第35期 期中复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（湘教版·新教材）

雠L西品羊每 亿图 © T (0E‘9)N (0II‘S)W◆ 朵 具9和通‘S=8V百‘（和‘￡）a矢21磊闪☑厘本母&学景（ⅢI) 「乐具 明uM‘b=aV日‘(.06u)a<21磊丹那厘本尹a学异(I) 头 但学4a‘VM‘(0I乙‘￡)821黑E厘本母a学景(I) (0‘b)V矢21磊囚厘本尹V学出日（乙） NOX7 斗明 W0M‘(0E‘9)W咲21昙4厘本尹N学景‘©-Iz园昨(1) 3a￥学中明0V晋a1=aa景0学⊥Ov卒aa买(z) :口易搏‘：☒群￥‘(.0II‘s)W矢21昙丹那￥厘本 ::L本音HH9双张d:坐(1) 王尹学☑睢‘。0II=NOX7‘S=0雀r‘中⑦-I乙图‘4(8 :HO=HV日丁OV形琪必尹H‘A学 ‘u)d头21共‘黑丹4厘本尹d学些￥(w)出鲜少狂7惟w ‘学中69☑O‘aV晋马H‘9‘中IOaV▣母‘8I☒r(华0I)I乙 =d0百‘学一9于0形头d学凿r‘0形f适‘(。09>8≥ 0)琪dg(琳X0彩作球‘①-I亿☒y(:I)沉 ·点隔中心 0图 M1多晋↓一：多卫M‘处多卫冒景() y缚￥明：晋/（乙） 组共￥关唐源240‘30 音，多↓（1) aV钢‘（©-乙☒哗）出丁斗阴aO形尹I学乐（乙) LI图 共￥关唐豫但？a0‘90 aV毁（⑦-乙图哗）小丁斗Oa新王I学界(I) Na ☒0+30=87 ￥学中明1a音W‘8=☑W9=aV06=a7朵‘0z☒r() 常 :1肾‘①-乙乙☒昨‘出丁O8尹双学乐‘90刻‘。09=9V☒7 ‘音9HO8口：1米‘61☒r（I)〉 一上4一 ”o08I华哗骋话制‘哗畔 到百共‘3aV张等gaVM“aV瓣买‘学华↓一于Oa厚音 9HDa▣助sH0‘Oa‘H学⊥形斗9 ‘o0E8I著眼a业些劁￥9纸年秀 单中V号明班年答↓一胖等 a学‘09=OVa7‘彩琪x明QD8V张等音OV出日(：1)忆 O0‘a学⊥Oa新5本明aa7‘中a3V口尹(：01)Z乙 :g易搏‘(LI☒哗)1xT「唑「（华8）0元 ⊙⊙⊙的⊙当川川 Un ee爱 洪开 0.2) 三 ,F(0 N 冰。" 5 3 3).0(4. 能一两 2) P.2: 10851-5271248 0351-5271268 云 ”呀 洲 数理报 2026年3月4日·星期三 初中数学 第 35期总第1179期 (湘教八年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 名 平行线，两条平行线交于点E,连接BE,如图2 折叠问题是轴对 所以四边形ACDE是平行四边形， 巧构平行四边形 称性质的应用，同时考 所以AE=CD,DE=AC,∠ACD=∠AED 查空间想象能力，此类 有三招 因为∠AOC=60°，AB=CD 问题可以涵盖三角形 所以∠EAB=60°，AE=AB, ©湖南胡大香 所以△ABE是等边三角形，所以BE=AB. 的全等、等腰三角形 一、利用两组对边分别相等构造平行四边形 因为∠ACD+∠ABD=210°， 平行线等众多知识 例1如图1，在平行 所以∠AED+∠ABD=210°， 下面我们就一起学习 四边形ABCD中，E,G,F,H 所以∠BDE=360°-∠AED-∠ABD 折叠型问题在平行四 分别是四条边上的点，且 ∠EAB=90°、 边形中的应用 郑海 AE=CF,BG=DH,试证 所以BE=DE+BD2,所以AB=AC2+BD2, 一、求角的度数 折 四边形 明：EF与GH互相平分. 故填AB2=AC2+BD 例1如图1，将 证明：连接HE,EG,GF,FH,如图1. 三、利用对角线互相平分构造平行四边形 口ABCD沿对角线BD 因为四边形ABCD是平行四边形， 例3如图3，已知AB= 折叠，使点A落在点E 所以∠A=∠C,AD=CB. AC,B是AD的中点，E是AB的 因为BG=DH,所以AH=CG 处.若∠1=56°，∠2 中点，求证：CD=2CE. 叠问颗 因为AE=CF,所以△HAE兰△GCF 证明：延长CE至点F,使 =42°，则∠A的度数 所以HE=GF.同理可得HF=GE EF=CE,连接AF,BF,如图4 多 所以四边形EGFH是平行四边形， 因为E是AB的中点， A.108° B.109° .09 所以EF与GH互相平分. 所以四边形CAFB是平行四边形 解：因为四边形ABCD 二、利用两组对边分别平行构造平行四边形 所以AC∥BF,AC=BF 是平行四边形，所以AB∥ 例2如图2，AB与CD 所以∠CAB=∠FBA CD.所以∠ABE=∠1 相交于点O,AB=CD, 又AB=AC=BD 56°.由折叠的性质，得 ∠AOC=60°，∠ACD+ 所以BD=BF,∠ABC=∠ACB ∠ABD=210°，则线段AB, 所以∠DBC=∠ACB+∠CAB ∠ABD=2∠ABE=28, AC,BD之间的等量关系式为 =∠ABC+∠FBA=∠FBC. 客2 因为∠2=42°，所以∠A=180°-∠2-∠ABD 又BC=BC,所以△DBC≌△FBC =110° 解：过点A作CD的平行线，过点D作AC的 所以CD=CF=2CE, 故选C. 一、开放型 题型间土 二、求线段的长度 例1如图1，四边形 ABCD是平行四边形，AC与 正方形题型 例2如图2，将 口ABCD进行折叠，折叠后 BD相交于点O,AB=AD,添 加一个条件 、可使 面面观 AD恰好经过点C得到AD'. 若∠BAC=90°，DE=5, ABCD成为正方形. ◎河南侯瑞欣 解：添加条件∠BAD=90°.证明如下： 三、规律型 CE=4,则线段AC的长度为 因为四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, 例3如图3，四边形 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 所以四边形ABCD是菱形， OAAB,是边长为1的正方 AD BC.AB CD DE CE =9,AB //CD. 因为∠BAD=90°， 形，以对角线0A,为边作第 所以∠ACD=∠BAC=90°.所以∠ECD'= 所以四边形ABCD是正方形 二个正方形0A14,B2,连接 180°-∠ACD=90°.根据折叠的性质，得D'E 故填答案不唯一，如∠BAD=90° AA2,得到△A4,A2;再以对 =DE=5,AD'=AD.在Rt△ECD'中，由勾股定 二、探究型 角线0A,为边作第三个正方形0AA,B,连接 理，得CD'=√D'E2-CE=3.所以BC=AD 例2如图2，在正方形 A1A,得到△A1A4,再以对角线0A,为边作第 4BCD的外侧，作两个等腰三角 =AC+CD'=AC+3.在Rt△ABC中，由勾股定 四个正方形0A34,B4,连接AA4,得到△A243A4, 形ADE和DCF.若EA=ED= 理，得BC2=AB2+AC2,即(AC+3)2=92+ …,设△AA1A2,△A1A2A,△A2AA4,…的面积分 FD=FC,试判断BE和AF的关 别为S1,S2,S,…,如此下去，则S26 AC2.解得AC=12. 系，并给予证明。 故填12. 解：BE=AF,BE⊥AF 解：因为四边形OA4,B,是边长为1的正方形， 三、证明三角形全等 证明如下： 所以∠0AA,=90°， 例3如图3，将口ABCD 因为四边形ABCD是正方形 所以0=1+1=2，S=2×1×1= 沿对角线BD翻折，点A落在 所以AB=CD=AD,∠BAD=∠CDA=90° 2 点E处，BE交CD于点F.求 在△EAD和△FDC中，EA=FD,AD=DC 因为四边形0A14,B2是正方形， 证：△BCF≌△DEF, ED=FC,所以△EAD兰△FDC(SSS), 所以∠0A1A2=90°，0A1=A1A2, 证明：由折叠的性质，得 图 所以LEAD=∠FDC 所以0A号=20A?=4. ∠E=∠A,DE=DA.因为四边形ABCD是平行 所以∠BAD+∠EAD=∠CDA+∠FDC 因为四边形OA,A,B,是正方形 即∠BAE=∠ADF 所以0A2=A24=2, 四边形，所以∠C=∠A,BC=DA.所以∠C= 在△BAE和△ADF中，EA=FD,∠BAE= ∠E,BC=DE.由对顶角相等，得∠BFC= ADF,AB=DA,所以△BAE兰△ADF(SAS), 所以8，=2×2×1=1，S=2×2×2=2 ∠DFE.在△BCF和△DEF中，因为∠BFC= 所以BE=AF,∠ABE=∠DAF, 根据规律可得S。=2”-2, ∠DFE,∠C=∠E,BC=DE,所以△BCF≌ 所以∠ABE+∠BAF=90°，所以BE⊥AF 所以S20x=222 △DEF(AAS) 素养专练 数理极 =BC,点E,F,G,H分别在边AB, 专题辅导 BC,CD,DA上，且BE=BF=DG 数学思想伴矩形 =DH.求证：四边形EFGH是矩 形 证明：因为四边形ABCD是 ◎青海马晓青 平行四边形，AB=BC, 面对矩形求值问题，根据具体情况的不同特 于点O,过点B作AC的垂线，垂足为E,若AC= 所以AB=BC=CD=AD 点，结合数学思想，可化难为易，捷足先登 10,OE=3,则线段BC的长为 AB∥CD,AD∥BC, 一、方程思想 解：①如图2，当点E在线段OA上时， 所以∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D 例1如图1，矩形ABCD中， 因为四边形ABCD是矩形，AC=10, =180° DE⊥AC于点F,交BC边于点E,已 知AB=6,AD=8,则CE的长为 所以0B=0C=2AC=5. 因为BE=BF=DG=DH. 所以AB-BE=BC-BF=CD-DG=AD-DH, 因为BE⊥AC,OE=3, 即AE=CF=CG=AH 解：因为四边形ABCD是矩形， 所以BE=OB2-OE2=4, ∠BEF=∠BFE=2(180-∠B), 所以CD=AB=6, CE OC+0E =8, ∠ADC=∠DCE=90° 所以BC=√BE2+CE=45 ∠DGH=2(180°-∠D), 所以AC=√AD2+CD=10. .D 因为DE⊥AC, 所以∠AEH=方（180°-∠0， 所以LCFD=∠CFE=90°， 图2 ∠cFG=∠CGF=2(180°-∠C). 图3 2AD CD TAC.DF. ②如图3，当点E在线段OC上时， 所以∠FEH=180°-(LAEH+LBEF) 所以DF=AD·CD=4.8, 因为四边形ABCD是矩形，AC=10, =180-[2(180°-∠A)+2(180-∠B) AC 所以0B=0C=2AC=5 =90°， 所以CF=√CD2-DF=3.6. 因为BE⊥AC,OE=3, ∠EFG=180°-（∠BFE+∠CFG) 在Rt△CDE中，CD+CE2=DE2, 即62+EF2+3.62=(4.8+EF)2, 所以BE=√0B2-OE=4, =180-[}(180°-∠B)+2(180°-∠c)] 解得EF=2.7, CE OC-OE =2, =90°， 所以BC=√BE2+CE=25. ∠FGH=180°-（∠CGF+∠DGH) 所以CE=√EF2+CF=4.5. 故填4.5. 故填25或45. =180°-[2(180°-)+2(180-∠D)】 二、分类讨论思想 三、整体思想 =90° 例2在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交 例3如图4，已知在平行四边形ABCD中，AB 所以四边形EFGH是矩形 十一”十十一 一”十一十一十 菱形以特殊的对称美而受到人们的喜爱，在 数眼看世界： 生产、生活中都有着广泛的应用.下面让我们一起 赏析它的应用吧！ 心处有形 例1如图1所示的木 制活动衣帽架是由三个全等 的菱形构成，根据实际需要可 ◎湖北李丽楠 以调节AE间的距离.若AE间 “8字舞”，告诉同伴蜜源的 饰要用231个菱形图案，则纹饰的长度1 的距离调节到60cm,菱形的 方向.如图2，两个全等菱形A cm. 边长AB=20cm,则∠DAB的度数是 的边长为1厘米，一只蜜蜂 图2 A.90°B.100°C.120°D.150° 由A点开始按ABCDEFCGA B60> 分析：连接AE,根据全等图形的性质可得AC 的顺序沿菱形的边循环运动，飞行2032厘米后停 =20cm,根据菱形的性质和等边三角形的判定可 下，则这只蜜蜂停在 点 图3 得△ABC是等边三角形，再根据等边三角形和菱 分析：根据菱形的性质得蜜蜂飞行一周的路程 分析：根据菱形的性质求得菱形对角线BD的 形的性质即可求解 为8厘米，用2032除以8，再确定停靠的，点即可 长，结合图形发现1=菱形对角线BD的长+(231 解：连接AE,如图1 解：因为两个全等菱形的边长为1厘米， -1)d. 因为AE间的距离调节到60cm,木制活动衣 所以蜜蜂沿菱形的边飞行一个“8字舞”的路 解：连接AC,BD交于点O,如图3. 帽架是由三个全等的菱形构成， 程为：8×1=8（厘米）. 因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AC=20cm. 因为2032÷8=254 所以BD=2B0,AC⊥BD,∠AB0=30°， 因为四边形ABCD是菱形， 所以这只蜜蜂飞行2032厘米后停下的点与 所以∠AOB=90° 所以AB=BC=20cm, 飞行8厘米后停下的点相同. 因为AB=105cm, ∠DAB=2∠BAC, 由图可知，飞行8厘米后停在点A, 所以AC=AB=BC, 所以这只蜜蜂飞行2032厘米后停在A点. 所以A0=2AB=55cm. 所以△ABC是等边三角形， 故填A. 根据勾股定理，得 所以∠BAC=60°， 例3学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计 B0=√AB2-A02=15cm, 所以∠DAB=120° 成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹 所以BD=30cm, 故选C. 饰长度就增加dcm,如图3，已知每个菱形图案的边 所以1=30+26×(231-1)=6010(cm). 例2蜜蜂采蜜时，蜜源很远它就会跳起长为105cm,其中一个内角为60°.若d=26,该纹 故填6010. 8.如图6，弹性小球从点(0,2)出发，沿箭头所示的方向运动， 八年级上学期阶段能力自评（一） 每当小球碰到矩形OABC的边时就会反弹，反弹时反射角等于入射 CD=4,G为DE的中点，点H在BF上，且BH=F,连接GH,则 角，当小球第1次碰到矩形的边时对应点的坐标为(1,0)，第2次碰 GH的长为 ◆数理报社试题研究中心 到矩形的边时对应点的坐标为(3,4)，…，则第100次碰到矩形的边 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17.(6分)如图14，已知四边形ABCD及点0. (答题时长120分钟，满分120分) 时对应点的坐标为 A.(1,4) B.(5,0) C.(5,4) D.(6,2) (1)画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） A'B'C'D': 1.如图1，在平面直角坐标系中，点P的坐标为 (2)已知∠ABC=90°，求∠A'B'C'的度数 A.(1,-2) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(2,-1) Pe-- 图7 2-101 9.如图7，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠ABD 图14 =60°，AE⊥BD,垂足为点E,F是OC的中点，连接EF,若EF= 图1 2.下列4个图形中，是中心对称图形的是 25,则矩形ABCD的周长是 () A.16√3 B.83+4 C.45+8 D.85+8 初 初 中 2 10.如图8，四边形ABCD为菱形，∠ABC=70°，延长BC到E,在 18.(6分)如图15，在口ABCD中，E是对角线BD上的一点，过 数学 ∠DCE内作射线CM,使∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM,垂足为 点C作CF∥DB,且CF=DE,连接AE,BF,EF.求证：AE=BF. B 数学 3.正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数 点F,若DF=3,则BD的长为 ( 为 A.42 B.33 C.6 D.7 湘教 八 年 A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 级 4.如图2，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分 11.如图9，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC 力 ∠ABC交AD于点E,DF∥BE交BC于点F,则∠CDF的度数为 的高.若CE=5,AG=2,则SAEc 1 达 ( 标 A.55° B.50° C.40° D.35 自评卷 八年级能力达标自评卷 5.如图3，将正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA顺次延长至 E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH,则四边形EFGH是( A.平行四边形 B.菱形 19.(8分)如图16，在△ABC中，∠B=∠ACB,AE是BC边上的 C.矩形 D.正方形 12.如图10，将△ABC向右平移4个单位，得到△DEF,连接AD 中线 BE,CF,则图中有 _个平行四边形 (1)求证：AE⊥BC; 13.已知点P(a,-4)与点Q(-3,b)关于y轴对称，则a+b= (2)过点A作AD∥BC,且AD=BE,连接CD.求证：四边形 4ECD是矩形 14.如图11，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC于 点F,若CF=3,EF=4,则AE的长是 6.如图4，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E,F分 别为AO,D0上的一点，且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°， 则∠AED的度数为 A.80 B.909 11 C.1059 D.1159 图12 图1 7.如图5，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,E,F分别是边AB, 15.如图12，五边形ABCDE,将∠C沿BD折叠与∠F重合.若 BC,CA的中点，若DE+BF=8,则BF的值为 ( ∠C=110°，则∠A+∠E+∠EDF+∠ABF的度数为 A.6 B.5 C.4 D.3 16.如图13，在四边形CDEF中，∠C=∠D=90°，CF+DE=八年级数学湘教第35~38期 数理橘 答案详解 2025~2026学年八年级数学湘教 第35~38期(2026年3月) 35期3,4版 因为∠MCE=15°， 一、选择题 所以∠DCF=55°. H 题号 因为DF⊥CM, 1 34 5 6 10 所以∠CDF=35. 图2 提示： 因为四边形ABCD是菱形， 8.解：如图1，经过8次反弹后弹性y 所以BD平分∠ADC, 小球回到出发点(0,2) 所以∠HDC=35. 因为100÷8=12…4， ,∠CHD=∠CFD」 所以弹性小球第100次碰到矩形的0123456x 在△CDH和△CDF中 ∠HDC=∠FDC. 图1 边时对应点的坐标与第4次碰到矩形的边时对应点的坐标相 DC DC, 同.由图可知，弹性小球第4次碰到矩形的边时对应点的坐标 所以△CDH≌△CDF(AAS), 为(6,2). 所以DF=DH=3, 所以DB=2DH=6. 9.解：因为四边形ABCD是矩形， 对角线AC与BD相交于点O, 二、填空题 所以∠ABC=90°，OA=0B. 11.5;12.3;13.-1:14.5;15.290°；16.2. 因为∠ABD=60°， 提示： 所以△AOB是等边三角形， 16.解：如图3，延长DE至点A,使得EA= 所以AB=OA=OC. FC,延长CF至点B,使得BF=DE,连接AC交 因为AE⊥BD于点E, EF于点O,连接OD,AB. 所以E为OB的中点. 因为FC+DE=CD=4, 所以AD=BC=CD=4. 又F是OC的中点，EF=25, 因为∠DCF=∠EDC=90°， 所以BC=2EF=45. 所以∠DCF+∠EDC=180°. 因为BC=AC-AB=(2AB)2-AB=√5AB, 所以AD∥BC. 所以3AB=43, 所以四边形ABCD是平行四边形. 所以AB=4, 又∠EDC=90°，BC=CD 所以矩形ABCD的周长是2(BC+AB)=85+8. 所以四边形ABCD是正方形. 10.解：如图2，连接AC交BD于点H,由菱形的性质，得 所以∠EA0=∠FC0=45°. ∠DCE=70 又∠AOE=∠COF,EA=FC, 八年级数学湘教第35~38期 所以△AEO兰△CFO. 所以∠AEC=90°， 所以A0=CO,E0=FO. 所以四边形AECD是矩形 所以O为AC和EF的中点， 20.解：(1)30； 所以0D=分4C (2)设这个多边形的边数为n. 根据题意，得(n-2)×180°=1800°.解得n=12. 因为EH=子BF,所以H为E0的中点 答：小明求的是十二边形的内角和。 又G为DE的中点， (3)正十二边形的每一个内角为：1800°÷12=150°. 所以GH为△EOD的中位线， 21.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以Gl=70D 所以AB∥CD,AB=CD, 所以∠GAE=∠HCF 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 因为点G,H分别是AB,CD的中点， AC=AD2+CD=4+4=42. 所以AG=CH. 所以0D=2AC=2,万 在△AGE和△CHF中， 所以GM=宁00=E 因为AG=CH,∠GAE=∠HCF,AE=CF, 所以△AGE≌△CHF(SAS), 三、解答题 所以GE=HF,∠AEG=∠CFH, 17.解：(1)图略.(2)∠A'B'C'=90° 所以180°-∠AEG=180°-∠CFH, 18.证明：因为CF∥DB,CF=DE, 即∠GEF=∠HFE, 所以四边形FCDE为平行四边形， 所以GE∥HF, 所以CD∥EF,CD=EF 所以四边形EGFH是平行四边形 因为四边形ABCD为平行四边形， (2)解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,AB=CD, 所以OB=OD. 所以AB∥EF,AB=EF, 因为BD=14, 所以四边形BFEA为平行四边形， 所以AE=BF 所以08=0D=7 19.证明：(1)因为∠B=∠ACB, 因为E,G分别是AO,AB的中点， 所以AB=AC. 因为AE是BC边上的中线， 所以EG=子0B=子 所以AE⊥BC. 22.(1)证明：因为AF平分∠BAD, (2)因为AE是BC边上的中线， 所以∠BAF=∠DAF 所以BE=CE. 因为四边形ABCD是平行四边形， 因为AD=BE, 所以AD∥BC,AB∥CD, 所以AD=CE. 所以∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE, 又AD∥BC, 所以∠CEF=∠CFE, 所以四边形AECD是平行四边形 所以CE=CF. 因为AE⊥BC, 因为四边形ECFG是平行四边形， 八年级数学湘教第35~38期 所以四边形ECFG为菱形. (2)解：取CF的中点G,连接MG,图略. 因为∠B=90°， 图4 图5 所以四边形ABCD是矩形， (ⅱ)如图5，因为A(4,30°)，B(m,90), 所以AB=CD=6,BC=AD=8, 所以OA=4,∠AOX=30°，0B=m, ∠BAD=∠BCD=90°， ∠B0X=90°， 所以∠ECF=180°-∠BCD=90°. 所以∠A0B=90°-30°=60. 由(1)可知四边形ECFG为菱形， 因为AB=4,所以AB=OA, 所以四边形ECFG为正方形. 所以△AOB是等边三角形， 因为AF平分∠BAD, 所以OB=m=4. 所以∠BAE=7∠BAD=45, 故答案为4. 所以∠AEB=90°-∠BAE=45°， (ⅲ)如图6.因为A(4,30°)， 所以BE=AB=6, B(3,a),AB=5, 所以EC=BC-BE=2, 所以0A=4,∠AOX=30°， 所以c=20F=C=1, 图6 AB =5 AB,OB =3 =0B. 因为0B2+0A2=25=AB2, 所以DG=CD+CG=7. 所以∠A0B=90°=∠AOB, 因为M为EF的中点， 所以a=90°+30°=120°或a=120°+180°=300°. 所以MG∥BC,MG=BC=1, 故答案为120°或300° 所以∠MGC=∠BCD=90. 24.解：(1)AB=CG-CE.证明如下： 在Rt△DMG中，根据勾股定理，得 因为四边形ABCD是菱形， DM=√MG+DG=52. 四边形AEFG是菱形， 23.(1)6,30: 所以AB=BC,AE=AG (2)(i)7;(iⅱ)4；(i)120°或300°. 因为∠BAC=60°， 解：(1)若点N在平面内的位置记为N(6,30°)， 所以△ABC是等边三角形， 则0W=6,X0N=30. 所以AB=AC. 故答案为6,30. 因为∠EAG=60°， (2)(i)如图4.因为A(4,30°)，B(3,210), 所以∠BAC+∠CAE=∠EAG+∠CAE, 所以0A=4,∠A0X=30°，0B=3, 即∠BAE=∠CAG ∠B0X=360°-210°=150°， 在△ABE和△ACG中， 所以∠AOX+∠B0X=180°， 因为AB=AC,∠BAE=∠CAG,AE=AG, 所以A,O,B三点共线， 所以△ABE≌△ACG(SAS), 所以AB=4+3=7 所以BE=CG, 故答案为7. 所以AB=BC=BE-CE=CG-CE. (2)AB=CE-CG.证明如下： -3 八年级数学湘教第35~38期 因为四边形ABCD是菱形， =8+4+6+2+14=34(cm), 四边形AEFG是菱形， 所以b=34÷2=17. 所以AB=BC,AE=AG. 3.1.2.2函数的表示法（列表法、公式法） 因为∠BAC=60°， 1.C;2.3. 所以△ABC是等边三角形， 3.解：y=-(60+x)(70-x) 所以AB=AC. =x2-10x-4200(1≤x≤9的整数). 因为∠EAG=60°， 4.解：(1)自变量是r,因变量是V 所以∠BAC-∠B.AG=∠EAG-∠BAG, (2)圆柱的体积V与底面半径r的函数表达式是 即∠CAG=∠BAE. V=4Tr2. 在△ABE和△ACG中， (3)当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体 因为AB=AC,∠BAE=∠CAG,AE=AG, 积由16πcm3变化到256πcm3. 所以△ABE≌△ACG(SAS), 5.(1)刹车时车速，刹车距离； 所以BE=CG, (2)s=0.25(v≥0)： 所以AB=BC=CE-BE=CE-CG. (3)当s=32时，0.25u=32, 36期2版 解得v=128>120. 3.1.1变量与函数 答：推测刹车时车速是128km/h,所以事故发生时，汽车 1.D:2.B:3.D 是超速行驶 4.解：(1)0.52为常量，y,x为变量： 36期3,4版 (2)3为常量，l,a为变量； 一、选择题 (3)60为常量，a,b为变量； 题号 1 234567 8910 (4)90°是常量，x,y是变量. 答案C B C CACADDA 3.1.2.1函数的表示法（图象法）》 二、填空题 1.C;2.B:3.④：4.0.5. 11.6;12.20;13.7.9×10；14.450; 5.解：由题意，得y=1x+31.函数图象略. 15.mx2+20mx;16.2或4. 6.解：(1)10；(2)1；(3)3； 三、解答题 (4)不一样.理由如下： 17.解：(1)当x=5时，y=15-11+2=4+2=6. 乙骑自行车出故障前的速度为： (2)当y=5时，y=1x-11+2=5, 7.5÷0.5=15(千米/时)， 解得x=4或-2. 乙修车后的速度为： 18.解：(1)y是关于x的函数， (22.5-7.5)÷(3-1.5)=10(千米/时)， 理由：对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应. 所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样 (2)①当x=48时，y=3.60, 7.解：(1)8,4； 实际意义：当信件质量为48克时，邮资为3.60元 (2)a=7×8x6=24 ②当寄一封邮件的邮资为2.40元时，信件的质量大约是 (3)根据题意，动点P共运动了： 大于20克，且不超过40克， BC CD DE EF FA 19.解：因为√a+I+(b-2)2=0, -4 八年级数学湘教第35~38期 所以a+1=0,b-2=0,所以a=-1,b=2, 综上，输入的x值为0或5. 所以y=(2+3)x(-)+1-2×(-1)×2+2=5x+9, 37期2版 所以函数y=(b+3)x“+1-2ab+62是一次函数. 3.2一次函数 当x=-之时，y=5×(-）+9=号 1.B;2.-5;3.y=-3x. 4.解：(1)由条件可知m+1≠0且2-1ml=1, 20.解：(1)y与x之间的函数表达式为： n为任意实数，解得m=1, y=200E 所以当m=1,n为任意实数时，y是x的一次函数， 1 (2)由条件可知m+1≠0且2-m1=1,n+5=0, =2×6×(8-x) 解得m=1,n=-5, =-3x+24(0<x<8). 所以当m=1,n=-5时，y是x的正比例函数. (2)当x=3时，y=-3×3+24=15. 5.解：(1)根据题意，得 21.解：(1)小明的百米成绩是12s,小亮的百米成绩是125s. y=x+1.5×(550-x) (2)小明的速度是：100÷12-空(m): =825-0.5x(0≤x≤550)， 所以y关于x的函数是一次函数： 小亮的速度是：100÷12.5=8(m/s). (2)当y=650时，825-0.5x=650, (3)当小明到达终点时，小亮所跑的路程是： 解得x=350. 12×8=96(m). 550-350=200(辆). (4)因为当小明到达终点时小亮尚未到达终点，而且小明 答：电动自行车有200辆，普通自行车有350辆. 的速度大于小亮的速度，所以小明和小亮到达终点后如果各自 3.3一次函数的图象 继续以原速度往前跑，他们不能相遇。 1.D;2.D;3.D: 22.解：(1)表格从左到右依次填：4.2,5.9,11. 4.1;5.三. (2)y=1.7x+0.8. 6.图略。 (3)因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩 7.解：在正比例函数y=(m+1)x中，y的值随x的增大而 短0.8cm,所以这根链条安装到自行车上后，总长度是：1.7× 增大，则m+1>0,得m>-1. 80+0.8-0.8=136(cm). 在正比例函数y=(2m-4)x中，y的值随x的增大而减 23.解：(1)刹车时车速，刹车距离. 小，则2m-4<0,得m<2,即-1<m<2, (2)70. 又因为m为整数， (3)y=0.25x 所以m的可能值为0,1. (4)当x=110时，y=0.25×110=27.5,27.5<31, 8.解：(1)因为函数图象经过第一、三象限， 所以该汽车不会和前车追尾。 所以2m+4>0,解得m>-2. 24.解：(1)当x=-3时，y=-2×(-3)+1=7; (2)因为y随x的增大而减小，所以2m+4<0, 当=2时=宁×2-= 解得m<-2. (2)A. (3)因为点(1,3)在该函数图象上，所以2m+4=3, (3)①当x<1时，-2x+1=1,解得x=0,符合题意； 解得m=-子 ②当x≥1时，7-子=1，解得x=5,符合题意 1 9.解：(1)①y=x+1直线1如图所示. 5 八年级数学湘教第35~38期 ②y=2x直线2如图所示. 在Rt△BCD中，DC2+BD=BC2, 所以+1=(3-m,解得m=手 故点C的坐标为0，专) 二、填空题 11.3;12.y= 年+4,1B.314子 ③12 15.(2,-10；16.(-18,0)或(-子 (2)解法一：把x=1,y=2代入y=x+2-, 提示： 得左边=2，右边=k+2-k=2, 左边=右边， 16解：因为直线)=子+6与x轴、y轴分别交于点A,B, 所以直线y=kx+2-k必经过点(1,2)： 所以A(-8,0),B(0,6),所以AB=√6+82=10. 解法二：y=x+2-k=k(x-1)+2, 当AB=PA=10时，因为点P在x轴的负半轴上， 图象过定点，即说明与k的取值无关， 所以P(-18,0). 因此x-1=0,得x=1,此时y=2, 如图2，作AB的垂直平分线 所以直线y=kx+2-k必经过点(1,2). PD,交x轴于点P,交AB于点D D 37期3,4版 根据线段垂直平分线的性质， 一、选择题 得到PA=PB. 图2 题号 1 3456 7 8910 设P0=t,则PA=PB=8-t. 答案ACBAAABD C B 根据勾股定理，得OP2+OB2=BP, 提示： 所以(8-t)2=2+6,解得1=4 7 1O.解：过C作CD⊥AB于点D, 如图1所示. 因为点P在x轴的负半轴上，所以P(-子，0） 对于宜线)=子+3， 综上，点P的坐标为(-18,0)或(-子，0 图1 当x=0时，y=3; 三、解答题 当)=0时，-子+3=0，得x=4, 17.解：(1)因为点(1，-2)在正比例函数y=(3k-1)x 的图象上， 所以A(4,0),B(0,3),即0A=4,0B=3, 由勾股定理得AB=5. 所以-2=3k-1,解得长=-宁 又因为坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上， (2)由(1)知y=-2x, 所以AC平分∠OAB,∠CAD=∠CAO, 将x=3代人y=-2x,得y=-6≠2. 因为CD⊥AB,AOC=90°，所以∠ADC=∠AOC, 所以点A(3,2)不在这个函数的图象上： 又AC=AC,所以△CAD≌△CAO(AAS), 18.解：(1)因为y=(m-2)x3m+m+7是一次函数， 所以CD=C0=n,DA=OA=4, 3-1m1=1, 所以 解得m=-2. 则BC=3-n,DB=5-4=1. lm-2≠0， 故当m=-2时，y是x的一次函数. 6 八年级数学湘教第35~38期 (2)由(1)可知y=-4x+5. 23.解：(1)对于y=2x-4,令y=0,即2x-4=0. 当y=3时，3=-4x+5,解得x=2 解得x=2.所以点A的坐标是(2,0) 把B(m,4)代入y=2x-4,得2m-4=4. 故当x=之时，y的值为3. 解得m=4.所以点B的坐标是(4,4). 19.解：(1)(2,0)，(0,4)： (2)图略。 (2)把x=-3代入y=-2x+4,得y=10, (3)因为A(2,0),B(4,4),所以AB=√22+42=25. 所以C(-3,10) 因为点P在x轴的正半轴上， 所以Saoc=2×2×10=10, △ABP是以AB为腰的等腰三角形， 20.解：(1)还未完成的公路的长度y(km)与施工时间 所以点P的坐标为(6,0)或(2+25,0). x(天)之间的数量关系为还未完成的公路的长度=公路总长 24.解：(1)-1,4； 度-已施工修建的长度， (2)设一次函数y=x+1图象的“7阶和点”的坐标为 由题意得，该工程队每天修建公路的长度为36÷120= (a,a+1). 0.3(km),施工x天共修建公路的长度为0.3xkm, 根据题意，得1a|+la+1I=7,解得a=-4或a=3. 所以它们之间的函数表达式为 当一次函数y=kx-2的图象经过点(-4，-3)时， y=36-0.3x(0≤x≤120). -4-2=-3,解得k=子 (2)将x=30代人y=36-0.3x, 当一次函数y=kx-2的图象经过点(3,4)时， 得y=36-0.3×30=27. 3k-2=4,解得k=2. 即该工程队已施工了30天，还未完成的公路的长度是27km 21.解：(1)根据题意，得2a-4≠0,3-b=0, 综上，k的值为子或2 解得a≠2，b=3. 38期2版 (2)根据题意，得2a-4<0,3-b<0, 3.4用待定系数法确定一次函数表达式 解得a<2,b>3. 1.D;2.C;3.4. 22.（1)证明：在y=k(x-3)中，令x=3得y=0, 4.解：设该一次函数的表达式为y=kx+b. 所以点(3,0)在函数y=k(x-3)的图象上. 根据该一次函数与y轴交点的纵坐标为3， (2)解：一次函数y=k(x-3)的图象向上平移2个单位 得该函数图象过点(0,3). 长度得y=k(x-3)+2, 将点(-2,1)，(0,3)代人y=kx+b,得 将(4，-2)代入得-2=(4-3)+2， -2k+b=1, rk=1, 解得 解得k=-4. 【b=3. b=3. (3)解：x1-2<0不成立.理由如下： 所以该一次函数的表达式为y=x+3. 因为点A(x1,y1),B(x2,2)在y=k(x-3)的图象上， 5.解：(1)设y与x之间的函数表达式为 所以y=k(x1-3),y2=(x2-3), y=k(x-1)(k≠0). 所以y-y2=k(1-x2), 将x=3,y=4代入，得2k=4, 又y1<y2,所以y1-y2<0,即k(x1-x2)<0, 解得k=2, 而k<0,所以x1-x2>0, 所以y与x之间的函数表达式为y=2(x-1)=2x-2. 故x1-2<0不成立. (2)将(-1，m)代入y=2x-2, 一7 八年级数学湘教第35~38期 得m=2×(-1)-2=-4. 38期3,4版 6.解：(1)设该一次函数的表达式为y=kx+b. 一、选择题 根据题奁，得6+6=6， k=2, 解得 题号 1 234 567 8910 2k+b=2. b=-2. 答案 BC 所以该一次函数的表达式为y=2x-2. 提示： (2)因为A(m,y1),B(m+1,y2)是该一次函数图象上的 7.解：因为在y=2x-4中， 两点，所以2-y1=2(m+1)-2-(2m-2)=2. 当y=0时，2x-4=0,解得x=2, 3.5一次函数与二元一次方程的关系 当x=0时，y=-4, 1.A;2.C;3.B;4.C 所以直线（与x轴的交点坐标为(2,0）， 5.解：把点P(3,b)代入直线l:y= 3t+5, 与y轴的交点坐标为(0，-4)， 所以直线（与x轴的交点关于y轴对称的点的坐标为 得6=专x3+5=9,所以P(3,9), （-2,0), [y 3t+5, 直线2过点(0，-4)， 所以由图象可知关于x,y的方程组 的解为 所以直线(1，直线2与x轴围成的三角形的面积为 2 3x+c 7×[2-(-2)]×4=8 x=3, 8.解：由题图可知，一次函数y=kx+3k+5(k≠0)中， y=9. y随x的增大而增大，所以k>0; 6.解：【探究】当x=-1时，-1+y=4,解得y=5; y=ax(a≠0)中，y随x的增大而减小，所以a<0, 当y=2时，x+2=4,解得x=2. 故①正确，②正确。 故答案为①2，②5 因为y=x+3k+5可变形为y=k(x+3)+5, 在平面直角坐标系中描出对应点如图所示 所以当x=-3时，不论k(k≠0)为何值，y均等于5， 所以一次函数y=x+3k+5(k≠0)的图象经过定点 (-3,5),故③正确， 因为一次函数y=kx+3k+5(k≠0)与y=ax(a≠0) -10 12345x 的图象交于点A(-3,5), 3 y=kx+3k+5, x=-3, 所以关于x,y的方程组 的解是 y ax ly=5, 【发现】过这些点中的任意两点画直线，所有的点都在同 故④正确. 条直线上 故①②③④都正确. 【应用】因为关于x,y的二元一次方程ax+by=-1对应 9.解：如图1，过点A作AN⊥AB 的函数图象上有两个点， 交直线BC于点N,过点N作MW⊥x 它们的坐标分别为(-1,1)，(1，-3)， 轴于点M,则∠AMWN=∠BOA= A -a+b=-1, ra=2, 所以 解得 90°，则∠AWM+∠MAW=90°. 图1 La-3b=-1, b=1, 对于直线y=子+3， 所以这个二元一次方程为2x+y=-1. 一8 八年级数学湘教第35~38期 令x=0,得到y=3,即B(0,3),OB=3; 二、填空题 令y=0,得到x=-4,即A(-4,0),0A=4, 1山y=2:12=-子；13.-： 1 因为∠ABC=45°，∠NAB=90°， 14.y=3x+2;15.x>-1; 所以△ABN为等腰三角形，即AN=BA, 16.k≤-5或k≥1. ∠NAM+∠BA0=90°，所以∠ANM=∠BAO, 三、解答题 ,∠AMW=∠BOA=90°， 17.解：(1)设y=kx+b(k≠0)， 在△NAM和△ABO中 ∠ANM=∠BAO. rb=3, k=2, AN BA, 根据题意有 解得 2k+b=7, b=3, 所以△NAM≌△ABO(AAS), 所以y与x之间的一次函数表达式是y=2x+3. 所以AM=OB=3,MW=OA=4, (2)当x=4时，y=2×4+3=11. 即0M=OA+AM=4+3=7, 18.解：画图略 所以N(-7,4) (1)一元一次方程-2x+6=0的解为x=3. 设直线BC的解析式为y=kx+b, (2)由图象可知，当-2<y<2时，x的取值范围是2<x<4. rb=3, 因为B(0,3),所以 19.解：(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b. -7h+b=4, 把A(-6,0),B(0,3)代入， 「k=-7 解得 -6k+b=0, 2 解得{ b=3. 念 b=3, b=3. 所以过B,C两点的直线对应的函数表达式是y=一 1 7龙+3 所以直线1的函数表达式为)=分+3 10.解：因为y=(k-1)x+2k=k(x+2)-x(k>1), 1 所以直线y=(k-1)x+2k(k>1)经过点(-2,2) 当x=-4时，n=2×(-4)+3=1 如图2，当直线经过(0,3)时，直 y个 所以点P的坐标为(-4,1). 线y=(k-1)x+2(k>1)与两坐 (2)由题知Q(2,0), 标轴围成的三角形区域（不含边界） 所以5auw=分×40×=子×(2+6)x1=4 1 中有且只有四个整点， 1 则3=2k,解得k= 3 2 [y=kx+3. 图2 20.解：原方程组可化为 当直线经过(0,6)时，直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两 g=-2x+分 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则6=2k,解得k=3. ()当直线)=：+号与直线y=-2x+号相交时， 当直线经过(0,4)时，直线y=(k-1)x+2(k>1)与两 1 方程组 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， x-y=-了’有唯一一组解，此时表≠-2： 3y=1-6x 此时4=2k,解得k=2. 综上，若直线y=(k-1)x+2k(k>1)与两坐标轴围成的 (2)当k=-2时，直线y=c+号与直线)=-2x+号 三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则k的取值范围 [kx-y=-3 1 是号≤6≤3且62 重合，方程组 有无穷多解： 3y=1-6x 9 八年级数学湘教 第35~38期 kx -y = (3)存在. 当k≠-2时，方程组 3 有唯一一组解； 过点P作PM⊥x轴于点M,PW⊥y轴于点N,图略. 13Y=1-6x 因为点P在y=2x的图象上，所以可设P(m,2m). (3)由(2)知，k无论取什么值，都不能使原方程组无解。 21.解：(1)由0B=5可得B(0,-5). 因为该一次函数的表达式是y=-7+多， 把(0，-5)代人y=-3x+b,可得b=-5, 所以点A的坐标为(0，号)，点B的坐标为(5.0)。 =-3x-5, 所以y=-3x-5.联立得 解得3， 所以Sam=之0B·P1=7x5x12ml=51ml, 1 4 y=-3x, y=4, 5 所以点A的坐标为(-3,4) 0P=×3x1m=子m (2)设直线AB与x轴交于点C, 根据题藏，得51m1=子引m+5,解得m± 4 则点c的坐标为(-子，0）· 所以点P的坐标为（告号）或（号号） 所以c0=号 24.解：(1)设直线AB的表达式是y=x+b. 图3 如图3，过A作AE⊥x轴于E. 4k+b=2, rk=-1, 由A(-3,4)可得AE=4, 根据题意，得 解得 16k+b=0, b=6. 所以Saw=B,C0=方x4×亭=9 所以直线AB的表达式是y=-x+6. 22.解：(1)在x+y=3中，当x=-1时，y=4,即n=4; (2)对于y=-x+6,令x=0,得y=6. 当y=0时，x=3,即m=3, 所以5c=号×6x4=12 故答案为3,4. (3)设直线OA的表达式是y=mx. (2)在平面直角坐标系中描出四组解的对应点的位置如 图4. 将(4,2)代人，得4m=2,解得m=2 所以直线0A的表达式是y=2x 1 因为△0MC的面积是△0AC的面积的片， 所以点M的横坐标是子×4=1 当点M在线段0A上时，y=2, 1 图4 (3)镜面α的方程x+y=3的所有解的对应点组成的图 所以点M的坐标是(1，)： 形是一条直线，镜面α：的方程x+y=3的图象如图4所示，故 当点M在线段AC上时，y=5,所以点M的坐标是(1,5) 答案为一条直线。 综上，点M的坐标是(1,2)或(1,5). (4)镜面B的方程x-y=-1的图象如图4所示. x+y=3, (5)由图象可知，方程组 的解为厂1， x-y=-1 1y=2 x=1, 23.解：(1)a=2,b= (2 ly=2. -10