第40期 5.3 分式方程（答案见42期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 数眼看世弟 报纸发行质量反馈电话： 附加题⊙ 分式方程走进实际生活 0351-5271248 【上接4版参考答案) (以下试题供各地根据实际情况选用) 1.(8分)阅读下列材料： ⊙青海 王琪莹 2)+ 11 列分式方程解决实际问题是中考的常考比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子 1 px-p+qx +g x-2x-3的根为x=1; 1 题，这种考题背景千变万化，下面举例说明两种的数量与360元购买实心球的数量相同. (x+1)(x-1) x+1 x (p+q)x-p+q 1 1 1 x-4的根为x=2: 1 常见问题 (1)绳子和实心球的单价各是多少元？ x2-1 x-1x-3 X 一、工程问题 (2)如果本次购买的总费用为510元，且购 1-3x 1 1 x-5的根为x=3; 例1为了解决雨季时城市内涝的难题，我买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳 x2-1 x-1x-2 x-4 市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在子和实心球的数量各是多少？ 改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的 解：(1)设绳子的单价是x元 P+9=-3,解得 -p+q=1. (1)请直接写出方程1 施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度 ∫p=-2, x-4x-5=x-7 可以比原计划提前10天完成任务. 根据题意，得84.360 x+23 g=-1. 附加题1.(1)因 x-8的根为 (1)求实际施工时，每天改造管网的长度； 解得x=7. (2)施工进行20天后，为了减少对交通的 经检验，x=7是原分式方程的根，且符合 为=3，=4， (2)观察上述方程与根的特征，写出一个 影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保 题意 c+a=5,所以】 根为x=-5的分式方程： 总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至 ca 所以x+23=30 (3)观察上述方程与根的特征，写出能反 1 少还要增加多少米？ 1 答：绳子的单价是7元，实心球的单价是30元 =3,b+ =4, 映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个 解：(1)设原计划每天改造管网x米 (2)设购买实心球的数量是m个 =5 方程的根 根据题意，得3600」 3600 (1+20%)x=10, 根据题意，得7×3m+30m=510. 所以2(1+ 1 解得x=60. 解得m=10. 经检验，x=60是原分式方程的根，且符合 所以3m=30 )=3t4+52 题意 答：购买绳子30条，实心球10个 所以1 1 +b 所以(1+20%)x=72. 温馨提示：列分式方程解决实际问题的 a =6 答：实际施工时，每天改造管网的长度是 般步骤： 2.(12分)新定义：如果两个实数a,b使得 (2) ab bc ca 72米 (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量之间 abc 关于x的分式方程+1=6的根是x=。十b 1 (2)设以后每天改造管网还要增加m米. 的关系； =6. a 根据题意，得(40-20)(72+m)≥3600 (2)找：找出题目中的等量关系； 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b] (3)因为1 1 72×20 (3)设：根据题意设出未知数； b 称为关于x的分式方程a+1=b的一个“关联 解得m≥36. (4)列：列出分式方程； =6. =3 数对” 答：以后每天改造管网至少还要增加36米 (5)解：解这个分式方程： 二、销售问题 (6)验：检验，既要检验所得的解是否是原 4 例如：a=2,b=-5使得关于x的分式方 例2 为了加强学生的体育锻炼，某班计划分式方程的根，又要检验解是否符合题意； 5,所以1 程+1=6的根是x=2+-5)=-号成 1 =2 h 购买部分绳子和实心球.已知每条绳子的价格 (7)答：写出答案 =3. 立，所以数对[2，-5]就是关于x的分式方程 第39期2版参考答案 能力提高5.B. 5.2分式的运算（加减） 第39期3版参考答案 是+1=么的一个“关联数对” 所以a=2b 5.2.1同分母分式相加减 题号12345678 基础训练1.A;2.D;3.B; (1)判断下列数对是否为关于x的分式方 4.(1)x-1,(2)±3. 答案CBC CABAA 二、9.2x(x+3)；10.1;11.1-a;12.1; 2.(1)C是D的“差 程号+1=6的“关联数对”，若是，请在括号内 5.(1)3 13.2025.5;14.16. 常分式”，证明如下： 三15.(1a+b:(2)30:(3)5- 因为C-D= 3x 打“V”;若不是，打“×” 6原式-只兰名 x+1 ①[-1，-1] ;②[3，-5] 当a=3,6上2c=-1时，原式=号 16.（1)根据题意，得所捂部分为： xx-x+1 -3 X+】 ;③[1,2] 5.2.2异分母分式相加减 x2-1 .2-x+1+(x+1)(x-1) >0,所以C是D的“差 (2)若数对[n2-3,-n2]是关于x的分式 基础训练1.C;2.B;3.B;4.16 (x+1)2 常分式”，C关于D的 5.(1)最简公分母为10a2b2c. -t2 方程号+1=6的“关联数对”，求n的值 6a3 2-+1+ x+1 +1=x+ “差常值”为3. (2)由题意，得E 10ae 10abe' (2)因为x2-x-1=0,所以x2=x+1. F=(x+1)(x-a (3)若数对[m-k,k](m>k>1)是关于 7c 7c·bc = 7bc2 106=106。=10a6 x+2 x(x-b) x的分式方程：+1=b的“关联数对”，请用含 (2)最简公分母为2x(x+1)(x-1) 1n.(121-2B=a+b-6 a2 +2ab+b2-ab x+2 x2(x-1) x3-x2 a'tab+b aa+b a(a+b) -axtx-a-x+br m的代数式表示k. 2+2x=2x(x+1)(x-1）=2x3-2x x+2 1 2(x+1) 2x+2 a2 +ab (b-a+1)x-a 2-x=2x(x+1)(x-1）=2x-2x (2)若4=B,明。。等式两边同时 =2 x+2 61八2a+3《2)《3+ 所以(b-a+1)x a -b 2a(a+b),得a2+2ab+b2=4ab.化简，得a2-2ab+b2 a=2x+4. 能力提高7.B. =0,即(a-b)2=0.所以a=b. 所以b-a+1=2, 5.2.3分式的混合运算 18(1)令x=0,得a-号=2： -a=4. 基础训练1C:2.4 令x=-2,得-a-b=-6. 解得a=-4,b=-3 所台2，解得8 所以a+b=-7. 31a+1:(2)+号 （全文完) 数理报社试题研究中心 4.原式=x-1.根据分式有意义的条件，得x-1≠ l-a-b=-6. (参考答案见42期)0，x-2≠0.所以x≠1，x≠2.当x=3时，原式=2 (下转1,4版中缝) 拨理橘 2026年4月1日·星期三 初中数学 第40期总第1184期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-204 品 方法一、分子化相等 名师点晴 如果分式方程的分 子都是常数，也可以选择 法分 利用分式的基本性质把 详解分式方程 ©各分子化为它们的最小 河公倍数，即完成分子通 ©广东褚少昕 分.由于各分式的分子相 解分式方程的基本思路就是把分式方程转 3 2 8 解 方 例 的根 化为整式方程 2分式方程一2x+22-4 其一般步骤为： 是 ( 从而得出一个一元一次 (1)去分母.在分式方程的左、右两边都乘 A.x=2 B.x=-2 方程，解方程即可. 最简公分母，把分式方程转化为整式方程， C.无解 D.x=3 例1 方程1 (2)解整式方程 3 2 8两边乘(x+ (3)检验.把整式方程的解代入最简公分 解析：x2x+2=-4 2 3x-3的根是 母，使最简公分母不等于0的解就是原方程的 2)(x-2),得3(x+2)-2(x-2)=8. 根；若最简公分母等于0，则原方程无解 解得x=-2. 解析：由分式的基本性质，将左边分式的分 温馨提示：(1)去分母时，在分式方程两边 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0. 2 2 子变为2，原方程变形为2=3x一3所以2x 都乘以最简公分母，注意不要漏乘不含分母的 所以原分式方程无解 3x-3.解得x=3.检验：将x=3代入原分式方 项.(2)解分式方程不要忘记检验 故选C. 小编献策：最简公分母有两个作用：一是为 程，左边=背：右边，所以这个分式方程的根 例1 分式方程号：1的根为 了去分母将分式方程化为整式方程；二是为了 检验求出的未知数的值是否使分母为0. 为=3.故填x=3 检验最常用的方法有两种： 方法二、换元 解折 =1两边乘(2x-1),得x+1 (1)把解得的值代入最简公分母，使最简公 把某个式子看成一个整体，用一个变量去 =2x-1. 分母为0的值不是原分式方程的根：否则，即为 代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元 解得x=2 原分式方程的根。 法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元， 检验：当x=2时，2x-1≠0. (2)将解得的值分别代入原分式方程的左 理论依据是等量代换，目的是使复杂问题简单 所以原分式方程的根为x=2 边和右边，若左边等于右边，此解即为原分式方 化，变得容易处理.若分式方程中总是有相同的 故填x=2. 程的根；否则，就不是原分式方程的根 式子，可把它们用一个字母代替，即应用换元法」 求解方程 专题辅导 例2 解方程： 4+5= 3-x 4-x 解折：原方程变形为，4+5=二设， 。含参数分式方程 四模型 x-4 =x-4,则x-3=y+1.原方程可化为} +5 ◎江西 季海军 我们在解分式方程时，经常会遇到含有参 模型三、已知分式方程无解，求参数的值 =y+1化简，得5=1，显然不成立.所以原分 数的分式方程，现针对这类题型归纳总结如下， 供同学们参考学习. 例9若关于：的方程2=241无解，则 m 式方程无解 m的值为」 方法三、特殊套用法 模型一、已知分式方程的根，求参数的值 例3解方程：x+10+(x+1)(x+2) 1 例1已知x=2是分式方程2+a, 解析：2 2x+1两边乘x(2x+1),得4+ m 1 1 2的根，则a的值为 () 2=mx、整理，得(4-m)x=-2.因为2 (x+2)(x+3)+…+(+9)(x+10)=10. A.1 B.2 C.3 D.4 解析：原分式方程变形为，+10+（x+1 1 2x+1无解，所以4-m=0或x=-2解得m 解析：托：=2代入2+，0=-2，得1+a4或m=0故填0或4 +a 1 1 x+2- x+3 +…+(1 模型四、已知分式方程根的范围，求参数的 +9 =2.解得a=1.故选A. 取值范围 1 1 模型二、已知分式方程有解，求参数的值 =10,即，+1=10解得x=0 经检 例4 1 2 x+10 4 若关于x的分式方程，一2+x十2 验，x= 是原分式方程的根， 9 例2如果关于x的分式方程ax, +1有解，则 :2二？+2独的根大于1，则m的取值范国是 (）x2-4 本周生种 A.a=1 B.a=2 C.a≠1且a≠-2D.a≠1且a≠2 解析：2+，子2=得两边乘(x+ 5.3分式方程 4 学习目标：1.掌握分式方程的定义，会解 解标：，2=：12+1两边栗(x-2),得2)(x-2),得x+2+?-42解得x 分式方程 ax x+2整理，得a-1x=2因原分式方+1因为，2+子2=2g的根大于1， 2.会根据实际情况列出分式 程有解，所以a-1≠0，x=2≠2.解得a≠所以m+1≠2，m+1≠-2，m+1>1.解得m 方程并求解 a-1 ≠1，m≠-3，m>0.所以m>0且m≠1.故填 1且a≠2.故选D, m>0且m≠1. 2 素养·专练 数理极 能刀提高 5.某学校为满足学生的需求，充实物理兴趣 跟踪训练 小组的实验项目，决定购入A,B两款物理实验套 'h 6.若α使得关于x的一元一次不等式组装，其中B款套装的单价比A款套装单价的2倍少 GENZONGXUNLIAN X a ,30元，用600元购买A款套装的数量是用450元购 5.3分式方程 ≤-号+12，有解，且使得关于y的分式方买B款套装数量的2倍。 -2x+1≥4a-5 5.3.1分式方程的定义及解法 (1)求A,B两款套装的单价； 号”，己。=1有非负整致起，则斯有清己条 (2)根据学校实际情况，需一次性购买A款套 垦础训练 装和B款套装共100个，但要求A款套装和B款套 件的a的值的和是 1.下列各式中，是分式方程的是 装的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多 A.24 B.25 C.34 D.35 B.2 少个B款套装？ 7若关于：的分式方程，产=3-的限 c42-g=0 为正整数，求整数m的值 2.分式方程}= *3的根是 5 ( A.x=3 B.x=2 C.x=3 十 X 2 D.x=3 4 3下面是嘉试解方程，'2+3=}产的过 程，下列判断正确的是 解：方程两边乘(x-2),得1+3(x-2)= -(1-x). 第一步 整理，得1+3x-6=x-1 第二步 解得x=2.所以原方程的根为x=2.第三步 5.3.2分式方程的应用 A.第一步开始出错 6.2025年，DeepSeek掀起全球热潮，其发布的 B.第二步开始出错 垦础训练 开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界 C.第三步开始出错 1.一容器内盛有150g的盐水，其中含盐10g贡献了“中国智慧”.已知某公司拥有甲、乙两个数 D.嘉祺解方程的过程正确 通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度！据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek,使其数据 4若关于：的方程兰=3x:5无解，则m的值！提高到原来的3倍小丽根据这一情景中的致显关 迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心 系列出方程为3×10 10 迁移100TB数据比乙数据中心迁移30TB数据所 X 150=150-x ,则未知数x表示 需时间少5小时. 5.解方程： 的是 (1)分别求甲、乙两个数据中心每小时迁移多 )子1=-1 4 A.加人的水量 B.减少的水量 少TB数据； C.加人的盐量 D.减少的盐量 (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成 2.在课外活动跳绳时，相同时间内小明跳 一项紧急任务，共用8小时至少完成56TB的数据 100次，小亮跳120次.已知小亮每分钟比小明多迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问： 跳30次，则小亮每分钟跳 ）不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少 A.150次 B.180次 X 小时？ C.120次 D.130次 3 1 (2)2x-4= 3.新能源车的技术越来越成熟，而且更加环 保节能.小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比 两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃 油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已 知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为 9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为 0.6元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续 (3) 3 2-3x-1=6x-2 航里程是 km. 4.某项目工程正在施工中，已知斗容1.0立方 米的装载机比斗容0.5立方米的装载机每小时多 装车180立方米，斗容1.0立方米的装载机装车 1760立方米所用时间是斗容0.5立方米的装载机 装车2080立方米所用时间的一半，求这两种装载 机每小时各装车多少立方米 4 数理报社试题研究中心 (参考答案见42期) 数理极 素养·测评 5 16.(8分)为传承我国传统节日文化，端午节 同步检测 前夕，某校组织了包粽子活动.已知八(3)班甲组 同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150 个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时 TONGBUJIANCE- 【检测范围：5.3】 间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个 粽子 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 10.用换元法解方程，3x x2-1 =2,设y 题号1234567 答案 一则原方程可以化为关于y的整式方程为 1.在2 11.如图，点A,B在数轴 A B ,中，是分式方程的个数是 2 上且点A在点B的左侧，它 们所对应的数分别是22和，-汉点4到原点 A.1 B.2 C.3 D.4 的距离比点B到原点的距离大3，则x的值为 2要把分式方程”4化为整式方是。 方程两边应同乘 12.山西省宁武县被中国粮食行业协会命名 A.2x-4 B.x 为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养 17.(10分)已知A=。+ x2-1 C.x(x-2) D.2x(x-2) 价值很高的粮种之一.某莜麦标准化种植基地在 x-42-8x+16,B 3若代数式2和2的值互为相反数，则： 改良前总产量为12600kg,改良后总产量不变，但 x2-2m 种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的 1-x 的值是 ( )1.5倍，则改良前的平均亩产量为 kg. (1)化简分式A; (2)若关于x的分式方程A+B=1的根是非 A.1 C.2 13.若关于x的方程 x+1+(x+1)(x-2) 负数，求m的取值范围. 4若关于：的方程-2。 的根是x=6,则 x2的根比分式方程2 ,子1的大2。 a的值为 则a的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 14.某市需要紧急生产一批民生物资，现有 5.记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈， 甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲 各直钱八百九十六文，■.”其大意为：“现在有绫 :厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元.指挥中心 布和罗布长共3丈(1丈=10尺)，绫布和罗布分 的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施 别出售均能收入896文，■.”设绫布有x尺，则可 工方案： 得方程为120-%-0根据北情道，盟中 方案一：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成： 方案二：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用 “■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的5天； 18.(14分)橘子洲头是长沙的标志性景点之 是 方案三：若甲、乙两厂合做4天后，余下的工程 一，被誉为中国第一洲，也是世界上最大的内陆 A.每尺绫布比每尺罗布贵120文 由乙厂单独做也刚好如期完成 洲.该景点有一文创店，最近一款印有“数风流人 B.每尺绫布比每尺罗布便宜120文 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工 物，还看今朝”的橘子洲3D图案书签销售火爆.该 C.每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 方案是 店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又 D.绫布的总价比罗布总价便宜120文 三、耐心解一解（共44分） 花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第 6若分式方程，21=1-”1的根为正数。 15.(12分)解方程： 二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购 (1)220=120 进的数量是第一次的2倍 则m的取值范围为 ( x-5: (1)求该商店两次购进这款书签各多少个； A.m>-3 B.m>-3且m≠-2 (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售 C.m<3 D.m<3且m≠-2 7.甲、乙、丙三个数依次相差1，且依次增大 价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天 若乙的倒数与丙的倒数之和等于甲的倒数的2倍， 气的影响，游客量减少，该商店决定将剩下的书签 则甲、乙、丙三个数分别是 打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的 A.1,2,3 B9号 2x 3 (2)2x+32x-3=1 书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次 销售时每个书签的售价至少为多少元？ D.-6,-5,-4 8.对于两个不相等的实数α，b,我们规定符号 mina,b}表示a,b中较小的值，如min2,4}=2, 按照这个规定，方程mm,十2之。二}2 (3)8x 3 8 的根为 Ix24-x+2x2-26 x A.x=0 B.x=0或x=2 C.无解 D.x=2 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 3的根为 9分式方程221 (下转第4版)