)在上单调递增 D．f 为奇函数 【解析】由题图知A＝2，由f (0)＝2sin φ＝，得sin φ＝.又因为0<φ<，所以φ＝，由＋＝π＋2kπ，k∈Z，得ω＝2＋6k，k∈Z，又<＝，所以|ω|<3，所以ω＝2，所以f (x)＝2sin ，故T＝π，选项A正确； 又f ＝2，所以直线x＝为函数f (x)图象的一条对称轴，故选项B正确；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f (x)在上单调递减，在上单调递增，故C错误；f ＝2sin ＝2sin 2x为奇函数，故D正确． 题型2　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象变换 【例2】(1)(2024·天津市南开中学高三期中)要得到函数f (x)＝sin 的图象，可以将函数g(x)＝cos 的图象( ). A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【解析】因为g(x)＝cos ＝sin ＝sin ，且f (x)＝sin ＝sin ＝sin ，所以将函数g(x)的图象向右平移个单位长度得到函数f (x)的图象． (2)(2024·聊城期中)若函数f (x)＝sin 的图象向右平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数g(x)是偶函数，则m的最小值是( ). A．－　　　 B． C．　　　 D． 【解析】函数f (x)＝sin 的图象向右平移m(m>0)个单位长度后，得到函数f (x－m)＝sin ＝sin ＝g(x)的图象，又g(x)为偶函数，所以－2m＋＝＋kπ，k∈Z，所以m＝－－，k∈Z.当k＝－1时，m取得最小正值，所以m的最小值是. (1)三角函数的图象变换有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换． (2)对函数y＝sin ωx，y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. 【变式】若将函数f (x)＝sin (2x＋φ)＋cos (2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数g(x)＝cos (x＋φ)在上的最小值是( ). A．－　　　 B．－ C．　　　 D． 【解析】因为f (x)＝sin (2x＋φ)＋cos (2x＋φ)＝2sin ，所以将函数f (x)的图象向左平移个单位长度后，得到图象对应的函数解析式为y＝2sin ＝2cos .因为函数y＝2cos 的图象关于点对称，所以2cos ＝0，所以π＋φ＋＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝，所以g(x)＝cos .因为x∈，所以x＋∈，所以cos ∈，所以函数g(x)＝cos (x＋φ)在上的最小值是. 题型3　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)图象与性质的综合运用 【例3】(多选)(2025·广东汕头高三期末)已知函数f (x)＝2sin2－1(ω>0)，则下列说法正确的有( ). A．若f (x1)＝1，f (x2)＝－1，且|x1－x2|min＝，则ω＝2 B．∃ω∈(0，2)，使得f (x)的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 C．当ω＝时，函数y＝f (x)＋m(m∈R)，x∈恰有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则x1＋2x2＋x3＝ D．若f (x)在(0，π)上恰有2个极大值点和1个极小值点，则ω∈ 【解析】因为f (x)＝2sin2－1＝－cos，所以f (x)的最小正周期T＝＝.对于A，由条件知，f (x)的最小正周期为π，所以ω＝1，故A错误；对于B，函数f (x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝－cos 的图象，其关于原点对称，则π＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝＋3k，k∈Z.又ω∈(0，2)，所以ω＝，故B正确； 对于C，函数f (x)＝－cos ，令3x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，因为x∈，所以－＜－＜，所以0＜k＜.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.令k＝1，可得f (x)图象的一条对称轴方程为x＝.令k＝2，可得f (x)图象的一条对称轴方程为x＝，由函数y＝f (x)＋m恰有三个零点，可知x1＋x2＝×2＝，x3＋x2＝×2＝，所以x1＋2x2＋x3＝，故C正确； 对于D，令t＝2ωx＋，由f (x)在(0，π)上恰有2个极大值点和1个极小值点，得3π<2ωπ＋≤4π，解得<ω≤，故D正确．故选BCD． (1)研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． (2)解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后利用数形结合思想求解． 【变式】(多选)已知函数f (x)＝sin (2x＋φ)＋1的图象向左平移个单位长度后关于直线x＝0对称，则下列说法正确的有( ). A．f (x)在区间上有一个零点 B．f (x)的图象关于点对称 C．f (x)在区间上单调递增 D．f (x)在区间上的最大值为＋1 三角函数模型的简单应用 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 【例题】(多选)如图4.4­4所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( ). 图4.4­4 A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D．点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的函数解析式为h＝4cos ＋2 【解析】设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为h＝A sin (ωt＋φ)＋B，由题意得 解得 故h＝4sin ＋2，故D错误；对于A，令h＝6，即6＝4sin ＋2，0<t<60，解得t＝20，故A正确；对于B，令t＝155，代入h＝4sin ＋2，解得h＝2，故B正确；对于C，令t＝50，代入h＝4sin ＋2，解得h＝－2，故C正确． 利用三角函数模型解决实际问题的步骤 (1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型． (2)寻找数据，建立函数解析式并解题，最后将所得结果“翻译”成实际问题的答案． 【变式】(2024·合肥八中高三期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为2 m，筒车的轴心O到水面的距离为1 m，筒车每分钟按逆时针转动2圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0的位置)时开始计算时间，设盛水筒M从P0运动到点P时所用时间为t(单位：s)，且此时点P距离水面的高度为h(单位：m).若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图4.4­5)， 则h与t的函数关系式为( ). A．h＝2sin ＋1，t∈[0，＋∞) B．h＝2sin ＋1，t∈[0，＋∞) C．h＝2sin ＋1，t∈[0，＋∞) D．h＝2sin ＋1，t∈[0，＋∞) 【解析】因为∠xOP0＝，所以－是以Ox为始边，OP0为终边的角，由OP在t s内转过的角为＝t，可知以Ox为始边，以OP为终边的角为t－，则点P的纵坐标为2sin ，所以h＝2sin ＋1，t∈[0，＋∞). $