方程与方程组专题 2026年九年级数学下学期中考复习周测

**基本信息** 聚焦方程与方程组全专题，结合惠州本地情境（如荔枝销售、西湖游船、东江大桥维修）设计问题，45分钟周测适配中考复习，覆盖基础概念与综合应用，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元一次方程判断、分式方程去分母、二元一次方程组解法等|第10题以荔枝销售为背景考查方程组建模，体现应用意识| |填空题|6/18|方程求解、根与系数关系、工程问题等|第15题结合西湖游船情境，第16题以大桥维修考工程问题，强化数学与现实联系| |解答题|5/52|解方程（组）、根的判别式、增长率问题、几何动点综合|第20题小区绿化增长率考查一元二次方程应用，第21题矩形动点问题融合几何与方程，发展推理能力与几何直观|

Sheet1 双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 1 一元一次方程定义辨析 选择题 3 0.9 2 二元一次方程解的意义 选择题 3 0.85 3 分式方程去分母运算 选择题 3 0.8 4 一元二次方程配方法 选择题 3 0.8 5 一元一次方程去括号运算 选择题 3 0.85 6 二元一次方程组解法选择 选择题 3 0.8 7 分式方程增根求参数 选择题 3 0.65 8 一元二次方程根的判别式 选择题 3 0.65 9 含参数一元一次方程判定 选择题 3 0.6 10 二元一次方程组销售应用 选择题 3 0.7 11 一元二次方程因式分解法 填空题 3 0.85 12 分式方程基础求解 填空题 3 0.8 13 韦达定理代数式求值 填空题 3 0.7 14 含参数二元一次方程组 填空题 3 0.6 15 一元一次方程配套应用 填空题 3 0.65 16 分式方程工程应用 填空题 3 0.5 17(1) 一元一次方程综合求解 解答题 2.5 0.85 17(2) 二元一次方程组求解 解答题 2.5 0.8 17(3) 分式方程求解（含检验） 解答题 2.5 0.7 17(4) 一元二次方程配方法求解 解答题 2.5 0.7 18(1) 根的判别式证明 解答题 4 0.7 18(2) 韦达定理参数计算 解答题 6 0.6 19 数字类方程实际应用 解答题 10 0.65 20 增长率实际应用 解答题 10 0.65 21(1) 动点几何面积基础问题 解答题 3 0.7 21(2) 动点几何面积综合问题 解答题 4 0.55 21(3) 动点直角三角形综合探究 解答题 5 0.45 $ 九年级数学下学期中考复习周测（方程与方程组专题） 应用场景：九年级下学期中考数学方程专题复习周测 考试时间：45分钟 满分：100分 适用学段：九年级下学期 考查范围：一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程全专题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元一次方程的是（） A. B. C. D. 2. 若是方程的解，则的值为（） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3. 解分式方程，去分母后变形正确的是（） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（） A. B. C. D. 5. 解方程，去括号正确的是（） A. B. C. D. 6. 解方程组，最简便的方法是（） A. 代入消元法 B. 加减消元法 C. 换元法 D. 三种方法都一样 7. 若关于的分式方程有增根，则的值为（） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（） A. B. 且 C. D. 且 9. 若方程是一元一次方程，则的值为（） A. 3 B. -3 C. ±3 D. 0 10. 惠州某荔枝园今年5月销售桂味和糯米糍两种荔枝，桂味售价为20元/千克，糯米糍售价为30元/千克。已知该月两种荔枝共销售300千克，总销售额为7500元。设桂味销售了千克，糯米糍销售了千克，则可列方程组为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解为__________。 12. 分式方程的解为__________。 13. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为__________。 14. 若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是__________。 15. 惠州西湖游船码头有甲、乙两种游船，甲种游船限坐4人，乙种游船限坐6人。某班48名同学一起去西湖划船，共租了10条船，每条船都坐满。则甲种游船租了__________条。 16. 东江大桥维修工程中，甲工程队单独完成需要20天，乙工程队单独完成需要30天。若甲队先单独做5天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，则还需要__________天才能完成全部工程。 三、解答题（本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）解下列方程（组）： (1) (2) (3) (4) （用配方法） 18.（本题满分10分）已知关于的一元二次方程。 (1) 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两个实数根为，，且满足，求的值。 19.（本题满分10分）一个两位数，十位数字与个位数字的和是7。如果把这个两位数的十位数字与个位数字对调，得到的新两位数比原两位数大45，求原来的两位数。 20.（本题满分10分）惠州某小区2024年的绿化面积为2000平方米，计划2026年的绿化面积达到2880平方米。求该小区这两年绿化面积的年平均增长率。 21.（本题满分12分）如图，在矩形中，，。点从点出发，沿边向点以的速度移动；同时点从点出发，沿边向点以的速度移动。设移动时间为秒（）。 (1) 当为何值时，的面积等于？ (2) 当为何值时，的面积等于？ (3) 是否存在这样的，使得为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. B 解析：一元一次方程判定条件：①只含1个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程。A为一元二次方程，C为二元一次方程，D为分式方程，仅有B满足全部条件。 2. A 解析：根据方程解的定义，将解代入原方程，，化简得，解得。 3. D 解析：最简公分母为，注意，方程两边同乘，得。 4. C 解析：配方法步骤：移项得，两边加一次项系数一半的平方4，得，即。 5. C 解析：依据去括号法则：括号前为正，去括号不变号；括号前为负，去括号全变号。原式去括号：。 6. B 解析：方程组中的系数为3和-3，互为相反数，直接两式相加即可消去，加减消元法最简便。 7. B 解析：分式方程增根定义：使分母为0的根，本题增根；去分母化为整式方程：，将代入，解得。 8. B 解析：一元二次方程要求二次项系数；两不等实数根则，，解得，综上且。 9. B 解析：一元一次方程条件：未知数次数为1、一次项系数不为0。即且，解得。 10. B 解析：根据题意找等量关系：总质量；总销售额=单价×质量，，联立方程组即可。 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 解析：因式分解得，解得两根。 12. 解析：交叉相乘得，解得，检验分母不为0，为有效根。 13. 2 解析：韦达定理：，，代入得。 14. 解析：两式作差，由得，解得范围。 15. 6 解析：设甲船条，，解得。 16. 9 解析：工作总量为1，列方程，解得。 三、解答题（分步评分细则+赋分逻辑） 17.（10分，每小题2.5分：步骤分2分，结果分0.5分） (1) 解：去分母：（1分），去括号移项合并同类项（1分），解得（0.5分）。 (2) 解：代入消元，由②得（1分），代入化简求解（1分），解得（0.5分）。 (3) 解：去分母化简得（1分），代入分母检验（1分），分母为0，原方程无解（0.5分）。 (4) 解：移项配方得（1分），开方计算（1分），解得（0.5分）。 18.（10分） (1)（4分）写出判别式公式（2分），计算，得出结论（2分）。 (2)（6分）韦达定理变形公式推导（2分），代入数值化简（2分），求解得出（2分）。 19.（10分） 解：本题考查一元一次方程数字应用问题，解题核心：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字（1分）。 ① 设未知数：设原来两位数的十位数字为， 根据“十位数字与个位数字的和是7”，可得个位数字为（2分）； ② 表示原数与新数： 原两位数：， 十位、个位对调后新两位数：（3分）； ③ 找等量关系列方程： 根据“新两位数比原两位数大45”，列式：， 即：（2分）； ④ 详细解方程： 去括号：， 合并常数项：， 移项：， 计算化简：， 系数化为1：（1分）； ⑤ 求出两位数： 十位数字为1，个位数字：， 因此原来的两位数为16（1分）； ⑥ 规范作答：答：原来的两位数为16（1分）。 20.（10分） 解：本题考查一元二次方程增长率模型，通用公式：（为初始量，为增长率，为增长次数，为最终量）（1分）。 ① 设未知数：设该小区这两年绿化面积的年平均增长率为（2分）； ② 分析逐年绿化面积： 2024年（初始）绿化面积：， 2025年绿化面积：， 2026年绿化面积：（3分）； ③ 根据题意列方程：（2分）； ④ 详细解方程： 方程两边同时除以2000：， 直接开平方：， 分情况求解： 当时，解得， 当时，解得（2分）； ⑤ 合理性取舍： 增长率不能为负数，因此舍去，保留（1分）； ⑥ 规范作答：答：该小区这两年绿化面积的年平均增长率为20%（1分）。 21.（12分） 21.（12分） 解：由动点运动规则可知：运动时间为秒（），，，，（1分）。 (1)（3分） 解：为直角三角形，直角边为，由三角形面积公式：， 代入数据列方程：，化简得：，整理为标准一元二次方程：， 因式分解：，解得：，均符合取值范围（2分+1分）； (2)（4分） 解：采用割补法，矩形面积减去三个直角三角形面积表示面积， ，，，， ， 根据题意列方程：，整理得：， 解得：，均符合题意（2分+2分）； (3)（5分）分类讨论直角顶点，结合勾股定理求解： 由题意得：，，根据勾股定理表示三边平方：，，。 ① 若，则，代入得：，化简得：，解得，均不在取值范围内，舍去； ② 若，则，代入得：，化简得：，因式分解：，解得，（边界值，不符合，舍去）； ③ 若，则，代入得：，化简得：，解得，超出取值范围，舍去； 综上，当秒时，为直角三角形（1分）。 学科网（北京）股份有限公司 $