重庆市南开中学校2025-2026学年度下学期期中考试初2028届数学试题

重庆南开中学2025-2026学年度下学期期中考试初2028届 数学试题 (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出 了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧 正确答案所对应的方框涂黑。 1.下列计算正确的是（▲） A.a2.a=as B.(ab2=ab2C.(a2°=a D.a+a'=a 2.重庆千厮门大桥是世界最大跨径的单塔单索面斜拉桥，其主桥的构造采用了大量的三角 形结构，该设计可有效防止结构发生变形.其主要利用的数学原理是（▲） A.三角形任意两边之和大于第三边 B.两点之间，线段最短 C.三角形具有稳定性 D.三角形内角和为180 3.下列事件中，属于必然事件的是（▲） A.抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C.抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6 D.太阳从东方升起 4.如图，点B,B,C,C'在同一直线上，已知∠ABC=∠AB'C',BB'=CC',添加下 列一个条件，不能判定△ABC≌△A'B'C'的是（▲） A.AB=A'B' B.AC=A'C' C.∠BAC=∠B'AC B B' D.∠ACB=∠A'C'B 4题图 5.下列说法正确的是（▲） A.三角形三条中线的交点一定在三角形的外部 B.三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和 C.三角形的任意两边之差大于第三边 D.全等三角形对应边上的高相等 初2028届七下期中数学试题第1页共8页 6.下列算式中，能用平方差公式计算的是（▲） A.(2+x)(2+x) B.（-2+x)2-x) C.(2+x)(2-x) D.(2+x)(-2-x) 7.若关于x的二次三项式x2+2(k-2)x+9是一个完全平方式，则常数k的值是（▲） A.5或-1 B.5 C.-1 D.-5或1 8.如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为-3，则输出的结果为（▲） 否 输入x 是 计算2x+5的值 输出结果 A.-1 B.1 C.3 D.-3 9.a*b (a+b-1 (a>b), 若(x+2)*3=5,则x的值为（▲） 2ab (a≤b)' A. B.1 C.1或-7 D.-1 6 6 10.如图所示，图案由黑白正方形组成，其中第①个图中有8个白色正方形，第②个图中 有13个白色正方形，第③个图中有18个白色正方形…按照这一规律，则第⑨个图中白 色正方形的个数是（▲） ① ② 10题图 ③ A.42 B.44 C.46 D.48 IL.如图，AC=BD=CD,AC交BD于点O,点I是△CDO角平分线的交点，连接DI, A,CI,连接BI交AC于点E,∠DIC+∠AIB=180°，若∠ODC=,则∠IEC=(▲) A.a B.+45 C.90°-C D.2a-90 2 11题图 初2028届七下期中数学试题第2页共8页 12.已知整式M:x+(n-1)an.x+(0n-2)an2x-2.…+ax+a,其中n,an-1,…，a,ao 为正整数，满足an1>…>a>a，且n+an-1+…+a+a≤15.下列说法： ①当n=2,，a。=3时，满足条件的整式M有7个： ②若n=3,a,≥2，则满足条件的所有整式M的和为7x3+38x2+24x+15; ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意数时，其值一定为非负数的整式M共有2个： 其中正确的个数是（▲） A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：（本题共12个小题，每小题4分，共48分）请将每小题的答案直接填在 答题卡中对应的横线上· 13.2026年国产A心电芯片识别异常的延迟仅0.000003秒，数据0.000003用科学记数法表 示为▲· 14.已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为▲_， 15.若a"=2,a”=6,则a2m+"=_▲ 16.图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为 线段AB,其像可视为线段CD,光线AC与光线BD交于小孔点O.己知点O到像CD的距 离OE与点O到蜡烛火焰AB的距离OF相等，且点E,O,F三点共线.像的高度CD为2 cm,则蜡烛火焰AB的高度为▲cm, D A 蜡烛 图1 图2 17.南朝梁元帝在《春日》中写到：“春意春已繁，春人春不见”.现从诗句中随机抽取一 个汉字，则抽到的汉字是“春”的概率是▲ 初2028届七下期中数学试题第3页共8页 18.如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，CE是△ACD的高，∠ABC=42°， ∠ADC=∠ACD,则∠DCE=▲. A E D B C 18题图 20题图 19.若关于x的多项式(x+9x-x+b)化简后的结果不含x项，则b-▲一 a 20.如图，在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE=90°，∠BAC=∠EAD,AB=AE,线 段ED的延长线交BC于点P,连接AP.若Sae=2,4C4,CF-,则线段BF的长 度为▲ 21.已知x2-x=4,则x3-5x2+2026的值为▲ 22.如图，△ADF的面积为3，BE=3CE,EF=2AF，则△ABC的面积为▲_ 23.如图，在△ABC中，CF平分∠ACB交AB于F,AE平分∠BAC交BC于点E,AE, CF相交于点G,AD⊥CF交CF的延长线于点D,连接BD,取AB的中点H,连接EH, DH.当AC≠BC时，下列结论：①∠CBA=2∠GAD:②C边形ADE>2(EH+DH): ③AD=BD;④若AC=AF+CE,则∠CGE=60;其中正确的是▲（只填序号）. 0 G H B E D B 22题图 23题图 24.一个四位自然数N的各个数位上的数字互不相等，若千位数字与个位数字的差等于十 位数字与百位数字的差，则称其为“麒麟数”，将N的千位数字与个位数字，百位数字与 十位数字调换位置，得到一个新的数N,记HM=V- ,则H(9568)=▲： 303 若“麒麟数”M=1000a+100b+150c+d-197(a,b,c,d均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤5,3≤c≤4,0≤d≤6)，记M的各个数位上的数字之和为QM0,若QM)为完 全平方数，且为整数，则满足条件的所有M的值之和为▲ b-2 初2028届七下期中数学试题第4页共8页 三、计算题：（本大题共4个小题，其中25-27题4分，28题8分，共20分）解答时每小题 必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 25.(-)m6+3.14-元+() 26.y2.(-x2y3)+(2y3)2-4y8÷y2 27.a(6-b2)+(ab-2)3a+b) 28.先化简，再求值： [2x+3+c-X3y--8x+:,英中x=写y=1 四、解答题：（本大题共5个小题，其中29-30题每题8分，其余每题10分，共46分）解 答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解 答过程书写在答题卡中对应的位置上. 29.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC上有一点D满足BD=AC. (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点D在BD上方作∠BDM=∠CAB,射线DM 交AB于点F;在射线DM上截取线段DE使DE=AB,连接BE.(保留作图痕迹，不写 作法) (2)在(1)中的条件下，证明：BF⊥DE.请补全下面的证明过程，并在括号中填上理 论依据. 解：在△ABC和△DEB中， A AC=DB ① AB=DE B D .△ABC≌△DEB(SAS) 29题图 ∴，∠DBE=∠ACB=90°，∠BED=∠CBA ( ② :∠DBE=∠CBA+∠EBF-90° .③ +∠EBF=90 在△BEF中，∠BEF+∠EBF+∠BFE=18O .④ .BF⊥DE 初2028届七下期中数学试题第5页共8页 30.如图，在五边形ABCDE中，F是边CD上的点，连接AF,满足AB=AF且BC=FC. (1)证明：∠CAB=∠CAF. (2)若∠CAD=∠BAE,∠4FC=85°，∠DAE=15°，求∠ADF的度数. 21 F D 30题图 31.某返乡创业电商团队采用“双品联动、组合带货”的直播运营模式，每场直播同时售卖 永川秀芽、涪陵榨菜两款助农产品.经团队前期调研，双品联动模式下两款产品的运营数 据如下： A.永川秀芽：其有效订单量为m（m≥0，单位：十单，即m=1代表本场成交10单)，每 10单销售收入为(220-4m+n)元，每10单的变动运营成本为(40+2m)元， B.涪陵榨菜：其有效订单量为n(n≥0，单位：十单，即n=1代表本场成交10单)，每 10单销售收入为(190+3n)元，每10单的变动运营成本为(30+7n+m)元. C.每场双品联动直播的固定运营成本为1200元. 请结合上述材料，完成下列问题： (1)请用含m,n的代数式表示本场直播的总净利润W，并将结果化为最简形式： (2)当本场直播总净利润为1750元时，求出此时m,n的值. 初2028届七下期中数学试题第6页共8页 32.利用若千个长与宽分别为a,b的小长方形（或边所在的直线）可画出如图1,2所示 的大正方形，用两种方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式 b e 图1 图2 (1)由图1得到的等式是 :由图2得到的等式是 (2)根据(1)中的结论，若(2027-x)(x-2021)=8,则4(2024-x)2= (3)将正方形ABCD和正方形EFGH如图所示方式摆放，点B,F,G,C在同一条直线 上，点M,F别是FG,BC中点，连接BD,BE,ED,EG,EM,BM=I0,S△BE=9, 根据(1)中的结论求△BED与△EMG的面积差， D B FMG 32题图 初2028届七下期中数学试题第7页共8页 33.等腰直角三角形是顶角为90°，底角为45°的等腰三角形.△ABC是等腰直角三角形， AB=BC,∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45. (1)如图1，D为△ABC外一点，E为△ABC内一点，连接BD,AD,BE,CE,若 ∠DBE=90°，BD=BE,其中∠BEC=120,∠BAD=40°，求∠DBA的度数. (2)如图2，点D为线段AB上一点，连接CD.以CD为直角边作等腰直角三角形CDE, 取DE的中点F,连接BF并延长交CE于点G.求证：BG∥AC. (3)如图3，点D为直线AB上的动点，连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90至CE, 连接AE,AE与直线BC交于点F,当BC=4,BC=3BF时，在线段CD上取一点K满足 DB=DK,点L,H分别在线段BD与线段DK上运动，始终满足BL=DH,当BH+KL取 最小值时，过点L作AB的垂线l,1上有一动点S,将BS绕点B顺时针旋转90得到BT, 当AT取最小值时，直接写出△ATC的面积. E B G B E K H 图1 图2 图3 初2028届七下期中数学试题第8页共8页重庆南开中学初2028届七年级（下）期中考试 数学答题卡 姓名： 班级： 贴条形码区 准 55mm x 25mm 正面朝上，切勿贴出方框》 证号： 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂。 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对 填 正确填涂 注 条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。 涂 意 2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综合题部分必须使用0.5 毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 样 错误填涂 事3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域 √>×O 例 0●二 项 书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 客观题（请用2B铅笔将题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D 4 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 12[A][B][C][D] 主观题（请用0.5毫米黑色签字笔书写）ACDB DCAC ADBB 填空题(13-24题每小题4分，共48分) 13. 3×106 14. 5 15.24: 16 2 cm: 8 17. 18 16°；19. 9 20. 3 21. 2010: 22. 132 23.①②④： 24 3 6969 三.计算题(25-27题每小题4分，28题8分，共20分) 25.(←+3.14-+（宁 原式=1+1+2…3分 =4…4分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26.y2.(-x2y3)+(2y3)2-4y8÷y2 原式=-x3y+4y6-4y6.…3分 =-x3y5.…4分 27.a(6-b2)+(ab-2)3a+b) 原式=6a-ab2+3a2b+ab2-6a-2b.…2分 =3a2b-2b…4分 28.先化简，再求值：[(2x+3y)2+(x-y)3y-x)-x(3x+y)]÷3y,其中 1 x=5y=1. 解：原式=[4x2+12y+9y2）+(3y-2-3y2+y-(（3x2+】÷3y…3分 =(15xy+6y2）÷3y…4分 =5x+2y…5分 鸟x专y三1时……6动 原式=5×+2=3…8分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 29.(8分)(1) 解：如图所示， ∠BDM即为所求 (2) ① ∠CAB=∠BDE ② 全等三角形对应角相等 ③ ∠BEF ④ ∠BFE=90 F B 画图3分（作一个角等于已知角…1分，作一条线段等于色知线段分，连 接BE及标点E,F分，图中四弧完整多画不扣分) 下结论…1分 填空每空…1分 30.(8分) 解：(1)在△ABC和△AFC中1分 AB=AF {BC=FC…2分 AC=AC .△ABC≌△AFC(SSS)…3分 .∠CAB=∠CAF.…4分 D (2) 30题图 :∠CAB=∠CAF 在△ADF中， 34BAF ·∠CAF= ∠AFC=∠FAD+∠ADF.7分 ∠AFC=85,∠FAD=15 CADE. ∠CAB=∠CAF=70.…8分 ∠BAE=∠BAF+∠FAE ∠CAD=1∠BAF+ ∠FAE 2 :∠CAD=∠CAF+L∠FAE 2 :∠CAD=∠CAF+∠FAD .∠FAD= 2∠F1E.…5分 即AD是∠FAE平分线. AD平分∠FAE ∴.∠FAD=∠DAE=15…6分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 31.(10分) 解：(1) W=(220-4m+n)-(40+2m)m+(190+3n）(30+7m+m)n-1200.…2分 =(180-6m+n）m+(160-4n-m）n-1200 =-6m2+180m-4n2+160n-1200.…4分 (2)由题意可知， -6m2+180m-4n2+160n-1200=1750.…5分 ∴.6m2-180m+4n2-160n+2950=0 即6(m-15)+4(n-202=0…6分 6(m-15)2≥0,4(n-20)2≥0…7分 .m=15,n=20.9分 答：当本场直播总净利润为1750元时，m的值为15，n的值为20.10分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 32.(10分) (1). (a+by=a2+2ab+b2: (a-b=(a+b}-4ab;…2分 (2) 4 ；…4分 (3)连接EC 设FM=a,BF=b :M是FG的中点，F是BC的中点 ∴.MG=FM=a,FG=2FM=2a FC=BF=b,BC=2BF=2b :正方形EFGH,正方形ABCD ∴.GH=EH=2a,CD=BC=2b SARED SABCD-SABEC -SAECD 32题图 c-ccCp-F 2 号×2b×2b-}×2b×2a-×2bxb 2 =2b2-2ab-b2 =b2-2ab.5分 片Mcr S△EMG= =1 .2a =a2…6分 SAsD-SAEo=b2-2ab-a2.…7分 ..BM=10,SABEF =9 a+b=10, }62a-9 .a+b=10,ab=9 .b2-a2=(b+ab-a) (b-a)}2=(b+a)}-4ab =102-4×9 =64 ∴.b-a=8或奶-a=-8 .b-a>0 .b-a=8…8分 .b2-a2=10×8=80 S△BD-SAEMG=b2-a2-2ab=80-2×9=62…9分 答：△BED与△EMG的面积差为62.…10分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 33.(10分) ·∠DBE=∠ABC ·∠DBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE B .∠DBA=∠EBC1分 ·在△DAB和△ECB中 BD=BE (I{∠DBA=∠EBC 图1 AB=CB ,.△DAB≌△ECB(SAS) .∠BDA=∠BEC=120°.…2分 ·在△DAB中，∠DBA+∠BAD+∠BDA=180 .∠DBA=20°.…3分 E (2)过点E作EH⊥BC交BC于点H,交BG于点I…4分 .∠EHC=∠EIHB=90° :△ECD是等腰直角三角形 G ∴.CD=EC,∠ECD=90° 夕 :在△EHC中，∠EHC=90° H .∠HEC+∠ECH=90° D :∠ECD=∠ECB+∠BCD=90° .∠HEC=∠BCD.5分 ,在△EHC和△CBD中 图2 I∠EHC=∠CBD ∠HEC=∠BCD EC=DC ∴.△EHC≌△CBD(AAS…6分 ∴.HC=BD,HE=BC BC=BA ∴DA=BH :∠EHB=∠CBD=90° .BD//EH (3) 3 …10分 ·.∠BDE=∠FEH :F为DE中点 .DE=FE ,在△DFB和△EFI中 「∠BDE=∠FEH DE=EF ∠BFD=∠EFI .△DFB≌△EFI(ASA)…7分 .EI=BD .IH =DA .IH=BH ∠EHB=90° ∴.∠IBC=45°=∠BCA .BG/1AC…8分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 法2：在BC上取一点H,使得CH=BD,连接FC…4分 :F为BD中点 ..FD=FE .△DFC≌△EFC(SSS).5分 F G .∠CFD=∠CFE=90° B .∠BDI=∠FCI .△DBF2△CHF(SAS).6分 H ∴.∠DFB=∠CFH,BF=HF D ∴.∠BFH=90° .∠FBH=45°..7分 .∠FBH=∠BCA .BG//AC.…8分 法3：延长DB至一点H,使得DH=BC,连接FH..4分 ,F为BD中点 .FD=FE H ∴.△DFC≌△EFC(SSS).5分 G .∠CFD=∠CFE=90° ∴.∠BDI=∠FCI ∴.△DHF≌△CBF(SAS).…6分 D ∴.∠DHF=∠CBF,BF=HF ∴.∠BFH=90° .∠FBH=45°…7分 .∠FBH=∠CAB=45 .BG//AC.…8分 11.如图，AC=BD=CD,AC交BD于点O,点I是△CDO角平分线的交点，连接D/, AI,CI,连接B1交AC于点E,∠D1C+∠AB=180,若∠ODC=a,则∠IEC=（A) D A.a B号+45 c0-号 D.2a-90 :点1为△cDo角干分代的妒 ..LDCI=LACI,L BDI =LC DI 在△B0L与AC0I中 11题图 !BD=CD LBDI-LCDI ,∠D1ct∠AI8=o DI =DL ∠D1A=∠C1B=70 △BDT ACDT(SA5) .2 OLB=L DLC 同理A bCL△ACL ∠D肛B=LDEC=I35°，LAIE4 .∵∠DIc=∠DIB=∠A1C :2c9r4竖 .:∠D1A=∠C1B LDoc:9o :.∠1AE:Lobi, ∠1iC:是tt 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 2题祈：正阙D.B 2+4%+10+2 h:M 解：0n=2时，5+a1≤15 2+4X十2X2+》 丰单 ia1≤/0 Qo-3时a=4,0=5 d0=4,5.67,8.910 M34十o+ -有7价. 的2+6X+24呀+/5内 ®n=30时，3+ota+a∈15 ®n2,o+a≤52=3 →0ota4十Q2≤/2 o=/时，a=2,、、，2 0o=20时【 3,0=45.6·7 满的有：22x州=()≥力☆ a=4,a,=5,b Co=2时，C=3,-,1. a1=5,Q在 o=3的，a=4,、~~~10 碰 =M「2才3xt8X许X氵 o=时，a~、,9J 23xt/0X+2; 随为非收数的整式M有价。 2+3Xt2X+3; 23X十14%+； 4仁68，w58s9 Hg)=8s上器-3 303 後W=acd,W-ocba (6满ka-ol=c-b) Lw)=a-29d土b-匹=39c-b2tech 303 505 p9c-j09b 303 =30b) 24题解析2) @c4时 0c=30时 M=/o0aa-+loob+boo-197+dl M=1000a +lo0b +4so-13]to =1000a+loob+403td =aCb+4)03) 二/oooatiocb十253tcl 满敲：a-3d=一b4 二Qb+253a) a-d=-b-11 3C-3ol=5b2 BM)=Q+bid+] =d-1+dli]-2dtb ©Q-o=b-bR 6≤M)≤18 6M)=Q+b+ol+/0=2o+/b →w)=武6 1R(M)≤28 →c5 、仅M)=16或25 H0M)=3Cb4)=2b2 、=O =业=逃8 b22 Am)=3(5-b2) b2. =3-经 =9-3b M,=17530 →b2=界X长，3书，22，山1 62 b 6=5,4,031 和：753"78+358 二31务 M53☒ →M4=4408四 =661 62=3,-3,1，-1 M3353⑧ M5=7b8M6=358V b=5,3,1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 33:():D当点D位于A点下5时，作EL⊥CB的3延长代H E 佩失D△E1C兰△CBD,△IET≈△BAT .,C1=g0 ·A0BL=2BfF=号 W 其作D水的平行伐，点W 促得BW=D水连接WL T 月Q△WBL兰△BpH B科K=wLtk1≥Wk D 长w,L水三或战时报短 比时L为BD点 下商悦明T点的轨立为豹于AB的值钱 过点T作T丁⊥A时T,月知△TB灯≥△BSl PT丁=BL· 由于∠T1B=90,T丁=BL为值 点T的轨虹为平作于BP的直悦 0 A 鼓当AT1ABt,AT呢卧直号，比时SonTc:士x号x4=智 ⊙当点b在汽F後AB上时 作I1CBI.同上折.可晖AD=B1:号 L点为BD,与AT吊小ATLA3 比时SaATc=立*号×4=专 D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效