1.3.1 函数单调性与导数教学设计-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

1.3.1 函数的单调性与导数的教学设计 一、基本信息 课题 1.3.1 函数的单调性与导数 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学选择性必修第二册 年级 高二 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学抽象：理解函数的单调性与导数符号之间的内在联系，体会导数作为研究函数单调性的工具性本质，建立 “导数符号 — 函数增减性” 的对应关系. 2. 逻辑推理：能通过导数的几何意义推导函数单调性与导数的关系，掌握利用导数判断函数单调性的逻辑依据，能辨析导数与单调性的充分必要关系. 3. 数学运算：熟练掌握基本初等函数的导数公式及运算法则，能规范求解不含参数及简单含参数函数的单调区间，提升代数运算与不等式求解能力. 4. 直观想象：能结合函数图像直观感知导数符号与函数增减性的关联，通过几何画板动态演示理解导数为 0 的孤立点不影响函数单调性，培养数形结合思想. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 函数单调性与导数符号的对应关系. 2. 利用导数求函数单调区间的基本步骤. 3. 导数与函数单调性关系的辨析. （二）教学难点 1. 理解导数符号与函数单调性的内在逻辑联系. 2. 区分 “” 与 “单调递增” 的充分不必要关系. 3. 含单参数函数的单调区间分类讨论. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 启发式教学法、探究式教学法、数形结合法、讲练结合法 （二）教具准备 多媒体课件（展示函数图像与导数变化趋势）、几何画板（动态演示导数与单调性的对应关系）、直角坐标系板书图、直尺 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 函数单调性的定义：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，若，则在上单调递增；若，则在上单调递减. · 用定义判断函数单调性的步骤：取值→作差→变形→定号→结论. · 基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则. 2. 情境引入 · 提出问题：用定义判断函数、的单调性时，作差变形过程繁琐，对于更复杂的函数几乎无法操作，是否存在更简便的方法研究函数单调性？ · 几何画板展示：依次画出、、、的图像及对应点的切线，引导学生观察：函数在某区间单调递增 / 递减时，切线斜率（导数）的符号有什么规律？ · 设计意图：通过对比定义法的局限性，激发学生探究欲望，结合几何直观建立导数与单调性的初步联系，引出课题. （二）新知探究（25 分钟） 1. 函数单调性与导数符号的关系 · 探究 1：观察的图像，当时，函数单调递增，切线斜率为正，即；当时，函数单调递减，切线斜率为负，即. · 探究 2：观察的图像，函数在上单调递增，其导数，仅在处导数为 0，且该点为孤立点，不影响函数整体单调性. · 一般结论：设函数在区间内可导， · 如果在区间内，，那么函数在区间上单调递增； · 如果在区间内，，那么函数在区间上单调递减. · 关键辨析： i. 若在区间内仅在有限个点处成立，则函数在区间上仍单调递增 / 递减； ii. 是在上单调递增的充分不必要条件；反之，若在上单调递增，则且不恒为 0. 2. 利用导数求函数单调区间的步骤 引导学生结合上述结论，总结规范步骤： a. 确定定义域：先写出函数的定义域（定义域优先原则）； b. 求导：计算函数的导数； c. 解不等式：解，解集与定义域的交集为函数的单调递增区间；解，解集与定义域的交集为函数的单调递减区间； d. 写结论：用区间形式清晰写出函数的单调区间. 3. 含单参数函数的单调性初步 · 问题：已知函数，讨论其单调性. · 引导分析：先求导得，由于参数的取值会影响的符号，因此需对进行分类讨论： · 当时，，，函数在上单调递增； · 当时，令，解得；令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减. · 设计意图：初步渗透分类讨论思想，为后续复杂含参问题奠定基础. （三）例题讲解（10 分钟） 例 1（基础运算） 求下列函数的单调区间： (1) ；(2) . · 解： (1) 函数的定义域为， . 令，解得或； 令，解得. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. (2) 函数的定义域为， . 令，解得； 令，解得. 故的单调递增区间为，单调递减区间为. · 设计意图：规范求单调区间的步骤，强化定义域优先原则，区分 “和” 与 “∪” 在单调区间表示中的用法. 例 2（辨析题） 判断下列命题的真假，并说明理由： (1) 若在上恒成立，则在上单调递增； (2) 若在上单调递增，则在上恒成立. · 解： (1) 真命题.根据导数与单调性的关系，若，则函数在该区间单调递增. (2) 假命题.反例：在上单调递增，但，即在R上恒成立，而非. · 设计意图：突破教学难点，深化学生对导数与单调性逻辑关系的理解. 例 3（简单应用） 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围. · 解：函数的定义域为， . 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立. 当时，，故. 当时，在上恒成立，符合题意. 综上，实数的取值范围是. · 设计意图：将单调性问题转化为恒成立问题，体现导数的工具性，提升学生综合应用能力. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 填空： · 函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . · 函数的单调递减区间是 . 2. 判断： · 若函数在区间上单调递减，则在上恒成立.（ ） · 函数的单调递增区间是.（ ） （五）课后小结（2 分钟） 1. 一个核心关系：在可导区间内，单调递增；单调递减（注意导数为 0 的孤立点不影响单调性）. 2. 一套标准步骤：求函数单调区间的四步曲：确定定义域→求导→解不等式→写区间. 3. 两个关键注意：定义域优先原则；是单调递增的充分不必要条件. 4. 两种数学思想：数形结合思想、分类讨论思想. 六、板书设计 1.3.1 函数的单调性与导数 一、单调性与导数的关系 设在内可导 · 在上单调递增 · 在上单调递减 · 辨析：单调递增且不恒为 0 二、求单调区间的步骤 1. 确定定义域 2. 求导 3. 解（递增）、（递减） 4. 写区间（与求交集） 三、含参单调性讨论 分类依据：导数符号的分界点 四、例题解答区 （此处预留空间用于现场推导例 3） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $