2026年高考数学九大命题热点预测45题-2026年高考数学考前最后一课

2026年高考数学的九大命题热点预测 目 录 热点01 新定义试题：新概念、新运算、新性质 1 热点02 新情境试题：数学文化、科技应用、生活建模 7 热点03 跨学科交汇题：数学+化学/物理/生物/历史 12 热点04 函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题 17 热点05 数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和 24 热点06 三角经典问题：三角函数的图象与性质、三角形中的三线问题 28 热点07 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 33 热点08 解析几何压轴题：离心率、定点（值）、最值或范围、存在性问题 39 热点09概率与统计创新考法：决策问题、统计案例、马尔科夫链 46 热点01 新定义试题：新概念、新运算、新性质 【热点衔接】 2026 年高考数学新定义题延续 “反套路、重迁移” 命题导向，是素养考查核心载体，必考且区分度高。题型覆盖选择、填空、解答，压轴题常以数列、函数、解析几何为载体，融合新概念、新运算、新性质三类考法。命题紧扣课标，锚定向量、函数、数列等主干知识，外裹创新定义，本质是 “旧知识新包装”。试题强化现场学习、阅读理解与逻辑推理能力，情境贴近科技、生活，设问开放探究，强调从特殊到一般的思维迁移。备考需吃透定义本质，拆解新规则转化为常规问题，突破 “看不懂、不会转” 的难点，适配高考 “破套路、强思维” 的考查趋势。 【热点词】 新定义、新概念、新运算、新性质 【命题角度】 1.新概念型：引入课本未有的概念（如 “可分数列”“K 列”），考查理解与迁移。 2.新运算型：定义新符号 / 法则（如(a*b、a⊕b），按规则运算。 3.新性质型：给出对象满足的新性质（如 “和谐函数”“等差比数列”），推导论证。 【押题预测】 1．（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 2．（2026·贵州黔西南·二模）定义：对于空间一个平面和该平面外两点，，若在平面内存在一点使得取得最小值，则称为，两点关于平面的“最短距点”.如图，已知正方体的棱长为2，与交于点，点为线段的中点，其中，点是，两点关于平面的“最短距点”，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长到，使得，连接交平面于， 根据两点之间线段最短可知：此时是，两点关于平面的“最短距点”， 连接，则， 故，故， 因此， ， 因此， 故直线与所成角的余弦值为. 3．（25-26高三上·上海·月考）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．上存在点，使得 C．若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D．上的点的纵坐标的最大值为 【答案】D 【解析】对于A，由图可知，点在上，则，所以，故A错误； 对于B，设曲线上任一点（且）， 由，可得，则， 即上不存在点，使得，故B错误； 对于C，直线与均经过原点，则直线与除原点外无其他公共点， 联立方程组，整理得， 当时，方程仅有一解，满足题意， 当时，整理得， 当时，方程恒成立，因为恒有一解， 所以无解，即当时，方程无解， 综上，，解得或，即的取值范围为，故C错误； 对于D，方程可化为， 令，得， 由，可得， 即，易知等号成立，故上的点的纵坐标的最大值为，故D正确； 故选：D. 4．（多选）（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．，使得 C．数列的通项公式 D．，都有 【答案】AC 【解析】因为定义在上的函数满足：，且， 所以，所以， 又，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，所以， 若，得，解得，又，不存在的值， 所以不存在，使得，故B错误； 当时，由，得，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是函数的第一个极小值点. 若时，则， 则， 所以，， 所以，即 递推得， 求导得， 令，可得，解得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的第个极小值点为， 所以，即，故C正确； 所以第个极小值为 当时，极小值，故D错误. 5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 则有，，即有，， 由题意可得，故，且有，解得， 又，故或，当时，；当时，有； 综上可得：. 热点02 新情境试题：数学文化、科技应用、生活建模 【热点衔接】 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知识的考查置于具体背景中，引导学生由“解答试题”转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能力。 2026 年高考数学新情境试题将聚焦数学文化、科技应用、生活建模三大方向，凸显素养立意。数学文化类，侧重古今中外数学成就融合，如《九章算术》算法、割圆术、斐波那契数列等，结合数列、概率、几何知识考查，传递文化自信。科技应用类紧扣前沿热点，以 AI 算法、新能源、航天工程、大数据分析为载体，考查函数建模、数列递推、概率统计，强化数学建模与数据分析能力。生活建模类贴近现实，聚焦经济优化、环境治理、民生规划等，构建方程、不等式、函数模型，考查解决实际问题能力。试题呈现 “真实情境 + 核心知识” 融合特点，解法更灵活，强调从情境抽象数学问题的能力，难度梯度合理，区分思维层次。 【热点词】 九章算术、新质生产力、AR 技术、智能制造、文化创新、高质量发展、中国智造 【命题角度】 1.以中华古代数学典籍、传统工艺、民俗历法为载体，融合数列、几何、概率等知识，渗透文化自信，侧重从古文情境提炼数学模型，考查阅读理解与传统文化理解能力。 2. 依托航天航空、人工智能、大数据、新能源等前沿科技背景，结合函数、统计、数列建模，考查数据处理、逻辑推理与数学抽象应用能力。 3.立足经济消费、民生规划、环境治理、工程优化等现实场景，以不等式、函数、概率统计为工具，考查建立数学模型、解决实际生活问题的素养。 【押题预测】 1．(2026·四川乐山·月考)在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为点沿平移后，坐标为， 点沿平移后，坐标为； 点沿平移后坐标为， 因为三次平移后坐标为，故，解得. 2．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【解析】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入： . 3．（多选）（2026·浙江·三模）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 【答案】ABD 【解析】由题意可知：，，，， 则， 可知数列是首项为，公比为的等比数列，则，， 所以，故A正确； 因为，则，即，故B正确； 因为， 即，所以不存在，使得，故C错误； 由等比数列性质可知，即，都有，故D正确. 4．（多选）（2026·浙江金华·二模）第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意知，，，， 因为， 所以，故， 对于A，当时，则，此时，， 所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确； 对于B，因，故，即，故B错误； 对于C，当时，将代入得， 解得满足，故C正确； 对于D，当时，，代入得， 即满足，故D正确. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； (2)该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 【解析】（1）平均数分  . （2）设事件：元件实际合格，事件：元件被AI判定为不合格， 由题意得： ，，，， ① 由全概率公式：. ②由题意，，计算概率得： ，， ， ， 分布列为： （3）设每件元件收益为，分四种情况计算期望： 实际合格，AI判合格：，概率； 实际合格，AI判不合格：，概率； 实际不合格，AI判合格：，概率； 实际不合格，AI判不合格：，概率. 期望元 . 热点03 跨学科交汇题：数学+化学/物理/生物/历史 【热点衔接】 2026年高考数学将持续强化跨学科命题趋势，数学与物理、化学、生物、历史多领域深度交汇，成为高考命题重要热点。此类试题以真实学科情境为载体，将函数、数列、概率统计、立体几何、拟合建模等数学知识，融入物理运动规律、化学定量计算、生物种群变化、历史人口统计与史料数据分析等场景。 命题摒弃纯理论刷题套路，侧重考查从跨学科情境中提取数学信息、建立数学模型、运用数学工具解决实际问题的核心素养。题型多分布在多选题、填空题与解答题，贴近新高考素养立意。 试题注重情境真实化、应用生活化，强调学科知识融合迁移，弱化机械公式套用。备考需学会剥离学科背景，提炼数量关系与模型结构，熟练掌握建模、运算、数据分析能力，适配新高考跨学科融合的命题风向。 【热点词】 光学性质、跨学科、生物、历史、物理、化学 【命题角度】 1.数学与物理：结合运动规律、电路、力学模型，考查函数、三角函数、向量与最值求解。 2.数学与化学：依托反应配比、平衡浓度、晶体结构，考查数列、比例运算、立体几何。 3.数学与生物：围绕种群增长、遗传概率、细胞繁殖，考查指数函数、统计概率、数列建模。 4.数学与历史：结合人口变迁、史料数据、历法纪年，考查统计分析、数列推算、线性拟合。 【押题预测】 1．（2026·广西南宁·二模）抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于抛物线，可得焦点为，准线方程为， 根据抛物线的光学性质，可得轴，所以， 将代入抛物线，可得，即， 因为，可得 整理得，即，解得或(舍去），所以， 此时，，， 所以的面积为. 2．(多选)（2026·湖南·模拟预测）已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为，为双曲线上任意一点，则处的切线平分，已知椭圆的左、右焦点分别为，双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线相切于点，与椭圆相交于点，且点均位于第一象限，若，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率为定值1 B．椭圆的离心率为 C．双曲线的离心率为 D．为定值 【答案】ABD 【解析】设椭圆的半焦距为，离心率为，双曲线的半焦距为，离心率为， 设直线为， 联立与，得， 由得，又点均位于第一象限，所以， 所以直线的斜率为定值1，切点，故A正确； 如下图所示： 由双曲线光学性质知，直线为的平分线，由角平分线定理知， 设，则，， 从而，椭圆的离心率为， 由选项A知，又，所以， 在中，由正弦定理知， 所以椭圆的离心率为，B正确； 因为，，所以，双曲线的离心率为，故C错误； 法一：设，又点， 由定比分点坐标公式知，代入椭圆的方程，得， 化简得，故，故D正确． 法二：切点，在椭圆的右准线上，过点作轴的垂线，交轴于点，过点作准线的垂线交准线于点， 由椭圆第二定义知，又，故，故D正确． 3．（25-26高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 【答案】600 【解析】因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，则， 即，又因， 所以. 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是________． 【答案】 【解析】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为， 那么死亡1年后生物体内碳14含量为， 死亡2年后生物体内碳14含量为， 死亡5730年后生物体内碳14含量为， 所以，，所以． 5．（2026·湖南长沙联考）空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利用率．如图1是六方最密堆积晶胞的示意图． 以上下层球心为顶点得平行六面体，如图2，其中是中间层球的球心，已知该示意图中原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为________________（用含的式子表示）．    【答案】/ 【解析】    由图2知，为正四面体（如图3）． 设，，如图4，在正四面体中，作平面于， 连，则为等边三角形的中心， ， 在中，， ，   ， 该晶胞的空间利用率． 热点04 函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题 【热点衔接】 2026年高考数学函数与导数延续经典考法，仍是压轴核心模块，聚焦抽象函数、零点、不等式三大高频考点，凸显素养立意。抽象函数侧重考查奇偶性、单调性、周期性，多结合赋值法求解解析式、判断性质，题型以选择、填空为主。函数零点侧重与图像结合，考查零点个数判断、零点范围求解，常与分段函数、导数单调性融合。不等式问题核心是导数应用，考查不等式证明、恒成立与能成立问题，结合参数范围求解，多为解答题压轴。命题紧扣主干，规避偏难偏怪，强调逻辑推理与运算求解能力，备考需夯实基础，掌握图像分析法、构造函数法，突破核心题型，适配高考命题的稳定性与综合性。 【热点词】 抽象函数、零点、方程的实根、恒成立、有解、证明不等式、导数的应用 【命题角度】 1. 抽象函数：侧重考查奇偶性、单调性、周期性，常通过赋值法求解解析式、判断性质. 2. 函数零点：侧重结合图像，考查零点个数、范围，融合分段函数与导数单调性；极值点偏移问题等. 3. 导数与不等式：依托导数，考查证明、恒成立与能成立问题及参数范围求解。。 【押题预测】 1．（多选）（2026·广东江门·二模）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【解析】对于A，令，得，A正确．对于B，令，，得，因为，所以，令，得， 即存在使得，B错误． 对于C，令，得，用替换可得，所以， 当时，，又因为，所以为奇函数，设， 则，所以为奇函数，C正确． 对于D，因为， 由选项C知，同理，又为奇函数， 所以，用替换，替换可得，同理可得， 故当时，，D正确． 2．(多选)（2026·河北张家口·二模）已知函数，则（   ） A． B．函数的值域为 C．方程有且仅有3个根，，，且 D．方程的根的个数可能是0，5，6，7，8，9，10 【答案】BCD 【解析】当时，，，所以； 当时，，，所以； 则函数的图象如下： 对于A选项，，所以A选项不正确； 对于B选项，由图可知函数的值域为，所以B选项正确； 对于C选项，当时，不妨设，则，， 所以，所以C选项正确； 对于D选项，令，则，． 当时，，方程有两个不相等的负根，原方程没有根， 当时，方程的根为，原方程没有根， 当时，，知原方程无解； 当时，易得，由图可知原方程有5个不等的根； 当时，方程有两个不同实根，，不妨设， 若，函数满足，，， 则，由图可知原方程有10个不等的根，若，，原方程有9个不等的根， 若时，函数满足，， ，，，原方程有8个不等的根， 若，，原方程有个不等的根， 当时，函数满足，，， 则，，由图可知，此时原方程有6个不等的根，所以D选项正确． 3．(多选)（25-26高三上·山东·开学考试）已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（    ） A．实数的取值范围是 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】定义域为，有两个零点，可化为有两个解， 又由于，所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得， 设，则，在单调递增， 原方程可化为，由于，，都在的单调增区间里， 所以，即，设，，， 则时，，单调递增， 时，，单调递减，且恒大于0，极大值， 可画出如图所示，则要使有两个解，即与图像有两个交点，    由图像可得a的范围是，故A选项正确； 同样由图象可得，所以，故B选项正确； ，，结合，可得， 设，由于，则单调递增,所以，故C错误； 由于，所以， 设，则,，设，，， 在单调递增，，所以，又由于，， 所以，故D正确；故选：ABD. 4．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 【解析】（1）由题意可得的定义域为. 当单调递增，当单调递减. 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 有最大值，无最小值. （2）由题意，对恒成立，且. ，且. 令，则，且. 令，则，且. ①当，即时，有在上单调递增， 在上单调递增，. 在上单调递增，成立. ②当时，，且单调递增， ，有当时，单调递减，. 在上单调递减，单调递减， ，与题干矛盾，舍去. ③当时，当单调递减，则， 单调递减，单调递减，，舍去. 综上，实数的取值范围为. （3）由（1）可知，即. 令，则，. 又∵，即. 则， ， ，右式得证. 下证左式：由可知 ，令 ，则 . 由可知 ，令 ，则 . 又∵ ，证明如下： ∴，∴，即证. ∴ . 综上可得 . ， ， ， . 所以上式得证. 5．（2026·湖北·二模）函数. (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 【解析】（1）解：当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为，所以当时，；时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）解：由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，即在上有解， 令，则有解，构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增，所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. （3）解：函数有两个零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，可得， 当时，的两个解为，即，则，即， 令，则，且，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令，则， 所以在单调递增，则， 所以恒成立，所以在单调递增，可得， 又因为时，，所以. 热点05 数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和 【热点衔接】 2026年高考数学数列模块将延续经典考法，聚焦等差（比）数列证明、数列求和两大核心，是基础必考点且常与其他模块融合，难度适中、区分度合理。等差（比）数列证明侧重定义法、通项公式法，常结合递推关系变形，考查逻辑推理能力，多作为解答题第一问。数列求和以裂项相消法、错位相减法为核心，兼顾分组求和法，适配等差、等比数列及混合型数列，考查运算求解能力。命题紧扣课标，贴合主干知识，偶尔结合新定义、跨学科情境，规避偏难偏怪。备考需夯实定义与公式基础，熟练掌握证明技巧和求和方法，突破递推式变形、求和运算易错点，适配高考数列命题的稳定性与综合性。 【热点词】 等差数列、等比数列、周期数列、裂项、错位相减法、并项、分组求和 【命题角度】 1．等差数列：侧重定义证明、通项与前n项和求解，结合递推关系变形，多为基础中档题。 2．等比数列：聚焦定义与通项公式应用，考查运算能力，常与等差数列综合考查。 3. 数列求和：核心考查裂项相消、错位相减，兼顾分组求和，适配混合型数列。 【押题预测】 1．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【解析】（1），当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列．． （2），由题意知，. ， 设数列的前项和为，， ， 则， 两式相减得：， 即，． 2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 【解析】（1）由等比数列性质得， 整理得，若，所以， 两式相减，则，这与为等比数列，各项均不为0矛盾，所以舍去. 所以，，两式相减得，故的公比． （2）由，令则．此时， ， 故的前n项和 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【解析】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2） . 4．（2026·浙江·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【解析】（1）由题意：， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）知：，所以，所以，， 记数列的前n项和为，当时，； 当时，； 综上所述：. 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q. (1)请推导前n项和公式； (2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，此时. 当时，，即.① 用公比q乘①的两边，得.② ，得，即，所以. 综上， （2）当时，.显然不存在常数c，使得是等比数列. 当时，. 令，则，所以. 因为，所以是等比数列. 综上，当时，不存在常数. 当时，存在常数，使得是等比数列. 热点06 三角经典问题：三角函数的图象与性质、三角形中的三线问题 【热点衔接】 2026年高考数学三角函数模块，聚焦图象与性质、解三角形两大核心。图象与性质侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主。解三角形重点考查利用正、余弦定理解三角形，考查中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，凸显逻辑与运算能力。命题贴合课标，难度适中，多结合基础情境，规避偏难偏怪，备考需夯实公式应用，突破线段与角度转化难点，适配高考命题趋势。 【热点词】 三角函数图象、三角函数的性质、解三角形、正弦定理、余弦定理、中线、高线、角平分线 【命题角度】 1. 三角函数的图象与性质：侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主，难度适中，注重基础公式与性质的灵活应用。 2. 三角形中的三线问题：聚焦中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，考查线段与角度转化，凸显逻辑推理与运算能力 【押题预测】 1．(多选)（2026·山西·二模）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．与直线有三个公共点 C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 【答案】AC 【解析】由图象得：，解得，故A正确； 由，，得，又，将点代入中得： ，即，，解得，. 又，， 函数. 与只有一个公共点， 与只有一个公共点， 与只有一个公共点， 与只有一个公共点，故B错误； 令，即，， 解得，，故C正确； 将的图象向左平移个单位长度，得， ，图象不关于轴对称，故D错误. 2．（多选）（2026·福建·二模）已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递增 C．的一个对称中心是 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【解析】对于A选项，由题意可得，又因为，所以， 所以， 又因为，所以，解得， 由图可知函数的最小正周期满足，即，即， 故，因为，故，，所以函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由A选项可知， 当时，，故函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，因为，故不是函数的一个对称中心，C错； 对于D选项，因为， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D对. 3．（2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 则， 即， ，则，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即，又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【解析】（1）； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为，所以，得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立；故的最小值为. 5．（2026·北京通州·一模）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 【解析】（1）因为，且，所以， 设外接圆半径为，由正弦定理得 所以，即：，所以. （2）选择条件①： 由余弦定理，得，代入，，，得，则， 此时，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 选择条件②： 若，则，所以， 由余弦定理得： ， 因为，，，所以，则是直角三角形，不满足题意. 选择条件③： 若周长为18，则，由余弦定理得：， 联立解得：，，所以，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 热点07 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 【热点衔接】 2026年高考数学立体几何模块，聚焦外接球、截面、动态问题这三大核心新方向，成为区分度提升的关键模块。外接球问题侧重不规则几何体（棱锥、棱柱）的球心定位与半径求解，结合空间几何性质考查空间想象能力。截面问题聚焦截面图形判断、周长与面积计算，考验空间作图与逻辑推理能力。动态问题结合动点、动面、动线，考查轨迹判断、最值求解，融合函数与几何思想。命题贴合课标，以中档题为主，多结合基础几何体，规避偏难偏怪，备考需强化空间想象与转化能力，掌握核心解题技巧，适配高考立体几何创新命题趋势。 【热点词】 外接球、截面、动点的轨迹、动态问题 【命题角度】 1. 外接球：侧重不规则棱锥、棱柱的球心定位与半径求解，结合空间几何性质求解。 2. 截面：聚焦截面图形判断、周长及面积计算，考验空间作图能力，贴合基础几何体命题。 3. 动态问题：结合动点、动面、动线，考查轨迹判断与最值求解，融合函数与几何思想。 【押题预测】 1．（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，分别是，的中点，连接，，， 则，即四点共面， 在正方体中，得是的中点， 显然，，， 所以，故， 所以， 即，所以， 又平面，平面，所以， 又，且平面，平面， 所以平面， 因为点在正方体的表面上运动，且，所以点的轨迹是矩形， 由题可得，， 所以点的轨迹长度为． 3．（多选）（2026·福建南平·二模）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 【答案】ACD 【解析】由题意知，两球球心到各自相切的三个面的距离相等，所以球心到三个面的距离分别等于对应球的半径，因此两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上. 因此公切平面与体对角线垂直，根据正方体的对称性可得， 平面截正方体所得截面不可能为五边形，所以A正确.    如图，当截面为时，因为为正三角形，所以其面积为， 所以B错误. 设两个球的半径为，且，则.因为每个球都与一个顶点出发的三个面相切，此时可看作两个球分别棱长为的正方体的内切球，所以两球球心到相应顶点的距离为对应正方体的体对角线的一半，即.所以，所以，故C正确. 由，，得.两球体积之和， 在上单调递增，所以当时，取得最大值，最大值为，所以D正确. 4．（2026·山东东营·二模）已知一个棱长为的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为_____；如果一个半径为1的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为_____． 【答案】 【解析】已知正四面体的棱长，设正四面体的高为， 设底面正三角形的中心到顶点的距离为，则， ，正四面体的外接球球心在高上，且满足：， 外接球的体积：； 小球在一个角的情况如下图所示，作平面平面，与小球相切于点， 则小球球心为正四面体的中心，面，垂足为的中心， ， ，故，此时小球与面的切点为，连接，则，考虑小球与正四面体的面相切的情况， 则小球在面上最靠近边的切点轨迹仍为正三角形，即为，过作于， ，则， 小三角形边长，小球与面不接触部分的面积为：，小球永远不可能接触到的容器内壁面积为：． 5．（2026·湖南湘西·三模）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 【答案】/ 【解析】根据题意，将该三棱柱补成正方体，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以，由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为，即为点，则，外接球半径为， 点到直线的距离， 该截面面积最小时，点到该截面的距离为， 则截面面积的最小值为． 热点08 解析几何压轴题：离心率、定点（值）、最值或范围、存在性问题 【热点衔接】 2026年高考数学解析几何压轴题，聚焦四大核心考点，是拉开分数差距的关键模块，命题凸显综合性与创新性。离心率问题侧重椭圆、双曲线的离心率求解，结合定义、几何性质，考查运算与推理能力，常作为基础设问。定点、定值问题依托直线与圆锥曲线位置关系，考查化简变形与逻辑论证，凸显解题技巧。范围问题结合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，考验综合应用能力。存在性问题以探究性设问为主，考查分类讨论与等价转化思想。命题多结合基础圆锥曲线，情境简洁，规避偏难偏怪，强调运算严谨性与思维逻辑性，备考需夯实核心公式，掌握解题模板，突破运算难点，适配高考压轴题命题趋势。 【热点词】 离心率、定点、定值、最值、范围、存在 【命题角度】 1. 离心率问题：侧重椭圆、双曲线离心率求解，结合定义、几何性质求解。 2. 定点问题：依托直线与圆锥曲线位置关系，结合韦达定理化简变形，注重解题技巧应用。 3. 定值问题：聚焦曲线与直线交点衍生的定值探究，需化简消参，考查运算严谨性与等价转化思想，贴合压轴题基础设问。 4. 范围问题：融合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，需结合判别式、均值不等式，考验综合应用能力。 5. 存在性问题：以探究性设问为主，考查分类讨论与转化思想，需判断满足条件的点、直线是否存在，凸显思维灵活性。 【押题预测】 1．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 【答案】/ 【解析】解：如图1， 在竖直平面内，由相似关系可得，代入已知数据，得，所以椭圆形洞的高为． 如图2， 连接A与的中点交AC于G，则，如图3， ，，所以椭圆形洞的宽为．故在椭圆中，，所以离心率． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 【答案】 【解析】设双曲线E方程为， 则重心，因为内心到的距离等于内切圆半径，故的纵坐标为. 由于，所以，因为的面积， 代入得，不妨设，则有， 在中，由余弦定理得， 即，因为，则， 当时，代入得; 当时，代入得(不成立，舍去). 3．（2026·浙江·三模）已知椭圆C：，、为C的左右顶点，、为C的上下顶点，P为C上除顶点外一点，且直线、斜率乘积为． (1)求C的标准方程； (2)设Q为C上满足的一点，直线与交于H. （i）求证：； （ii）设和分别为和的面积，求的取值范围． 【解析】（1）设，则又，所以，即，故椭圆C的标准方程为； （2）（ⅰ）方法1：设斜率为k，则直线的方程为，代入， 化简得，得，， 设直线方程为代入，化简得，， 则，则，所以得证； 方法2：设，，则， 化简得，代入半角公式得 ， 化简得，则，，则， 则，， ， 所以得证； （ii） 由（ⅰ）得，则，则得， 因为，则 设，则，则，化简得，化简得，可见，H的轨迹为椭圆. 当H接近时，即P接近时，接近0，又直线为，则H到直线的距离为，则 当，时取得等号，所以，则 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.在双曲线上异于点的两点满足. (1)求双曲线的方程. (2)若，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（，，分别为直线，，的斜率） (3)记的外接圆为圆，在点处作圆的切线，求的方程. 【解析】（1）双曲线的离心率为，平方得到，又，得到. 双曲线经过点，，解得.双曲线的方程为. （2），是双曲线上异于点的两点，，， 若，则与符号相同，与在双曲线的同一支上. ，可设的斜率为，则的斜率为，与是相异两点，可知，直线， 同理直线，先联立直线与双曲线可得 ，得. 直线显然不能与双曲线的渐近线平行，，判别式， 当时，直线与双曲线必有两个交点，由韦达定理，可得，代入得到.同理，用替换式子中的可得， 将分别代入直线中，得. .是定值. （3）利用外接圆的几何性质，可知圆心在线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点处，可设的中点为，的中点为： 由（2）中已经联立直线与双曲线得到的方程：， 由韦达定理，，可得，代入直线的方程，可得， 利用相互垂直的直线斜率乘积为，可写出的垂直平分线的方程为：； 同理，用替换式中的，可得到线段的中点，，的垂直平分线的方程为：； 联立两条直线，可求得圆心的坐标，，， 过点的半径的斜率，得到切线的斜率为，所以切线. 5．（25-26高三下·云南曲靖·月考）已知抛物线的准线与圆相切． (1)求C的方程； (2)求C上的点与直线上点的距离的最小值； (3)过点且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数a，使得为常数？若存在，求出a及的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）抛物线的准线为， 因为C的准线与圆相切，所以圆心到准线的距离等于半径，故，则， 所以C的方程为． （2）C上的点与直线上点的距离的最小值即为C上的点到直线距离的最小值， 在C上任取一点，则． 该点到直线l的距离 当时，d取得最小值，最小值为，所以C上的点与直线l上点的距离的最小值为． （3）设，，由题意得直线的方程为，即，与联立，得，则，得，，， 则，若为常数，则，解得，此时，所以存在常数，使得为常数1． 热点09概率与统计创新考法：决策问题、统计案例、马尔科夫链 【热点衔接】 2026年高考数学概率与统计模块，聚焦四大核心考点，贴合素养立意，是基础重点模块。概率侧重古典概型、条件概率、全概率公式及随机变量分布、正态分布；统计聚焦数据处理与分析。方案决策结合实际情境，考查最优方案选择，凸显应用价值；统计案例侧重独立性检验、回归分析，强化数据分析能力。马尔科夫链作为新增热点，难度适中，侧重简单应用与规律判断。命题多以真实情境为载体，题型覆盖选择、填空、解答，规避偏难偏怪，备考需夯实基础，强化建模与应用能力，适配高考命题趋势。 【热点词】 决策问题、独立性检验、线性回归、马尔科夫链 【命题角度】 1. 方案设计：结合生活、生产实际情境，考查均值与方差、对比实验等方案的设计与合理性分析，侧重应用决策能力。 2. 独立性检验：依托列联表，考查卡方计算与检验结论判断，结合热点情境，凸显数据分析与逻辑推理能力。 3．回归分析：利用回归分析知识解决实际问题，其中非线性回归问题通过换元转化为线性回归求解。 4. 马尔科夫链：聚焦简单状态转移规律，考查状态判断与简单应用，难度适中，贴合高考创新导向。 【押题预测】 1．（25-26高三·辽宁沈阳·期中）为了对某批新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销后得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价（百元） 1 2 3 4 5 6 产品销量（件） 47 44 37 35 27 (1)求的值； (2)已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的回归直线方程（计算结果精确到整数位）； (3)用表示与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值 时，则将销售数据称为一个“有效采集数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效采集数据”个数的分布列和期望． 附：参考公式 参考数据：． 【解析】（1）因为，所以； （2）由题意可知，， ， 所以，，所以； （3）由题意可得 试销单价（百元） 1 2 3 4 5 6 产品销量（件） 47 44 44 37 35 27 49 45 41 37 33 29 是否有效采集数据 否 是 否 是 否 否 随机变量的可能取值为， ， 所以分布列为： 0 1 2 数学期望为. 2．（2026·河北廊坊·一模）某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的商品即可参与一次活动．活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编号分别为30，30，60，100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为a，则获得2a元购物金． (1)求顾客获得的购物金X的数学期望． (2)若原方案为方案A，该商场又策划了方案B：顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为a，b，则获得元购物金． （i）顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个方案? （ii）已知某天有3600位顾客选择方案B，求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差． 【解析】（1）购物金X的可能值为， ， 所以顾客获得的购物金X的数学期望（元）. （2）（i）由对称性不妨令，， 购物金的可能值为， ， 则（元），而， 所以顾客应选择方案. （ii）顾客选择方案B，购物金超过50元的概率， 设获得购物金超过50元的人数为，则， 所以这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差. 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【解析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，，所以试验一次结果为红球的概率为. （2）①因为、是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率为， 方案二中取到红球的概率为， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 4．（25-26高三·安徽六安·联考）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； （3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得，因，故当时，； 故由可解得，即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1) 已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. (2) ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【解析】（1）①由题意，车道转移概率：当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设，由全概率公式得递推关系， 则，首项，因此通项为：. 所以. 故的分布列为 0 1 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学的九大命题热点预测 目 录 热点01 新定义试题：新概念、新运算、新性质 1 热点02 新情境试题：数学文化、科技应用、生活建模 3 热点03 跨学科交汇题：数学+化学/物理/生物/历史 6 热点04 函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题 8 热点05 数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和 10 热点06 三角经典问题：三角函数的图象与性质、三角形中的三线问题 12 热点07 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 15 热点08 解析几何压轴题：离心率、定点（值）、最值或范围、存在性问题 17 热点09概率与统计创新考法：决策问题、统计案例、马尔科夫链 19 热点01 新定义试题：新概念、新运算、新性质 【热点衔接】 2026 年高考数学新定义题延续 “反套路、重迁移” 命题导向，是素养考查核心载体，必考且区分度高。题型覆盖选择、填空、解答，压轴题常以数列、函数、解析几何为载体，融合新概念、新运算、新性质三类考法。命题紧扣课标，锚定向量、函数、数列等主干知识，外裹创新定义，本质是 “旧知识新包装”。试题强化现场学习、阅读理解与逻辑推理能力，情境贴近科技、生活，设问开放探究，强调从特殊到一般的思维迁移。备考需吃透定义本质，拆解新规则转化为常规问题，突破 “看不懂、不会转” 的难点，适配高考 “破套路、强思维” 的考查趋势。 【热点词】 新定义、新概念、新运算、新性质 【命题角度】 1.新概念型：引入课本未有的概念（如 “可分数列”“K 列”），考查理解与迁移。 2.新运算型：定义新符号 / 法则（如(a*b、a⊕b），按规则运算。 3.新性质型：给出对象满足的新性质（如 “和谐函数”“等差比数列”），推导论证。 【押题预测】 1．（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 2．（2026·贵州黔西南·二模）定义：对于空间一个平面和该平面外两点，，若在平面内存在一点使得取得最小值，则称为，两点关于平面的“最短距点”.如图，已知正方体的棱长为2，与交于点，点为线段的中点，其中，点是，两点关于平面的“最短距点”，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·月考）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．上存在点，使得 C．若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D．上的点的纵坐标的最大值为 4．（多选）（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．，使得 C．数列的通项公式 D．，都有 5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 热点02 新情境试题：数学文化、科技应用、生活建模 【热点衔接】 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知识的考查置于具体背景中，引导学生由“解答试题”转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能力。 2026 年高考数学新情境试题将聚焦数学文化、科技应用、生活建模三大方向，凸显素养立意。数学文化类，侧重古今中外数学成就融合，如《九章算术》算法、割圆术、斐波那契数列等，结合数列、概率、几何知识考查，传递文化自信。科技应用类紧扣前沿热点，以 AI 算法、新能源、航天工程、大数据分析为载体，考查函数建模、数列递推、概率统计，强化数学建模与数据分析能力。生活建模类贴近现实，聚焦经济优化、环境治理、民生规划等，构建方程、不等式、函数模型，考查解决实际问题能力。试题呈现 “真实情境 + 核心知识” 融合特点，解法更灵活，强调从情境抽象数学问题的能力，难度梯度合理，区分思维层次。 【热点词】 九章算术、新质生产力、AR 技术、智能制造、文化创新、高质量发展、中国智造 【命题角度】 1.以中华古代数学典籍、传统工艺、民俗历法为载体，融合数列、几何、概率等知识，渗透文化自信，侧重从古文情境提炼数学模型，考查阅读理解与传统文化理解能力。 2. 依托航天航空、人工智能、大数据、新能源等前沿科技背景，结合函数、统计、数列建模，考查数据处理、逻辑推理与数学抽象应用能力。 3.立足经济消费、民生规划、环境治理、工程优化等现实场景，以不等式、函数、概率统计为工具，考查建立数学模型、解决实际生活问题的素养。 【押题预测】 1．(2026·四川乐山·月考)在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 3．（多选）（2026·浙江·三模）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 4．（多选）（2026·浙江金华·二模）第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； (2)该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 热点03 跨学科交汇题：数学+化学/物理/生物/历史 【热点衔接】 2026年高考数学将持续强化跨学科命题趋势，数学与物理、化学、生物、历史多领域深度交汇，成为高考命题重要热点。此类试题以真实学科情境为载体，将函数、数列、概率统计、立体几何、拟合建模等数学知识，融入物理运动规律、化学定量计算、生物种群变化、历史人口统计与史料数据分析等场景。 命题摒弃纯理论刷题套路，侧重考查从跨学科情境中提取数学信息、建立数学模型、运用数学工具解决实际问题的核心素养。题型多分布在多选题、填空题与解答题，贴近新高考素养立意。 试题注重情境真实化、应用生活化，强调学科知识融合迁移，弱化机械公式套用。备考需学会剥离学科背景，提炼数量关系与模型结构，熟练掌握建模、运算、数据分析能力，适配新高考跨学科融合的命题风向。 【热点词】 光学性质、跨学科、生物、历史、物理、化学 【命题角度】 1.数学与物理：结合运动规律、电路、力学模型，考查函数、三角函数、向量与最值求解。 2.数学与化学：依托反应配比、平衡浓度、晶体结构，考查数列、比例运算、立体几何。 3.数学与生物：围绕种群增长、遗传概率、细胞繁殖，考查指数函数、统计概率、数列建模。 4.数学与历史：结合人口变迁、史料数据、历法纪年，考查统计分析、数列推算、线性拟合。 【押题预测】 1．（2026·广西南宁·二模）抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．(多选)（2026·湖南·模拟预测）已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为，为双曲线上任意一点，则处的切线平分，已知椭圆的左、右焦点分别为，双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线相切于点，与椭圆相交于点，且点均位于第一象限，若，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率为定值1 B．椭圆的离心率为 C．双曲线的离心率为 D．为定值 3．（25-26高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是________． 5．（2026·湖南长沙联考）空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利用率．如图1是六方最密堆积晶胞的示意图． 以上下层球心为顶点得平行六面体，如图2，其中是中间层球的球心，已知该示意图中原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为________________（用含的式子表示）．    热点04 函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题 【热点衔接】 2026年高考数学函数与导数延续经典考法，仍是压轴核心模块，聚焦抽象函数、零点、不等式三大高频考点，凸显素养立意。抽象函数侧重考查奇偶性、单调性、周期性，多结合赋值法求解解析式、判断性质，题型以选择、填空为主。函数零点侧重与图像结合，考查零点个数判断、零点范围求解，常与分段函数、导数单调性融合。不等式问题核心是导数应用，考查不等式证明、恒成立与能成立问题，结合参数范围求解，多为解答题压轴。命题紧扣主干，规避偏难偏怪，强调逻辑推理与运算求解能力，备考需夯实基础，掌握图像分析法、构造函数法，突破核心题型，适配高考命题的稳定性与综合性。 【热点词】 抽象函数、零点、方程的实根、恒成立、有解、证明不等式、导数的应用 【命题角度】 1. 抽象函数：侧重考查奇偶性、单调性、周期性，常通过赋值法求解解析式、判断性质. 2. 函数零点：侧重结合图像，考查零点个数、范围，融合分段函数与导数单调性；极值点偏移问题等. 3. 导数与不等式：依托导数，考查证明、恒成立与能成立问题及参数范围求解。。 【押题预测】 1．（多选）（2026·广东江门·二模）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 2．(多选)（2026·河北张家口·二模）已知函数，则（   ） A． B．函数的值域为 C．方程有且仅有3个根，，，且 D．方程的根的个数可能是0，5，6，7，8，9，10 3．(多选)（25-26高三上·山东·开学考试）已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（    ） A．实数的取值范围是 B． C． D． 4．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 5．（2026·湖北·二模）函数. (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 热点05 数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和 【热点衔接】 2026年高考数学数列模块将延续经典考法，聚焦等差（比）数列证明、数列求和两大核心，是基础必考点且常与其他模块融合，难度适中、区分度合理。等差（比）数列证明侧重定义法、通项公式法，常结合递推关系变形，考查逻辑推理能力，多作为解答题第一问。数列求和以裂项相消法、错位相减法为核心，兼顾分组求和法，适配等差、等比数列及混合型数列，考查运算求解能力。命题紧扣课标，贴合主干知识，偶尔结合新定义、跨学科情境，规避偏难偏怪。备考需夯实定义与公式基础，熟练掌握证明技巧和求和方法，突破递推式变形、求和运算易错点，适配高考数列命题的稳定性与综合性。 【热点词】 等差数列、等比数列、周期数列、裂项、错位相减法、并项、分组求和 【命题角度】 1．等差数列：侧重定义证明、通项与前n项和求解，结合递推关系变形，多为基础中档题。 2．等比数列：聚焦定义与通项公式应用，考查运算能力，常与等差数列综合考查。 3. 数列求和：核心考查裂项相消、错位相减，兼顾分组求和，适配混合型数列。 【押题预测】 1．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 4．（2026·浙江·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q. (1)请推导前n项和公式； (2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 热点06 三角经典问题：三角函数的图象与性质、三角形中的三线问题 【热点衔接】 2026年高考数学三角函数模块，聚焦图象与性质、解三角形两大核心。图象与性质侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主。解三角形重点考查利用正、余弦定理解三角形，考查中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，凸显逻辑与运算能力。命题贴合课标，难度适中，多结合基础情境，规避偏难偏怪，备考需夯实公式应用，突破线段与角度转化难点，适配高考命题趋势。 【热点词】 三角函数图象、三角函数的性质、解三角形、正弦定理、余弦定理、中线、高线、角平分线 【命题角度】 1. 三角函数的图象与性质：侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主，难度适中，注重基础公式与性质的灵活应用。 2. 三角形中的三线问题：聚焦中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，考查线段与角度转化，凸显逻辑推理与运算能力 【押题预测】 1．(多选)（2026·山西·二模）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．与直线有三个公共点 C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 2．（多选）（2026·福建·二模）已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递增 C．的一个对称中心是 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 3．（2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 5．（2026·北京通州·一模）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 热点07 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 【热点衔接】 2026年高考数学立体几何模块，聚焦外接球、截面、动态问题这三大核心新方向，成为区分度提升的关键模块。外接球问题侧重不规则几何体（棱锥、棱柱）的球心定位与半径求解，结合空间几何性质考查空间想象能力。截面问题聚焦截面图形判断、周长与面积计算，考验空间作图与逻辑推理能力。动态问题结合动点、动面、动线，考查轨迹判断、最值求解，融合函数与几何思想。命题贴合课标，以中档题为主，多结合基础几何体，规避偏难偏怪，备考需强化空间想象与转化能力，掌握核心解题技巧，适配高考立体几何创新命题趋势。 【热点词】 外接球、截面、动点的轨迹、动态问题 【命题角度】 1. 外接球：侧重不规则棱锥、棱柱的球心定位与半径求解，结合空间几何性质求解。 2. 截面：聚焦截面图形判断、周长及面积计算，考验空间作图能力，贴合基础几何体命题。 3. 动态问题：结合动点、动面、动线，考查轨迹判断与最值求解，融合函数与几何思想。 【押题预测】 1．（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·福建南平·二模）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 4．（2026·山东东营·二模）已知一个棱长为的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为_____；如果一个半径为1的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为_____． 5．（2026·湖南湘西·三模）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 热点08 解析几何压轴题：离心率、定点（值）、最值或范围、存在性问题 【热点衔接】 2026年高考数学解析几何压轴题，聚焦四大核心考点，是拉开分数差距的关键模块，命题凸显综合性与创新性。离心率问题侧重椭圆、双曲线的离心率求解，结合定义、几何性质，考查运算与推理能力，常作为基础设问。定点、定值问题依托直线与圆锥曲线位置关系，考查化简变形与逻辑论证，凸显解题技巧。范围问题结合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，考验综合应用能力。存在性问题以探究性设问为主，考查分类讨论与等价转化思想。命题多结合基础圆锥曲线，情境简洁，规避偏难偏怪，强调运算严谨性与思维逻辑性，备考需夯实核心公式，掌握解题模板，突破运算难点，适配高考压轴题命题趋势。 【热点词】 离心率、定点、定值、最值、范围、存在 【命题角度】 1. 离心率问题：侧重椭圆、双曲线离心率求解，结合定义、几何性质求解。 2. 定点问题：依托直线与圆锥曲线位置关系，结合韦达定理化简变形，注重解题技巧应用。 3. 定值问题：聚焦曲线与直线交点衍生的定值探究，需化简消参，考查运算严谨性与等价转化思想，贴合压轴题基础设问。 4. 范围问题：融合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，需结合判别式、均值不等式，考验综合应用能力。 5. 存在性问题：以探究性设问为主，考查分类讨论与转化思想，需判断满足条件的点、直线是否存在，凸显思维灵活性。 【押题预测】 1．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 3．（2026·浙江·三模）已知椭圆C：，、为C的左右顶点，、为C的上下顶点，P为C上除顶点外一点，且直线、斜率乘积为． (1)求C的标准方程； (2)设Q为C上满足的一点，直线与交于H. （i）求证：； （ii）设和分别为和的面积，求的取值范围． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.在双曲线上异于点的两点满足. (1)求双曲线的方程. (2)若，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（，，分别为直线，，的斜率） (3)记的外接圆为圆，在点处作圆的切线，求的方程. 5．（25-26高三下·云南曲靖·月考）已知抛物线的准线与圆相切． (1)求C的方程； (2)求C上的点与直线上点的距离的最小值； (3)过点且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数a，使得为常数？若存在，求出a及的值；若不存在，请说明理由． 热点09概率与统计创新考法：决策问题、统计案例、马尔科夫链 【热点衔接】 2026年高考数学概率与统计模块，聚焦四大核心考点，贴合素养立意，是基础重点模块。概率侧重古典概型、条件概率、全概率公式及随机变量分布、正态分布；统计聚焦数据处理与分析。方案决策结合实际情境，考查最优方案选择，凸显应用价值；统计案例侧重独立性检验、回归分析，强化数据分析能力。马尔科夫链作为新增热点，难度适中，侧重简单应用与规律判断。命题多以真实情境为载体，题型覆盖选择、填空、解答，规避偏难偏怪，备考需夯实基础，强化建模与应用能力，适配高考命题趋势。 【热点词】 决策问题、独立性检验、线性回归、马尔科夫链 【命题角度】 1. 方案设计：结合生活、生产实际情境，考查均值与方差、对比实验等方案的设计与合理性分析，侧重应用决策能力。 2. 独立性检验：依托列联表，考查卡方计算与检验结论判断，结合热点情境，凸显数据分析与逻辑推理能力。 3．回归分析：利用回归分析知识解决实际问题，其中非线性回归问题通过换元转化为线性回归求解。 4. 马尔科夫链：聚焦简单状态转移规律，考查状态判断与简单应用，难度适中，贴合高考创新导向。 【押题预测】 1．（25-26高三·辽宁沈阳·期中）为了对某批新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销后得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价（百元） 1 2 3 4 5 6 产品销量（件） 47 44 37 35 27 (1)求的值； (2)已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的回归直线方程（计算结果精确到整数位）； (3)用表示与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值 时，则将销售数据称为一个“有效采集数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效采集数据”个数的分布列和期望． 附：参考公式 参考数据：． 2．（2026·河北廊坊·一模）某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的商品即可参与一次活动．活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编号分别为30，30，60，100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为a，则获得2a元购物金． (1)求顾客获得的购物金X的数学期望． (2)若原方案为方案A，该商场又策划了方案B：顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为a，b，则获得元购物金． （i）顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个方案? （ii）已知某天有3600位顾客选择方案B，求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差． 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 4．（25-26高三·安徽六安·联考）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $