2.4单摆 课件 -2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

第二章 机械振动 4 单摆 授课教师：是金子 人教版（2019）高中物理（选择性必修一） 1 摆动的钟摆、荡起的秋千，它们在平衡位置附近做往复运动，这种运动是不是简谐运动呢？ 新课引入 单摆 1.定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的长度不可改变，细线的 与小球相比可以忽略，球的 与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 2.特点： (1)悬点：固定 (2)摆球：体积小、质量大（视为质点） (3)摆线：细而长、不可伸长 (4)不计一切阻力 理想化模型 一、单摆及其回复力 质量 直径 思考与讨论： 1.单摆摆动时，摆球的运动是简谐运动吗？ 2.用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？ 方法一：分析单摆的回复力与位移是否成正比并且方向相反； 方法二：分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系。 一、单摆及其回复力 方法一：从图像判断 如图，细线下悬挂一除去柱塞的注射器，其内装上墨汁。注射器摆动时，沿垂直摆动方向匀速拖动木板，观察注射器喷出的墨迹图像。 一、单摆及其回复力 第一步：假定图像为正弦曲线，测量振幅与周期，写出正弦函数表达式。 得到图像后，怎么验证单摆的振动图像是否为正弦函数图像？ 第二步：表达式计时开始位移为0，随后位移增加并为正；将每一个点的位移时间（测量值）数值代入表达式中，比较测量值与函数值是否相等，若可视相等，则为正弦曲线。 一、单摆及其回复力 方法二：从单摆的受力特征判断 小球受哪些力？回复力来源？向心力来源？ 受力分析:如图 回复力来源：重力沿切线方向的分力 向心力来源：细线的拉力和重力沿径向的分力的合力 法向： （向心力） 切向： （回复力） Fx mgsin O'  mg T O 一、单摆及其回复力 当很小时 单摆的回复力：F回=mgsinθ mg 若考虑回复力和位移的方向， (1)弧长≈x   x T 很小 一、单摆及其回复力  G T v O 思考：摆球运动到最低点O（平衡位置）时,回复力是否为零？合力是否为零？ 平衡位置： 回复力：F回= x ，由于x=0，则回复力为零 合外力：F合=T ，由于v≠0，则合外力不为零，提供向心力 l 一、单摆及其回复力 【典例1】(2024·河北省高二联考)如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是 A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B.摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小， 但回复力最大 D.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 √ 一、单摆及其回复力 【解析】摆球在运动过程中只受到重力和拉力，A错误； 单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误； 摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确； 摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。 一、单摆及其回复力 猜想：振幅、质量、摆长、重力加速度... ... 二、单摆的周期 实验方法：控制变量法 实验1：摆球质量相同，摆长L相同，观察周期T与振幅的关系？ 实验2：摆长L相同，振幅相同，观察周期T与摆球质量的关系？ 实验3：摆球质量相同，振幅相同，观察周期T与摆长L的关系？ 结论：1. 单摆的振动周期与振幅无关；2. 单摆振动周期与摆球质量无关； 3. 单摆振动周期与摆长有关 二、单摆的周期 问题：刚才的实验表明了单摆的周期与摆长的定性关系，那么二者之间有什么定量关系呢？ 二、单摆的周期 荷兰物理学家惠更斯通过实验进一步得到： 单摆做简谐运动的周期T与摆长L的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，与振幅、摆球质量无关。 二、单摆的周期 说明：①公式在摆角很小时成立。 ②l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋，d为摆球的直径。 ③g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 【典例2】(2024·辽宁省名校联盟高二期中)图为某一单摆的简化模型，其摆角α小于5°，单摆的周期为T，下列说法正确的是 A.只把摆球质量减小一半，则单摆的周期变大 B.只把摆角α变大(仍小于5°)，则单摆的周期变大 C.只将单摆摆长增加为原来的2倍，则单摆的周期将变为2T D.只将此单摆从两极移到地球赤道上，则单摆的周将 变大 √ 二、单摆的周期 【解析】根据单摆周期公式T＝2π可知，单摆周期与摆球质量无关，与摆角α无关，故A、B错误； 其他条件不变，将摆长增加为原来的2倍，则单摆的周期将变为T，故C错误； 其他条件不变，因为在赤道上的g比在两极的小，则单摆的周期将变大，故D正确。 二、单摆的周期 1. 类单摆模型 如图所示，在光滑弧面上来回滚动的小球(可视为质点)，在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下，小球运动可看成简谐运动，T＝2π。 问题：若将另一在O点小球与在A点的小球同时由静止释放，哪个小球先到达最低点O' 位置？ 【答案】O点小球做自由落体运动，R＝g，得t1＝，A点小球做类单摆运动，T＝2π，第一次到达O' 用时周期，则t2＝，t1<t2，故O点小球先到达O'位置。 三、类单摆模型 2. 等效摆长及等效重力加速度 (1)等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。 图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)等效重力加速度：一般情况下，公 式中g的值等于摆球静止在平衡位置时， 摆线的拉力与摆球质量的比值。 三、类单摆模型 【典例3】如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3组合系住一质量分布均匀的小球，球的直径为d(d≪l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°，重力加速度为g。则： (1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？ 【解析】根据题意可知，若小球以O'为圆心做简谐运动，所以摆长为l＝l0＋振动的周期为T1＝2π＝2π＝2π 三、类单摆模型 (2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？ 三、类单摆模型 【解析】根据题意可知，若小球以O为圆心做简谐运动，摆长l'＝l0＋l0sin α＋振动周期为T2＝2π＝2π＝2π。 【拓展】在(1)的前提下，若小球带电荷量为＋q，质量为m，空间分布竖直向下的匀强电场，电场强度E＝，小球摆动的周期T3是多少？ 【解析】电场和重力场合成后等效重力加速度g'＝＝2g，则周期T3＝2π＝π。 课堂小结 1. 如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为R1和R2，圆心分别为O1和O2，所对应的圆心角均小于5°，在最低点O平滑连接。M点和N点分别位于O点左右两侧，弧长MO小于NO。现分别将位于M点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放。关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是 A.恰好在O点 B.一定在O点的左侧 C.一定在O点的右侧 D.条件不足，无法确定 √ 当堂巩固 【解析】两段光滑圆弧轨道所对应的圆心角均小于5°，两个小球的运动均可以等效为单摆的简谐运动。由于R1<R2，根据单摆周期公式，小球A的周期小于B的周期，现分别将位于M点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放，两小球第一次相遇点的位置，一定在O点的右侧，选项C正确。 当堂巩固 2. (多选)(2024·长沙市高二期末)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定 A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙 两单摆 摆长之比是9∶4 B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2 C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3 D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为4∶9 √ √ 当堂巩固 【解析】根据题中图像可知1.5T甲＝T乙，f＝，所以甲和乙的周期之比为2∶3，频率之比是3∶2，故B、C正确； 根据单摆的周期公式T＝2π，可知同一地点重力加速度相同，则甲、乙的摆长之比和周期的平方成正比，即为4∶9，故A错误； 若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为9∶4，故D错误。 当堂巩固 3. 将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ(θ<5°)，摆球质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是 A.摆球做简谐运动的回复力F＝mgsin θsin α B.摆球做简谐运动的回复力为mgsin θ C.摆球做简谐运动的周期为2π D.摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为FT＝mgsin α √ 当堂巩固 【解析】重力的沿斜面向下的分力为mgsin α，该分力沿切线的分力为mgsin αsin θ，故A正确，B错误； 等效重力加速度为gsin α，故周期为T＝2π，故C错误； 摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力和重力沿斜面的分力的合力提供向心力，故FT－mgsin α＝m，故FT>mgsin α，故D错误。 当堂巩固 4. (2025·苏州市高二期中)正在修建的楼房顶上固定一根不可伸长的细线垂到图示窗沿下，某同学想应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，他先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保 持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为l＝1 m。他打开 窗户，让小球在垂直于墙的竖直平面内做小角度摆动，如图所示， 从小球第1次通过图中的B点开始计时到第17次通过B点共用时40 s。 当地重力加速度g取10 m/s2，π2取10，根据以上数据，求： (1)该单摆的周期； 当堂巩固 【解析】从小球第1次通过题图中的B点开始计时到第17次，则完成的周期个数为n＝＝8，依题知这8个周期共用时40 s，则单摆周期为T＝ s＝5 s (2)房顶到窗上沿的高度h。 当堂巩固 【解析】球心到窗上沿的距离l＝1 m，由于该单摆在左右两侧摆动的摆长变化，故周期公式为T＝(T1＋T2)＝(2π＋2π)，代入数据解得房顶到窗上沿的高度为h＝15 m。 5. (多选)如图所示，在一个水平放置的槽中，小球自A点以沿AD方向的初速度v开始运动，已知圆弧AB＝0.9 m，AB圆弧的半径R＝10 m，AD＝10 m，A、B、C、D在同一水平面内，不计摩擦，重力加速度g取10 m/s2，欲使小球恰好能通过C点，则其初速度的大小可能是 A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s √ √ 当堂巩固 【解析】小球自A点以向AD方向的初速度v开始运动，把小球的运动进行分解，一个是沿AD方向的匀速运动，一个是在竖直面上摆角很小的单摆，可近似看作简谐运动，根据单摆周期公式有T＝2π＝2π s，小球自A点运动到C点，在竖直面上运动的时间为t＝(2n＋1)＝(2n＋1)π s(n＝0，1，2，3…)，由于分运动的等时性，故初速度为v＝ m/s(n＝0，1，2，3…)，当n＝0时，则v1＝ m/s；当n＝1时，则v2＝ m/s，故选A、C。 当堂巩固 EV录屏5.4.8软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn EV录屏5.4.8软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn EV录屏5.4.8软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $