第39期 8.2 多边形的内 角和与外角和 8.3 用正多边形铺设地面-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大七年级第36~40期 数理橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大七年级 第36~40期(2026年3月) 根据题意，得80m+50(60-m）≤4020.解得m≤34. 第36期综合测评卷 答：最多可以购买34个雪圈儿. -~题号123456789101112 21.(1)①③： 答案BBAADBA CBDDB +2m>m, (2)解不等式组 2 得0<x≤3m+1. 二、13.3x+2<8；14.110;15.1；16.a≤0或a≥4. x-m≤2m+1, 三、17.数轴表示略.(1)x<2;(2)x≤4； 因为不等式组有4个整数解，即为1,2,3,4， (3)x≤3 2 所以4≤3m+1<5解得1≤m<青解方程-3m 2 4x-a<3,① 18. =0,得x=6m-7. (2x+5≥6.② 因为类于的方程号7-3m=0是关于：的不等式组 解不等式①，得x<0+3 4. x +2m 2 >m, 6m-7>0, 的“关联方程”，所以 解不等式②，得x≥2. 6m-7≤3m+1. lx-m≤2m+1 因为该不等式组无解，所以0+3≤2.解得4≤5. 4 解得6 7 <m≤3 .8 2x+y=1+2m,① 19.(1) 所以m的取值范围是 ,<m< 4 Lx+2y=2-m.② 6 3 ①+②，得3r+3y=3+m.所以x+y=3十m 3 22(1)根据题意，得0-6=2， 解得0=12， l3b-2a=6 Lb=10. 因为x+y>0,所以3十m>0.解得m>-3. 3 (2)设购买m台A型设备，则购买(10-m)台B型设备。 (2)因为(2m+1)x-2m<1,所以(2m+1)x<2m+1. 根据题意，得12m+10(10-m)≤105.解得m≤ 5 因为(2m+1)x-2m<1的解集为x>1,所以2m+1< 因为m为自然数，所以m可取值为0,1,2，对应的10-m的 0.解得m<-7 值分别为10,9,8. 又因为m>-3,所以-3<m<-2 1 所以共有3种购买方案： 方案1：购买10台B型设备； 所以整数m的值为-2，-1. 方案2：购买1台A型设备，9台B型设备： 20.(1)设每个雪圈儿需x元，每个雪地足球需y元. 方案3：购买2台A型设备，8台B型设备 2x+3y=310 根据题意，得 解得，80， (3)根据题意，得240m+200(10-m)≥2040. l5x+2y=500. y=50. 解得m≥1. 答：每个雪圈儿需80元，每个雪地足球需50元. (2)设购买m个雪圈儿，则购买(60-m)个雪地足球 因为m≤子所以1≤m≤马 初中数学·华东师大七年级第36~40期 因为m为自然数，所以m可取值为1,2. 5x+8y=2400 [x=160, 根据题意，得 解得 当m=1时，所需费用为：12×1+10×9=102（万元）； l8x+5y=2280. y=200 当m=2时，所需费用为：12×2+10×8=104（万元）. 答：该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B 因为102<104，所以最省钱的方案为：购买1台A型设备， 商品的销售单价是200元. 9台B型设备。 (2)因为A商品购买a件，所以B商品购买(30-a)件. 由题意，得250+160×0.75a+200×0.75(30-a)<160 第37期1,2版 ×0.8a+200×0.8(30-a). 题号123456789101112 解得a<25.又因为0<a<30,所以0<a<25. 答案A DDB CB C BBA C D 答：当0<a<25时，使用无人机配送商品更合算. 二、13.-1；14.9；15.7,53；16.-1<m≤0. 第37期3,4版 三、17.(1)x=- 题号12345678910山12 =-4 答案B AACB B AD CABB 18.数轴表示略.(1)x≥1；(2)-1<x≤4. =、13.y=-子；14-415.36165 3 19解方程3x+2(3a+1）=6+a,得x=50g2由题意。 「x=2, 得02≥0.解得a≥- 2 三、17.(1) 「x=1, 3 y=-3. 20.设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要 18.(1)①三，等式的基本性质1；②二，去括号后，等式右 x天. 边括号里的第二项没有变号. 根据题意得品+(6+后x=1 (2)去分母，得18x+3(x-1)=18-2(2x-1) 去括号，得18x+3x-3=18-4x+2. 解得x=4.经检验，符合题意， 移项、合并同类项，得25x=23. 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天 21.(1)根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为 系数化为1，得x-会 -2>0或-2<0 19.设小轩要答对x道题，则答错或不答(25-x)道题， 得无解；解 Lx+3<0lx+3>0. 解不等式组-2>0， x+3<0, 根据题意，得4x-(25-x)≥80.解得x≥21. 不等式组-2<0， 答：小轩至少要答对21道题. 得-3<x<2.所以原不等式的解集为 x+3>0, r3x+5-5> 20.解不等式组 2 2, 得2<x≤-2-a. -3<x<2. 3x-2a≥5x+4, (2解方程组*y=3-:得=m+1·因为 因为关于x的不等式组恰有4个整数解，即为3,4,5,6，所 lx-y-3m-1,ly=2-2m. 以6≤-2-a<7.解得-9<a≤-8. x>0, 「x<0, >0,所以 或 21.(1)由题意，得5x+4×3=2×15, y>0y<0. 解得x=3.6. 「m+1> 所以 0解得-1<m<1,或m+1<0, 解 (2)由题意，得5x+4y=2×15,即5x+4y=30. 2-2m>0 L2-2m<0. 此不等式组无解。 整理，得x=6-4 综上所述，m的取值范围是-1<m<1. 因为x,y为正整数，所以=2， 22.(1)设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是 y=5 y元. (3)设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元 初中数学·华东师大七年级第36~40期 由题意，得5a+8b=120. 三角形是△ABD,△ABC,在△ACD中，三个内角是∠C, 整理，得424- ∠ADC,∠CAD: 3.钝角. a=16, fa=8, 因为a,b为正整数，所以 或 4.(1)3,5,7,13: Lb =5 b=10. (2)第n个图形中有(2n-1)个三角形. 当a=16,b=5时，4a+5b=4×16+5×5=89: 8.1.1.2三角形的中线、角平分线与高 当a=8,b=10时，4a+5b=4×8+5×10=82 基础训练1.B; 答：购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用为89元或82元. 2.△ABC,△ABD,10:3.2. 22.(1)根据题意，得3b-12×2=6. 4.(1)(2)(3)图略；(4)7. 解得b=10. 5.(1)因为DE∥BC,∠2=40°，所以∠1=∠ACB, (2)设购买x台甲型设备，则购买(10-x)台乙型设备. ∠DCB=∠2=40°.因为CD是△ABC的角平分线，所以 根据题意，得12x+10(10-x)≤112. ∠ACB=2∠DCB=80°.所以∠1=80° 解得x≤6 (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD.因为FH⊥ 因为x为非负整数，所以x可取值为0,1,2,3,4,5,6. AB,所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高 所以共有7种购买方案： 8.1.2.1三角形的内角和 方案1：购买10台乙型设备； 基础训练1.C；2.C;3.90° 方案2：购买1台甲型设备，9台乙型设备： 4.因为∠BAC=60°，∠C=84°，AD是△ABC的角平分线，所 方案3：购买2台甲型设备，8台乙型设备： 方案4：购买3台甲型设备，7台乙型设备； 以LB=1800-∠B4C-∠C=36,LCD=7∠BAC= 方案5：购买4台甲型设备，6台乙型设备： 30°.所以∠ADC=180°-∠CAD-∠C=66°.因为∠ADE= 方案6：购买5台甲型设备，5台乙型设备； 2∠B=18°，所以∠CDE=∠ADC-∠ADE=48 方案7：购买6台甲型设备，4台乙型设备 能力提高5.(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由如下： (3)根据题意，得240x+180(10-x）≥2100. 因为∠A=20°，∠B=40°，所以∠C=180°-∠A-∠B 解得x≥5. 又因为x≤6，且x为非负整数，所以x=5或6. =120°=3∠B.所以△ABC是“三倍角三角形”. 所以满足条件的购买方案只有2种，即： (2)设△ABC的最大内角为x. ①购买5台甲型设备，5台乙型设备，所需资金为：12×5+ 当最大内角是∠B的3倍时，x=3∠B=90°，满足题意； 10×5=110(万元)； 1 当最大内角是∠A或∠C的3倍时，3x+x+30°=180°， ②购买6台甲型设备，4台乙型设备，所需资金为：12×6+ 解得x=112.5°，满足题意； 10×4=112(万元). 因为110<112，所以最省钱的购买方案是购买5台甲型设 当∠B是∠A或∠C的3倍时，写×30°+30+x=180 备，5台乙型设备。 解得x=140°，满足题意。 所以△ABC中最大内角的度数为90°或112.5°或140° 第38期2版 8.1.2.2三角形的外角和 8.1与三角形有关的边和角 基础训练1.C;2.70 8.1.1.1认识三角形 3.(1)因为∠A=30°，∠ABC=70°， 基础训练1.C; 所以∠BCD=∠A+∠ABC=1O0°. 2.以AD为边的三角形是△ABD,△ADC,以∠B为内角的 因为CE是∠BCD的平分线， —3 初中数学·华东师大七年级第36~40期 所以∠BCE=7∠BCD=50 设AB与PC交于点D.因为∠P+∠ABP+∠BDP=∠A +∠ACP+∠ADC=18O°，∠BDP=∠ADC,所以∠P+∠ABP (2)因为∠BCE=50°，∠ABC=70°， =∠A+∠ACP因为∠P=90°，所以∠ACP-∠ABP=∠P 所以∠BEC=∠ABC-∠BCE=20° -∠A=90°-∠A 因为DF∥CE,所以∠F=∠BEC=20°. 附加题1.在△ABD中，AD+BD>AB;在△BCD中，BD 能力提高4.120°或90°. +CD>BC;在△ACD中，AD+CD>AC.所以AD+BD+BD 8.1.3三角形的三边关系 +CD+AD+CD>AB+BC+AC所以AD+BD+CD>7(AB 基础训练1.D;2.C;3.11. 4.因为△ABC是等腰三角形，所以AC=20或8. BC+AC). 因为20+8=28>20,8+8=16<20， 2.(1)①55；②65； 1 所以AC=20,即2m-2=20.解得m=11. ③∠BGE=90°-2∠A理由如下： 第38期3版 因为BD平分∠A6C.所以∠DBC=合∠ABC 题号12345678 因为EF∥BC, 答案ACD BBCBB 所以∠F=∠DBC=子∠ABC,LCEF=∠C 二、9.稳定性；10.9；11.20；12.110. 因为EG平分∠CEF, 三、13.因为AB=6cm,AD=5cm,△ABD的周长为 16cm,所以BD=16-AB-AD=5cm.因为AD是BC边上的 所以∠FBG=合∠GEF=宁C 中线，所以BC=2BD=10cm.因为△ABC的周长为24cm,所 所以∠BGE=∠FEG+∠F=子∠LC+∠ABC= 以AC=24-AB-BC=8cm. 14.(1)因为a=4,b=6,所以2<c<10.因为△ABC的 2(2C+∠4BG)=2(180°-LA)=90°-7∠A 周长是小于18的偶数，所以c是大于2且小于8的偶数.所以c (2)设EG交BC于点H. 的长是4或6. 因为BD平分∠ABC,所以∠GBH=7∠ABC=之(180 (2)根据题意，得a+b>c.所以1a+b-cl+lc-a-b1= a+b-c-(c-a-b)=a+b-c-c+a+b=2a+2b-2c. -A-t0)=0-分4A-分C 15.因为∠ABC=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°- 因为EF∥BC, ∠ABC-∠C=80°.因为AE是△ABC的角平分线，所以∠BAE 所以∠CEF=180°-∠C,∠FEH=∠GHC. =号∠B1C=40因为AD是△MBC的商，所以∠ADB=90 因为EH平分∠CEF, 所以∠BAD=90°-∠ABD=50°.所以∠DAE=∠BAD- 所以∠FEH=7∠CEF=7(180°-∠C)=0°- ∠BAE=10°.因为BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°，所以 1 2 LC=∠GHC. ∠AB0=7∠ABC=20所以∠B0E=LAB0+∠BA0= 所以∠BGE=∠GHC-∠GBH=90°-∠C-(90°- 60°. 16.(1)90,40. (2)由(I)知∠PBC+LPCB=90°.所以∠ABP+∠ACP 第39期2版 =(∠ABC-∠PBC)+(∠ACB-∠PCB)=(∠ABC+ ∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A. 8.2多边形的内角和与外角和 (3)(2)中的结论不成立.结论：∠ACP-∠ABP=90°- 8.2.1多边形 ∠A理由如下： 基础训练1.C；2.C; 4 初中数学·华东师大七年级第36~40期 3.三角形或四边形或五边形. 4.(1)3,12: (2)因为△ABC边界上的格点数是8，S△c=2×3×4 =6,正方形DEFG内的格点数是4，S正方形DeG=3×3=9, 第39期3版 m=1, r3m+8n-1=6, 所以 解得 14m+12n-1=9. n=2 题号12345678 答案BA B CADCC (3)18. 二、9.8；10.50°；11.(n-1)；12.70°. 8.2.2多边形的内角和 三、13.(1)1260°； 基础训练1.B;2.C;3.30° 4.因为AB∥CD,所以∠C+∠B=180° (2)根据题意，得写(n-2)×180°=360°+72。 因为五边形ABCDE的内角和为：(5-2)×180°=540°. 解得n=14. 所以∠E=540°-（∠A+∠D+∠C+∠B)=540°- 14.(1)六边形ABCDEF的内角和为：(6-2)×180°= (150°+160°+180°)=50°. 720° 5.(1)60: (2)因为六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+ (2)因为CE∥AD,∠D=140°， ∠3+∠4+∠5=470°， 所以∠DCE=180°-∠D=40°. 所以∠GBC+∠C+∠CDG=720°-470°=250°. 因为CE平分∠BCD, 又因为四边形BCDG的内角和为360°， 所以∠BCD=2∠DCE=80°. 所以∠G=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)=110°. 所以∠B=(4-2)×180°-∠A-∠BCD-∠D=40°. 15.设这个多边形的边数是m. 8.2.3多边形的外角和 根据题意，得1280°-180°<(m-2)×180°<1280°. 基础训练1.B;2.D;3.210. 解得8g<m<9) 4.因为∠ABE是四边形ABCD的外角， 因为m是正整数，所以m=9. 所以∠ABE+∠ABC=180°. 所以他重复加的那个角的度数是：1280°-(9-2)×180° 因为∠ABE=∠D,所以∠ABC+∠D=180°. =20. 又因为四边形的内角和等于360°， 16.(1)∠ACD=∠A+∠B: 所以∠A+∠C=360°-（∠ABC+∠D)=180°. (2)因为∠A+∠B+∠BCD+∠D=360°， 5.设这个正多边形的一个外角的度数为x° 所以∠BCD=360°-∠A-∠B-∠D. 3 根据题意，得x+=180.解得x=72 因为∠DCE是四边形ABCD的外角， 所以∠DCE=180°-∠BCD=180°-(360°-∠A-∠B 所以这个正多边形的边数为：360°÷72°=5. -∠D)=∠A+∠B+∠D-180°. 8.3用正多边形铺设地面 (3)y-x=180(n-3). 基础训练1.C;2.C: 附加题1.延长AG,CD交于点H,图略. 3.六；4.60° 因为∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠AGF=90°， 5.(1)根据题意，得60x+90y=360. 所以∠H=(4-2)×180°-∠A-∠B-∠C=90°， 化简，得2x+3y=12 ∠EDH=180°-∠CDE=90°，∠FGH=180°-∠AGF=90°. 因为x,y均为正整数，所以x=3,y=2. 所以∠F=(5-2)×180°-∠EDH-∠E-∠FGH-∠H (2)如图（答案不惟一） =130°≠140°.所以这个零件不合格. 5 初中数学·华东师大七年级第36~40期 2.(1)正确； ∠EDA=∠EAD=2x+54°.在△AED中，∠EDA+∠EAD+ (2)设应加内角的度数为x,所加外角的度数为y. ∠E=2x+54°+2x+54°+5x=180°.解得x=8°.所以∠E 根据题意，得(n-2)×180°=2020°-y+x =5x=40°. 因为-180°<x-y<180°， 22.【初步思考】(1)60； 所以2020°-180°<(n-2)×180°<2020°+180° (2)因为∠A=∠DPC,∠DPC+∠DPE=180°，所以∠A 解得12号<n<14子 +∠DPE=180°.所以∠ADP+∠AEP=360°-（∠A+ ∠DPE)=180.又因为∠CEB+∠AEP=180°，所以∠ADP 因为n是正整数，所以n=13或14. =∠CEB 所以嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和。 【综合运用】 第40期综合测评卷 因为∠A=∠B=∠DPC=a,所以∠ADC+∠BCD= 360°-∠A-∠B=360°-2a,∠PDC+∠PCD=180°- 题号123456789101112 ∠DPC=180°-a.所以∠ADP+∠BCP=(∠ADC-∠PDC) 答案D ABB AB D BB CBB +(∠BCD-∠PCD)=(∠ADC+∠BCD)-(∠PDC+ 二、13.稳定；14.6；15.25°；16.5. ∠PCD)=180°-a.因为DE,CF分别平分∠ADP,∠BCP,所 三、17.因为∠B=60°，∠AWC=80°，所以∠BAW= ∠ANC-∠B=20°.因为AN是△ABC的角平分线，所以 以∠PDE=7∠AP,LPGF=子∠BCP所以LPDE+ ∠BAC=2∠BAN=40°.所以∠C=180°-∠B-∠BAC= LPF=分LADP+3∠BCP=(∠A0p+∠BCP)=0 80° 18.因为(a-3)2+1b-21=0, 2所以∠CDE+LDCF=(∠PDC+∠PDE)+(∠PCD 所以a-3=0,b-2=0.解得a=3,b=2. +∠PCF)=(∠PDE+∠PCF)+(∠PDC+∠PCD)=270° 因为c为方程Ic-4|=2的解， 3 2 所以c-4=±2.解得c=6或2. 当0°<<60°时，如图1. 因为a,b,c为△ABC的三边长，a+b<6,所以c=2. 所以△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为：2+2+3=7. 19.因为BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40 两部分，4C>AB,所以BD=CD=2BC,AC+CD=60,AB+ BD=40.因为AC=2BC,所以AC=4CD.所以CD=12.所以 AC=48,AB=28, 所以∠CQD=180°-∠QDC-∠QCD=180°-(180°- 20.设这个多边形的边数是n. ∠CDE)-(180°-∠DCF)=∠CDE+∠DCF-180°=90°- 根据题意，得1180°-180°<(n-2)×180°<1180°. 2; 解得7号<n<8 当a=60°时，DE与CF平行，不符合题意； 因为n是正整数，所以n=8. 当60°<&<180°时，如图2. 所以他重复加的那个角的度数是：1180°-(8-2)×180° =100°. 21.(1)因为∠EAD=∠EDA,所以∠EAC+∠CAD=∠B +∠BAD.因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAD.所以 图2 ∠EAC=∠B.因为∠B=54°，所以∠EAC=54° (2)设∠CAD=2x,则∠E=5x.因为∠B=54°，所以 所以∠CQD=180°-∠QDC-∠QCD= 2a-90. 64 素养·拓展 数理招 思维天地 第38期2版参考答案 多边形中的数学思想 8.1与三角形有关的边和角 8.1.1.1认识三角形 ◆◆海◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆中 基础训练1.C; ⊙四川张紫洋 2.以AD为边的三角形是△ABD,△ADC,以∠B为 一、方程思想 156°，所以这个多边形的每个外角都为：180° t内角的三角形是△ABD,△ABC,在△ACD中，三个内角 具有方程意识，并且会用方程解决问题，是156°=24°.所以这个多边形的边数为：360°÷ t是∠C,∠ADC,∠CAD;3.钝角. 4.(1)3,5,7,13; 初中生应具备的基本数学能力，方程思想的确24°=15，即这个多边形是十五边形.故选D. (2)第n个图形中有(2n-1)个三角形. 立，标志着真正数学思维的形成 三、整体思想 8.11.2三角形的中线、角平分线与高 例1一个多边形的每个外角都相等，且是 整体思想，就是在研究和解决有关数学问 基础训练1.B: 2.△ABC,△ABD,10;3.2. 它相邻内角的了，则此多边形是 边形. 题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整 4.(1)(2)(3)图略：(4)7 体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法 5.(1)∠1=80°； 分析：根据正多边形的一个外角与相邻内 有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突 X (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD.因为 角互补列出方程，从而求得外角的度数，最后根 破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思 FH⊥AB,所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高. 据任意正多边形的外角和是360°求解即可. 8.1.2.1三角形的内角和 解：设这个多边形的一个外角的度数为x°. 想方法，则常常能出奇制胜、简捷解题 基础训练1.C;2.C;3.90° 例3如图，在五边形 4.∠CDE=48°. 根据题意，得x=号(180-x).解得x=45.所ARCDE中，∠A+∠B+∠E 能力提高5.(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由 如下： 以这个多边形的边数为：360°÷45°=8，即这个 =320°，DP,CP分别平分 因为∠A=20°，∠B=40°，所以∠C=180°-∠A 多边形是八边形.故填八 ∠CDE,∠BCD,则∠P的度 -∠B=120°=3∠B.所以△ABC是“三倍角三角形”， 二、转化思想 数是 ( (2)设△ABC的最大内角为x. 当最大内角是∠B的3倍时，x=3∠B=90°，满足 转化思想是数学的基本思想，也是数学解决 A.70°B.65°C.60° D.55 题意； 问题的基本方法.数学解决问题的基本思路就是 分析：根据五边形的内角和等于540°可求 当最大内角是LA或∠C的3倍时，7x+x+30° 将复杂的未知的问题转化为简单的已知的问题，∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定 1=180°，解得x=112.5°，满足题意； 至于转化的具体方法，因问题而有所不同，但总义可得∠PDC+∠PCD的度数，进一步求得 的方向是化大为小、化异为同、化繁为简。 ∠P的度数. 当∠B是∠A或∠C的3倍时，号×30°+30°+x 例2一个多边形的每个内角均为156°，则 解：五边形ABCDE的内角和为：(5-2)× =180°，解得x=140°，满足题意 这个多边形是 ( ）180°=540°.因为∠A+∠B+∠E=320°，所以140 所以△ABC中最大内角的度数为90°或1125°或 A.九边形 B.十边形 ∠BCD+∠CDE=220°.因为DP,CP分别平分 8.1.2.2三角形的外角和 C.十二边形 D.十五边形 ∠CDE,∠BCD,所以∠PDC+∠PCD= 基础训练1.C;2.70. 3.(1)∠BCE=50°：(2)∠F=20 延多边形的内角与外商的关系，TCDE+∠BCD=)LCDD 能力提高4.120°或90°， 将多边形的内角问题转化为多边形的外角问题2 8.1.3三角形的三边关系 解决，可以快速得解 =110°.所以∠P=180°-（∠PDC+∠PCD) 基础训练1.D;2.C;3.11. 解：因为这个多边形的每个内角都等于 =70°.故选A, 4.m的值为11. 一十十十十十“十十“十十十“十4十 第38期3版参考答案 题型空间 一、 题号12345678 走进生活 感受多边形 答案A C DBBC BB 二、9.稳定性：10.9：11.20；12.110. 三、13.AC的长为8cm. ⊙广州朱林丽 14.(1)因为a=4,b=6,所以2<c<10.因为 现实情景中有许多与多边形相联系的问∠1= △ABC的周长是小于18的偶数，所以c是大于2且小于 8的偶数.所以c的长是4或6. 题，这些问题立意新颖，趣味性、应用性强，下面 解：因为“停车让行标志”可以看成是正八 (2)根据题意，得a+b>c.所以Ia+b-cI+lc-a 举例予以说明. 边形，所以∠1=360°÷8=45°. -bI=a+b-c-(c-a-b)=a+b-c-c+a+b 一、班徽设计 故填45. =2a+2b-2c. 15.因为∠ABC=40°，∠C=60°，所以∠BAC= 例1为了提高同学们 三、行走路线 180°-∠ABC-∠C=80°.因为AE是△ABC的角平分 的创新能力和设计能力，某 例3如图3，一只蚂蚁从点A出发每向前 中学进行班徽设计大赛，如 线，所以∠BAE=了∠BAC=40°因为AD是△ABC的 爬行5厘米，就向左边偏转9°，则这只蚂蚁回到 X 高，所以∠ADB=90°.所以∠BAD=90°-∠ABD= 图1是某班一位同学的班徽 点A时，共爬行了 50°.所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°.因为BF是 设计获奖作品，其形状可以 图1 ∠ABC的平分线，LABC=40,所以∠AB0=子∠ABC 近似看作正五边形，则每一个内角的度数为 =20°.所以∠BOE=∠AB0+∠BA0=60°. 0 16.(1)90,40. A 解：正五边形的内角和为：(5-2)×180°= (2)由(1)知∠PBC+∠PCB=90°.所以∠ABP+ 图3 540°.因为正五边形的每一个内角都相等，所以 ∠ACP=(∠ABC-∠PBC)+(∠ACB-∠PCB)= A.100厘米 B.200厘米 (∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A- 每一个内角的度数为：540°÷5=108. C.400厘米 D.不能回到点A90°=90°-∠A. 故填108. 解：根据题意可得，这只蚂蚁回到点A时，经 (3)(2)中的结论不成立.结论：∠ACP-∠ABP= 二、交通标志 90°-∠A.理由如下 过的正多边形的边数为：360°÷9°=40， 设AB与PC交于点D.因为∠P+∠ABP+∠BDP 例2小明发现交通指 所以这只蚂蚁回到点A时，共爬行了：40×5=∠A+∠ACP+∠ADC=180,∠BDP=∠ADC,所以 示牌中“停车让行标志”可以 =200(厘米) ∠P+LABP=∠A+LACP.因为∠P=90°，所以 ∠ACP-∠ABP=∠P-∠A=90°-∠A 看成是正八边形，如图2，则 故选B. （下转1,4版中缝) 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2025年3月24日·星期二 初中数学 报纸发行质量反馈电话： 第 39期总第1183期 华东师大 0351-5271248 数理超 七年级 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-44 附加题 1.在 △ABD中，AD+BD> 名师点睛 AB;在△BCD中，BD+ 本周主讲 CD>BC:在△ACD中， 多角少角 巧炒求解 AD+CD>AC.所以AD 8.2多边形的内角和与外角和 BD+BD+CD+AD+ 学习目标：了解多边形的内角、外角及 ◎湖北 段克会 CD>AB+BC+AC.所 对角线，理解正多边形的概念，会应用多边 在解多边形问题时，常常会遇到少算角、多 1830° -180°，且小于1830°，求解不等式组确 I以AD+BD+CD> 形的内角和公式与外角和进行相关的计算 算角、剪去角等问题，很多同学在解这类题型时定的整数解 12 (AB BC +AC). 8.3用正多边形铺设地面 往往会束手无策.为了帮助同学们突破这一难 解：设这个多边形的边数为n 2.(1)①55：②65： 学习目标：探索用正多边形铺设地面的 点，现讲解如下： 根据题意，得1830-180<(n-2)×180 ③∠BGE=909 条件，并会设计简单的铺设图案 一、少算一个角 <1830 2 ∠A.理由如下： 例1一个多边形少算一个内角，其余内角 6<n<12 解得11 因为BD平分 6 多边形的内角和与 之和是1500°，则这个多边形的边数是 ( ) ∠ABC,所以∠DBC= 外角和是多边形相关知 A.8 B.9 C.10 D.11 因为n为正整数 ∠ABC. 所以n=12,即这个多边形的边数为12 问导 识的延展，从三角形内 分析：设这个多边形的边数为几，因为少算 焦 三、剪去一个角 因为EF∥BC, 角和、外角和到多边形 了一个内角，所以这个多边形的内角和大于 所以∠F=∠DBC 1500°，且小于1500°+180°，求解不等式组确 例3一个多边形纸片按 的内角和、外角和，环环 -∠ABC,∠CEF= 多 如图所示的剪法剪去一个内角 角 相扣，前面的知识为后 定n的整数解 解：设这个多边形的边数为n. 后，多边形的内角和 面的知识做了铺垫，联 根据题意，得1500<(n-2)×180< (填“增加”或“减少”)》 因为 EG 平 分 系性比较强，可以培养 1500+180 学生的探索与归纳能 所以∠FEG 形 分析：根据题意可设原来的多边形边数为 力 解得10<n<13 n,则新多边形的边数为n+1,然后利用多边形 LCEF=7∠LC 如图1，在n边形 因为n为正整数，所以n=11, 的内角和公式进行计算即可. 所以∠BGE LFEG+LF=2 角 44,A,…An中，从其中 故选D. 解：设原来的多边形边数为n,则新多边形 一个顶点可以引(n-3) 二、多算一个角 的边数为n+1. 条对角线，得到(n-2) 例2小明在求 一个多边形的内角和时， 所以(n+1-2)×180°-(n-2)×180°= + -LABC =2(LC 个三角形，这(n-2)个多算了 个内角，总和为1830°，求这个多边形(n-2)×180°+180°-(n-2)×180°=180° +LABC)=7(180° 三角形的内角和就是这个n边形的内角和，即 的边数 所以一个多边形纸片按如上图所示的剪法 (n-2)×1809 分析：设这个多边形的边数为，因为多算剪去一个内角后，多边形的内角和增加180°. A)=90-7∠ 了一个内角，所以这个多边形的内角和大于 故填增加，180 (2)设EG交BC于 点H. 题辅导 因为BD平分 ∠ABC,所以∠GBH= 1 识用正多边形铺设地面 号∠Ac=2(180 、多边形的内角和大显身手 山西 李卓鹏 ∠A-∠C)=90° 观察一些建筑物的地面，可以发现这些地面 =144°，因为108°×2+144°=360°，故能铺满 例1如图2，已知∠MON=60°，正五边 常常是用一种或几种正多边形瓷砖铺设而成.你地面；C.正八边形和正方形的内角分别为： 形ABCDE的顶点A,B在射线OM上，顶点E在 知道用哪些正多边形瓷砖可以铺满地面吗？ (8-2)×180° 因为EF∥BC 射线ON上，则∠AE0= =135°和90°，因为135°×2+ 8 所以∠CEF 一、用一种正多边形瓷砖铺设地面 解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以 180°-∠C,∠FEH= 例1只用一种正六边形地砖密铺地板， 90°=360°，故能铺满地面；D.正十二边形和正 GHC. ∠EAB=(5-2）)×180°=108.所以∠AE0则围绕在正六边形的一个顶点处的正六边形地三角形的内角分别为150°和60°，因为150°×2 因为EH平分 砖有」 块 +60°=360°，故能铺满地面.故选A ∠CEF, =∠EAB-∠M0N=48°.故填48. 解：正六边形的每一个内角为：(6-2)× 三、探索规律 所以∠FEH 二、多边形的外角和初露锋芒 180°÷6=120°.所以围绕在正六边形的一个顶 例3如图，是某广场用 ∠CEF=2(180 例2已知一个正多边形的每一个外角都 点处的正六边形地砖有：360°÷120°=3（块）. 是40°，则这个正多边形的边数是 地砖铺设的部分图案，中央是 故填3. ∠C)=90°- 740- 块正六边形地砖，周围是正 A.8 B.9 C.10 D.12 二、用两种正多边形瓷砖铺设地面 ∠GHC 解：因为这个正多边形的每一个外角都是 例2 下列多边形的组合中，不能铺满地 三角形和正方形地砖.从里向 所以∠BGE ∠GHC-∠GBH=90 40°，多边形的外角和是360°，所以这个正多边面的是 外的第1层有6块正方形地砖 形的边数是：360°÷40°=9.故选B. A.正十二边形和正方形 和6块正三角形地砖，第2层 c-(90 三、多边形的内角和与外角和齐心合力 B.正五边形和正十边形 有6块正方形地砖和18块正三角形地砖，…，依 ∠A- -∠C) 例3若一个正n边形的内角和为1080° C.正八边形和正方形 此递推，则第6层有 块正三角形地砖 则它的每个外角度数是 D.正十二边形和正三角形 第n层有 块正三角形地砖 ∠A A.369 B.45 解：A.正十二边形和正方形的内角分别为： 解：第1层有6×1块正三角形地砖，第2层 (全文完) C.729 D.60 2-2)×180°：150°和90°，显然不能构成有6×3块正三角形地砖，，所以第6层有正三 12 解：根据题意，得(n-2)×180°=1080° 360°，故不能铺满地面：B.正五边形和正十边形的 角形地砖的块数是：6×11=66，第n层有正三 解得n=8.所以这个多边形每个外角的度数 角形地砖的块数是：6(2n-1)=12n-6. 为：360°÷8=45°.故选B. 内角分别为：5-2）)×180°=108，(0-2)×180 10 故填66，(12n-6). 素养专练 数理极 3.如图2，以正六边形ABCDEF的边EF向内 8.3用正多边形铺设地面 跟踪训练 作正方形EFGH,则∠AFG的度数为 4.如图3，在五边形ABCDE中，AB∥CD,求 垦础训练 d】 GENZONGXUNLIAN LE的度数 1.用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部 8.2多边形的内角和与外角和 D 分完全覆盖，叫做平面镶嵌.下列多边形中，若只 160° 8.2.1多边形 选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶 嵌，则不能铺满地面的是 屋础训练 150° A 1.在如图1所示的图形中，属于多边形的有 图3 ( ) B 2.在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长 5.如图4，在四边形ABCD中，∠A=100°， 相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园.现已 图1 A.1个 B.2个C.3个 D.4个 ∠D=140°，∠BCD的平分线CE交AB于点E. 购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多 2.从某多边形的一个顶点出发的所有对角 (1)若∠B=∠BCD,则∠B= 0: 边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多 (2)若CE∥AD,求∠B的度数 边形地砖是 ( 线，将其分成6个三角形，则该多边形的边数为 A.正五边形 B.正七边形 ( C.正八边形 D.正九边形 A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图1，是三个完全相同的正多边形拼成 3.将一个四边形截去一个角后所形成的多边 的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是 形为 边形. 4.在边长为1的小正方形组成的方格纸中， 若多边形的每个顶点都在方格纸的格点（横、竖格 子线的交点)上，这样的多边形称为格点多边形 记格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数 为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb -1,其中m,n都为常数. 8.2.3多边形的外角和 图1 2 (1)在下面的两张方格纸中各有一个格点多 垦础训练 4.如图2所示的地面由正六边形和四边形两 边形，依次为△ABC(如图2)，正方形DEFG(如图 种地砖铺设而成，则∠BAD的度数为 3).认真数一数：△ABC内的格点数是 1.正六边形每一个外角的度数为 ( 5.某校研究性学习小组研究平面密铺问题 正方形DEFG边界上的格点数是， A.30° B.60° C.120° D.720° 其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密 (2)利用(1)中的两个格点多边形确定m,n 2.已知一个多边形的内角和与外角和的差是 铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个 的值； 1260°，则这个多边形的边数是 ( 正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼 (3)现有一张方格纸共有110个格点，上面画 A.9 B.10 C.12 D.11 成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图3-①， 有一个格点多边形，它的面积S=40,若该格点多 3.如图1，∠1，∠2，∠3是 3-②，3-③.请你仿照此方法解决下列问题： 边形外的格点数为c.若b=c,则a= 五边形ABCDE的三个外角，边 (1)若用边长相等的x个正三角形和y个正 AE,CD的延长线相交于点F, 方形这两种正多边形进行平面密铺，求x,y的值； 若∠F=30°，则∠1+∠2+ (2)利用图3-④中给出的边长相等的正方 ∠3的度数为■ 图1 形和正三角形这两种正多边形，画出一个密铺后 4.如图2，∠ABE是四边形ABCD的外角， 图形的示意图！ ∠ABE=∠D,试说明∠A+∠C=180°， 8.2.2多边形的内角和 屋础训练 1.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空 5.已知一个正多边形一个内角等于一个外角 窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的内 角和是 的2倍，求这个正多边形的边数 A.14409 B.1080°C.360° D.135° 图2 2.若正n边形的每个内角都等于150°，则n 数理报社试题研究中心 A.10 B.11 C.12 D.13 （参考答案见41期) 数理极 素养·测评 16.(16分)研究一个问题：多边形的一个外 同步检测 (九) 角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？ (1)如图7-①，∠ACD是△ABC的外角，请 TONGBUJIANCE 直接写出∠ACD与∠A,∠B之间的数量关系： 【检测范围：8.2~8.3】 (2)如图7-②，∠DCE是四边形ABCD的外 、精心选一选（每小题4分，共32分） 角，试说明∠DCE=∠A+∠B+∠D-180°； 题号 1 2 3 4 5 6 (3)若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的 答案 内角之和为y°，则x,y与n的数量关系是 1.下列图形中，是五边形的是 ② 图4 12.如图5，已知∠P0Q =50°，正六边形ABCDEF的 A C D 顶点A,E分别在射线OP,OQ 2.从七边形的一个顶点出发最多能画对角线 上，则∠OEF+∠OAF= 的条数为 A.4 B.5 C.6 D.7 图5 三、耐心解一解（共52分） 3.已知一个多边形的内角和为720°，则这个 13.(10分)已知一个多边形的边数为n. 多边形是 (1)若n=9,则这个多边形的内角和为 A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 4.将一个多边形剪去一个角后，该多边形的 (2)若这个多边形的内角和的写比一个七边 外角和将 附加题⊙ 形的外角和多72°，求n的值 A.减少1809 B.增大180 (以下试题供各地根据实际情况选用) C.不变 D.以上都有可能 1.(8分)一个零件的形状如图1所示，按规定 5.若一个多边形内角和与它的外角和的比为 ∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠AGF=90°，∠E 7:2,则这个多边形的边数为 ( ) =140°，质检工人测得∠F=140°，就断定这个零 A.9 B.8 件不合格，这是为什么？ C.7 D.6 6.将正六边形和下列边长相等的正多边形地 砖组合，其中能铺满地面的是 A.正方形 B.正八边形 14.(12分)如图6，将六边形纸片ABCDEF沿 C.正十二边形 虚线剪去一个角（∠BCD)后，得到∠1+∠2+∠3 D.正四边形和正十二边形 +∠4+∠5=470° 7.将一个正八边形与一个正六边形按如图1 (1)求六边形ABCDEF的内角和： 所示放置，顶点A,B,C,D四点在同一条直线上，E (2)求∠G的度数. 为公共顶点，则∠FEG的度数为 ) A.40 B.35° C.30° D.25° 2.(12分)如图2，阅读嘉嘉和琪琪的对话，解 决下列问题： 图 什么？不可能的！虽然你的运 我把一个n边形的n个内角 算正确，但是你错把一个外角 B 相加，所得的和为2020 当作内角了 图1 图2 8.如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是 A.1809 B.2709 15.（14分)小明求得一个多边形的内角和为 嘉嘉 琪琪 图2 C.360° D.540° 1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来 (1)琪琪说的“不可能的”正确吗？ 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 小明检查时发现他重复加了一个内角，求这个多 (填“正确”或“不正确”). 9.若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数以及他重复加的那个角的度数 (2)嘉嘉求的是几边形的内角和？ 边形的边数为 10.如图3，从△ABC纸片中 剪去△CDE,得到四边形ABDE. 如果∠1+∠2=230°，那么∠C = 11.如图4，将多边形分割成 图3 三角形，图①中可分割出2个三角形；图②中可分 割出3个三角形；图③中可分割出4个三角形；… 照此方法，则n边形可以分割出 个三 数理报社试题研究中心 角形 （参考答案见41期)