精品解析：福建南安第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

南安一中2025-2026学年度下学期高二年期中考 数学科试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 2. 设等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列通项及前n项和的意义，列式计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，由得：， 而，则有，解得， 所以. 故选：C 3. 已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理写出的展开式通项，分两部分求解的系数，进而建立关于的方程，求解的值. 【详解】根据二项式定理，的通项为（）. 展开式中项由两部分组成： ①的常数项乘以的项，因中项的系数为， 因此这部分的系数为. ②的一次项乘以的项，因中项的系数为， 因此这部分的系数为. 依题意，，解得. 4. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式计算可得． 【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 5. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况， 若按人数分为三组，则有种方法， 若按人数分为三组，则有种方法， 共有种不同方法. 6. 已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用累加法计算数列通项再求和即可. 【详解】由题意可知，则， 累加可得， 且，即，满足上式， 所以， 所以的前n项和的表达式为. 故选：C 7. 甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列出甲不站最左端，乙不站最右端的排法种数，再列出甲不站最左端，乙不站最右端，老师站在最中间的排法种数，再利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】甲站在最右端的排法有种， 甲不站两端，乙也不在最右端的排法有：. 所以甲不站最左端，乙不站最右端的排法种数为：种. 甲站在最右端，老师站中间的排法有种， 甲不站两端，乙也不在最右端，老师站中间的排法有：. 所以甲不站最左端，乙不站最右端，老师站在最中间的排法种数为：种. 所以甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为：. 故选：A 8. 已知，其中，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，记，，解法一：设，利用导数求出的范围即可； 解法二：由题设易得，再结合对数均值不等式即可得解. 【详解】令，，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 因为，所以， 又，不妨设，记，. 解法一：设， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 则，又，且在上单调递减， 所以，则，所以，故选D. 解法二：由，两式相减整理得， 由对数均值不等式，可得. 故选：D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件相互独立 B. 事件互斥 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】事件相互独立的充要条件是， 由，，，结合， 可得：， 由，则，即事件相互独立，故A正确； 互斥事件充要条件是，这里，故B错误； 因为， 所以 ， 因为，所以，故C正确； 根据条件概率公式计算：， 因为， 所以，即，故D错误. 10. 设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，，，则下列结论正确的是（ ） A. 0<q<1 B. C. Sn的最大值为S7 D. Tn的最大值为T6 【答案】AD 【解析】 【分析】 分析得到得a6>1，a7<1，故q<1，所以选项正确；，所以选项错误；Sn没有最大值，所以选项C错误；Tn的最大值为T6，所以选项正确. 【详解】等比数列{an}，公比为q， 由a1>1，，得q>0且q≠1， ，得a6>1，a7<1，若不然，，则q>1， 又a1>1，则a6>1，a7>1，不成立，故q<1， 所以选项正确； ，因为，所以，所以选项错误； 因为0<q<1，a1>1，所以数列各项均为正值，Sn没有最大值，所以选项C错误； 因为，所以Tn的最大值为T6，所以选项正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11. 已知，则下列正确的是（ ） A. 直线为的切线 B. 若，则 C. 若在上单调递增，则 D. 设为曲线在处的两条切线，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求得  处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确. 【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知随机变量，若，则_______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意，. 13. 已知函数的最小值为0，则___________． 【答案】## 【解析】 【详解】易知函数的定义域为，且, 当时，恒成立，此时在上单调递减，不存在最小值，不合题意； 当时，令可得, 又时，，时，， 所以此时在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值，即， 即，解得，符合题意； 综上可知. 14. 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率___________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立概率的递推关系式，结合等差数列可求通项公式，进而可得答案. 【详解】设当赌徒手中有金币时，最终输光的概率为， 当时，赌徒已经输光了，所以，当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为， 记：赌徒有金币最后输光的事件，：赌徒有金币下一次赢的事件， 所以 ， 可得 ，所以， 所以为等差数列，设， 由于，所以， 所以，故. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列，前项和为， （1）若是等差数列，求数列的前项和； （2）若，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出等差数列的通项公式，然后利用裂项相消法求出结果即可. （2）利用分组求和法和等差数列、等比数列的前项和公式进行计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意，所以， 所以； 【小问2详解】 由题意， 16. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【解析】 【分析】（1）求导数，利用可得答案； （2）（i）求解导数判断单调性，结合单调性可得最值；（ii）先把条件转化为函数的最值问题，求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以，    则， 所以． 【小问2详解】 （i）由（1）得， 则， 因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，  ，又， 所以在[0，3]上的最大值为，最小值为．   （ii）因为，， 所以，    由（i）可知在上的最大值为， 由，       所以，即， 所以实数的取值范围为． 17. 某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件甲 12 8 40 33 7 元件乙 17 8 40 28 7 （1）试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率； （2）生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率； ②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）甲为正品的概率，乙为正品的概率 （2）①；② 【解析】 【分析】(1)用元件甲和元件乙为正品的频率估计生产一件元件甲和生产一件元件乙为正品的概率； (2)①利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解； ②先计算生产一件甲元件的利润和生产一件乙元件的利润，再计算并比较和的大小. 【小问1详解】 由已知100件甲元件的样本中正品的频率为， 100件乙元件的样本中正品的频率为， 所以生产一件元件甲为正品的概率为， 生产一件元件乙为正品的概率为； 【小问2详解】 ①设生产的5件乙元件中正品件数为，则有次品件，由题意知得到， 设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件，则． ②设生产一件甲元件的利润为，则的所有取值为90,-10， 则，， 所以的分布列为： 90 -10 P ，所以 设生产一件乙元件的利润为，则的所有取值为100,-20， 则，， 所以的分布列为： 100 -20 P ，所以 所以 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由. （3）证明：时，在上不存在极值 【答案】（1） （2）存在满足题意，理由见解析. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； （3）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到的单调性，从而得证. 【小问1详解】 当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. 【小问3详解】 因为，， 所以， 令，， 则， 当时，所以在区间上单调递增， 则， 又，所以恒成立，即在上单调递减， 故函数在上不存在极值. 19. 有编号为的个空盒子，另有编号为的个球，现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记号球能放入号盒子的概率为． （1）求； （2）当时，求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算； （2）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算； （3）分三类讨论1号球放入的盒子，1号球放入 号盒中等效于将编号为的球，按照题设规则放入编号为的盒中，做差运算可得迭代得出结论.. 【小问1详解】 1号球放入1号盒中的概率为,此时2,3号球分别放入2,3号盒中； 1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为, 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中; 综上所述： . 【小问2详解】 1号球放入1号,4号，5号，, n 号盒中的概率为，此时3号球可放入3号盒中; 1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，.... n 号盒中，概率为, 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中; 综上所述： 【小问3详解】 1号球放入1号，号，号，号，..., n 号盒中的概率为,此时 k 号球可放入 k 号盒中： 1号球放入 号盒中的概率为,此时2号，3号，....号球都可以放入对应编号的盒中， 剩下编号为 的球和编号为 的空盒， 此时 j 号盒非空， j 号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让 k 号球放入 k 号盒中的放法总数等效于将编号为的球， 按照题设规则放入编号为的盒中（1号球仍然随机选择一个盒子放入）,所以概率为 1号球放入 k 号盒中时，此时 k 号球不能放入 k 号盒中： 所以 , 整理得： ,① 分别用 和 替换 和 ，可得： ,② 由①②式相减，整理得： 从而 , 等于1号球不放在2号盒的概率，即. 所以 【点睛】关键点点睛： 1号球放入 号盒中的关键是等效于将编号为的球，按照题设规则放入编号为的盒中，做差运算可得迭代得出结论.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2025-2026学年度下学期高二年期中考 数学科试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 2. 设等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（ ）. A. B. C. D. 4. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 6. 已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，其中，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件相互独立 B. 事件互斥 C. D. 10. 设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，，，则下列结论正确的是（ ） A. 0<q<1 B. C. Sn的最大值为S7 D. Tn的最大值为T6 11. 已知，则下列正确的是（ ） A. 直线为的切线 B. 若，则 C. 若在上单调递增，则 D. 设为曲线在处的两条切线，若，则 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知随机变量，若，则_______． 13. 已知函数的最小值为0，则___________． 14. 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率___________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列，前项和为， （1）若是等差数列，求数列的前项和； （2）若，求； 16. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 17. 某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件甲 12 8 40 33 7 元件乙 17 8 40 28 7 （1）试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率； （2）生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率； ②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和的大小.（结论不要求证明） 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由. （3）证明：时，在上不存在极值 19. 有编号为的个空盒子，另有编号为的个球，现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记号球能放入号盒子的概率为． （1）求； （2）当时，求； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $