专题01 解二元一次方程组及其实际应用（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题1 解二元一次方程组及其实际应用 类型一：直接解二元一次方程组 类型二：新定义运算解二元一次方程组 类型三：二元一次方程组与数学文化（九章算术、算法统宗、幻方等） 类型四：二元一次方程组的实际应用 类型一：直接解二元一次方程组 1．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）， 把②代入①得：2（y+4）+y＝14， 2y+8+y＝14， 解得：y＝2， 把y＝2代入②得：x＝2+4＝6， 故原方程组的解是：； （2）， ②﹣①得：3x﹣3x+2y+y＝5+1， 3y＝6， 解得：y＝2， 把y＝2代入①得：3x﹣2＝﹣1， 解得：， 故原方程组的解是：． 2．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①+②解得：x＝2； 把x＝2代入②解得：y＝﹣4； ∴方程组的解为：； （2）， ①+②×2解得：x＝1； 把x＝1代入②解得：y＝0； ∴方程组的解为：． 3．解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①×4，得4x﹣8y＝16③， ③﹣②，得﹣11y＝11， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①，得x+2＝4， 解得：x＝2， ∴方程组的解为； （2）， 整理，得， ②×2，得2x+4y＝22③， ③﹣①，得3y＝9， 解得：y＝3， 把y＝3代入①，得2x+3＝13， 解得：x＝5， ∴方程组的解为． 4．解下列方程组： （1） （2） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）， ①×5﹣②得：6x＝3， 解得：x＝0.5， 把x＝0.5代入①得：y＝5， 则方程组的解为； （2）方程组整理得：， ②×3﹣①得：2x＝﹣7， 解得：x＝﹣3.5， 把x＝﹣3.5代入②得：y＝﹣3， 则方程组的解为． 5．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， 将②代入①得：2（y+1）+3y＝22， 整理得：5y+2＝22， 解得：y＝4， 将y＝4代入②得：x＝4+1＝5， 故原方程组的解为； （2）， ①×2+②得：8x＝18， 解得：x， 将x代入②得：4y＝4， 解得：y， 故原方程组的解为． 6．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， 由①+②得：9x＝9， 解得x＝1， 将x＝1代入①得：7+3y＝1， 解得y＝﹣2， 则方程组的解为． （2）， 由①﹣②×4得：y+6y＝3+4， 解得y＝1， 将y＝1代入①得：2x+1＝3， 解得x＝1， 则方程组的解为． 7．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ②﹣①，得4y＝8， 解得：y＝2， 把y＝2代入①，得x﹣2＝1， 解得：x＝3， 所以原方程组的解是； （2）， ①+②，得5x＝10， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得6y＝8， 解得：y＝4， 所以原方程组的解是． 8．解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ②﹣①×2得：5y＝﹣19， 解得：y， 将y代入①得：2x3， 解得：x， 故原方程组的解为； （2）原方程组整理得， ①+②×5得：46y＝46， 解得：y＝1， 将y＝1代入①得：5x+1＝36， 解得：x＝7， 故原方程组的解为． 类型二：新定义运算解二元一次方程组 9．对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1＝4，1※2＝3．则2※1的值是 　9　 ． 【答案】9 【解答】解：∵1※1＝4，1※2＝3， ∴， 解得：， 则x※y＝5x﹣y ∴2※1＝2×5﹣1＝9， 故答案为：9． 10．对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如：3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝1，则x+y的值是 　1　 ． 【答案】1 【解答】解：根据题中的新定义化简得：， ①+②得：3x+3y＝3， 则x+y＝1． 故答案为：1． 11．定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+bxy，其中a，b为常数，且1⊕2＝4，2⊕（﹣1）＝5，则a+b＝　3.5　 ． 【答案】3.5． 【解答】解：∵x⊕y＝ax+bxy，其中a，b为常数，且1⊕2＝4，2⊕（﹣1）＝5， ∴， ①+②，可得3a＝9， 解得a＝3， 把a＝3代入①，解得b＝0.5， ∴原方程组的解是， ∴a+b＝3+0.5＝3.5． 故答案为：3.5． 12．对于实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10． （1）若m⊗（﹣3）＝5，求m的值； （2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2×m+（﹣3）＝2m﹣3＝5，解得m＝4． （2）根据题中的新定义化简得：， ①+②得：3x+3y＝1， 则x+y． 13．对x，y定义一种新运算T，规定（其中a，b是非零常数且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：． （1）填空：T（4，﹣1）＝　　 （用含a，b的代数式表示）； （2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，求a与b的值． 【答案】（1）； （2）a＝1，b＝﹣1． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）∵T（﹣2，0）＝﹣2，T（5，﹣1）＝6， ∴， 即， 解得， ∴a＝1，b＝﹣1． 14．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10． （1）求3⊗（﹣6）的值； （2）若x⊗（﹣y）＝2018，且2y⊗x＝﹣2019，求x+y的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝6﹣6＝0； （2）已知等式利用题中的新定义化简得： 2x﹣y＝2018①， 4y+x＝﹣2019②， ①+②得：3x+3y＝﹣1， 则x+y． 类型三：二元一次方程组与数学文化（九章算术、算法统宗、幻方等） 15．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似地，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意可列方程为． 故选：D． 16．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 17．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得，， 故选：A． 18．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品价值y元，则根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵每人出8元，多3元， ∴8x﹣3＝y； ∵每人出7元，少4元， ∴7x+4＝y． ∴根据题意可列方程组为． 故选：A． 19．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设买甜果x个，买苦果y个，由题意可得， ， 故选：A． 20．今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》） 题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意得． 故选：A． 21．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系得： ， 故选：A． 22．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺， ∴x﹣y＝4.5； ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， ∴． ∴所列方程组为． 故选：B． 23．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”设有醇酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，可列方程组为． 故选：A． 类型四：二元一次方程组的实际应用 24．2025年12月22日，我县某校开展的“情暖冬至，传承传统”劳动实践活动上了《贵州教育报》，学生们自己动手包饺子等劳动实践活动，在劳动中感悟节日的内涵，不仅丰富了校园生活，更在潜移默化的培养了学生的文化自信，让传统节日焕发新生．该校七年级（2）班共有学生50人，其中女生人数比男生少6人，并且每名学生每节课可以制作20张饺皮或者包饺子30个． （1）求该班男生、女生各多少人？ （2）班主任计划让男生负责制作饺皮，女生负责包饺子，一张饺皮包一个饺子，那么女生应向男生支援多少人时，才能使这节课制作的饺皮正好用完？ 【答案】（1）男生28人，女生22人； （2）女生应向男生支援2人． 【解答】解：（1）设该班男生有x人，则女生有x﹣6人． 根据题意列一元一次方程得，x+（x﹣6）＝ 50， 整理得，2x＝56， 解得x＝28， ∴男生人数：28人，女生人数：28﹣6＝22人； （2）设女生向男生支援y人， 根据题意得，制作饺皮的总人数：28+y人，每节课可做饺皮20（28+y）张；包饺子的总人数：22﹣y人，每节课可包饺子30（22﹣y）个， ∵“一张饺皮包一个饺子”， ∴根据题意列一元一次方程得，20（28+y）＝ 30（22﹣y）， 整理得，50y＝100， 解得y＝2． 答：女生应向男生支援2人． 25．李老师为了鼓励同学们，计划购买一些笔记本和钢笔作为奖品．已知买3本笔记本和2支钢笔共需要170元；买2本笔记本和3支钢笔共需要180元． （1）求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ （2）若李老师需购买笔记本和钢笔共40件，求总费用w（单位：元）与笔记本的数量a（单位：本；0＜a≤24，且a为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 【答案】（1）每本笔记本30元，每支钢笔40元； （2）w＝﹣10a+1600，1360元． 【解答】解：（1）设每本笔记本m元，每支钢笔n元， 根据题意，得：， 解这个方程组，得， 答：每本笔记本30元，每支钢笔40元． （2）根据题意，得： w＝30a+40（40﹣a）＝﹣10a+1600（0＜a≤24，且a为整数）． ∵﹣10＜0， ∴w的值随着a值的增大而减小． ∵0＜a≤24， ∴当a＝24时，w取得最小值，最小值为﹣10×24+1600＝1360． 故总费用至少要1360元． 答：总费用w（单位：元）与笔记本的数量a（单位：本；0＜a≤24，且a为整数）之间的关系式为w＝﹣10a+1600，总费用至少要1360元． 26．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大、小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）该车间有男、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大、小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人生产大齿轮，多少名工人生产小齿轮？ 【答案】（1）该车间有男生31人，女生54人； （2）应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 【解答】解：（1）设该车间有男生x人，女生y人， 根据题意得：， 解得：， 答：该车间有男生31人，女生54人； （2）设应该分配m名工人生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人生产小齿轮， 根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m）， 解得：m＝25， ∴85﹣m＝60， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 27．毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案： 方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元； 方案二：团体票（10人及以上）每张80元． （1）小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？ （2）织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算； （3）现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由． 【答案】（1）小明一家有成年人4个，儿童3个； （2）选择方案一最划算； （3）最省钱的购票方案是购买10张团体票和1张儿童票，总费用850元． 【解答】解：（1）设成年人数为a，儿童数为c， 根据题意列二元一次方程组得， ， 解得：， 即小明一家有成年人4个，儿童3个， 答：小明一家有成年人4个，儿童3个； （2）方案一费用：120×4+50×6＝480+300＝780（元）， 方案二费用：80×10＝800（元）， 780＜800， ∴选择方案一最划算； （3）全部个人票费用：120×7+50×4＝840+200＝1040（元）， 全部团体票费用：80×11＝880（元）， 购买10张团体票和1张儿童票，总费用800+50＝850（元）， 850元＜880元＜1040元， ∴最省钱的购票方案是购买10张团体票和1张儿童票，总费用850元． 28．苗族刺绣是苗族传统手工技艺之一，也是苗族服饰主要的装饰手段，苗绣于2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店用1170元购进A，B两款苗绣产品共30件，这两款苗绣产品的进价与标价如下表所示． 类型 A款 B款 进价（元/件） 30 45 标价（元/件） 50 70 （1）这两款苗绣产品各购进多少件？ （2）若B款苗绣产品按标价的八折出售，且这30件苗绣产品全部售出后，该文创店共获得利润258元，则A款苗绣产品按标价的几折出售？ 【答案】（1）A款苗绣产品购进12件，B款苗绣产品购进18件； （2）A款苗绣产品按标价的七折出售． 【解答】解：（1）设A款苗绣产品购进x件，B款苗绣产品购进y件． 根据题意列二元一次方程组： 解得． 答：A款苗绣产品购进12件，B款苗绣产品购进18件． （2）设A款苗绣产品按标价的k折出售． 根据题意列一元一次方程：， 整理得，60k＝420， 解得k＝7． 答：A款苗绣产品按标价的七折出售． 29．贵阳作为“中国数谷”，大数据博览会是其标志性年度盛会．某校准备在公众开放日组织30名同学参观贵阳市大数据博览会，已知博览会某展馆分为A、B、C三个展区．根据以下素材，探索完成下列任务． 素材1：购买1张A展区门票和2张B展区门票共需130元，购买3张A展区门票和1张B展区门票共需190元，C展区门票为每张15元． 素材2：由于场地原因，每位同学只能选择一个展区参观，且每个展区都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A展区门票就赠送1张C展区门票． （1）求A展区和B展区的门票价格． （2）到达博览会后，其中有12位同学想参观A展区，9位同学想参观C展区，其余同学想参观B展区，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 【答案】（1）A场馆的门票的单价为50元，B场馆的门票的单价为40元； （2）最少门票总额为960元． 【解答】解：（1）由题意，设A场馆的门票的单价为x元，B场馆的门票的单价为y元， ∴． ∴． 答：A场馆的门票的单价为50元，B场馆的门票的单价为40元； （2）由题意得，12×50+40×（30﹣12﹣9）＝960（元）， 答：在大家初步意向下所需花费的最少门票总额为960元． 30．某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了4.5km，付车费9.25元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了6km，付车费11.5元．” （1）出租车的起步价是多少元？超过3千米后每千米收费多少元？ （2）小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5km，应付车费多少元？ 【答案】（1）出租车的起步价是7元，超过3千米后每千米收费1.5元； （2）应付车费15.25元． 【解答】解：（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元， 依题意得：， 解得：， 答：出租车的起步价是7元，超过3千米后每千米收费1.5元； （2）7+（8.5﹣3）×1.5＝15.25（元）． 答：小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5km，应付车费15.25元． 31．2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． （1）该工厂有男工、女工各多少名？ （2）该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】（1）该工厂有男工25人，女工65人； （2）50名工人制作盒身，40名工人制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【解答】解：（1）设该工厂有男工x人，则有女工（90﹣x）人， 根据题意得：90﹣x＝3x﹣10， 解得：x＝25， ∴90﹣x＝90﹣25＝65（人）． 答：该工厂有男工25人，女工65人； （2）设y名工人制作盒身，才能使每天制作的盒身与盒底恰好配套， 根据题意得：2×400y＝1000（90﹣y）， 解得：y＝50． 90﹣y＝40（名）， 答：50名工人制作盒身，40名工人制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 32．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录．截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进A，B两种型号的灯笼共100对，共用去3780元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） A 54 72 B 27 32 （1）求该商家购进A，B两种型号的灯笼各多少对？ （2）为迎接新春到来，某单位购买A，B两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买A，B两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 【答案】（1）购进A种型号的灯笼40对，B种型号的灯笼60对； （2）购进A种型号的灯笼2对，B种型号的灯笼6对，此时商家获利66元． 【解答】解：（1）设商家购进A种型号的灯笼a对，B种型号的灯笼b对，根据题意得： ， 解得， 即商家购进A种型号的灯笼40对，B种型号的灯笼60对， 答：商家购进A种型号的灯笼40对，B种型号的灯笼60对； （2）设商家购进A种型号的灯笼x对，B种型号的灯笼y对，根据题意得： 72x+32y＝336， 即9x+4y＝42， ∵两种型号都购买， ∴x，y均为正整数， 当x＝1时，不为整数； 当x＝2时，y＝6，符合题意； 当x＝3时，不为整数； 当x＝4时，，不为整数；不符合题意； 当x＝5时，，不符合题意； ∴购进A种型号的灯笼2对，B种型号的灯笼6对， 此时商家获利2×（72﹣54）+6×（32﹣27）＝36+30＝66（元）． 答：购进A种型号的灯笼2对，B种型号的灯笼6对，此时商家获利66元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 解二元一次方程组及其实际应用 类型一：直接解二元一次方程组 类型二：新定义运算解二元一次方程组 类型三：二元一次方程组与数学文化（九章算术、算法统宗、幻方等） 类型四：二元一次方程组的实际应用 类型一：直接解二元一次方程组 1．解方程组： （1）； （2）． 2．解方程组： （1）； （2）． 3．解下列方程组： （1）； （2）． 4．解下列方程组： （1） （2） 5．解方程组： （1）； （2）． 6．解方程组： （1）； （2）． 7．解方程组： （1）； （2）． 8．解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 类型二：新定义运算解二元一次方程组 9．对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1＝4，1※2＝3．则2※1的值是 　 　 ． 10．对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如：3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝1，则x+y的值是 　 ． 11．定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+bxy，其中a，b为常数，且1⊕2＝4，2⊕（﹣1）＝5，则a+b＝　 　 ． 12．对于实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10． （1）若m⊗（﹣3）＝5，求m的值； （2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值． 13．对x，y定义一种新运算T，规定（其中a，b是非零常数且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：． （1）填空：T（4，﹣1）＝ 　 （用含a，b的代数式表示）； （2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，求a与b的值． 14．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10． （1）求3⊗（﹣6）的值； （2）若x⊗（﹣y）＝2018，且2y⊗x＝﹣2019，求x+y的值． 类型三：二元一次方程组与数学文化（九章算术、算法统宗、幻方等） 15．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似地，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（　　） A． B． C． D． 16．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组 　 ． 17．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 18．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品价值y元，则根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 19．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 20．今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》） 题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 21．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　） A． B． C． D． 22．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 23．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”设有醇酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 类型四：二元一次方程组的实际应用 24．2025年12月22日，我县某校开展的“情暖冬至，传承传统”劳动实践活动上了《贵州教育报》，学生们自己动手包饺子等劳动实践活动，在劳动中感悟节日的内涵，不仅丰富了校园生活，更在潜移默化的培养了学生的文化自信，让传统节日焕发新生．该校七年级（2）班共有学生50人，其中女生人数比男生少6人，并且每名学生每节课可以制作20张饺皮或者包饺子30个． （1）求该班男生、女生各多少人？ （2）班主任计划让男生负责制作饺皮，女生负责包饺子，一张饺皮包一个饺子，那么女生应向男生支援多少人时，才能使这节课制作的饺皮正好用完？ 25．李老师为了鼓励同学们，计划购买一些笔记本和钢笔作为奖品．已知买3本笔记本和2支钢笔共需要170元；买2本笔记本和3支钢笔共需要180元． （1）求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ （2）若李老师需购买笔记本和钢笔共40件，求总费用w（单位：元）与笔记本的数量a（单位：本；0＜a≤24，且a为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 26．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大、小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）该车间有男、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大、小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人生产大齿轮，多少名工人生产小齿轮？ 27．毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案： 方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元； 方案二：团体票（10人及以上）每张80元． （1）小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？ （2）织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算； （3）现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由． 28．苗族刺绣是苗族传统手工技艺之一，也是苗族服饰主要的装饰手段，苗绣于2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店用1170元购进A，B两款苗绣产品共30件，这两款苗绣产品的进价与标价如下表所示． 类型 A款 B款 进价（元/件） 30 45 标价（元/件） 50 70 （1）这两款苗绣产品各购进多少件？ （2）若B款苗绣产品按标价的八折出售，且这30件苗绣产品全部售出后，该文创店共获得利润258元，则A款苗绣产品按标价的几折出售？ 29．贵阳作为“中国数谷”，大数据博览会是其标志性年度盛会．某校准备在公众开放日组织30名同学参观贵阳市大数据博览会，已知博览会某展馆分为A、B、C三个展区．根据以下素材，探索完成下列任务． 素材1：购买1张A展区门票和2张B展区门票共需130元，购买3张A展区门票和1张B展区门票共需190元，C展区门票为每张15元． 素材2：由于场地原因，每位同学只能选择一个展区参观，且每个展区都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A展区门票就赠送1张C展区门票． （1）求A展区和B展区的门票价格． （2）到达博览会后，其中有12位同学想参观A展区，9位同学想参观C展区，其余同学想参观B展区，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 30．某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了4.5km，付车费9.25元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了6km，付车费11.5元．” （1）出租车的起步价是多少元？超过3千米后每千米收费多少元？ （2）小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5km，应付车费多少元？ 31．2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． （1）该工厂有男工、女工各多少名？ （2）该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 32．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非文化遗产代表作名录．截至目前，我国有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数位居世界第一．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，家家户户都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进A，B两种型号的灯笼共100对，共用去3780元，这两种型号的灯笼的进价、售价如下表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） A 54 72 B 27 32 （1）求该商家购进A，B两种型号的灯笼各多少对？ （2）为迎接新春到来，某单位购买A，B两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费336元，请你计算购买A，B两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $