双曲线中的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

双曲线中的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 双曲线中的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 双曲线中的定点问题 双曲线中的定值问题 双曲线中的定直线问题 考点一 双曲线中的定点问题 例1．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； （3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点. 【详解】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中，所以， 即离心率： ； （2） 设，直线方程为， 令，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或（因为此时与点重合故舍去），即； （3）设，由关于原点对称得， 计算得直线的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 例2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为，得，结合双曲线过定点，联立求解得到双曲线的标准方程； （2）（ⅰ）设过定点的直线方程，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到两点纵坐标的和与积的关系式；根据斜率公式，得到，，从而计算出的值； （ⅱ）分别设过定点的直线，方程，分别与双曲线方程联立求出点与点，点与点的横、纵坐标之间的关系式，根据,,三点共线，则求出定点。 【详解】（1）双曲线过点，渐近线方程为， ，解得； 的标准方程为. （2）（ⅰ），的左顶点； 直线过点，设直线方程为，，； ，联立方程得， ， 则，； 直线与的左支交于，两点，，； 即，解得； 综上所述，的值为. （ⅱ）直线过点，设直线的方程为，，，则； ，联立方程得， 则，得； ； 同理可求得，； ①当直线斜率存在时，如图所示： ,,三点共线，，即， 则，化简得; 令，即，即直线过定点; ②当直线斜率不存在时，如图所示： 此时，则，解得，； 直线的方程为，也过定点； 直线恒过定点. 例3．（25-26高三下·江苏无锡·月考）已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为2，证明以下问题： ①过定点； ②不可能为锐角三角形. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）先设动点坐标，将几何关系转化为坐标关系后可得曲线的方程； （2）①设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后可得定点； ②利用向量的数量积可判断三角形的形状. 【详解】（1）设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以， 则，整理可得曲线的方程为． （2）①设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，而直线和的斜率之商为2，有矛盾． 故可设，由得， 依题意，且， ∴且． 由得， 所以 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以 因为点M在C上，所以，即， 所以，即， 化简可得，解得． 此时恒成立，所以，过定点． ②由（2）知，． ①当，即时，， ∴均在的右支，如图． 此时 ， ∴是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， ∴分别在的两支．不妨设在的右支，则，如图． 设，则， ∴． ∵过点，∴， ∴是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 变式1．（2026·山东潍坊·一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若与的右支交于两点，与的右支交于两点，线段与的中点分别为，且在第一象限． （i）证明：直线过定点； （ii）直线与交于点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）直线过定点，证明见解析；（ii）6 【分析】（1）根据双曲线的焦距，渐近线方程及离心率分别求解即可求解； （2）（i）设方程为，与双曲线方程联立，得出韦达定理，求得点的坐标，分类讨论，当时得出直线过，当时，得出直线方程，令即可证明； （ii）先说明，再由弦长公式得出，进而得出，求解最小值即可． 【详解】（1）由题可知，，所以，又， 所以，所以的方程为． （2）（i）由题意可知斜率存在且都不为0， 设方程为，联立， 消去并整理得，，且，， 设，则， 所以，所以， 又直线互相垂直，用替换，则可得， 当，即时，直线的方程为，直线过； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令， 所以直线过． （ii）取中点，设交点为，交点为， 因为分别为的中点，所以， 所以，则， 同理可得，所以， 由（i）得， ， 则， 同理可得，， 所以 （*）， 因为直线与双曲线右支交于两点， 所以，解得， 同理直线与双曲线右支交于两点，则，解得， 所以， 所以（*）同时除以得，， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以设，则， 设函数 ， 因为，所以， 所以，当时取得最小值． 变式2．（25-26高二下·湖北襄阳·月考）在平面直角坐标系中，已知动点满足下列方程：；该方程的曲线与x轴的交点分别为两点（在的左侧），不过的直线l与该曲线交于两点，记直线的斜率分别为；直线的斜率分别为． (1)求该曲线的标准方程； (2)若，求的值； (3)若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点 【分析】（1）利用双曲线定义可得，即可得出标准方程； （2）利用点在双曲线上可求得，代入即可求出的值； （3）设直线l的方程为，，联立双曲线与直线方程并结合韦达定理化简得出的表达式，可得，解得，可证明直线l过定点； 另解：由（2）中的计算可知，得，设直线l的方程为，，联立双曲线与直线方程，利用韦达定理可得 ，解得，因此直线l过定点. 【详解】（1）由双曲线的定义，易知该曲线是以为焦点的双曲线， 其中； 故该曲线的标准方程为 （2）设， 由题易得，且得， 代入可得， 同理可得， 故，又， 可得； （3）由题知． 设直线l的方程为，，如下图： 直线与双曲线联立得， 可得，因此且； 则可得，， 因此， 由，， ∴ ， 解得； 所以直线的方程为过定点. 另解： 由（2）中的计算可知，得， 则，即； 设直线l的方程为，； 与双曲线联立得， 可得，因此且； 则可得，， 因此， 又， 所以 ， 也即， 解得. 因此直线l过定点； 变式3．（25-26高三上·广东·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于. (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线交于、两点，以为直径的圆记作. （ⅰ）求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； （ⅱ）是否存在某个定圆与相切，若存在，请求出此定圆的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析，定点坐标为；（ⅱ）存在，定圆为，理由见解析. 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离得到方程，结合求出，得到双曲线方程； （2）（ⅰ）当斜率不为0时，设为，联立，求出两根之和，两根之积，求出方程，由对称性可知，过的定点应在轴上，故令得或，当直线斜率为0时，直线为，此时方程为，求出所过定点； （ⅱ）先考虑斜率为0和斜率不存在时，求出的方程，由对称性猜想出与相切的定圆方程为：，再进行证明，得到当时，与外切，当时，与内切，故存在某个定圆与相切，此定圆的方程为. 【详解】（1）设双曲线方程为， 故右焦点坐标为，渐近线方程为， 故到的距离为， 又离心率等于2，故，又，解得， 故双曲线方程为； （2）（ⅰ），当过点的直线斜率不为0时，设为， 联立与得， 整理可得， 要想直线与双曲线交于、两点， 需满足，解得， 设，则， 所以， 所以，， ， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以方程为， 由对称性可知，过的定点应在轴上， 故中，令得 ，解得或， 故与轴交点为，， 当直线斜率为0时，直线为， 此时的坐标分别为，则方程为，经过点， 综上，恒过某个定点，此定点的坐标为； （ⅱ）当直线斜率为0时，方程为， 当直线的斜率不存在时，方程为， 中，令得，故设， 故的圆心为，半径为3，所以方程为， 由对称性可知，与相切的定圆方程为：，下面进行证明， 由（ⅰ）知，圆心为，半径为， 故两圆圆心距为， 当，即或时，与的半径之和为， 此时与外切， 当，即时，与的半径之差为， 此时与内切， 故存在某个定圆与相切，此定圆的方程为. 考点二 双曲线中的定值问题 例1．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点. (1)若斜率为1的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积； (2)设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1); (2)证明见解析. 【分析】设出直线方程，利用韦达定理和三角形的面积公式即可求解； 设出直线方程，利用点在双曲线上，找到等量关系，代入斜率乘积式即可求解. 【详解】（1） 如图所示，由题可知：，，所以，所以，， 不妨设，则联立方程：，解得：，所以，， 则 ，所以 由弦长公式可得：， 点到直线距离为： 则. （2） 如图所示，不妨设，，，则， 则，，所以， 点和均在双曲线上，所以，， 解得：，， 所以 ，即：为定值3. 例2．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出的方程，再求渐近线方程即可； （2）当直线轴时，根据等面积法求得到直线的距离；当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，分别代入双曲线和椭圆的方程，求得，利用等面积法求得到直线的距离，结合点到直线的距离为定值求出． 【详解】（1）根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 又点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在定点 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求出，通过面积和离心率求出双曲线方程． （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，写出面积表达式，从而求得最值． （3）设，整理表达式，由分子分母系数比例关系可求出． 【详解】（1）设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为． （2）由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6． （3）假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值． 变式1．（2026·河北雄安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. (1)若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； (2)若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的定义求出，再在中由余弦定理即可求出； （2）方法一：设，与双曲线方程联立，将代入方程中化简即可；方法二：求出点坐标，再化简直线的斜率即可. 【详解】（1）点在双曲线右支上，， 由，得. 又直线与双曲线的左半支交于点，所以，得， 在中由余弦定理得 ， 整理得，解得或（舍去）. 实数的值为. （2）方法一：设直线的斜率为，则直线， 联立，整理得. 因为点的横坐标为，所以恰是该方程的解， ， 整理得，即. 又，所以， 直线过点且与双曲线交于第一象限的点， ，即直线的斜率为定值. 方法二：点的横坐标为，在第一象限，且在双曲线上， ，解得，故， 因为直线过点，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值. 变式2．（24-25高三上·陕西·期中）已知双曲线（，）的焦距为4，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于，两点（在轴上方）， (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为． （i）求证：的面积为定值； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意求出即可求解； （2）（i）分直线与轴重合和不重合两种情况讨论，当直线不与轴重合时，设：，与双曲线方程联立，进而得，求直线的方程和直线的方程，进而求点的横坐标，最后利用三角形的面积公式即可得证； （ⅱ）当直线与轴重合时，求，当直线不与轴重合时，求，进而求解. 【详解】（1）由题意，知，，，， 又，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）（ⅰ）当直线与轴重合时，有，， 进而得直线的方程为，直线的方程为， 由，解得，所以. 当直线不与轴重合时，设：， 所以，整理得， 设， 所以，，由题意得，即， 直线的方程为①， 直线的方程为②， 由①②相减有：， 即，有，即， 综上，可知点在直线上. 因此，的面积为； （ⅱ）当直线与轴重合时，，，， 所以； 当直线不与轴重合时，由 ， 即，有； 综上，有，即面积的最小值为． 考点三 双曲线中的定直线问题 例1．（2026·广东中山·三模）双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） (1)求双曲线的标准方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）先令直线方程中求出直线与轴交点得实半轴，再由已知离心率算出半焦距，最后利用双曲线的关系求出，进而写出双曲线的标准方程. （2）（i）先检验切线斜率不存在时特殊点的情况，均不符合两条切线的题意，再设斜率均存在的切线方程，与双曲线联立后利用相切判别式为零化简，得到关于斜率的一元二次方程，依据有两个相异斜率的条件，结合二次项系数不为零、判别式大于零及排除渐近线对应取值，最终求出的取值范围. （ii）先写出双曲线在、处的切线方程，联立求出切点弦交点坐标，再由在定直线上得到坐标关系式，接着求出点坐标并写出直线方程，联立定直线求得交点的横坐标，同理写出直线与定直线交点的横坐标，借助已得关系式分别化简、横坐标的分子与分母，证得二者分别相等，从而推出、重合，证明两直线交点恒在定直线上. 【详解】（1）直线方程中，令，则， 则直线与轴交于，所以,离心率， 所以，故． 所以双曲线的标准方程为． （2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时， 若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为， 联立双曲线方程得， 则， 解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意， 当时，此时只有一条切线，显然不合题意， 则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为， 与双曲线方程联立得：， 令 整理得：，由于，所以且． 上式整理得：． 由题意，有两个相异实根，所以， 且． 整理得：，解得：． 综上所述，的取值范围是． （ii）设． 直线和方程分别为和． 联立得点． 又点在直线上，代入整理得：．① 在直线方程中，令，则，得点． 故直线方程为：． 设直线与直线交点为，联立两直线方程：． 解得：． 设直线与直线交点为， 同理可得：． 由①式，计算的分子之差有 计算的分母之差有 则可得和表达式的分子分母分别相等． 故两点重合，所以直线与的交点在定直线上．    例2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为；（ii）证明见解析． 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【详解】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ），，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 例3．（2026·河北·二模）已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）通过离心率与点在曲线上的条件求解双曲线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算斜率乘积； （ii）联立直线方程，结合韦达定理关系化简，确定交点横坐标为定值. 【详解】（1）由双曲线离心率，得. 结合，得，故. 将点代入双曲线方程，得， 解得，则. 故双曲线的方程为. （2）（i）双曲线的左右顶点为，. 设过的直线为，与交于，. 联立方程，消去得，， 由韦达定理，，. 直线、的斜率分别为，，则， 代入，， 得 ， 因此. （ii）直线的方程为，令，得. 直线的方程为， 直线的方程为. 联立两直线方程：， 代入，，结合， 即， 所以， ， ， ， ， ，即， 因在右支，不恒为，故. 即点在定直线上. 变式1．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知双曲线过点，. (1)求的方程. (2)若直线与的右支交于点，，以线段为边向右侧作，其中，均与一条渐近线平行，得到点，再过点作与平行的直线交于，，以线段为边向右侧作，其中，均与一条渐近线平行，得到点，…，以此类推，可以得到一列点 （i）证明：点在定直线上. （ii）证明：为定值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析； 【分析】（1）令双曲线为，将所过的点代入列方程组求参数，即可得方程； （2）（i）设且，联立直线与双曲线，应用韦达定理得，联立直线、求得，令，则，同理求得，依次类推即可证所有点都在定直线上；（ii）同理的推理过程可得，，且，结合整理化简只含的表达式，即可证定值. 【详解】（1）令，则，可得，故双曲线方程为； （2）（i）设且，联立，则， 所以，如下图，由双曲线的渐近线为， 则，， 联立有，可得，即， 所以，即，故在直线上， 由题设，令，则，联立， 所以，整理得， 若，则， 同理有，， 联立有，可得，即， 所以，即，故也在直线上， 同上过程，可推得均在直线上，得证； （ii）根据（i）知：，联立，整理得， 根据题意有，，且， 所以 ，得证. 变式2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【分析】（1）由双曲线定义将条件转化为最小值，从而利用求最小值解即可； （2）由直线过设方程联立椭圆方程利用韦达定理得坐标关系式，再设直线与方程并联立求得点坐标的表达式，利用点横、纵坐标关系可证明点在定直线上. 【详解】（1）由题知，即， 又为的右支上一点，则， 所以， 故当最小时，最小， 而，故， 即，故，故的方程为． （2）    当直线的斜率为0时，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，由过点，可设其方程为， 联立消去得， 设，， 则，，故（）， 由（1）知，， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立消去得， 将，代入上式得， 得，将（）代入化简得 ， 即，所以点在定直线上． 变式3．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）由焦距与通径长转化为的方程组求解可得； （2）设动直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得根与系数的关系，再用求解直线的方程，联立解的坐标，代入韦达定理表达式证明横坐标为常数即可. 【详解】（1）由双曲线焦距为4可得，，即①. 故右焦点为，由， 令，得，则②， 联立①②解得，. 故双曲线的标准方程为； （2）由题意知，过右焦点的动直线若与左、右两支都相交，故直线斜率存在， 可设方程为， 联立，消得， 则由题意，且， 设， 由韦达定理知，， 由直线与左、右两支都相交，则，得. 又， 直线的方程为③， 直线的方程为④， ④③得，， 由 ， 故，解得， 当时，不论取何值，点横坐标为常数， 即直线和的交点为在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $双曲线中的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 双曲线中的定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 双曲线中的定点问题 双曲线中的定值问题 双曲线中的定直线问题 考点一 双曲线中的定点问题 例1．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 例2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 例3．（25-26高三下·江苏无锡·月考）已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为2，证明以下问题： ①过定点； ②不可能为锐角三角形. 变式1．（2026·山东潍坊·一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若与的右支交于两点，与的右支交于两点，线段与的中点分别为，且在第一象限． （i）证明：直线过定点； （ii）直线与交于点，求面积的最小值． 变式2．（25-26高二下·湖北襄阳·月考）在平面直角坐标系中，已知动点满足下列方程：；该方程的曲线与x轴的交点分别为两点（在的左侧），不过的直线l与该曲线交于两点，记直线的斜率分别为；直线的斜率分别为． (1)求该曲线的标准方程； (2)若，求的值； (3)若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． 变式3．（25-26高三上·广东·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于. (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线交于、两点，以为直径的圆记作. （ⅰ）求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； （ⅱ）是否存在某个定圆与相切，若存在，请求出此定圆的方程，若不存在，请说明理由. 考点二 双曲线中的定值问题 例1．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点. (1)若斜率为1的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积； (2)设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为定值. 例2．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2026·河北雄安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. (1)若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； (2)若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 变式2．（24-25高三上·陕西·期中）已知双曲线（，）的焦距为4，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于，两点（在轴上方）， (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为． （i）求证：的面积为定值； （ii）求面积的最小值． 考点三 双曲线中的定直线问题 例1．（2026·广东中山·三模）双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） (1)求双曲线的标准方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 例3．（2026·河北·二模）已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 变式1．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知双曲线过点，. (1)求的方程. (2)若直线与的右支交于点，，以线段为边向右侧作，其中，均与一条渐近线平行，得到点，再过点作与平行的直线交于，，以线段为边向右侧作，其中，均与一条渐近线平行，得到点，…，以此类推，可以得到一列点 （i）证明：点在定直线上. （ii）证明：为定值. 变式2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 变式3．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明点在定直线上，并求出该定直线的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $